震惊! 转动惯量张量和一个刚体运动的结论竟做出这种事⋯

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/52915086
• 发布日期: 2018-12-21
• 分类: 经典力学 / 分析力学

亘古真理: 刚体对固定点有一个惯量张量, 刚体对固定轴有一个转动惯量.

两个重要结论

✦无论作何运动的刚体上任意基点到另一个点的位矢的角速度都是同一个值.

当然这个位矢不要跟角速度方向平行了, 意思就是说刚体某一时刻的角速度与参考点无关.

✦总可以把刚体的运动分解为随基点的平动和刚体以角速度 $\vec{\omega }$ 绕着基点做定点转动.

所以我们会去研究刚体的平动与刚体的转动.

现在研究这个以角速度 $\vec{\omega }$ 绕着基点做的定点转动

刚体对基点的角动量为:

\vec{J}\text{=}\sum\limits_{i}{\vec{r}_{i}\times {m}_{i}{\vec{v}_{i}=\sum\limits_{i}{m}_{i}{\vec{r}_{i}\times \left( \vec{\omega }\times {\vec{r}_{i} \right)}=\sum\limits_{i}{m}_{i}\left[ r_{i}^{2}\vec{\omega }-\left( {\vec{r}_{i}\cdot \vec{\omega } \right){\vec{r}_{i} \right]}.

上式也说明了 {\vec{J} 与 {\vec{\omega } 不必要共线.

质量是连续分布的, 所以改写为:

$\vec{J}=\int \vec{r}\times \vec{v}\text{d}m=\int \vec{r}\times \left(\vec{\omega }\times \vec{r}\right)\text{d}m=\int \left[r^2\vec{\omega }-\left(\vec{r}\cdot \vec{\omega }\right)\vec{r}\right]\text{d}m.$

上式与下面所有积分的积分区域都是整个物体.

先在刚体上固定一个笛卡尔坐标系, 原点为基点, 然后分量式如下:

\left\{ \begin{align} & {J}_{x}={\omega }_{x}\int{\left( {y}^{2}+{z}^{2} \right)\text{d}m}-{\omega }_{y}\int{xy\text{d}m}-{\omega }_{z}\int{xz\text{d}m}, \\ & {J}_{y}=-{\omega }_{x}\int{yx\text{d}m}+{\omega }_{y}\int{\left( {x}^{2}+{z}^{2} \right)\text{d}m}-{\omega }_{z}\int{yz\text{d}m}, \\ & {J}_{z}=-{\omega }_{x}\int{zx\text{d}m}-{\omega }_{y}\int{zy\text{d}m}+{\omega }_{z}\int{\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)\text{d}m}. \\ \end{align} \right.

可以更简洁的表达为: \vec{J}=\overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}} {I}\cdot \vec{\omega }.

注意上式\overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}} {I}是个张量, 称作惯量张量.

展开来看即是 $\left[\begin{array}{c}{J}_x\\ J_y\\ J_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{yx}& I_{yy}& -I_{yz}\\ -I_{zx}& -I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right].$

其中 \left\{ \begin{align} & {I}_{xy}={I}_{yx}=\int{xy\text{d}m}, \\ & {I}_{xz}={I}_{zx}=\int{xz\text{d}m}, \\ & {I}_{yz}={I}_{zy}=\int{yz\text{d}m}. \\ \end{align} \right. \left\{ \begin{align} & {I}_{xx}=\int{\left( {y}^{2}+{z}^{2} \right)\text{d}m,} \\ & {I}_{yy}=\int{\left( {x}^{2}+{z}^{2} \right)\text{d}m}, \\ & {I}_{zz}=\int{\left( {x}^{2}+{y}^{2} \right)\text{d}m}. \\ \end{align} \right.

惯量张量\overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}} {I} 的对角元素称作对坐标轴转动惯量, 非对角元称作惯量积. 二者统称惯量系数.

刚体的转动动能:

下面的式子可以类比线量的 $T=\frac{1}{2}\vec{p}\cdot \vec{v}$ 及 $T=\frac{1}{2}m{v}^2.$

T=\int{\frac{v}^{2}{2}\text{d}m}=\frac{1}{2}\int{\vec{v}\cdot \left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)\text{d}m}=\frac{1}{2}\vec{\omega }\cdot \int{\vec{r}\times \vec{v}\text{d}m}=\frac{1}{2}\vec{J}\cdot \vec{\omega }.

T=\frac{1}{2}\int{\left( \vec{\omega }\times \vec{r} \right)}^{2}\text{d}m}=\frac{1}{2}{\omega }^{2}\int{r}^{2}{\sin }^{2}\theta \text{d}m}=\frac{1}{2}{\omega }^{2}\int{\rho }^{2}\text{d}m}=\frac{1}{2}I{\omega }^{2}.

