关于可对易观察算符的完全集合可能产生的疑惑

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/42939421
• 发布日期: 2018-09-04
• 分类: 量子力学基础与量子信息

♦Q: 什么是观察算符的完全集?为何要研究这个概念?

♦A: 可对易观察算符的完全集合定义如下:

假如一组观察算符 A,B,C,... 存在由共同本征矢构成的唯一确定的一组正交归一基, 则称这组观察算符构成一个观察算符的完全集. (#存在共同本征矢构成的基就说明算符之间两两对易, 另一篇文章有证明. "唯一"是重点, 因为要求在测量完这组本征值后可以唯一地确定一个态. )

其实可以类比于经典力学自由度的概念

所以可以说这个概念的诞生就是为了确定一个态, 这样才能表达一个确定的态. 假如说 A 的本征值都是非简并的, 那么你一开始就能找到一组唯一的正交归一基(差个相位因子不算). 那么 A 本身就构成了一个完全集. 我们说量子力学里面的态由一个单位矢量描述, 这也就是说希尔伯特空间的一个确定"方向"对应一个确定态. 假如 A 有简并的本征值 $a_n$, 那么当你测量出 $a_n$ 的时候你实际上只能确定系统处在这个本征值对应的本征子空间内, 而一个简并子空间[1]的取向是无穷的. 所以你无法确定系统究竟处于 $a_n$ 对应的哪个本征态. (当本征子空间是一维空间的时候, 这个对应的本征值就被称作非简并的本征值.) 这时候就需要找到另一个与 A 对易的观察算符 B, 然后测量此时 B 的本征值, 若 A 与 B 在各个子空间里面共同的本征矢都是唯一确定的, 那么通过第二次测量就可以唯一地确定了一个态了, 若不是的话那就得再找一个与 A, B 均对易的第三个观察算符 C, 以此类推, 直到共同的本征矢是唯一的. 如此下去你的 A, B, C... 迟早能构成一个观察算符的完全集, 此时你就可以通过一组本征值 $\left\{a_n,b_n,c_n,......\right\}$ 来标记一个确定地态.

关于上述的共同本征矢的问题, 若想进一步理解可以前往: 关于"观察算符A与B可对易则能找到共同本征矢"及其反命题

好的下面将通过一个例子来直观感受观察算符的完全集是怎么一回事:

例：考虑一个处于三维态空间的物理体系, 三个正交归一的基矢分别为 $|u_1⟩,|u_2⟩,|u_3⟩$, 按此顺序所取的这三个矢量所构成的基中 $H$ 与 $B$ 这两个算符由下面的矩阵表示:

(其中 ${\omega }_0$与 $b$ 均为常数, $H,B$ 可对易)

$H=\hslash {\omega }_0\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]B=b\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]$

用 $H$ 和 $B$ 的共同本征矢做基并判断 $\left\{H\right\}\left\{B\right\}\left\{H,B\right\}\left\{H^2,B\right\}$ 中哪些可构成完全集.

解: #如果不清楚算符是如何用矩阵表示的请先查阅文章: 正樹：表象变换的幺正算符怎么定义的?(顺带一提算符与态的矩阵表示)

$i.$ 对于 $H$ :

\begin{align} & \left\langle {u}_{1} \right|H\left| {u}_{1} \right\rangle =\ \ \hbar {\omega }_{0}\left\langle {u}_{1} | {u}_{1} \right\rangle \Rightarrow H\left| {u}_{1} \right\rangle =\ \ \hbar {\omega }_{0}\left| {u}_{1} \right\rangle \\ & \left\langle {u}_{2} \right|H\left| {u}_{2} \right\rangle =-\hbar {\omega }_{0}\left\langle {u}_{2} | {u}_{2} \right\rangle \Rightarrow H\left| {u}_{2} \right\rangle =-\hbar {\omega }_{0}\left| {u}_{2} \right\rangle \\ & \left\langle {u}_{3} \right|H\left| {u}_{3} \right\rangle =-\hbar {\omega }_{0}\left\langle {u}_{3} | {u}_{3} \right\rangle \Rightarrow H\left| {u}_{3} \right\rangle =-\hbar {\omega }_{0}\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \end{align}

本征值和本征矢如上所示, 我们可以看到 $|u_2⟩,|u_3⟩$ 是同一个简并本征子空间的矢量.

