简并情况的微扰论处理方法

原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/52053869
发布日期: 2018-12-10
分类: 量子力学基础与量子信息

简并情况,一句话概括就是希望通过外加微扰(电磁场之类)使得能级劈裂,这样回归非简并态了.

$\left\{ \begin{align} & \left| \psi _{n}^{\left( 1 \right)} \right\rangle \text{=}\sum\limits_{\alpha \left( \ne n \right)}{\frac{H}'}_{\alpha n}{E_{n}^{\left( 0 \right)}-E_{\alpha }^{\left( 0 \right)}\left| \psi _{\alpha }^{\left( 0 \right)} \right\rangle } \\ & E_{n}^{\left( 2 \right)}=\sum\limits_{\alpha \left( \ne n \right)}{\frac{H}'}_{\alpha n}\langle \psi _{n}^{\left( 0 \right)}|{H}'\left| \psi _{\alpha }^{\left( 0 \right)} \right\rangle }{E_{n}^{\left( 0 \right)}-E_{\alpha }^{\left( 0 \right)}=\sum\limits_{\alpha \left( \ne n \right)}{\frac{\left| {H}'}_{\alpha n} \right|}^{2}{E_{n}^{\left( 0 \right)}-E_{\alpha }^{\left( 0 \right)} \\ \end{align} \right.$

上面是非简并微扰论的推导出来的修正公式. 不难发现, 当 $E_{n}^{(0)} = E_{α}^{(0)}$ 的时候,

也就是 $ψ_{α}^{(0)} ⟩$ 与 $ψ_{n}^{(0)} ⟩$ 两个状态的能量相等的时候, 也就是这个能量本征值是简并的时候, we're fucked... 能量、本征矢修正方向的系数全都发散了, 这说明一个微扰导致了能量趋于无穷? 当然不是, 这说明微扰论失效了, 因为是发散的, 所以不适用. 但我们仍然想要计算出扰动之后的本征值与本征矢的近似, 那首先就有一系列问题需要处理了...

比如一开始我们要面对的问题就是如何选择基矢(即表象)?

在非简并情况一开始有 $H^{(0)} ψ_{n}^{(0)} ⟩ = E_{n}^{(0)} ψ_{n}^{(0)} ⟩ n \in N$

那自然而然地就有着一组完备的本征矢 ${ψ_{n}^{(0)} ⟩}$ 供我们使用.

现在简并情况是 $H^{(0)}_{i} φ_{n}^{(0)} ⟩ = E_{n}^{(0)}_{i} φ_{n}^{(0)} ⟩ i = 1, 2, 3, ..., s$

我们希望能够使文章非简并微扰论的一二级修正梳理中的**[ii]**来寻找能量一级修正

$H^{(0)} ψ_{n}^{(1)} ⟩ + H^{'} ψ_{n}^{(0)} ⟩ - E_{n}^{(0)} ψ_{n}^{(1)} ⟩ - E_{n}^{(1)} ψ_{n}^{(0)} ⟩ = 0$ ----------[ii]

那就自然还是要有一个充当 ${ψ_{n}^{(0)} ⟩}$ 的角色才行. 那就先假设一个吧.

我们就将假设的 ${ψ_{n}^{(0)} ⟩}$ 在 $E_{n}^{(0)}$ 的本征子空间下展开：

$ψ_{n}^{(0)} ⟩ = i = 1 \sum s ⟨_{i} φ_{n}^{(0)} ∣ ψ_{n}^{(0)} ⟩_{i} φ_{n}^{(0)} ⟩$ ,记 $⟨_{i} φ_{n}^{(0)} ∣ ψ_{n}^{(0)} ⟩ = C_{n, i}^{(0)}$ [1]

那么要就将上式带入**[ii]**来获得满足条件的各个展开系数 $C_{n, i}^{(0)}$ :

$i = 1 \sum s C_{n, i}^{(0)} H^{'}_{i} φ_{n}^{(0)} ⟩ - E_{n}^{(1)} i = 1 \sum s C_{n, i}^{(0)}_{i} φ_{n}^{(0)} ⟩ = [E_{n}^{(0)} - H^{(0)}] ψ_{n}^{(1)} ⟩$