第一式中展开 {\vec{J} 得到: $T=\frac{1}{2}\left[ {I}_{xx}\omega _{x}^{2}+{I}_{yy}\omega _{y}^{2}+{I}_{zz}\omega _{z}^{2}-2{I}_{xy}{\omega }_{x}{\omega }_{y}-2{I}_{xz}{\omega }_{x}{\omega }_{z}-2{I}_{yz}{\omega }_{y}{\omega }_{z} \right].$第二式中 $I=\int{r}^{2}{\sin }^{2}\theta dm}$ 显然是对 ${\vec{\omega }$ 作用线[[1]](#ref_1)的**转动惯量**. 关于定轴转动惯量下面将给出定义.

对固定轴的转动惯量:

定义: I=\int{r}^{2}{\sin }^{2}\theta \text{d}m}=\int{\rho }^{2}\text{d}m}.

其中的 $r,\rho$ 分别为 $\text{d}m$ 到基点与到转轴的距离.

回转半径:

转动惯量可以等效于质量集中在距离转轴为 $R$ 的一点上的转动惯量.

即令 $I=R^{2}m$ 则满足式子的 $R$ 就要被称作回转半径.

平行轴定理:

$I=I_c+m{d}^2$ 其中 $I_c$ 的轴过质心, $I,I_c$ 轴相互平行, $d$ 为两轴间距.

简证:

随手画的示意图\begin{align} & I=\int{\rho }^{2}\text{d}m}=\int{\left( {\vec{\rho }'+\vec{d} \right)}^{2}\text{d}m} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\int{\left( {\vec{\rho }'}^{2}+{\vec{d}^{2}+2{\vec{\rho }_{c}\cdot \vec{d} \right)\text{d}m} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={I}_{c}+m{d}^{2}+2\vec{d}\cdot \int{\vec{\rho }'\text{d}m}={I}_{c}+m{d}^{2}. \\ \end{align}

顺带一提\int{\vec{\rho }'\text{d}m}=\int{\left( \vec{\omega }\times {\vec{r}' \right)\times {\vec{e}_{\omega }\text{d}m}=\left( \vec{\omega }\times \int{\vec{r}'dm} \right)\times {\vec{e}_{\omega }=0.

想不通就

\int{\vec{\rho }'\text{d}m}={\vec{e}_{x}\int{\rho }'}_{x}\text{d}m}+{\vec{e}_{y}\int{\rho }'}_{y}\text{d}m}={\vec{e}_{x}\int{r}'}_{x}\text{d}m}+{\vec{e}_{y}\int{r}'}_{y}\text{d}m}=0.

请在心里建立笛卡尔坐标系, $z$ 轴是转轴方向.

惯量椭球与惯量主轴:

先建立笛卡尔坐标系, 和前面一样也是固定在刚体上随刚体转动, 且原点为基点.

假如建立的是静止的坐标系那么惯量张量中的每一个惯量系数都随时间改变, 难以研究.

分量式:

\vec{\omega }\text{=}\sum\limits_{i}{\omega }_{x}_{i}{\vec{e}_{i}=\left( \omega \cos \alpha ,\omega \cos \beta ,\omega \cos \gamma \right).

其中 $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ 分别是三个方向余弦.

由关系 $T=\frac{1}{2}\vec{J}\cdot \vec{\omega }=\frac{1}{2}I{\omega }^2$ 可以得到:

$I_{xx}{\omega }_x^2+I_{yy}{\omega }_y^2+I_{zz}{\omega }_z^2-2I_{xy}{\omega }_x{\omega }_y-2I_{xz}{\omega }_x{\omega }_z-2I_{yz}{\omega }_y{\omega }_z=I{\omega }^2.$

化简得到:

\begin{align} & I={I}_{xx}{\cos }^{2}\alpha +{I}_{yy}{\cos }^{2}\beta +{I}_{zz}{\cos }^{2}\gamma \\ & \ \ \ -2{I}_{xy}\cos \alpha \cos \beta -2{I}_{xz}\cos \alpha \cos \gamma -2{I}_{yz}\cos \beta \cos \gamma \\ \end{align} ----[i]

可以简写为: I={\vec{e}_{\omega }\cdot \overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}} {I}\cdot {\vec{e}_{\omega }.

这也解释了最最开始说的 "刚体对固定点有一个惯量张量, 刚体对固定轴有一个转动惯量."

展开来写就是: $I=\left[\cos \alpha ,cos\beta ,cos\gamma \right]\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{yx}& I_{yy}& -I_{yz}\\ -I_{zx}& -I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \alpha \\ \cos \beta \\ \cos \gamma \end{array}\right]$

现在我们在(任意)转轴方向上做一矢量 $\vec{R}=\left(x,y,z\right)$ , 且令 R=\frac{1}{\sqrt{I}.

