表象变换的幺正算符怎么定义的 为何说算符与态可以看作矩阵

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/52196787
• 发布日期: 2018-12-12
• 分类: 量子力学基础与量子信息

为了方便计算, 量子力学常常会需要进行表象的变换. 而表象的变换也十分简单, 只要插入基的完备性关系式[1]即可达到目的. 而在运算过程中我们会发现可以抽象出一个重复率很高的部分, 所以方便起见我们就将其定义为了基的变换矩阵, 它是一个幺正矩阵.

下面定义两组三维离散[2]完备正交基:

\left\{ \begin{align} & \left\{ \left| {e}_{i} \right\rangle \right\},\sum\limits_{i}{\left| {e}_{i} \right\rangle \langle {e}_{i}|}=I,i\in \left\{ 1,2,3 \right\}, \\ & \left\{ \left| {u}_{k} \right\rangle \right\},\sum\limits_{k}{\left| {u}_{k} \right\rangle \langle {u}_{k}|}=I,k\in \left\{ 1,2,3 \right\}. \\ \end{align} \right.

首先要清楚一点: 狄拉克符号 $|\text{Dirac}⟩$ 表示的是一个矢量, 但它仅仅只是一个用来表示抽象的矢量概念的符号罢了. 而所表示的矢量本身就像空间中的一个箭头, 它有大小有指向. 大小还好说, 这模长量一下就可以用一个数来表示, 而数字是不会因观察角度的不同而改变的; 但如果你想描述它的指向的话就得先设立一个坐标系[3], 因为只有这样才能定量描述方向的概念. 矢量的方向在坐标系下一般是用其在定义好的那些方向[4]上的分量[5]来做定量描述的. 求得的各个分量按照规定好的顺序排成一列就能用一个列矩阵来表示一个矢量. 所以表象的选择其实就是类似于坐标系的选择. 想用方阵来表示一个算符, 那你也要先选定一个表象或者说坐标系, 道理是差不多的.

而像 $⟨\text{Dirac}|$ 这种被称为左矢的记号代表的就是相应右矢 $|\text{Dirac}⟩$ 的对偶矢量, 比如说行向量和列向量就可以互相视作对偶矢量. 所以 $⟨a|b⟩$ 这种式子就像是行向量左乘列向量, 即做内积. 内积在三维实空间写作 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ , 但为何在量子力学里面要分左右矢呢? 这是因为复空间的内积和实空间不一样, 它会要求 $⟨a|b⟩={\left(⟨b|a⟩\right)}^{\ast }$, 即内积完是个复数, 而左右矢量调换后给出的内积结果将是原结果的复共轭.

具体而言, 坐标系下的矢量是这样被表达出来的:

$|\psi ⟩={|\psi ⟩}_e=\sum _i|e_i⟩⟨e_i|\psi ⟩=\sum _i⟨e_i|\psi ⟩|e_i⟩.$

其中的分量 $⟨e_i|\psi ⟩$ 是复数; 而 $|e_i⟩$ 是基矢, 你可以认为它是个像单位一样的东西.

各个分量的单位不同自然不能加在一起, 而分开写就成了列矩阵 ${|\psi ⟩}_e=\left[\begin{array}{c}⟨e_1|\psi ⟩\\ ⟨e_2|\psi ⟩\\ ⟨e_3|\psi ⟩\end{array}\right].$

而所谓表象的变换就是想从 $\left[\begin{array}{c}⟨e_1|\psi ⟩\\ ⟨e_2|\psi ⟩\\ ⟨e_3|\psi ⟩\end{array}\right]$变成$\left[\begin{array}{c}⟨u_1|\psi ⟩\\ ⟨u_2|\psi ⟩\\ ⟨u_3|\psi ⟩\end{array}\right]$, 或者反过来.

