I.电动力学主要定律与常用结论

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/58808753
• 发布日期: 2019-03-17
• 分类: 电动力学

**[]**文章收录于:电动力学前情回顾

**[]**为保持版面整洁,$★$备注写在另一篇文章中:正樹：I.电动力学主要定律与常用结论-注释部分

**[]**不提供书单,但建议不要入手Jackson《Classical Electrodynamics》,至少对新手而言这本书难以置信的不友好.

**[]**下面讨论的假如包含介质,那就是线性介质,没有特殊说明,就是线性介质.

**[]**这个专栏写的会比较浅显,就是基础本科内容的电动力学,所有计算不会有难度,但要求起码掌握:矢量运算/多元微积分/复数形式的傅里叶变换/nabla算符 $\nabla$ 的基本运算公式,至于 $\nabla$ 的运算和电动力学常用的积分公式可以参考文章:正樹：Nabla算符∇的运算律以及常用公式

Index:

✦麦克斯韦方程组/Maxwell's equation

✦几个辅助矢量及相关概念的定义与关系

✦电流密度的计算公式

✦电荷守恒定律的数学表达式

✦洛伦兹力公式

✦边值关系

✦基本量的计算

✦能量与能流密度

✦麦克斯韦方程组/Maxwell's equation:

\begin{align} & \nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon }_{0} \\ & \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}{\partial t} \\ & \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ & \nabla \times \vec{B}={\mu }_{0}\vec{J}+{\mu }_{0}{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \vec{E}{\partial t} \\ \end{align} \left\| \begin{align} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{f} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}{\partial t} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \nabla \times \vec{H}={\vec{J}_{f}+\frac{\partial \vec{D}{\partial t}\ \ \ \ \bigstar \left[ i \right] \\ \end{align} \right.

✦几个辅助矢量及相关概念的定义与关系:

\begin{align} & []\ \ \ \vec{D}=\varepsilon \vec{E}={\varepsilon }_{0}\vec{E}+\vec{P}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{P}={\varepsilon }_{0}{\chi }_{e}\vec{E}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\varepsilon }_{r}=1+{\chi }_{e} \\ & []\ \ \ \vec{B}={\mu }_{0}\vec{H}+{\mu }_{0}\vec{M}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{M}={\chi }_{M}\vec{H}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\mu }_{r}=1+{\chi }_{M} \\ & \\ & []\ \ \ \vec{J}={\vec{J}_{f}+{\vec{J}_{P}+{\vec{J}_{M}\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\vec{J}_{P}=\frac{\partial \vec{P}{\partial t}\ \ \bigstar \left[ ii \right]\ \ \ \ \ {\vec{J}_{M}=\nabla \times \vec{M}\ \ \bigstar \left[ iii \right] \\ & []\ \ \ \rho ={\rho }_{f}+{\rho }_{P}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\rho }_{P}=-\nabla \cdot \vec{P}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{J}\text{=}\rho \vec{v} \\ \end{align}

**几点说明:**首先要明确的一点是,虽然方程写作 $\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_f$ 但千万不要以为 {\vec{D} 是 ${\rho }_f$ 激发的, {\vec{D} 仅仅是个辅助矢量,它只由 $\vec{D}=\epsilon \vec{E}={\epsilon }_0\vec{E}+\vec{P}$ 确定,而 {\vec{E} 确实是由 $\rho$ 激发的,这点毋庸置疑.上面给出麦克斯韦方程组的两个表达形式,你是不是以为左边是无介质情况右边是考虑了介质的升级版方程组?其实并不是,左边就是一个最原始的通用方程,在任何时候都是成立的.右边是为了方便运算人为制造了一些辅助矢量使得方程组形式更优美/处理介质影响更方便罢了.

✦电流密度的计算公式:

$\vec{J}=\rho \vec{v}$ 是显然的.

但值得一提的是当体系有多种带电粒子, 它们的电荷密度分别为 ${\rho }_i$ 平均速度分别为 {\vec{v}_{i}时.

