量子力学零基础门槛级疑惑讨论

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/56182279
• 发布日期: 2019-02-02
• 分类: 量子力学基础与量子信息

https://zhuanlan.zhihu.com/c_1015631028714504192不要想着凭空看本文噢, 因为是一百年前写的东西了, 现在看来写得蛮捞的, 又没空修修补补.

所以一窍不通的零基础人看了是什么感受我也想象不出来, 你最好是正在接触量子力学, 最好最好是在看科恩那本书, 实在不想看书可以考虑看几集斯坦福大学量子力学公开课, Susskind 讲的那个, 既简单又透彻, 你把我这个当他那个视频的呃··· 同学讨论罢.

什么? 你就是想凭空搞懂量子力学的概念? 就是连公开课都不想看? 那无解.

还是会更新的啦(?)---2019.12.16

最近想不到量子力学里面还有什么门槛级别的疑惑了, 我实在不知道该写啥了.

有空或许会翻新一下, 无论结构还是表述都整的阳间点.

顺带一提,内容不仅仅是目前给出的这些 $Q_i$ , $Q_i$ 本身还会继续增加, 然后如果有什么相关问题可以写在评论区,这样也许会添加到文章中.

为何要自学量子力学:

四大力学、固体物理级别的学科(即普物除外的所有真正的物理课程)都是必须提前自学的. 而这之中量子力学又有他的特殊性:

1. 将来无论干嘛都要用量子力学, 可以说是物理学根基.
2. 有无穷个表象, 好几个绘景, 一大堆的等价表述
3. 具体到问题又分微分方程和代数求解两类解法, 而这两类又各会包含很多种方法.
4. 教学有许多切入点, 很难全都顾及到.
5. 是经典物理向量子物理的一个桥梁, 概念焕然一新. 所以要学好量子力学, 一个捷径就是开课前自学. 但量子力学有许多(并不复杂但)全新的观点需要接受. 所以就催生了这个面向初学者的专栏.

这篇文章的作用是什么呢?

well, 首先这绝对不是严谨的教科书. 在自学、学习的过程中, 常常会碰到 "明明都对着书一个字一个字的看了怎么还是有点儿似懂非懂的感觉"的这种情况. 然后一般来说书上都讲清楚了(不排除有些书本身写的烂), 问题主要出在你自己的脑子并不觉得这这些概念很直观, 这个时候其实你感到疑惑的地方都是一些很初级的问题, 感到疑惑的原因是因为还没有建立好一个对科目的整体感知, 就像没路灯xjb走一样. 那我就把我的理解写出来, 这跟教科书、老师的说法又不太一样, 多几个方向刺激一下或许能一下跳出这个脑子短路的感觉. 为什么其他人不写这类文章呢? 因为大家都觉得, 反正你学下去自然就懂了, 嘛··· 確かに. 不过我也是经历过的, 那种"就是想今天晚上搞懂"这种感觉还是有些闹心的, 所以就写了.

总结: 一定要提前自学, 这篇文章不成系统, 没有明确的规划, 主要是提出一个问题, 然后在回答问题的过程在我想到哪就写到哪, 所以不可以用来系统的学习量子力学, 但可以学的过程中看看用来发现问题或者用来对比看看你的理解和我的理解是否有偏差, 有的话随时欢迎讨论.

入门书籍:

➤零基础入门推荐用**科恩-塔诺季(C. Cohen-Tannoudji)的《量子力学 第一卷》**我前期所有关于量子力学文章的表达构架都是在这本书的基础上改编的, 这是最适合入门的一本书, 厚, 详细, 不为难. 甚至让人入门的时候觉得量子力学没有什么难以理解的地方, 就是不会有抵触感. 这本话痨巨作的巧妙构架可以让你少走很多弯路.

➤入门之后可以看看许多高校使用的周世勋的量子力学, 狄拉克符号用的少, 显得有些无意义的繁杂, 但也是有可取之处的. 构架就不用管了, 主要是用来补充科恩第一卷没讲到的微扰论等近似方法, 再者就是把握一下国内中下游水平的本科生是怎样的. 当字典查查内容对比之前学的体系换换口味即可. 同样国内考研帮助比较大的就是曾谨言的量子力学, 但大家似乎都倾向于认为这个是考研题库. 因为给你出题的人就是看这书长大的.

