Nabla 算符 ∇ 的运算律以及常用公式

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/52834609
• 发布日期: 2018-12-20
• 分类: 数学方法 / 物理数学工具箱

更进阶直观简洁的做法是分量运算:

[[张量系列DLC] 矢量混合运算 / Levi-Civita 符号与 Kronecker delta](https://zhuanlan.zhihu.com/p/331738362)

范例如下:

https://www.zhihu.com/question/535801273/answer/2512871396Nabla 算符被定义为:

\nabla \text{=}\left( \frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z} \right)={\vec{e}_{x}\frac{\partial }{\partial x}+{\vec{e}_{y}\frac{\partial }{\partial y}+{\vec{e}_{z}\frac{\partial }{\partial z}=\sum\limits_{i=1}^{3}{\vec{e}_{i}\frac{\partial }{\partial {x}_{i}.

极/柱坐标表达形式: \nabla ={\vec{e}_{r}\frac{\partial }{\partial r}+{\vec{e}_{\varphi }\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \varphi }+{\vec{e}_{z}\frac{\partial }{\partial z}.

它是一个微分算符, 同时也具有矢量形式, 所以运算起来会比较复杂.

下面给出简单的运算律与相应的记忆方法:

根据前面提到的具有的微分运算性质与具有矢量形式的性质可以将它的运算拆分为两部分:

• 微分运算, 即按照乘积的微分(导数)公式: \frac{\text{d}{\text{d}x}\left( fg \right)=\frac{\text{d}f}{\text{d}x}g+f\frac{\text{d}g}{\text{d}x} 变形.
• 变形之后只要当作矢量去化简就好了, 相当于已经考虑完了微分的性质.

化简就是想办法利用标量矢量混合运算让 $\nabla$ 作用在该作用的地方.

➤ 例如: (下面所有例子中开头 + 结尾是计算公式, 中间过程都不必写出. )

$\nabla \left(\phi \psi \right)=\nabla \left(\phi {\psi }_c\right)+\nabla \left({\phi }_c\psi \right)=\psi \nabla \phi +\phi \nabla \psi .$

中间部分就是微分的作用, 下标 $c$ 的意思是 $\nabla$ 不作用于它, 当它是常数[1].

然后就是第二步: $\nabla$ 是个矢量, $\phi ,\psi$ 都是标量所以就只要让 $\nabla$ 作用在该作用的部分即可.

➤ 再举一例:

\begin{align} & \nabla \cdot \left( \varphi \vec{f} \right)=\nabla \cdot \left( \varphi {\vec{f}_{c} \right)+\nabla \cdot \left( {\varphi }_{c}\vec{f} \right)=\nabla \varphi \cdot \vec{f}+\varphi \nabla \cdot \vec{f}, \\ & \nabla \times \left( \varphi \vec{f} \right)=\nabla \times \left( \varphi {\vec{f}_{c} \right)+\nabla \times \left( {\varphi }_{c}\vec{f} \right)=\nabla \varphi \times \vec{f}+\varphi \nabla \times \vec{f} .\\ \end{align}

好的第一步, 先让 $\nabla$ 分别作用.

然后第二步, $\nabla$ 与 {\vec{f} 是矢量, $\phi$ 是标量,按照传统的运算手段整理它们即可.

➤ 接下来的例子会真的牵扯到矢量运算:

\begin{align} & \nabla \cdot \left( \vec{f}\times \vec{g} \right)=\nabla \cdot \left( \vec{f}\times {\vec{g}_{c} \right)+\nabla \cdot \left( {\vec{f}_{c}\times \vec{g} \right) \ =\left( \nabla \times \vec{f} \right)\cdot \vec{g}-\left( \nabla \times \vec{g} \right)\cdot \vec{f} \\ \end{align}.

关注第二步, 这就是前面提到的想办法利用标量矢量混合运算让 $\nabla$ 作用在该作用的地方. 大家都是矢量, 那就要按照矢量的规则来, 这是混合积, 具有轮换对称性 (行列式那个交换行列的性质). 然后自己算算看是不是这样吧.

可别写出这种东西来: {\vec{f}_{c}\cdot \left( \vec{g}\times \nabla \right) 你这个算符它作用在半个括号上了. 算符都是向右作用的!

