关于初等量子力学中的动量

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/42691385
• 发布日期: 2018-08-22
• 分类: 量子力学基础与量子信息

我们可以从把动量作为一个平移生成元的角度来理解量子力学中动量的性质:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/84531862上文的逻辑链条是清晰的, 但新手看了会想死; 下文的一切都很平易近人, 但其实逻辑是混乱的.

动量算符的本征方程: \vec{P}\left| {\vec{p} \right\rangle =\vec{p}\left| {\vec{p} \right\rangle .

这可以用来得到动量的本征波函数.

动量在坐标表象下的波函数:

\begin{align} & {P}_{x}\left| {p}_{x} \right\rangle ={p}_{x}\left| {p}_{x} \right\rangle \Rightarrow \langle x|{P}_{x}\left| {p}_{x} \right\rangle =\langle x|{p}_{x}\left| {p}_{x} \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \frac{\hbar }{\rm{i}\frac{\rm{d}{\rm{d}x}{\psi }_{p}_{x}\left( x \right)={p}_{x}{\psi }_{p}_{x}\left( x \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\psi }_{p}_{x}\left( x \right)={\rm{const}\cdot {\rm{e}^{\rm{i}\frac{p}_{x}{\hbar }x}. \\ \end{align}

至于后面常数的确定, 无非就是归一化条件:

(1). 箱归一化, 即有限空间比如说 $x\in \left[0,L\right]$ 的归一化:

• \int_{0}^{L}{\psi _{p}_{x}^{*}\cdot {\psi }_{p}_{x}{\rm{d}x}=1\Rightarrow \int_{0}^{L}{\left| {\rm{const} \right|}^{2}{\rm{d}x=1\Rightarrow }{\rm{const}=\frac{1}{\sqrt{L}{\rm{e}^{\rm{i}\varphi }.
• 其中系数的任意相位可以取 $\phi =0$ 这样就得到 \left\langle x|{p}_{x} \right\rangle ={\psi }_{p}_{x}\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{L}{\rm{e}^{\rm{i}\frac{p}_{x}{\hbar }x}.
• 有限空间会导致动量 $p_x$ 离散化取值:
• {\psi }_{p}_{x}\left( 0 \right)={\psi }_{p}_{x}\left( L \right)\Rightarrow {\rm{e}^{\rm{i}\frac{p}_{x}{\hbar }L}=1\Rightarrow \frac{p}_{x}{\hbar }L=2n\pi \Rightarrow {p}_{x}=n\frac{h}{L},\ n\in \mathbb{Z}.

(2). 无界空间归一化到delta函数:

• \delta \left( {p}_{x}-{p}'}_{x} \right)=\left\langle {p}'}_{x}|{p}_{x} \right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }{\left\langle {p}'}_{x}|x \right\rangle \left\langle x|{p}_{x} \right\rangle {\rm{d}x}={\left| {\rm{const} \right|}^{2}\int_{-\infty }^{\infty }{\rm{e}^{\rm{i}\frac{p}_{x}-{p}'}_{x}{\hbar }x}{\rm{d}x}.
• 众所周知: \delta \left( t-{t}' \right)=\frac{1}{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }{\rm{e}^{\rm{i}\omega \left( t-{t}' \right)}{\rm{d}\omega }.
• 不知道? 看这儿:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/67187240- 所以不难发现 {\rm{const}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }{\rm{e}^{\rm{i}\varphi }这里还是将任意相位取为 $1.$

• 即得到: {\rm{const}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }.
• 推广到三维无非就是 \exp \left( {\rm{i}\frac{p}_{x}{\hbar }x \right)\to \exp \left( {\rm{i}\frac{\vec{p}{\hbar }\cdot \vec{r} \right).

坐标表象波函数和动量表象波函数之间差个 Fourier 变换:

若记 $\psi \left(p_x\right)\equiv ⟨p_x|\psi ⟩,$

则有 \left\langle x|\psi \right\rangle =\int_{-\infty }^{\infty }{\left\langle x|{p}_{x} \right\rangle \left\langle {p}_{x}|\psi \right\rangle {\rm{d}{p}_{x}=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }\int_{-\infty }^{\infty }{\rm{e}^{\rm{i}\frac{p}_{x}{\hbar }x}\psi \left( {p}_{x} \right){\rm{d}{p}_{x}.