然而准备应付国内量子力学的一些小考试的话就入手陈鄂生的量子力学习题. 这是他们说的, 我没做过, 我什么习题集都没做过, 我懒.

➤学初等量子力学的唯一目的就是为了能学高等量子力学, 首先推荐桜井純的《现代量子力学》(这里说一下不要盲目自信的一看前三章自己好像全都懂就跳过, 可以向你保证和初等量子力学书上的风味不太一样, 很值得一看. ). 然后国内普遍(?)使用的是喀兴林的《高等量子力学》. 樱井的注重物理图像, 看起来饶有趣味, 能让人恍然大悟. 而喀书可以说是思路清晰系统自洽, 虽然很难看到侧重点也没有太多的物理上的直觉, 但整个体系都建立的很干净完善, 可以作为量子力学的地基(或者说内部逻辑吧), 虽然很多内容平时不太用得上, 但这本书带来的这种 "这里是说的通的" 的这种感觉会让人很安心. 所以结论就是俩都要看, 最好搭配着看.

Index:

$Q_1$: 波函数和态矢量什么关系?有什么用?

$Q_2$: 波函数表象如何转换? 什么是狄拉克符号? 算符如何转换表象? 如何用矩阵表示这些事物?

$Q_3$: 什么是希尔伯特空间? 什么是巴拿赫空间?

$Q_4$: 薛定谔方程是干嘛的? 怎么来的? 为何测量算符只能得到他的本征值? 何为量子力学假定?

$Q_5$: 坐标-动量波函数之间怎么会是相差一个傅里叶变换呢? 巧合还是必然?

$Q_6$: 离散本征值算符的本征态怎能用不可数无穷维的坐标表象展开? 态空间维度是确定的吗?

$Q_7$: 定态问题势能的间断点处波函数的一阶导数 $\frac{d\phi \left(x\right)}{dx}$ 怎么有时候连续有时候又不连续的?

{Q}_{\text{8}: 在自旋 $z$ 方向表象下为什么会想到引入虚数 $i$ 来表示 $y$ 方向?

{Q}_{\text{9}: 什么是相位, 为什么总听说改变一个总的相位不会造成物理效应?

什么是本征子空间

$Q_1$*:*波函数和态矢量什么关系? 有什么用?

$A$: 波函数 $\psi \left(x\right)$ 和态矢量 $|\psi ⟩$ 本身都是经典物理中不存在的概念.

✦[i]. 二者是完全等价的, 或者说包含的信息量完全一样. (原因参看 $Q_1$-[iii])

✦[ii]. 作用是描述量子系统的状态的, 一个态矢量$|\psi ⟩$可以确定一个量子态.

一个态矢量对应着系统一个确切的态. 何为态呢? 态就是状态, 确定了状态就确定了一个量子系统在量子力学的框架下允许你确定的一切信息. 为什么说的这么别扭? 因为量子力学的框架本身可能会不允许你同时确定某两个物理量, 我们称之不可对易的物理量.

在经典力学中我们有自由度这个概念, 广义坐标数等于自由度数. 广义坐标和广义动量都确定了的话系统就确定了, 这个确定的状态就简称作态. 和经典态概念类似, 而量子态又有它的特殊之处. 具体而言经典的态可以用相空间的一个点来描述, 而量子态却能用一个矢量即态矢量(或一个分布函数, 即波函数)来描述. 而量子态的这个性质说明量子系统的状态可以像矢量一样叠加, 也就是所谓的叠加态, 这会直接导致干涉现象. ( 更具体的请参考正樹：观测如何影响量子力学结果? 如何理解叠加态,干涉效应,概率幅? 为何引入复数,为何强调相位? )

经典体系中描述一个质点的态, 我们会说它的坐标是 $\vec{r}$ ,它的动量是 $\vec{p}$. 对复杂一些的系统我们就需要给出所有的广义坐标与广义动量, 这样我们就可以把这个系统相关的所有物理量都给出, 即唯一确定了这个系统的状态了. 但在量子力学中我们竟然从这些具体的物理量中抽出了一个矢量来唯一确定了粒子的状态, 也就是说这样一个态矢量包含了整个粒子的所有信息. 但也没那么万能, 实际上只有处在某个物理量的本征态上你才有可能通过给出的态做一个确定的预言(即测量该物理量会得到的测量值). 而如果不是某物理量的本征态你却要测量这个物理量的话, 你在测量之前就只能预言一个概率分布, 但这种不确定性不是因为态给的不够详细, 而是源于量子力学本身无法这样对所有物理量同时作出确定的预言.