其实也简单, 就像一开始说的那样, 插入一个完备性关系式即可达到目的:

先计算分量 $⟨u_k|\psi ⟩=⟨u_k|\sum _i|e_i⟩⟨e_i||\psi ⟩=\sum _i⟨u_k|e_i⟩⟨e_i|\psi ⟩.$

分量配合单位就得到矢量 ${|\psi ⟩}_u=\sum _k⟨u_k|\psi ⟩|u_k⟩=\sum _{ki}⟨u_k|e_i⟩⟨e_i|\psi ⟩|u_k⟩.$

矩阵形式即 ${|\psi ⟩}_u=\left[\begin{array}{c}⟨u_1|\psi ⟩\\ ⟨u_2|\psi ⟩\\ ⟨u_3|\psi ⟩\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}⟨u_1|e_1⟩& ⟨u_1|e_2⟩& ⟨u_1|e_3⟩\\ ⟨u_2|e_1⟩& ⟨u_2|e_2⟩& ⟨u_2|e_3⟩\\ ⟨u_3|e_1⟩& ⟨u_3|e_2⟩& ⟨u_3|e_3⟩\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}⟨e_1|\psi ⟩\\ ⟨e_2|\psi ⟩\\ ⟨e_3|\psi ⟩\end{array}\right].$

上面那个方阵定义就被为表象的变换矩阵, 记作 $S.$

不难看出 $S$ 的矩阵元就是 $S_{ki}=⟨u_k|e_i⟩.$

所以假如将 $\left\{|e_i⟩\right\},\left\{|u_k⟩\right\}$ 表象下的 $|\psi ⟩$ 分别记为 ${|\psi ⟩}_e,{|\psi ⟩}_u$ 的话,

则有:

${|\psi ⟩}_u=S{|\psi ⟩}_e$ , 其中 $S_{ki}=⟨u_k|e_i⟩.$${\left| \psi \right\rangle }_{u}=S{\left| \psi \right\rangle }_{e}\Rightarrow {\left| \psi \right\rangle }_{e}={S}^{\dagger }{\left| \psi \right\rangle }_{u}$ [[6]](#ref_6).

逻辑上来说 $|\psi ⟩,{|\psi ⟩}_e,{|\psi ⟩}_u$ 是一回事, 毕竟坐标系不会改变什么本质的东西.

一个不怎么贴切的说法是, 它们三个就好比是某全裸角色和他的两个时装版本.

在上文的基础上讲讲算符的表象转换:

$A=\sum _i|e_i⟩⟨e_i|A\sum _j|e_j⟩⟨e_j|=\sum _{ij}⟨e_i|A|e_j⟩|e_i⟩⟨e_j|.$

其中分量 $⟨e_i|A|e_j⟩$ 是个复数, 被称作矩阵元, 记作 $A_{ij}.$

$|e_i⟩⟨e_j|$ 是一个基矩阵, 像个单位一样, 表示 $A_{ij}$ 该放在哪个位置.

一般不会这样写, 但这样写对你们来说会比较直观:

基矢也是矢量, 写成矩阵就是 ${|e_2⟩}_e=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{|e_1⟩}_e=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right].$

所以 $|e_2⟩{⟨e_1|}_e=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]\left[1,0,0\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$ 的系数会被放在第二行第一列.

当然啦, 上面的矩阵都是在 $\left\{|e_i⟩\right\}$ 表象下写出来的东西.

所以 $A_e=\sum _{ij}⟨e_i|A|e_j⟩|e_i⟩⟨e_j|=\left[\begin{array}{ccc}⟨e_1|A|e_1⟩& ⟨e_1|A|e_2⟩& ⟨e_1|A|e_3⟩\\ ⟨e_2|A|e_1⟩& ⟨e_2|A|e_2⟩& ⟨e_2|A|e_3⟩\\ ⟨e_3|A|e_1⟩& ⟨e_3|A|e_2⟩& ⟨e_3|A|e_3⟩\end{array}\right].$

那么所谓的表象变换自然就是:

从 $\left[\begin{array}{ccc}⟨e_1|A|e_1⟩& ⟨e_1|A|e_2⟩& ⟨e_1|A|e_3⟩\\ ⟨e_2|A|e_1⟩& ⟨e_2|A|e_2⟩& ⟨e_2|A|e_3⟩\\ ⟨e_3|A|e_1⟩& ⟨e_3|A|e_2⟩& ⟨e_3|A|e_3⟩\end{array}\right]$ 变成 $\left[\begin{array}{ccc}⟨u_1|A|u_1⟩& ⟨u_1|A|u_2⟩& ⟨u_1|A|u_3⟩\\ ⟨u_2|A|u_1⟩& ⟨u_2|A|u_2⟩& ⟨u_2|A|u_3⟩\\ ⟨u_3|A|u_1⟩& ⟨u_3|A|u_2⟩& ⟨u_3|A|u_3⟩\end{array}\right].$

其实也简单, 就像一开始说的那样, 插入两个完备性关系式即可达到目的, 还是先算分量:

$⟨u_m|A|u_n⟩=⟨u_m|\sum _i|e_i⟩⟨e_i|A\sum _j|e_j⟩⟨e_j||u_n⟩=\sum _{ij}⟨u_m|e_i⟩⟨e_i|A|e_j⟩⟨e_j|u_n⟩.$

然后分量配合单位就可以得到矩阵本身:

$A_u=\sum _{mn}⟨u_m|A|u_n⟩|u_m⟩⟨u_n|=\sum _{ijmn}⟨u_m|e_i⟩⟨e_i|A|e_j⟩⟨e_j|u_n⟩|u_m⟩⟨u_n|.$

矩阵形式如下:

\begin{align} & \ \ \ \ \ \left[ \begin{matrix} \langle {u}_{1}|A\left| {u}_{1} \right\rangle & \langle {u}_{1}|A\left| {u}_{2} \right\rangle & \langle {u}_{1}|A\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \langle {u}_{2}|A\left| {u}_{1} \right\rangle & \langle {u}_{2}|A\left| {u}_{2} \right\rangle & \langle {u}_{2}|A\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \langle {u}_{3}|A\left| {u}_{1} \right\rangle & \langle {u}_{3}|A\left| {u}_{2} \right\rangle & \langle {u}_{3}|A\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right] \\ & =\left[ \begin{matrix} \left\langle {u}_{1}|{e}_{1} \right\rangle & \left\langle {u}_{1}|{e}_{2} \right\rangle & \left\langle {u}_{1}|{e}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {u}_{2}|{e}_{1} \right\rangle & \left\langle {u}_{2}|{e}_{2} \right\rangle & \left\langle {u}_{2}|{e}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {u}_{3}|{e}_{1} \right\rangle & \left\langle {u}_{3}|{e}_{2} \right\rangle & \left\langle {u}_{3}|{e}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \langle {e}_{1}|A\left| {e}_{1} \right\rangle & \langle {e}_{1}|A\left| {e}_{2} \right\rangle & \langle {e}_{1}|A\left| {e}_{3} \right\rangle \\ \langle {e}_{2}|A\left| {e}_{1} \right\rangle & \langle {e}_{2}|A\left| {e}_{2} \right\rangle & \langle {e}_{2}|A\left| {e}_{3} \right\rangle \\ \langle {e}_{3}|A\left| {e}_{1} \right\rangle & \langle {e}_{3}|A\left| {e}_{2} \right\rangle & \langle {e}_{3}|A\left| {e}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {e}_{1}|{u}_{1} \right\rangle & \left\langle {e}_{1}|{u}_{2} \right\rangle & \left\langle {e}_{1}|{u}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {e}_{2}|{u}_{1} \right\rangle & \left\langle {e}_{2}|{u}_{2} \right\rangle & \left\langle {e}_{2}|{u}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {e}_{3}|{u}_{1} \right\rangle & \left\langle {e}_{3}|{u}_{2} \right\rangle & \left\langle {e}_{3}|{u}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}