$ii.$ 对于 $B$ :

\begin{align} & \left\langle {u}_{1} \right|B\left| {u}_{1} \right\rangle =b\left\langle {u}_{1} | {u}_{1} \right\rangle \Rightarrow B\left| {u}_{1} \right\rangle =b\left| {u}_{1} \right\rangle \\ & \left\langle {u}_{2} \right|B\left| {u}_{3} \right\rangle =b\left\langle {u}_{2} | {u}_{2} \right\rangle \Rightarrow B\left| {u}_{3} \right\rangle =b\left| {u}_{2} \right\rangle ----\left[ \alpha \right] \\ & \left\langle {u}_{3} \right|B\left| {u}_{2} \right\rangle =b\left\langle {u}_{3} | {u}_{3} \right\rangle \Rightarrow B\left| {u}_{2} \right\rangle =b\left| {u}_{3} \right\rangle ----\left[ \beta \right] \\ \end{align}

其中$\left[\alpha \right]$与$\left[\beta \right]$显然不是本征方程,不过显然 $|u_3⟩\pm |u_2⟩$ 显然是 $B$ 的本征矢.

\begin{align} & \left[ \alpha \right]+\left[ \beta \right]:\ \ \ \ B\left[ \left| {u}_{3} \right\rangle +\left| {u}_{2} \right\rangle \right]=\ \ b\left[ \left| {u}_{3} \right\rangle +\left| {u}_{2} \right\rangle \right] \\ & \left[ \alpha \right]-\left[ \beta \right]:\ \ \ \ B\left[ \left| {u}_{3} \right\rangle -\left| {u}_{2} \right\rangle \right]=-b\left[ \left| {u}_{3} \right\rangle -\left| {u}_{2} \right\rangle \right] \\ \end{align}

本征值和本征矢如上所示, 不过 $|u_1⟩,|u_3⟩+|u_2⟩$ 是同一个简并本征子空间的矢量.

$iii.$ 光靠 $H$ , 我们无法分辨 $|u_2⟩,|u_3⟩$, 光靠 $B$ 我们无法分辨 $|u_3⟩\pm |u_2⟩$.

$iv.$ 选择 $\left\{H,B\right\}$ 作完全集呢?

对于 $|u_1⟩$ 在 $H$ , $B$ 下本征值分别为 \hbar {\omega }_{\text{0} 与 $b$

对于 $|u_3⟩+|u_2⟩$ 在 $H$ , $B$ 下本征值分别为 -\hbar {\omega }_{\text{0} 与 $b$

对于 $|u_3⟩-|u_2⟩$ 在 $H$ , $B$ 下本征值分别为 -\hbar {\omega }_{\text{0} 与 $-b$

不难发现光是 $H$ 或 $B$ 因为都有二重简并的本征值故均不能构成完全集, 而 $H$ 和 $B$ 在一组共同的基矢$\left\{|u_1⟩,|u_3⟩+|u_2⟩,|u_3⟩-|u_2⟩\right\}$ 下总可以通过两次测量来确定一个态, 所以可以构成完全集.

至于 $H^2$ , 因为这个算符的本征值 ${\hslash }^2{\omega }_0^2$ 是三重简并的所以在这个三维空间里的测量结果是确定的, 无法提供任何有效信息.

所以结论是 $\left\{H\right\}\left\{B\right\}\left\{H,B\right\}\left\{H^2,B\right\}$ 里边儿只有 $\left\{H,B\right\}$ 能构成完全集.

参考

• ^即维度大于一的空间.