关于上述矢量更详细的说法见: [東雲正樹：表象变换的幺正算符怎么定义的? 为何说算符与态可以看作矩阵?](https://zhuanlan.zhihu.com/p/52196787)然后下面的你最好是先看完 [${Q}_{3}$ 什么是希尔伯特空间? 什么是巴拿赫空间?] 再说.

这样如果我说它处于态 $|\psi ⟩$ ,那么如果你想知道粒子的 $x$ 坐标就只需要用一个坐标算符 $X$ 作用在上面, 也就是测量这个处于这个态的粒子的$x$坐标. 测量会得到一个结果, 我们将它记作 $x_0$ , 那么此时可以说粒子测量后确定是处于态 $|x_0⟩$[1] 的, 在这之后无论你超快速地测量几次 $x$ 坐标得到的结果都只会是 $x_0$. 假如 $|\psi ⟩\ne |x_0⟩$ ,那我们可以说是这次测量破坏了态 $|\psi ⟩$ 使量子态坍塌到了 $|x_0⟩$. 至于为什么会坍塌呢? 这是一个基本假设. 为什么要超快速测量呢? 因为态会随着时间发生演化, 演化规律遵循薛定谔方程.

但也有一些态不会随着时间演化, 这被称作定态, 后面会讲到, 所谓定态就是哈密顿算符的本征态. 然后我们还可以把任何一个量子态分解为定态的叠加, 各个定态之间相位差会不断发生改变, 正是这个改变造成了态的演化.

well, 在只关心 $x$ 坐标的情况下, 我们测量态$|\psi ⟩$得到结果$x_0$, 却又说 $|\psi ⟩\ne |x_0⟩$ 究竟意味着什么? 很显然, 这说明假如再给你一个处于$|\psi ⟩$的粒子, 再让你测量一次$x$坐标, 你就不一定还能得到结果$x_0$ 了, 你可能会得到另一个结果 $x_1$ , 那么这之后粒子就坍塌到态 $|x_1⟩$了. 这个时候给定$|\psi ⟩$的作用就显现出来了, $|\psi ⟩$可以表示为 $\left\{|x⟩\right\}$ 的线性叠加, 一定可以(因为物理量算符的本征矢量构成一个完备基). 即 $|\psi ⟩=\sum _{x}a\left(x\right)|x⟩=\int a\left(x\right)dx|x⟩$ 两个写法差不多一个意思吧, 离散用前者连续用后者这样. $a\left(x\right)$ 是一个复数,是分量 $|x⟩$ 的系数. 而 ${\left|a\left(x\right)\right|}^2$ 就是得到$|x⟩$的概率. 而这里的线性叠加是经典体系所不具有的,这也就是老百姓口中所说的叠加态的概念. 在量子力学中体系处于一个物理量的本征态也可以是另一个物理量的多个本征态的叠加态.

此外如果你研究问题时还想要考虑动量, 那你还可以测量处于量子态$|x_0⟩$的粒子动量的 $y$ 方向分量 $p_y$ ,得到结果记作 {p}_{y}_{0}, 那么粒子测量后就确定到态 \left| {x}_{0},{p}_{y}_{0} \right\rangle, 无论怎么测量处于态\left| {x}_{0},{p}_{y}_{0} \right\rangle的粒子的 $x,p_y$ 都只能得到结果 {x}_{0},{p}_{y}_{0} . 但假如你在态\left| {x}_{0},{p}_{y}_{0} \right\rangle下测量粒子动量的 $x$ 方向分量 $p_x$得到结果 {p}_{x}_{0}的话, 粒子就会坍塌到 \left| {p}_{x}_{0},{p}_{y}_{0} \right\rangle 此时你再测量 $x$ 轴坐标, 将无法获得确定结果. 这是因为 $X$ 与 $P_x$ 不可对易. 这里不展开讲了, 要得到一个唯一确定的态请参看: 正樹：关于概念ECOC(可对易观察算符的完全集合)可能产生的疑惑

✦[iii]. 二者为何等价? 记得前面提到的$|\psi ⟩=\sum _{x}a\left(x\right)|x⟩=\int a\left(x\right)dx|x⟩$吗?

