观察算符A与B可对易则能找到共同本征矢及其反命题

原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/42670295
发布日期: 2018-08-22
分类: 量子力学基础与量子信息

"如果两个厄米算符 $A$ 与 $B$ 对易, 则 $A$ 与 $B$ 的共同本征矢构成态空间的一个正交归一基. "

厄米算符的本征矢本来就有完备性, 即这个命题重点在于:

$[A, B] = 0 \Rightarrow$ 二者存在一组共同的本征矢.

从这里开始你就会发现量子力学真的会让你更加理解线性代数. 下面假定 $A$ 与 $B$ 均为离散谱, 连续谱可类似的证明.

♦ $Q$ : 如何证明可对易的观察算符 $A$ 与 $B$ 存在共同本征矢.

♦ $A$ : 证明如下:

设 $A u_{n}^{i} ⟩ = a_{n} u_{n}^{i} ⟩ i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, g_{n}$ 其中 $i$ 用于区分同本征值子空间各基矢.

$A$ 是厄米算符 $\Rightarrow ⟨ u_{n}^{i} ∣ u_{m}^{j} ⟩ = δ_{mn} δ_{ij}$ ----------------------------------------------[i]

$[A, B] = 0 \Rightarrow A B u_{n}^{i} ⟩ = B A u_{n}^{i} ⟩ = a_{n} B u_{n}^{i} ⟩$

说明 $B u_{n}^{i} ⟩$ 也是 $A$ 的本征矢, 且处于 $a_{n}$ 对应的本征子空间[1] ------------------------[ii]

下面讨论在 $A$ 的本征矢表象下的 $B$ 矩阵 (即 $B$ 的矩阵元 $B_{mn}^{ij} = ⟨ u_{m}^{i} ∣ B u_{n}^{j} ⟩$ ):

(不懂矩阵表示的看这正樹：表象变换的幺正算符怎么定义的? 为何说算符与态可以看作矩阵?)

结合 **[i][ii]**不难得到: $m \neq = n \Rightarrow B_{mn}^{ij} = ⟨ u_{m}^{i} ∣ B u_{n}^{j} ⟩ = 0$

这说明 $B$ 是一个分块对角的矩阵:

红框内即B矩阵其中 $ε_{n}$ 代表 $a_{n}$ 的本征子空间即 $u_{n}^{i} ⟩ i = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, g_{n}$ 张成的空间.

而阴影部分就是我们接下来要讨论的部分了:

**(1)**若 $A$ 的本征值非简并, 即 $g_{n} \equiv 1$ , 每个格子都是 $1 \times 1$ 的矩阵, 这就说明上面这个矩阵就是个对角阵. 此时标注简并情况的 $i$ 可以去掉, $u_{n}^{i} ⟩ = ∣ u_{n} ⟩$ 就是 $B$ 的本征矢.

更详细一点: 由 **[ii]**知 $AB\left| {u}_{n} \right\rangle ={a}_{n}B\left| {u}_{n} \right\rangle$ 由于 ${a}_{n}$ 非简并说明 ${a}_{n}$ 的子空间是一维的. 也就是说子空间里面的所有矢量必须共线: $B ∣ u_{n} ⟩ = λ ∣ u_{n} ⟩$ 其中 $λ$ 是一个比例系数. 显然这同时也是 $B$ 的本征方程. 实际上有相当一部分教科书到此就结束了, 他们回避了简并情形, 这样是不能让人满意的.

**(2)**若 $A$ 的本征值存在简并, 则图中的每个阴影子块都是一个 $g_{n} \times g_{n}$ 的方阵, 其中的矩阵元表示为 $B_{nn}^{ij} = ⟨ u_{n}^{i} ∣ B u_{n}^{j} ⟩$ 其中 $i, j = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, g_{n}$ . $B$ 是厄米算符, 所以这个子块也是厄米矩阵, (即 $(B_{nn}^{j i})^{*} = B_{nn}^{ij}$ ), 这说明这个矩阵一定可以对角化, 对角化的过程无非就是在子空间内寻找一组新的矢量做基使得这组基中表示的 $B$ 矩阵是对角阵. 仿照 (1) 中的过程不难发现所有的新矢量都是 $B$ 在 $ε_{n}$ 中的本征矢. 各个子空间中的所有新矢量的集合即为所求的一组完备的共同本征矢, 即这些新矢量同时是 $A$ 与 $B$ 的本征矢.