将上式投影到 $_{j} φ_{n}^{(0)} ⟩$ 上:

$i = 1 \sum s C_{n, i}^{(0)} ⟨_{j} φ_{n}^{(0)} H^{'}_{i} φ_{n}^{(0)} ⟩ - E_{n}^{(1)} C_{n, j}^{(0)} = ⟨_{j} φ_{n}^{(0)} [E_{n}^{(0)} - E_{n}^{(0)}] ψ_{n}^{(1)} ⟩$

进一步化简: $i = 1 \sum s C_{n, i}^{(0)} H^{'}_{j i} - E_{n}^{(1)} C_{n, j}^{(0)} = 0$ 或 $(H^{'} - E_{n}^{(1)} I) C_{n}^{0} = 0$

写成矩阵就是: $\left[ \begin{matrix} {H}'}_{11}-E_{n}^{\left( 1 \right)} & {H}'}_{\text{12} & \cdot \cdot \cdot & {H}'}_{1s} \\ {H}'}_{\text{21} & {H}'}_{22}-E_{n}^{\left( 1 \right)} & \cdot \cdot \cdot & {H}'}_{2s} \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ {H}'}_{s1} & {H}'}_{s2} & \cdot \cdot \cdot & {H}'}_{ss}-E_{n}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} C_{n,1}^{\left( 0 \right)} \\ C_{n,2}^{\left( 0 \right)} \\ \cdot \cdot \cdot \\ C_{n,s}^{\left( 0 \right)} \\ \end{matrix} \right]=0$

记上式子为**[A]**

系数向量自然不能全部为0,那么就只能是左边的矩阵行列式为0了:

即 $\left| \begin{matrix} {H}'}_{11}-E_{n}^{\left( 1 \right)} & {H}'}_{\text{12} & \cdot \cdot \cdot & {H}'}_{1s} \\ {H}'}_{\text{21} & {H}'}_{22}-E_{n}^{\left( 1 \right)} & \cdot \cdot \cdot & {H}'}_{2s} \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ {H}'}_{s1} & {H}'}_{s2} & \cdot \cdot \cdot & {H}'}_{ss}-E_{n}^{\left( 1 \right)} \\ \end{matrix} \right|=0$

这样是 $E_{n}^{(1)}$ 的 $s$ 次方程,自然有 $s$ 个根: $E_{n, m}^{(1)} m = 1, 2, 3, ..., s$

那么究竟应该保留哪个根呢?そしてあら不思議、竟然全都要保留.

那么 $E_{n}$ 的一阶修正就有 $s$ 个,则 $E_{n}$ 本身就会劈裂成 $s$ 个:

$E_{n, m} = E_{n}^{(0)} + E_{n, m}^{(1)} m = 1, 2, 3, ..., s$

最后将各个根代回矩阵式**[A]**就又可以解出 $s$ 个系数矩阵 $C_{n}^{(0)} = C_{n, 1}^{(0)} C_{n, 2}^{(0)} \cdot \cdot \cdot C_{n, s}^{(0)}$

每一个对应一个态矢量 $ψ_{n}^{(0)} ⟩$ .

到此为止我们可以发现,原来的一个能级 $E_{n}^{(0)}$ 现在已经劈裂成 $s$ 个了,即取消简并.

再之后的事就又回到了非简并的传统处理了.

你可能会问, 那重根怎么办? well, 那太复杂了, 不想讨论.

参考

^值得注意的是, 这里我们的本征子空间显然比体系维度要小, 也就是说这次投影(展开)实际上是一次降维操作, 但这其实影响不大, 因为从前面公式我们就可以看出来能量越接近的项带来的修正量就越大, 假如有几个状态是简并的, 它们能量都相等了, 自然是可以忽略其他状态的影响而只考虑他们之间的作用来的修正了.

简并情况的微扰论处理方法 ​

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