总电流密度为:\vec{J}=\sum\limits_{i}{\rho }_{i}{\vec{v}_{i} 这点在部分推导证明过程中至关重要.

✦电荷守恒定律的数学表达式:

\left. \begin{align} & \mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \vec{J}\cdot d\vec{S} =-\frac{d}{dt}\iiint_{V}{\rho \left( {\vec{x} \right)dV} \\ & \mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \vec{J}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}{\nabla \cdot \vec{J}dV} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \nabla \cdot \vec{J}=-\frac{\partial \rho }{\partial t} 这也称作电流连续性方程.

这是很好理解的式子: "某闭合曲面包围的区域单位时间流出的电流就是区域电荷的减少量."

✦洛伦兹力公式:

\begin{align} & \vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B} \\ & \vec{f}=\rho \vec{E}+\vec{J}\times \vec{B} \\ \end{align}

上面的是洛伦兹力,下面的是洛伦兹力密度,也就是电荷连续分布系统单位体积受的力.

✦边值关系: \left\{ \begin{align} & {\vec{e}_{n}\cdot \left( {\vec{D}_{2}-{\vec{D}_{1} \right)={\sigma }_{f} \\ & {\vec{e}_{n}\times \left( {\vec{E}_{2}-{\vec{E}_{1} \right)=0 \\ \end{align} \right. \left\{ \begin{align} & {\vec{e}_{n}\cdot \left( {\vec{B}_{2}-{\vec{B}_{1} \right)=0 \\ & {\vec{e}_{n}\times \left( {\vec{H}_{2}-{\vec{H}_{1} \right)={\vec{\alpha }_{f} \\ \end{align} \right.

#边值关系的由来后面会讲到,这里先写出来,目的是让第一面高密度的摆满最常用/基础的关系式/结论和定律.

✦基本量的计算:

#今后 {\vec{x}'={x}'{\vec{e}_{x}+{y}'{\vec{e}_{y}+{z}'{\vec{e}_{z}表源点, 而 {\vec{x} 表场点,且记 \vec{r}=\vec{x}-{\vec{x}'

#此外 $\nabla$ 与 {\nabla }'} 也是完全不一样的东西,分别是对场坐标与源坐标求偏导.

\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}\iiint_{V}{\frac{\rho \left( {\vec{x}'} \right)\vec{r}{r}^{3}d{V}'}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{B}=\frac{\mu }_{0}{4\pi }\iiint_{V}{\frac{\vec{J}\left( {\vec{x}'} \right)\times \vec{r}{r}^{3}d{V}'}

✦能量与能流密度: $★\left[iv\right]$

电磁场能量守恒表达式: \frac{d}{dt}\iiint_{V}{wdV}=-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \vec{S}d\vec{\sigma } -\iiint_{V}{\vec{f}\cdot \vec{v}dV} (区域 $V$ 内)

上式三部分依次表征[场能量变化率][单位时间流入 $V$ 内场的能量][系统的功率的相反数],其中 [$w$-能量密度][ {\vec{S} -能流密度/坡印亭矢量][ {\vec{f} -电磁力密度][ {\vec{v} -受力电荷速度][ $d\vec{\sigma }$ 即面元矢量 $d\vec{S}$ ,免得跟能流密度混淆,故改一下].都很直观.

把研究范围从区域 $V$ 缩小到一点有: $\frac{\partial w}{\partial t}=-\nabla \cdot \vec{S}-\vec{f}\cdot \vec{v}$ 即微分表达式.

能流密度: $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$

能量密度: \frac{\partial w}{\partial t}=\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t}+\vec{H}\cdot \frac{\partial \vec{B}{\partial t}\Rightarrow \delta w=\vec{E}\cdot \delta \vec{D}+\vec{H}\cdot \delta \vec{B}

仅线性介质可以写为 $w=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot \vec{D}+\frac{1}{2}\vec{H}\cdot \vec{B}$