上面第二行最左边方阵定义为表象的变换矩阵, 记作 $S.$

不难看出 $S$ 的矩阵元就是 $S_{mi}=⟨u_m|e_i⟩$, 且最右边的显然是 $S^{†}.$

所以假如将 $\left\{|e_i⟩\right\},\left\{|u_m⟩\right\}$ 表象下的 $A$ 分别记为 $A_e,A_u$ 的话,

则有:

$A_u=S{A}_e{S}^{†}$, 其中 $S_{mi}=⟨u_m|e_i⟩.$$A_u=S{A}_e{S}^{†}\Rightarrow A_e=S^{†}{A}_{u}S$ , 其中 ${\left(S^{†}\right)}_{im}=⟨e_i|u_m⟩.$

你会发现 $S,S^{†}$ 的位置都是相对的, 所以不要去思考哪个放左边哪个放右边了.

Still, $A,A_e,A_u$ 物理上来说是一回事, 也有地方说他们是互为幺正等价算符.

显然互为幺正等价厄米算符的两个算符会具有全同的谱[7].

这个操作常用于把表象转换到物理量算符的本征矢构成的表象, 这样可以得到一个对角阵.

关于算符幺正变换 $A_u=S{A}_e{S}^{†}$ 里的幺正阵究竟是怎么拼出来的这点一直有人在问, 所以我这里将介绍一个比较直观的理解方式:

前面我们得到了表达式 $A_u=S{A}_e{S}^{†}$ 的矩阵形式

\begin{align} & \ \ \ \ \,\left[ \begin{matrix} \langle {u}_{1}|A\left| {u}_{1} \right\rangle & \langle {u}_{1}|A\left| {u}_{2} \right\rangle & \langle {u}_{1}|A\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \langle {u}_{2}|A\left| {u}_{1} \right\rangle & \langle {u}_{2}|A\left| {u}_{2} \right\rangle & \langle {u}_{2}|A\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \langle {u}_{3}|A\left| {u}_{1} \right\rangle & \langle {u}_{3}|A\left| {u}_{2} \right\rangle & \langle {u}_{3}|A\left| {u}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right] \\ & =\left[ \begin{matrix} \left\langle {u}_{1}|{e}_{1} \right\rangle & \left\langle {u}_{1}|{e}_{2} \right\rangle & \left\langle {u}_{1}|{e}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {u}_{2}|{e}_{1} \right\rangle & \left\langle {u}_{2}|{e}_{2} \right\rangle & \left\langle {u}_{2}|{e}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {u}_{3}|{e}_{1} \right\rangle & \left\langle {u}_{3}|{e}_{2} \right\rangle & \left\langle {u}_{3}|{e}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \langle {e}_{1}|A\left| {e}_{1} \right\rangle & \langle {e}_{1}|A\left| {e}_{2} \right\rangle & \langle {e}_{1}|A\left| {e}_{3} \right\rangle \\ \langle {e}_{2}|A\left| {e}_{1} \right\rangle & \langle {e}_{2}|A\left| {e}_{2} \right\rangle & \langle {e}_{2}|A\left| {e}_{3} \right\rangle \\ \langle {e}_{3}|A\left| {e}_{1} \right\rangle & \langle {e}_{3}|A\left| {e}_{2} \right\rangle & \langle {e}_{3}|A\left| {e}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \left\langle {e}_{1}|{u}_{1} \right\rangle & \left\langle {e}_{1}|{u}_{2} \right\rangle & \left\langle {e}_{1}|{u}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {e}_{2}|{u}_{1} \right\rangle & \left\langle {e}_{2}|{u}_{2} \right\rangle & \left\langle {e}_{2}|{u}_{3} \right\rangle \\ \left\langle {e}_{3}|{u}_{1} \right\rangle & \left\langle {e}_{3}|{u}_{2} \right\rangle & \left\langle {e}_{3}|{u}_{3} \right\rangle \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align}