➤ 接下一例大同小异:

\begin{align} & \nabla \times \left( \vec{f}\times \vec{g} \right)=\nabla \times \left( \vec{f}\times {\vec{g}_{c} \right)+\nabla \times \left( {\vec{f}_{c}\times \vec{g} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \vec{g}\cdot \nabla \right)\vec{f}-\left( \nabla \cdot \vec{f} \right)\vec{g}+\left( \nabla \cdot \vec{g} \right)\vec{f}-\left( \vec{f}\cdot \nabla \right)\vec{g}. \\ \end{align}

➤ 接下来的应该是最复杂的情况了:

$\nabla \left(\vec{f}\cdot \vec{g}\right)=\vec{f}\times \left(\nabla \times \vec{g}\right)+\left(\vec{f}\cdot \nabla \right)\vec{g}+\vec{g}\times \left(\nabla \times \vec{f}\right)+\left(\vec{g}\cdot \nabla \right)\vec{f}.$

先给出要用到的公式: $\vec{C}\left(\vec{A}\cdot \vec{B}\right)=\left(\vec{A}\cdot \vec{C}\right)\vec{B}-\vec{A}\times \left(\vec{B}\times \vec{C}\right).$

先考虑微分运算特性可以得到 \nabla \left( \vec{f}\cdot \vec{g} \right)=\nabla \left( \vec{f}\cdot {\vec{g}_{c} \right)+\nabla \left( {\vec{f}_{c}\cdot \vec{g} \right).

接下来就是套用给出的矢量运算关系式了,

对于 \nabla \left( \vec{f}\cdot {\vec{g}_{c} \right) 我们希望能够得到 $\nabla \times \vec{f}$ 或 $\vec{f}\times \nabla ,$

观察式子 $\nabla$ 在括号外即 $\nabla =\vec{C}$ 那么就要令 $\vec{f}=\vec{B}$ 自然 $\vec{g}=\vec{A}.$

这样一来可以得到: \nabla \left( \vec{f}\cdot {\vec{g}_{c} \right)=\left( {\vec{g}_{c}\cdot \nabla \right)\vec{f}-{\vec{g}_{c}\times \left( \vec{f}\times \nabla \right).

后面一项希望得到的是 $\nabla \times \vec{g}$ 或 $\vec{g}\times \nabla$ , 处理方法类似.

最终可以得到:

\begin{align} &\, \nabla \left( \vec{f}\cdot \vec{g} \right)=\nabla \left( \vec{f}\cdot {\vec{g}_{c} \right)+\nabla \left( {\vec{f}_{c}\cdot \vec{g} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ \left( {\vec{g}_{c}\cdot \nabla \right)\vec{f}-{\vec{g}_{c}\times \left( \vec{f}\times \nabla \right) \right]+\left[ \left( {\vec{f}_{c}\cdot \nabla \right)\vec{g}-{\vec{f}_{c}\times \left( \vec{g}\times \nabla \right) \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \vec{g}\cdot \nabla \right)\vec{f}+\vec{g}\times \left( \nabla \times \vec{f} \right)+\left( \vec{f}\cdot \nabla \right)\vec{g}+\vec{f}\times \left( \nabla \times \vec{g}\right).\\ \end{align}

循序渐进的五个例子已经足矣, 下面给出总表:

\begin{align} & \nabla \left( \varphi \psi \right)=\nabla \left( \varphi {\psi }_{c} \right)+\nabla \left( {\varphi }_{c}\psi \right)=\psi \nabla \varphi +\varphi \nabla \psi , \\ & \nabla \cdot \left( \varphi \vec{f} \right)=\nabla \cdot \left( \varphi {\vec{f}_{c} \right)+\nabla \cdot \left( {\varphi }_{c}\vec{f} \right)=\nabla \varphi \cdot \vec{f}+\varphi \nabla \cdot \vec{f}, \\ & \nabla \times \left( \varphi \vec{f} \right)=\nabla \times \left( \varphi {\vec{f}_{c} \right)+\nabla \times \left( {\varphi }_{c}\vec{f} \right)=\nabla \varphi \times \vec{f}+\varphi \nabla \times \vec{f}, \\ & \nabla \cdot \left( \vec{f}\times \vec{g} \right)=\nabla \cdot \left( \vec{f}\times {\vec{g}_{c} \right)+\nabla \cdot \left( {\vec{f}_{c}\times \vec{g} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \nabla \times \vec{f} \right)\cdot \vec{g}-\left( \nabla \times \vec{g} \right)\cdot \vec{f}, \\ & \nabla \times \left( \vec{f}\times \vec{g} \right)=\nabla \times \left( \vec{f}\times {\vec{g}_{c} \right)+\nabla \times \left( {\vec{f}_{c}\times \vec{g} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \vec{g}\cdot \nabla \right)\vec{f}-\left( \nabla \cdot \vec{f} \right)\vec{g}+\left( \nabla \cdot \vec{g} \right)\vec{f}-\left( \vec{f}\cdot \nabla \right)\vec{g}, \\ & \nabla \left( \vec{f}\cdot \vec{g} \right)=\vec{f}\times \left( \nabla \times \vec{g} \right)+\left( \vec{f}\cdot \nabla \right)\vec{g}+\vec{g}\times \left( \nabla \times \vec{f} \right)+\left( \vec{g}\cdot \nabla \right)\vec{f}, \\ & \nabla \cdot \nabla \varphi \equiv {\nabla }^{2}\varphi , \\ & \nabla \times \left( \nabla \times \vec{f} \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \vec{f} \right)-{\nabla }^{2}\vec{f}, \\ & \nabla \cdot \left( \vec{f}\vec{g} \right)=\nabla \cdot \left( \vec{f}{\vec{g}_{c} \right)+\nabla \cdot \left( {\vec{f}_{c}\vec{g} \right)=\left( \nabla \cdot \vec{f} \right)\vec{g}+\left( \vec{f}\cdot \nabla \right)\vec{g}, \\ & \nabla \cdot \overset{\Rightarrow }{\mathop{\mathcal{J}\,\text{=}\frac{\partial }{\partial x}\left( {\vec{e}_{x}\cdot \overset{\Rightarrow }{\mathop{\mathcal{J}\, \right)+\frac{\partial }{\partial y}\left( {\vec{e}_{y}\cdot \overset{\Rightarrow }{\mathop{\mathcal{J}\, \right)+\frac{\partial }{\partial z}\left( {\vec{e}_{z}\cdot \overset{\Rightarrow }{\mathop{\mathcal{J}\, \right). \\ \end{align}

\overset{\Rightarrow }{\mathop{\mathcal{J}\, 是张量, 具体运算参看: 正樹：并矢与张量的运算.

Nabla 算符相关的常用公式:

\begin{align} & \nabla \times \left( \nabla \varphi \right)\equiv 0, \\ & \nabla \cdot \left( \nabla \times \vec{A} \right)\equiv 0, \\ & \nabla f\left( u \right)=\left( \nabla u \right)\frac{\text{d}f}{\text{d}u},\ \ \ \\ & \nabla \cdot \vec{A}\left( u \right)=\left( \nabla u \right)\cdot \frac{\text{d}\vec{A}{\text{d}u},\ \ \\ & \nabla \times \vec{A}\left( u \right)=\left( \nabla u \right)\times \frac{\text{d}\vec{A}{\text{d}u}, \\ & {\nabla }^{\text{2}\frac{\text{1}{r}=-4\pi \delta \left( r \right). \\ \end{align}

最后一行也可是 $\nabla \cdot \left( \frac{\vec{r}{r}^{3} \right)=4\pi \delta \left( r \right)$ 证明参考: [正樹：关于 Δr^-1=-4πδ(r) 的证明](https://zhuanlan.zhihu.com/p/61368951)

Gauss's law: \mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S d\vec{S} \equiv \iiint_{V}{dV\nabla }.

即 \mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \vec{A}\cdot d\vec{S} \text{=}\iiint_{V}{\nabla \cdot \vec{A}dV}.

Stokes theorem: \oint_{L}{d\vec{l}\equiv \iint_{S}{d\vec{S}\times \nabla }.

即 \oint_{L}{\vec{A}\cdot d\vec{l}=\iint_{S}{\left( \nabla \times \vec{A} \right)\cdot d\vec{S}.

下面俩其实可以由 Gauss's law 推导得到:

Green's identities I:

\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S d\vec{S}\cdot \left( \psi \nabla \varphi \right) =\iiint_{V}{dV\left( \psi {\nabla }^{2}\varphi \text{+}\nabla \psi \cdot \nabla \varphi \right)}.

Green's identities II:

\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S d\vec{S}\cdot \left( \psi \nabla \varphi -\varphi \nabla \psi \right) =\iiint_{V}{dV\left( \psi {\nabla }^{2}\varphi -\varphi {\nabla }^{2}\psi \right)}.

参考

• ^c for constant.