♦ $Q$ : $B$ 的子块是一定可以对角化啦, 但新找到的本征矢一定还在原来的子空间里吗？

♦ $A$ : 线性变换是在固定的空间内进行的, 子块的对角化无非就是在这个子空间里面找到了 $B$ 矩阵的一组本征矢.

♦ $Q$ : 新找到的矢量怎么就一定是 $A$ 的本征矢呢？

♦ $A$ : 因为是在 $A$ 的本征值的本征子空间里找到的. 详细点说就是无论你在本征子空间里找哪一组基, 用它来表示 $A$ 永远是个对角阵(和数学中不同, 我们这里说到基都是标准正交基的简称. ). 又因为是在本征值 $a_{n}$ 对应的本征子空间里找的, 所以可以将此对角阵写为 $a_{n}$ $I$ , 其中 $a_{n}$ 是本征值, $I$ 是 $g_{n} \times g_{n}$ 的的单位阵.

♦ $Q$ : 那在这个 $A$ 的本征值 $a_{n}$ 的本征子空间里, 能将 $B$ 对角化的新的基矢量是 $B$ 的同一本征值下的矢量吗？

♦ $A$ : 至少一般来说不是的. 但在两个互异的本征子空间中的一些新基可能是属于 $B$ 的同一本征值的. 简单来说就是在 $a_{n}$ 的本征子空间里 $B$ 仅是被对角化, 而这个对角阵的各对角元并不一定是同一个数.

实际上我们就是想利用这一点来区分简并的态: 由于简并, 对于新矢量 $w_{n}^{i} ⟩$ 与 $w_{n}^{j} ⟩$ 来说光测量 $A$ 给出的结果都是 $a_{n}$ 这样我们是无法区分这两个态的, 此时如果测量 $B$ 能给出不同的值, 我们就能区分这两个态了, 如果测量 $B$ 还给出相同的值呢? 那就再找一个与 $A, B$ 均对易的 $C$ 来试试, 按照这个逻辑找下去就可以区分任何一个态, 从而取消简并. 这实际上就是可对易的完全集合的概念: 東雲正樹：关于可对易观察算符的完全集合可能产生的疑惑

♦ $Q$ : 前面说了若 $A$ 与 $B$ 可对易, 就可以找到一组共同的本征矢, 那么难道不可对易就一定不能找到一组共同的本征矢吗？

♦ $A$ : 是的,下面用反证法予以证明:

假定算符 $A$ 与 $B$ 不可对易. 但我就是 somehow 找到了他们的一组共同本征矢 $∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩$ 使得 $A ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩ = a_{n} ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩$ 且 $B ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩ = b_{n} ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩$ 其中 $i$ 标注简并情况.

那么就有 $(A B - B A) ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩ = A B ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩ - B A ∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩$ $\begin{align} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =A{b}_{n}\left| {a}_{n},{b}_{n},i \right\rangle -B{a}_{n}\left| {a}_{n},{b}_{n},i \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {a}_{n}{b}_{n}-{b}_{n}{a}_{n} \right)\left| {a}_{n},{b}_{n},i \right\rangle =0 \\ \end{align}$

由于 $∣ a_{n}, b_{n}, i ⟩$ 不能全是零矢量, 所以只能是 $A B - B A = [A, B] = 0$

这就与前提矛盾了, 所以, 你不能.

参考

^厄米阵的不同本征子空间都是相互正交的.

观察算符A与B可对易则能找到共同本征矢 及其反命题 ​

参考 ​

观察算符A与B可对易则能找到共同本征矢及其反命题

参考