那我怎么才能知道这里面的 $S$ 指的

是 $\left[\begin{array}{ccc}⟨u_1|e_1⟩& ⟨u_1|e_2⟩& ⟨u_1|e_3⟩\\ ⟨u_2|e_1⟩& ⟨u_2|e_2⟩& ⟨u_2|e_3⟩\\ ⟨u_3|e_1⟩& ⟨u_3|e_2⟩& ⟨u_3|e_3⟩\end{array}\right]$ 还是 $\left[\begin{array}{ccc}⟨e_1|u_1⟩& ⟨e_1|u_2⟩& ⟨e_1|u_3⟩\\ ⟨e_2|u_1⟩& ⟨e_2|u_2⟩& ⟨e_2|u_3⟩\\ ⟨e_3|u_1⟩& ⟨e_3|u_2⟩& ⟨e_3|u_3⟩\end{array}\right]$ 呢?

也就是说这俩互为厄米共轭的矩阵究竟哪个摆左边哪个摆右边呢?

很简单, 写出 ${|\psi ⟩}_e=\left[\begin{array}{ccc}⟨e_1|u_1⟩& ⟨e_1|u_2⟩& ⟨e_1|u_3⟩\\ ⟨e_2|u_1⟩& ⟨e_2|u_2⟩& ⟨e_2|u_3⟩\\ ⟨e_3|u_1⟩& ⟨e_3|u_2⟩& ⟨e_3|u_3⟩\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}⟨u_1|\psi ⟩\\ ⟨u_2|\psi ⟩\\ ⟨u_3|\psi ⟩\end{array}\right]=S_{u\to e}{|\psi ⟩}_u$ 即可.

上面的这个式子意思是这个矩阵可以把 $u$ 表象的 $|\psi ⟩$ 转换到 $e$ 表象, 故可记作 $S_{u\to e}.$

那么前面的表达式就可以改写为 $A_u=S_{e\to u}{A}_e{S}_{u\to e}.$

我们对算符进行幺正变换是想解决什么问题呢? 你可以设想如下情形:

当我们在 $u$ 表象下工作时, 突然想对矢量 ${|\psi ⟩}_u$ 进行一个线性变换 $A$ , 但出于某些不知名的原因我们只知道这个操作在 $e$ 表象下的形式 $A_e$ .

就是说只知道 $A_e$ 的形式而不知道 $A_u$ 的具体表达形式, 该怎么办? 可以这样:

(1). 先把矢量变到 $e$ 空间: $S_{u\to e}{|\psi ⟩}_u.$ (2). 再对结果进行线性变换 $A_e\left(S_{u\to e}{|\psi ⟩}_u\right).$(3). 再把 $e$ 空间的结果变回 $u$ 空间: ${S}_{e\to u}\left[ {A}_{e}\left( {S}_{u\to e}{\left| \psi \right\rangle }_{u} \right) \right].$

显然这一顿操作就等价于在 $u$ 空间进行操作 $A$ 即: $A_u{|\psi ⟩}_u=S_{e\to u}\left[A_e\left(S_{u\to e}{|\psi ⟩}_u\right)\right].$

所以我们把这一大块封装好当作一整个工具就有了: $A_u=S_{e\to u}{A}_e{S}_{u\to e}.$

还记得以前的若 $A=P^{-1}BP$ 则称 $A,B$ 互为相似矩阵吗? 是不是突然好像明白了当年为啥要学相似变换?

参考

• ^也称封闭性关系式.
• ^三维处理起来会比较简洁, 理解后你可以直接推广到连续无穷维, 不会出问题的.
• ^或者说选择一个坐标系.
• ^即基矢的方向.
• ^求矢量在某方向上的分量就是用这个矢量与该方向的单位矢量做内积.
• ^这里用到了幺正性, 而这个性质是不难证明的. 你可以自行验证, 就是自己乘自己的厄米共轭阵, 提醒一下你唯一知道的就是完备性关系式.
• ^即本征值是一样的.