关于勒让德变换 从拉格朗日方程到哈密顿正则方程

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/51903123
• 发布日期: 2018-12-08
• 分类: 经典力学 / 分析力学

哈密顿力学和拉格朗日力学是完全等价的, 所以虽然在分析力学中看到的哈密顿量总是用拉氏量变换而来的也并不代表哈密顿量就是依赖于拉氏量的. 哈密顿量完全可以在相空间里直接构造, 但这里不展开讨论.

本文主要目的是提供一个直观理解勒让德变换的角度, 有些人可能搜了勒让德变换的定义后被吓得不轻, 那这篇文章可能就对你有些帮助.

其实数学上的变换我认为是没有所谓『本质』的理解方法或者什么『正确』的理解角度. 数学本身是没有具体内涵的东西, 它只有定义与性质. 你可以研究它的性质, 而所谓的直观不过是我们把它套用在某个体系里然后让你觉得『噢, 这就很显然会有这种性质了. 』就是说是理解角度不唯一的, 在某些方面可能某个角度处理起来会更为巧妙, 但总体来看各个观点也可以是没有明显优劣之分的.

我首先将用最直白的语言告诉你物理学中的勒让德变换指的是怎样一种操作:

我们对一个多元函数求全微分有:

\text{d}f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdot \cdot \cdot ,{x}_{n} \right)=\frac{\partial f}{\partial {x}_{1}\text{d}{x}_{1}+\frac{\partial f}{\partial {x}_{2}\text{d}{x}_{2}+\cdot \cdot \cdot +\frac{\partial f}{\partial {x}_{n}\text{d}{x}_{n}.

可将上式简记为: $\text{d}f=y_1\text{d}{x}_1+y_2\text{d}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +y_n\text{d}{x}_n.$

接下来利用一个很 trivial 的关系: $\text{d}(xy)=x\text{d}y+y\text{d}x\Rightarrow y\text{d}x=-x\text{d}y+\text{d}(xy).$

则上式可化为 $\text{d}f=-x_1\text{d}{y}_1+\text{d}(x_1{y}_1)-x_2\text{d}{y}_2+\text{d}(x_2{y}_2)+\cdot \cdot \cdot -x_n\text{d}{y}_n+\text{d}(x_n{y}_n).$

整理后可得 $\text{d}\left(x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdot \cdot \cdot x_n{y}_n-f\right)=x_1\text{d}{y}_1+x_2\text{d}{y}_2+\cdot \cdot \cdot +x_n\text{d}{y}_n.$

这里我们可以将 $x_1{y}_1+x_2{y}_2+\cdot \cdot \cdot x_n{y}_n-f$ 看作一个新的函数 $g\left(y_1,y_2,\cdot \cdot \cdot ,y_n\right).$

注意从这一步开始我们的自由变量就从 $x_1,\cdots ,x_n$ 换成 $y_1,\cdots ,y_n$ 了.

那么就得到了式子 $\text{d}g=x_1\text{d}{y}_1+x_2\text{d}{y}_2+\cdot \cdot \cdot +x_n\text{d}{y}_n.$

而这个式子和 $\text{d}f=y_1\text{d}{x}_1+y_2\text{d}{x}_2+\cdot \cdot \cdot +y_n\text{d}{x}_n$ 所蕴含的信息是完全一样的.[1]

且这个新的式子显然拥有性质 \frac{\partial {g}_{i}{\partial {y}_{i}={x}_{i},\ i\in {\mathbb{N}_{+}.

上面这些超级简单的操作就是所谓的勒让德变换. 我这里把每个变量都换了, 但其实不全换完甚至只换其中一个, 也是一种勒让德变换. 好了, 就这么简单[2].

第二部分不看也完全不影响你使用勒让德变换, 上面那一段就很够用了.

正则方程的导出在第三部分.

第二部分:

勒让德变换的定义是大概这样的:

设 $y=f\left(x\right)$ 二阶导数大于 $0$ . 对给定的 $k$ , 存在直线 $y=kx$ , 对每个 $k$ 值,

函数 $kx-f\left(x\right)=g\left(k\right)$ 在 $x=x\left(k\right)$ 时对 $x$ 有最大值, 则称 $g\left(k\right)$ 为 $f\left(x\right)$ 的勒让德变换.

感觉好像说得很有道理, 但又好像和放屁一样什么都没说. 其实像我们数学不怎么好的人可能总会觉得数学定义都是: 懂的部分看着觉得说的很有道理, 不懂的部分看着觉得根本不是人话.

那接下来就强行感受一下变换过程以及为啥说变换前后得函数是等价的.

设 $y=y(x)$ 记 $k\equiv \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$ , 则有 $\text{d}y=k\text{d}x$ 可改写为 $\text{d}y=\text{d(}kx\text{)}-x\text{d}k.$

这样即有 $x\text{d}k=\text{d}(kx-y)$ 可以令 $g(k)=kx-y$ 这就是 $y(x)$ 的一个勒让德变换.