如何展开大家都应该知道, 即系数 $a\left(x\right)=⟨x|\psi ⟩$ , 也就是做内积啦.

类比小时候接触的三维欧氏空间的矢量: \vec{\alpha }=\left( {\alpha }_{x},{\alpha }_{y},{\alpha }_{z} \right)={a}_{x}{\vec{e}_{x}+{\alpha }_{y}{\vec{e}_{y}+{\alpha }_{z}{\vec{e}_{z}

如何得到 {\vec{e}_{x} 的系数 $a_x$ 呢？那当然是 {a}_{x}={\vec{e}_{x}\cdot \vec{\alpha } ,

就是说可以写成: \vec{\alpha }=\sum\limits_{i}{\left( {\vec{e}_{i}\cdot \vec{\alpha } \right){\vec{e}_{i}.

类比一下 $|\psi ⟩=\sum _x⟨x|\psi ⟩|x⟩$ 是不是有点感觉了?

这也是为什么会说描写态的是一个矢量.

也就是说$a\left(x\right)=⟨x|\psi ⟩$ 是分量 $|x⟩$ 的系数, 给定一个$|x⟩$就能确定一个$a\left(x\right)$. 同时给定一个$a\left(x\right)$也自然知道他是$|x⟩$的系数, 那么不写出$|x⟩$也没什么, 省去$|x⟩$也不会丢失任何信息. 只要光有一个系数 $a\left(x\right)$ 其实就够了, 这个系数是 $x$ 的函数. 我们给他一个换更加有特征的更加漂亮的符号, 令 $\psi \left(x\right)=a\left(x\right)$ . 而 $\psi \left(x\right)$ 就是(坐标表象下的)波函数了.

二者关系说白了就是:

$|\psi ⟩=\sum _x\psi \left(x\right)|x⟩=\int \psi \left(x\right)dx|x⟩$ 与 $\psi \left(x\right)=⟨x|\psi ⟩$ ,

这里一般采取积分的那个写法, 因为坐标表象的基矢量是连续的.

**✦[iv].**前面讲到的波函数是坐标表象下的波函数即 $\psi \left(x\right)=⟨x|\psi ⟩$ ,实际上波函数还可以是动量表象 $\bar{\psi }\left(p_x\right)=⟨p_x|\psi ⟩$ , 其中$\bar{\psi }\left(p_x\right)$上面的 bar 是为了区别 $\bar{\psi }\left(p_x\right)$ 与 $\psi \left(x\right)$, 它们毕竟表述的不是同一个映射关系. 二者等价而不相等, 他们相差一个幺正变换, 在坐标-动量波函数这个特殊情况下是相差一个傅里叶变换. 除此之外还可以是其他表象下的波函数, 实际上任何一个物理量都对应着一个表象. 狄拉克符号 $|\psi ⟩$ 屌就屌在他是如此的方便, 选择表象的时候只需要左乘一个相应表象的基矢量即可.

$Q_2$: 波函数表象如何转换? 什么是狄拉克符号? 算符如何转换表象? 如何用矩阵表示这些事物?

$A$: 这题问得好, 为什么呢? 因为答案早就写过了:

正樹：表象变换的幺正算符怎么定义的?(顺带一提算符与态的矩阵表示)

$Q_3$*:*什么是希尔伯特空间?什么是巴拿赫空间?

$A$: 这里就是数学上的骚话了, 其实初学量子力学也不用懂得太深.

可以简单地认为"巴拿赫空间就是定义了距离或长度的空间." 是赋范空间, 范指范数.

而"希尔伯特空间就是定义了长度与方向的空间"是内积空间. 硬要说的话其实和你以前做立体几何的欧氏空间差不多一个意思, 区别就是这里不仅仅限于三维, 可以是五维、一千万维. 反正计算起来就是类比的写就是了.

