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转动参考系与极坐标系的联系 科里奥利力是啥 附赠一个极其常用的力学运算技巧
- 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/52892796
- 发布日期: 2018-12-20
- 分类: 经典力学 / 分析力学
先给出一个生活中极其常用且十分便利的运算技巧:
\frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{\alpha }=\vec{\omega }\times \vec{\alpha },\ \left| \alpha \right|=\text{const}.
就是说 "长度不变的矢量关于时间求导等于它的角速度与它自己的矢量积"
具体证明与本文各个符号的具体含义可参见 [此文].
你下面有任何看不懂的地方我估计都可以在上面这篇里面找到答案.
转动参考系和极坐标系形式上是一致的:
下面给出极坐标的质点运动学表达式:
位置矢量: \vec{r}=r{\vec{e}_{r}. 速度: \vec{v}=\dot{\vec{r}=\dot{r}{\vec{e}_{r}+r\dot{\varphi }{\vec{e}_{\varphi }. 加速度: \vec{a}=\ddot{\vec{r}=\left( \ddot{r}-r{\dot{\varphi }^{2} \right){\vec{e}_{r}+\left( 2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi } \right){\vec{e}_{\varphi }.
其中我们将 {\vec{e}_{r} 称为径向, {\vec{e}_{\varphi } 称为切向.
推导如下:
速度: \frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{r}=\dot{r}{\vec{e}_{r}+r\vec{\omega }\times {\vec{e}_{r}=\dot{r}{\vec{e}_{r}+r\dot{\varphi }{\vec{e}_{\varphi }. 加速度: \frac{\text{d}{\text{d}t}\dot{\vec{r}=\frac{\text{d}{\text{d}t}\left( \dot{r}{\vec{e}_{r}+r\dot{\varphi }{\vec{e}_{\varphi } \right)\begin{align} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\text{d}\dot{r}{\text{d}t}{\vec{e}_{r}+\dot{r}\vec{\omega }\times {\vec{e}_{r}+\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\dot{\varphi }{\vec{e}_{\varphi }+r\frac{\text{d}\dot{\varphi }{\text{d}t}{\vec{e}_{\varphi }+r\dot{\varphi }\vec{\omega }\times {\vec{e}_{\varphi } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \ddot{r}-r{\dot{\varphi }^{2} \right){\vec{e}_{r}+\left( 2\dot{r}\dot{\varphi }+r\ddot{\varphi } \right){\vec{e}_{\varphi }. \\ \end{align}
上述推导过程中就体现了一开始给出的结论 \frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{\alpha }=\vec{\omega }\times \vec{\alpha },\ \left| \alpha \right|=\text{const} 的便利性.
取转轴为 $z$ 轴, 其实与其说这是极坐标系不如说是柱坐标系, 所以夹角用了 $\varphi$ 而不是 $\theta$ [[1]](#ref_1).
值得一提的是 且 {\vec{\omega } 一般不是单位矢量,不要判断完方向后忘了写 {\dot{\varphi }.
前面讲的极坐标速度也可以写为:
\vec{v}=\dot{r}{\vec{e}_{r}+\vec{\omega }\times \vec{r}.