一维坐标表象下的波函数是 \psi \left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar }\int_{-\infty }^{\infty }{\rm{e}^{\rm{i}\frac{p}_{x}{\hbar }x}\psi \left( {p}_{x} \right){\rm{d}{p}_{x}. 这个式子表达的是圆频率连续变化的无穷个平面简谐波的叠加, 那为啥跟动量扯上关系了？就算是 Fourier 变换也该是代表频谱的波矢量 $k$ 出场吧？

这你可以联系到我们熟知的 $\vec{p}=\hslash \vec{k}$ , 所以动量 {\vec{p} 和波矢量 {\vec{k} 仅差一个常数.

没见过? 那中学的 $\lambda =\frac{h}{p}$ 总记得吧? $\lambda =\frac{h}{p}\Rightarrow p=\frac{h}{\lambda }=\frac{h}{2\pi }k=\hslash k$.

先大概记得这么个构造就行了, 具体的内容在高量里会有完整的逻辑链.

怎么在量子力学里面总用 $\frac{\hslash }{i}\nabla$ 表示动量算符？动量和空间偏导什么关系？

首先要明确一点, 它并不总是这样的, 也就是它仅在坐标的表象中表现为空间偏导. 理解起来方向应该还蛮多的, 但最容易记住的一个可以推出这个结论的前置论述应该还是「动量和坐标表象下的波函数互为 Fourier 变换」这个结论. 不过具体要理解这个情况那就还得从生成元的角度去看了, but how to cut the shit? Calculate:

\begin{align} & \langle \vec{r}|\vec{P}\left| \psi \right\rangle =\int \left\langle \vec{r}|\vec{p} \right\rangle \langle \vec{p}|\vec{P}\left| \psi \right\rangle {\rm{d}\vec{p} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int{\left\langle \vec{r}|\vec{p} \right\rangle \vec{p}\left\langle \vec{p}|\psi \right\rangle {\rm{d}\vec{p} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\left( 2\pi \hbar \right)}^{3/2\ }\int{\rm{e}^{\rm{i}\frac{\vec{p}{\hbar }\cdot \vec{r}\vec{p}\psi \left( {\vec{p} \right){\rm{d}\vec{p} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{\rm{i}\frac{\rm{d}{\rm{d}\vec{r}\frac{1}{\left( 2\pi \hbar \right)}^{3/2\ }\int{\rm{e}^{\rm{i}\frac{\vec{p}{\hbar }\cdot \vec{r}\psi \left( {\vec{p} \right){\rm{d}\vec{p}.\ \\ & \Rightarrow \langle \vec{r}|\vec{P}\left| \psi \right\rangle =\frac{\hbar }{\rm{i}\nabla \psi \left( {\vec{r} \right).\ \\ \end{align}

我们这里定义了 \frac{\rm{d}{\rm{d}\vec{\alpha }={\vec{e}_{x}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_{x}+{\vec{e}_{y}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_{y}+{\vec{e}_{z}\frac{\partial }{\partial {\alpha }_{z} 所以 \frac{\rm{d}{\rm{d}\vec{r}=\nabla .

话说最初 Dirac 是怎么发现的坐标表象下有 P\to \frac{\hbar }{\rm{i}\nabla 的呢?

其过程刚好和我们计算对易关系 \left[ X,P \right]={\rm{i}\hbar 的过程相反, 我们知道这个表达形式之后可以很轻易的就计算出这个对易关系[1], 而 Dirac 是从经典力学中的泊松括号 $\left\{x,p\right\}=1$ 类比而来的, 然后经验表明两个观察算符的对易子一定是个虚数, 所以就添一个 $\mathrm{i}$ 上去得到 $\left[X,P\right]=\mathrm{i}$ 而 $\hslash$ 本身就是个单位制的决定的常数罢了, 反正他就是能一口气猜到 \left[ X,P \right]={\rm{i}\hbar. 那么 $X\to x$ 是不难想象的, 而接下来要满足这个对易关系就必须有 P\to \frac{\hbar }{\rm{i}\frac{\rm{d}{\rm{d}x}, 所以他就猜到了这个结论.

参考

• ^这个对易关系同时也直接确定了二者的不确定性关系.