如何理解内积空间定义了方向呢? 就是内积这个运算跟空间中两个元素(向量)的角度有关, 一个向量有一个模长这个我们都是知道的, 但是模长相同的向量不一定是同一个向量, 它们还可以方向不同, 方向差异具体到运算就是做内积, 两个向量如果同向内积最大, 总的来说就是 $\vec{a}\cdot \vec{b}=ab\cos ⟨\vec{a},\vec{b}⟩$ 这个内积运算就定义了方向这一概念. 因为你可以取其中一个单位化之后作为基准, 这样其它的向量单位化之后跟它做内积可以得到一个实数, 获得相同实数的两个向量跟这个基准向量成的角度是一样的, 这样就可以确定一个方向的概念.

当然三维空间仅有一个基准向量是不够的, 因为它可以进动而不改变内积的值. 有了方向的概念我们就建立了一个希尔伯特空间, 我们可以在里面选定一组标准正交基作为基准来分析空间中的一切矢量, 方法就是计算各个矢量在各个基方向上的分量. 进一步说的话, 以前说矢量是一个有大小有方向的量, 这是因为研究的都是二三维的矢量, 其实到后面比如说26维, 方向是个什么概念? 这是不直观的. 所以实际上矢量其实就是在确定标准正交基下有许多分量的一个量, 他跟数量没有本质区别, 只是说不同分量之间就像单位不同一样不能混为一谈. 直观上这样理解的话对初学量子力学是有帮助的, 也不会产生严重误导. 等有一定水平了再去看数学书籍也行, 但是量子力学都还是初学阶段就敢去看数学书籍的话....会被那一大堆骚话搞到爆炸的.

$Q_4$: 薛定谔方程是干嘛的? 怎么来的? 为何测量算符只能得到他的本征值? 何为量子力学假定?

$A$: 这类疑问都是无解的, 这些是量子力学的基本假定, 就像数学的公设一样, 是理论的根基, 本身没有什么道理可言, 也无法被证明. 而它们构建的体系是自洽无矛盾的, 用这个体系推演出来的结论又与实验吻合了, 我们就暂且承认它们的正确性.

**✦[i].**量子力学的假定:

**I.**量子系统在任意时刻的状态都可以用一个态矢量 $|\phi \left(t\right)⟩$ 来表述, 态矢量是希尔伯特空间的一个矢量, 它们满足叠加原理, 即多个态矢量叠加起来仍然还是一个态矢量(记得归一化): $|\phi \left(t\right)⟩={\lambda }_1|{\psi }_1\left(t\right)⟩+{\lambda }_2|{\psi }_2\left(t\right)⟩$ . 然后就是态矢量在确定表象下的分量是概率幅而不是概率, 概率幅也就是波函数, 它的模方才是概率.

**II.**每一个可以被测量的物理量都可用一个厄米算符来表示. 算符在具体表象下的表现形式是一个矩阵, 它可以作用在态矢量上.

**III.**测量一个物理量得到的结果只能是它对应算符的本征值, 或者说是对应矩阵的特征值.

IV. 设有算符 $A|u_n^i⟩=a_n|u_n^i⟩,i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,g_n$ 其中 $g_n$ 是 $A$ 的本征值 $a_n$ 的简并度. 则对于某状态 $|\psi ⟩$ ,我们测量物理量 $A$ 得到结果 $a_n$ 的概率 P\left( {a}_{n} \right)=\sum\limits_{i=1}^{g}_{n}{\left| \left\langle u_{n}^{i} | \psi \right\rangle \right|}^{2}

**V.**对任何一个态去测量某物理量得到了某个结果, 那么体系的量子态就会坍塌到这个结果对应的本征矢上. 简并情况的话就是坍塌到这个结果对应的本征子空间里, 但要注意的是量子态并非在本征子空间里面任意的一个方向, 而是坍塌到原态在这个子空间里的投影(然后再归一化).

**VI.**量子态随时间演化遵循薛定谔方程: $i\hslash \frac{d}{dt}|\psi \left(t\right)⟩=H\left(t\right)|\psi \left(t\right)⟩$ 其中 $H\left(t\right)$ 被称作哈密顿算符, 是哈密顿量对应的算符, 是与总能量相联系的观察算符.