则显然有 $x=R\cos \alpha ,y=R\cos \beta ,z=R\cos \gamma .$

其中 $I$ 为此转轴对应的转动惯量, 将上面的三个关系带入惯量方程 [i] 得到:

I={I}_{xx}\frac{x}^{2}{R}^{2}+{I}_{yy}\frac{y}^{2}{R}^{2}+{I}_{zz}\frac{z}^{2}{R}^{2}-2{I}_{xy}\frac{xy}{R}^{2}-2{I}_{xz}\frac{xz}{R}^{2}-2{I}_{yz}\frac{yz}{R}^{2}.

由 $I{R}^2=1$ 可得:

$I_{xx}{x}^2+I_{yy}{y}^2+I_{zz}{z}^2-2I_{xy}xy-2I_{xz}xz-2I_{yz}yz=1.$

很巧妙对吧? 这是一个椭球方程, 也就是说所有方向的 {\vec{R} 的端点构成了一个椭球.

算出惯量系数然后做出这个椭球就可以由关系式$I={\frac{1}{R}}^2$求得沿任意方向的对轴转动惯量.

这就是惯量椭球, 很酷对吧?

但这其实还是很弱, 实际上不难想到一个巧妙地偷懒手段: 假如我把这个椭球摆正了, 岂不是就可以消去惯量积[2]了? 就是说, 我们只要将坐标系摆在这个椭球的三个主轴上面, 就可以消掉惯量张量的非对角项了.

上述的椭球三个主轴被称作惯量主轴.

用这三个轴建立坐标系可得惯量张量: \overset{\lower0.5em\hbox{\smash{\scriptscriptstyle\leftrightarrow}} {I}=\left[ \begin{matrix} {I}_{xx} & 0 & 0 \\ 0 & {I}_{yy} & 0 \\ 0 & 0 & {I}_{zz} \\ \end{matrix} \right].

此时的表达式 \left\{ \begin{align} & I={I}_{xx}{\cos }^{2}\alpha +{I}_{yy}{\cos }^{2}\beta +{I}_{zz}{\cos }^{2}\gamma , \\ & \vec{J}={I}_{xx}{\omega }_{x}{\vec{e}_{x}+{I}_{yy}{\omega }_{y}{\vec{e}_{y}+{I}_{zz}{\omega }_{z}{\vec{e}_{z}, \\ & T=\frac{1}{2}\left( {I}_{xx}\omega _{x}^{2}+{I}_{yy}\omega _{y}^{2}+{I}_{zz}\omega _{z}^{2} \right). \\ \end{align} \right.

至于如何寻找惯量主轴:

主 观 臆 测, 请.

感觉很对称基本上就没问题了. 比如对于 $I_{xy}=\int xy\text{d}m$ , 那就只要让物体关于 $xoy$ 面对称这项就没了. 另外俩同理.

最后总结一下转动惯量的求法:

i. 强行暴力计算: I=\int{\rho }^{2}\text{d}m} 其中 $\rho$ 为 $\text{d}m$ 到转轴的距离.

ii. 利用平行轴定理: $I=I_c+m{d}^2$ 其中 $I_c$ 的轴过质心, $I,I_c$ 轴相互平行, $d$ 为两轴间距.

iii. 仅仅薄片可用的垂直轴定理: $I_z=I_x+I_y$ , 其中 $z$ 轴垂直于薄片. 这很显然不予以证明.

iv. 找到惯量主轴用公式计算: $I=I_{xx}{\cos }^2\alpha +I_{yy}{\cos }^2\beta +I_{zz}{\cos }^2\gamma .$

普通物理里面的转动惯量怎么不是张量? 怎么好像也有 $\vec{J}=I\vec{\omega }$ ？

首先,普通物理里面的刚体转动基本只涉及了定轴转动,

这时候有确定的转动惯量 $I$ , 存粹就是个数.

然后确实有类似于 $\vec{J}=I\vec{\omega }$ 的方程, 但这并不说明 $\vec{J},\vec{\omega }$ 共线.

实际上普通物理里面的方程是: $J_z=I_{zz}{\omega }_z=I_{zz}\omega .$

也就是说选定了转轴为 $z$ 轴, 所以转动惯量就是 $I_{zz}$, 然后算出来的角动量是对轴的角动量.

也就是角动量的轴向分量.

具体而言就是 $\left[\begin{array}{c}{J}_x\\ J_y\\ J_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& -I_{xy}& -I_{xz}\\ -I_{yx}& I_{yy}& -I_{yz}\\ -I_{zx}& -I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ {\omega }_z\end{array}\right]\Rightarrow J_z=I_{zz}{\omega }_z.$

参考

• ^即转动瞬轴.
• ^混合坐标项.