由哈密顿原理得到哈密顿正则方程

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/52990974
• 发布日期: 2018-12-21
• 分类: 经典力学 / 分析力学

哈密顿原理即: $\delta S=\text{0}$

哈密顿原理即保守的、完整的力学体系在相同时间内, 由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中, 真实运动的主函数具有稳定值, 即对于真实运动来讲, 主函数的变分等于零. 哈密顿原理与牛顿运动定律是等价的原理.

(这里直接给出了,可以考虑改天试从E-L equation推导出来)

#其中作用量 $S$ 被定义为 S=\int_{t}_{1}^{t}_{2}{Ldt}

已知哈密顿量: H=\sum\limits_{\alpha }{\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }{\dot{q}_{\alpha }-L 且记 \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}_{\alpha }={p}_{\alpha }

(#注意上面这个式子成立的前提是在保守系下)

则哈密顿原理可写为: \delta S=\delta \int_{t}_{1}^{t}_{2}{Ldt}=\int_{t}_{1}^{t}_{2}{\delta \left[ \sum\limits_{\alpha }{p}_{\alpha }{\dot{q}_{\alpha }-H \right]dt=0}

\Rightarrow \int_{t}_{1}^{t}_{2}{\left[ \sum\limits_{\alpha }{\left( {\dot{q}_{\alpha }\delta {p}_{\alpha }+{p}_{\alpha }\delta {\dot{q}_{\alpha } \right)}-\delta H \right]dt}=0

\Rightarrow \int_{t}_{1}^{t}_{2}{\left[ \sum\limits_{\alpha }{\left( {\dot{q}_{\alpha }\delta {p}_{\alpha }-{\dot{p}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right)}+\sum\limits_{\alpha }{\frac{d}{dt}\left( {p}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right)}-\delta H \right]dt}=0 \Rightarrow \sum\limits_{\alpha }{\left. {p}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right|_{t}_{1}^{t}_{2}+\int_{t}_{1}^{t}_{2}{\left[ \sum\limits_{\alpha }{\left( {\dot{q}_{\alpha }\delta {p}_{\alpha }-{\dot{p}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right)}-\delta H \right]dt}=0

其中 \sum\limits_{\alpha }{\left. {p}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right|_{t}_{1}^{t}_{2}=0 是显然的,因为系统在初末时刻的状态是给定的,所以变分为0.

\Rightarrow \int_{t}_{1}^{t}_{2}{\left[ \sum\limits_{\alpha }{\left( {\dot{q}_{\alpha }\delta {p}_{\alpha }-{\dot{p}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right)}-\sum\limits_{\alpha }{\left( \frac{\partial H}{\partial {p}_{\alpha }\delta {p}_{\alpha }+\frac{\partial H}{\partial {q}_{\alpha }\delta {q}_{\alpha } \right)} \right]dt}=0

\Rightarrow \int_{t}_{1}^{t}_{2}{\sum\limits_{\alpha }{\left[ \left( {\dot{q}_{\alpha }-\frac{\partial H}{\partial {p}_{\alpha } \right)\delta {p}_{\alpha }-\left( {\dot{p}_{\alpha }+\frac{\partial H}{\partial {q}_{\alpha } \right)\delta {q}_{\alpha } \right]}dt}=0

其中 $\delta p_{\alpha }$ $\delta q_{\alpha }$ 都是独立变量的变分,所以只能是有下面关系式成立:

\left\{ \begin{align} & \frac{\partial H}{\partial {p}_{\alpha }={\dot{q}_{\alpha } \\ & \frac{\partial H}{\partial {q}_{\alpha }=-{\dot{p}_{\alpha } \\ \end{align} \right. #又见到了哈密顿正则方程