VII. 全同性原理, 即两个量子态相同的同种粒子在物理上是不可分辨的. 交换它们的态不会产生任何可观测的影响.

应该就是这些了, 其实这个还蛮尴尬的, 因为不同地方的假定其实都说的不太一样. 但他们构建的体系是一样的, 也就是说这个量子体系中理论上来说基本公设是选取方案是不唯一的.

**✦[ii].**关于薛定谔方程倒是有一个比较有趣的推演关系:

如果你不把薛定谔方程作为基本假定而用一个时间演化算符来描述量子态的演化的话, 仍然可以推导出薛定谔方程. 我们记 $t_0$ 为开始, 经过时间 $t-t_0$ 后某态将从 $|\psi \left(t_0\right)⟩$ 演化到 $|\psi \left(t\right)⟩$ . 而时间演化算法就定义为 $U\left(t-t_0\right)|\psi \left(t_0\right)⟩=|\psi \left(t\right)⟩$ , 而这个时间演变算符本身是一个幺正算符, 即 $U^{†}U=I$ , 这是一个基本假设.

这个假设其实源于我们要求两个态的内积不随时间改变, 比如互为正交的态始终保持正交, 即,$⟨\phi \left(t\right)|\psi \left(t\right)⟩=⟨\phi \left(t=0\right)|U^{†}\left(t\right)U\left(t\right)|\psi \left(t=0\right)⟩=⟨\phi \left(t=0\right)|\psi \left(t=0\right)⟩$有地方将其称之为信息守恒定律.

若经过时间 $dt=t-t_0$量子态应该也只有$dt$ 数量级的改变, 而 $U\left(0\right)=I$ 应该是不难想象的. 可将算符展开 U\left( dt \right)=U\left( 0 \right)+{\left. \frac{dU\left( t \right)}{dt} \right|}_{t={t}_{0}dt+\sum\limits_{n=2}^{\infty }{\left. \frac{d}^{n}U\left( t \right)}{d{t}^{n} \right|}_{t={t}_{0}\frac{\left( dt \right)}^{n}{n!} 并忽略高阶项得到 U\left( dt \right)\approx I+{\left. \frac{dU\left( t \right)}{dt} \right|}_{t={t}_{0}dt . 我们可以令系数 {\left. \frac{dU\left( t \right)}{dt} \right|}_{t={t}_{0}=\frac{H\left( {t}_{0} \right)}{i\hbar } 其中 $H\left(t_0\right)$ 就是个算符, $i\hslash$ 之类完全可以吸收在里面, 拎出来也不会改变什么.

当 $dt\to 0$ 则上面的约等号都将改为的等号, 然后我们只考虑一阶项, 那么就有:

\begin{align} & U\left( dt \right)\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle =\left| \psi \left( t+dt \right) \right\rangle \\ & \Rightarrow \left( I+\frac{H\left( {t}_{0} \right)}{i\hbar }dt \right)\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle =\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle +\frac{H\left( {t}_{0} \right)}{i\hbar }\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle dt=\left| \psi \left( t+dt \right) \right\rangle \\ & \Rightarrow \left| \psi \left( {t}_{0}+dt \right) \right\rangle -\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle =\frac{H\left( {t}_{0} \right)}{i\hbar }\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle dt \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{\left| \psi \left( {t}_{0}+dt \right) \right\rangle -\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle }{dt}=H\left( {t}_{0} \right)\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle dt \\ & \Rightarrow i\hbar \frac{d}{dt}\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle =H\left( {t}_{0} \right)\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle \\ \end{align}

而 $dt=t-t_0\Rightarrow t=t_0+dt\Rightarrow dt=d{t}_0+d^{2}t=d{t}_0$

所以就有 i\hbar \frac{d}{d{t}_{0}\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle =H\left( {t}_{0} \right)\left| \psi \left( {t}_{0} \right) \right\rangle

最终我们把符号都换成 $t$ 就得到了薛定谔方程 $i\hslash \frac{d}{dt}|\psi \left(t\right)⟩=H\left(t\right)|\psi \left(t\right)⟩$ .