则加速度可写为:
\begin{align} & \vec{a}=\frac{\text{d}{\text{d}t}\left( \dot{r}{\vec{e}_{r}+\vec{\omega }\times \vec{r} \right) \\ & \ \ =\ddot{r}{\vec{e}_{r}+\dot{r}\vec{\omega }\times {\vec{e}_{r}+\dot{\vec{\omega }\times \vec{r}+\vec{\omega }\times \left( \dot{r}{\vec{e}_{r}+\vec{\omega }\times \vec{r} \right) \\ & \ \ =\ddot{r}{\vec{e}_{r}+\dot{r}\vec{\omega }\times {\vec{e}_{r}+\dot{\vec{\omega }\times \vec{r}+\dot{r}\vec{\omega }\times {\vec{e}_{r}+\vec{\omega }\times \left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right) \\ & \ \ =\ddot{r}{\vec{e}_{r}+2\dot{r}\vec{\omega }\times {\vec{e}_{r}+\dot{\vec{\omega }\times \vec{r}-{\omega }^{2}\vec{r}. \\ \end{align}
转动参考系的概念:
转动参考系即以角速度 [2]转动的参考系, 我们另外再设一个静止参考系, 使其在 时与转动参考系重合. 则在转动参考系下, 去观察一个相对静止参考系以 {\vec{\omega } 转动的位矢 {\vec{r} 的话, 会认为这个位矢是不转动的[3], 当然啦, 位矢的伸缩还是与静止参考系观察到的现象是一样的. 所以这样一个位矢在转动参考系下就只有径向速度而没有切向速度, 即速度只有\dot{r}{\vec{e}_{r}, 自然加速度也只能观测到伸缩造成的部分, 即加速度只有\ddot{r}{\vec{e}_{r}. 因为这个参考系下, 这个位置矢量所表征的质点不过是在做一维运动.
具体而言就是说若对于静止参考系而言速度是 \vec{v}=\dot{r}{\vec{e}_{r}+\vec{\omega }\times \vec{r},
则对于转动参考系而言, 由于 所以速度就只是 {\vec{v}'=\dot{r}{\vec{e}_{r}.
一语蔽之, 在转动参考系下, 位矢的角速度就是恒为 的, 只有伸缩, 没有旋转.
所以转动参考与静止参考系间的伽利略变换为:
下面加了上标 的表征转动系下的量
位矢变换: \vec{r}=r{\vec{e}_{r}={\vec{r}' [4].
速度变换: \vec{v}={\vec{v}'+\vec{\omega }\times \vec{r}'.
加速度变换: \vec{a}={\vec{a}'+2\vec{\omega }\times {\vec{v}'+\dot{\vec{\omega }\times {\vec{r}'-{\omega }^{2}{\vec{r}'.
其中加速度变换下的附加加速度由两部分构成:
(1) 牵连加速度: \dot{\vec{\omega }\times {\vec{r}'-{\omega }^{2}{\vec{r}'.
(2) 科里奥利加速度: 2\vec{\omega }\times {\vec{v}'.
所谓牵连加速度就是因参考系转动而引起的加速度:
若匀速转动则有 \dot{\vec{\omega }\times {\vec{r}'=0 , 所以这一项是参考系变速转动引起的.
而后面的 -{\omega }^{2}{\vec{r}' 显然是由转动引起的向心加速度, 唤起古老的高中记忆.
就从关系式 {\vec{a}'=\vec{a}-2\vec{\omega }\times {\vec{v}'-\dot{\vec{\omega }\times {\vec{r}'+{\omega }^{2}{\vec{r}' 说起, 这就是旋转参考系与静止参考系观察到的差异, 在旋转参考系看来, 物体会多受到一个 m{\omega }^{2}{\vec{r}' 的力, 沿着矢径向外. 这实际上就是旋转造成的看起来要把物体甩出去的所谓的惯性力. 静止参考系看来当然是不存在所谓的惯性力的.
为了在非惯性系下凑出形式上的牛顿定律, 由科里奥利加速度引入的惯性力就是科里奥利力.
其实我们日常使用的地面参考系就是一个转动参考系, 因为地球在匀速转动.
所以地面参考系下的加速度表达为: \vec{a}={\vec{a}'-{\omega }^{2}{\vec{r}'+2\vec{\omega }\times {\vec{v}'.
牛顿第二定律得到: m{\vec{a}'=\vec{F}+m{\omega }^{2}{\vec{r}'-2m\vec{\omega }\times {\vec{v}' , 而最后一项就是所谓的科里奥利力.
这解释了为何在北半球的河流会不断地侵蚀右岸以及落体偏东等问题.