浅析变质量物体的动力学方程

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/46930711
• 发布日期: 2018-10-16
• 分类: 经典力学 / 分析力学

本文会先介绍变质量物体动力学方程,后附上一则习题及其具体解答(重点).

目的是记录对变质量物体动力学方程的理解以便日后寻回.

变质量物体的动力学方程:

$d\left(m\vec{v}\right)-\vec{u}dm=\vec{F}dt$

具体推导与符号解释:

关于这个方程值得强调的点:

i. 方程的原理是 $\left[t,t+dt\right]$ 区间的动量定理,将 $m$ 与 $dm$ 视为一个系统.

ii. 矢量 $F$ 是作用在整个系统上的合力.

iii. 方程仅仅考虑 $\left[t,t+dt\right]$ 时间间隔内的运动.

面对例题的时候到了:

一条柔软、无弹性、质量均匀的绳索, 竖直地自高处下落至地板上. 设绳索的长度等于 $l$ , 每单位长度的质量等于 $\sigma$ . 求当绳索剩在空中的长度等于 $x$ 时, 绳索的速度及它对地板的压力. 设开始时,绳索的速度为零,他的下端离地板的高度为 $h$ . 注意: 限用变质量物体动力学方程求解.

单论这道题是没有什么难度的, 不难想象绳子空中的部分就是在做自由落体, 下落的过程中绳子上的每个质元都在彼此的参考系下相对静止, 因为大家的加速度都是 $g$ 向下. 也就是说互不影响的都在做自由落体. 速度自然高中生也能一眼看出来, 然后第二问实际上只需要对地面部分或微元使用动量定理即可求解.

上述分析仅仅是宏观把握一下题目, 真正的目的是通过对这道题使用变质量物体动力学方程来加深对方程本身的理解.具体解法如下:

你也许注意到题目要求的是压力而不是支持力. 既然懒得多写一步, 为何不修改题目呢? 因为这是某本教科书上的原题, 希望大家搜索答案的时候能找到这个解答.关于这个解答值得讨论的地方:

i. 对空中部分使用方程时考虑了 $dm$ 的动量 $\vec{u}dm$ 为何不考虑它受到的地的支持力呢？

#这要回到最初公式的原理上去理解, 公式基于动量定理,左边是动量的改变量, 右边是引起动量改变的力造成的冲量. 而我们的初态动量就是 $m\vec{v}=\sigma x\vec{v}$ , 末态就是 $m$ 与质元分离的那一刻,至于微元分离之后受到什么力,动量如何改变...whatever man.

ii. 倒数第三个式子怎么变到倒数第二个式子的?

#这是因为 $\frac{dx}{dt}=-v$ ,实际上 $x$ 你可以看作是空中部分顶端的坐标, $x$ 在不断减小, $dx$ 是一个负值, \frac{dx}{dt}<0 是很自然的事.这里千万不要搞混了.