可以看出我们在求微分之后就选择 $k$ [[3]](#ref_3)作为自由变量了.此时 $x=x\left( k \right)$ 也是 $k$ 的函数, 而 $y\left( x \right)=y\left[ x\left( k \right) \right].$ 所以整个 $g(k)=kx-y$ 就都是 $k$ 的函数了.

但这个 $g=g\left(k\right)$ 究竟··· これは一体···

其实这玩意儿就是 [斜率] 到 [某距离] 的映射. 就是说同样一段信息, 本来是用 [横坐标 $x$ ] 到 [纵坐标 $y$ ] 的映射来展现的. 而变换后就改为用 [斜率 $k$ ] 向 [某距离 $kx-y$ ] 的映射来表示了. 二者描述的是同一个变化过程, 所以信息不会缺失.

那这个 [某距离 $kx-y$ ] 究竟是什么呢?

手绘一张图来尝试解释上面两段话:

这篇文章是很多年前的东西了, 可能这里表述的不太成熟, 但也懒得改了. 如果感觉不知道我在说什么的话就直接以 $y=x^2$ 为例看代码和效果图:

我想表达的就浓缩在这里了.为了能一眼看出二者信息量相同就都在 $y-x$ 系下表示了. 其实一堆线的那边应该是 $g-k$ 系下的函数.

那么问题就是 $g(k)=kx-y$ 到底是啥?

对确定的 $k$, 我们可以给出直线簇[4] $y=kx+b$, 那么显然 $g(k)$ 其实就是这里的截距 $b$ [5]. 所以前面说的映射到的 [某距离] 其实就是指的截距. 这样每个 $k$ 所确定的直线 $kx-y$ 都能唯一地映射到一个截距, 这样一来这些确定了斜率的直线的位置就也就都安排好了. 那最后组成的图形的边界就是前面的曲线 $y\left(x\right)$ 也很正常吧?

就是说原来是 [ $x$ 值] 到 [ $y$ 值] 的映射, 是用一个点表示的. 后来是 [确定的斜率 $k$ ] 到 [直线的截距 $g(k)$ ] 的映射, 这个映射在 $x-y$ 系下是用一条线表示的.

当点足够密集可以描述出这个变化信息.

当线足够密集可以描述出这个变化信息.

要办到一个斜率就能确定一个截距需要什么条件呢？ 这就是前面提到的二阶导数大于0. 为何要变换? 因为这样就可以换一个变量了啊. 为啥要换变量? 我的评价是: 爱换不换.

利用勒让德变换从拉格朗日量得到哈密顿量:

拉格朗日量为 L=L\left( {q}_{\alpha },{\dot{q}_{\alpha },t \right).

先默认在是保守系下, 则运动方程为 \frac{\partial L}{\partial {q}_{\alpha }=\frac{\text{d}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }.

求微分 \text{d}L=\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial L}{\partial {q}_{\alpha }\text{d}{q}_{\alpha }+\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }\text{d}{\dot{q}_{\alpha }+\frac{\partial L}{\partial t}\text{d}t.

可以改写为 \text{d}L=\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial L}{\partial {q}_{\alpha }\text{d}{q}_{\alpha }+\sum\limits_{\alpha }{\left[ \text{d}\left( \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }{\dot{q}_{\alpha } \right)-{\dot{q}_{\alpha }\text{d}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha } \right]}+\frac{\partial L}{\partial t}\text{d}t.

定义广义动量 {p}_{\alpha }\equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }.

那么由运动方程可以得到: \frac{\partial L}{\partial {q}_{\alpha }=\frac{\text{d}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }={\dot{p}_{\alpha }.

故微分式可改写为 \sum\limits_{\alpha }{\dot{q}_{\alpha }\text{d}{p}_{\alpha }-}\sum\limits_{\alpha }{\dot{p}_{\alpha }\text{d}{q}_{\alpha }-\frac{\partial L}{\partial t}\text{d}t}=\text{d}\left( \sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }{\dot{q}_{\alpha }-L \right).

定义 H\left( {p}_{\alpha },{q}_{\alpha },t \right)=\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }{\dot{q}_{\alpha }-L 为哈密顿量.

所以说 $H\left(p_{\alpha },q_{\alpha },t\right)$ 就是就是 L\left( {q}_{\alpha },{\dot{q}_{\alpha },t \right) 的勒让德变换.

这样就有 $\text{d}H\left(p_{\alpha },q_{\alpha },t\right)=\sum _{\alpha }{\dot{q}}_{\alpha }\text{d}{p}_{\alpha }-\sum _{\alpha }{\dot{p}}_{\alpha }\text{d}{q}_{\alpha }-\frac{\partial L}{\partial t}\text{d}t.$

而其中蕴含的正是哈密顿正则方程: \left\{ \begin{align} & \frac{\partial H}{\partial {p}_{\alpha }={\dot{q}_{\alpha }, \\ & \frac{\partial H}{\partial {q}_{\alpha }=-{\dot{p}_{\alpha }. \\ \end{align} \right.

参考

• ^因为它们可以互相推出, 所以显然是等价的.
• ^其实几个热力学函数就互为勒让德变换.
• ^而非 x.
• ^因为暂时还不确定截距 b.
• ^差个负号啥的不重要.