假如说你把这些当作最基本的公设, 那么这就是薛定谔方程的来源. 而时间演变算符的幺正性可以推导出哈密顿算符的厄米性即: $U^{†}\left(dt\right)U\left(dt\right)=I\Rightarrow H=H^{†}$ 这个证明起来蛮简单的可以自己试试.

$Q_5$: 坐标-动量波函数之间怎么会是相差一个傅里叶变换呢? 巧合还是必然?

$A$: 只能说这是承认德布罗意关系存在的必然结果. 这篇文章刚好可以解释这个问题 正樹：关于量子力学里面动量的表示 . 这里就不多赘述了.

$Q_6$: 离散本征值算符的本征态怎么能用不可数无穷维的坐标表象展开? 态空间维度是确定的吗?

$A$: 首先要说态空间(即量子体系状态所处的那个希尔布特空间[2])的维数实际上是确定的. 那一个可数无穷维空间内的矢量在坐标表象下怎么能有不可数无穷维个正交分量呢?

至少大多数教科书的意思都是在暗示着物理体系对应的希尔伯特空间是确定的一个空间, 其中量子体系的纯态[3]就是由空间内一个单位矢量表征, 不同的表象之间的变换仅仅是类似于坐标系的转换. 至于说连续谱[4], 我认为是态矢所处的希尔伯特空间这个框架解释不了的, 应该从波函数展开的角度上去理解. 波函数空间和态矢的希尔伯特空间是同构的[5], 所以无论谁作为基础都是一样的[6]. 而在波函数空间, 空间内的元素都是函数, 这些函数也可以通过做内积的方式去在具体表象下展开[7]. 但同时还有一种数学上证明了的展开方式, 那就是傅里叶变换, 这里的基底是纯粹数学上的函数基底(平面波), 它们不满足波函数的收敛条件, 所以它们不能表征体系的态, 即一个粒子不可能处于连续动量或坐标的本征态(这里, 我也只是口嗨一下, 你选择性的相信吧). 但这种展开在计算上是能带来很大的便捷的, 所以我们如果为了简洁的表述而选择了狄拉克符号作为基础的话, 就要在形式上引入“ $|x⟩$ ”这样的连续“态矢量”, 但若循其本, 还是要回到波函数空间内的傅立叶变换.

然后就是非经典自由度(比如自旋)的本征态是不在上述讨论空间内的. 至于如何判断是否经典, 我认为是看对应的物理量是否能由广义坐标与广义动量表达.

$Q_7$: 定态问题势能的间断点处波函数的一阶导数 $\frac{d\phi \left(x\right)}{dx}$ 怎么有时候连续有时候又不连续的?

$A$: 势能间断点一般而言分为方形势与 δ 势两种, 结论就是波函数的一阶导数 $\frac{d\phi \left(x\right)}{dx}$ 在前者处连续而后者处不连续... 这个通过... 再说吧... 如果有人迫切需要答案可以跟我说一下, 暂且没啥动力写这个跟下面的了

{Q}_{\text{8}: 在自旋 $z$ 方向表象下为什么会想到引入虚数 $i$ 来表示 $y$ 方向?

$A$: ......

{Q}_{\text{9}: 什么是相位, 为什么总听说改变一个总的相位不会造成物理效应?

$A$: ......

$le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$ $le{t}^{\prime }scallitaday.$$le{t}^{\prime }scallitaday.$

参考

• ^其实粒子应该是不能处于连续的动量或坐标本征态的, 因为其对应的"波函数"是平面波, 这是不满足波函数的要求而不能视作一个物理态的, 这里仅为了阐述方便而这么说.
• ^下面虽说把态空间等同于希尔伯特空间, 但实际上态空间应该是希尔伯特空间的一个子空间, 因为波函数的要求比希尔伯特空间函数要求要高一些. 所以态空间只包含特别良好的函数.
• ^即一个能由态矢量叠加描述的态, 区别于混合态.
• ^谱即本征值谱, 算符有连续分布的本征值就叫连续谱, 同样可以有离散谱一说.
• ^同构暂且可理解为等价, 即是说二者的包含的元素能相互一一对应.
• ^但选择态矢量作为基础会简洁一些.
• ^ 如果你看的是周世勋的或者其他以波函数为基础讲述量子力学的书入的门的话你可能反而还觉得这样比较自然.