I.电动力学主要定律与常用结论-注释部分

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/58866876
• 发布日期: 2019-03-17
• 分类: 电动力学

文章收录于:电动力学前情回顾

这是文章的注释部分,正文请转到:正樹：I.电动力学主要定律与常用结论

\begin{align} & \bigstar \left[ i \right]\ \nabla \times \vec{B}={\mu }_{0}\vec{J}+{\mu }_{0}{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \vec{E}{\partial t}\Rightarrow \nabla \times \frac{\vec{B}{\mu }_{0}={\vec{J}_{f}+{\vec{J}_{P}+{\vec{J}_{M}+{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \vec{E}{\partial t} \\ & \ \ \ \ \ \Rightarrow \nabla \times \frac{\vec{B}{\mu }_{0}={\vec{J}_{f}+\nabla \times \vec{M}+\frac{\partial \vec{P}{\partial t}+{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \vec{E}{\partial t}\Rightarrow \nabla \times \left( \frac{\vec{B}{\mu }_{0}-\vec{M} \right)={\vec{J}_{f}+\frac{\partial \vec{D}{\partial t} \\ \end{align}

\bigstar \left[ ii \right]\vec{P}=\frac{Nq\vec{l}{V}=nq\left( {\vec{x}_{+}-{\vec{x}_{-} \right) 其中 $q\vec{l}$ 是一个分子的电偶极矩,$n$是单位体积分子数. \Rightarrow \frac{\partial \vec{P}{\partial t}=nq\frac{\partial \left( {\vec{x}_{+}-{\vec{x}_{-} \right)}{\partial t}=nq{\vec{v}_{P+}-nq{\vec{v}_{P-}={\rho }_{P+}{\vec{v}_{P+}+{\rho }_{P-}{\vec{v}_{P-}={\vec{J}_{p}

因为一个分子是由等量异号一对电荷组成的, 所以 $n$ 可以即是正或负电荷数密度同时还是分子数密度. 式子中 ${\rho }_{P+},{\rho }_{P-}$分别是正负极化电荷密度, $q$ 是分子携带正负电荷的绝对值.

所以 ${\rho }_{P-}=-nq$ , ${\rho }_{P+}=nq$ .

最后就是提一下当体系有多种带电粒子, 它们的电荷密度分别为 ${\rho }_i$ 平均速度分别为 {\vec{v}_{i}时.

总电流密度为: \vec{J}=\sum\limits_{i}{\rho }_{i}{\vec{v}_{i}

另外给出一种不直观但简洁的结论记忆方法:

\left. \begin{align} & \nabla \cdot \vec{P}=-{\rho }_{p} \\ & \frac{\partial {\rho }_{p}{\partial t}=-\nabla \cdot {\vec{J}_{p} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \nabla \cdot \frac{\partial \vec{P}{\partial t}=-\frac{\partial {\rho }_{p}{\partial t}=-\nabla \cdot {\vec{J}_{p}\Rightarrow \frac{\partial \vec{P}{\partial t}={\vec{J}_{p}

实际上这个写法会引起一个矛盾: \begin{align} & \nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{f}\Rightarrow \nabla \cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t}=\frac{\partial {\rho }_{f}{\partial t}=-\nabla \cdot {\vec{J}_{f}\Rightarrow \frac{\partial \vec{D}{\partial t}=-{\vec{J}_{f} \\ & \Rightarrow \nabla \times \vec{H}={\vec{J}_{f}+\frac{\partial \vec{D}{\partial t}=0 \\ \end{align}

\bigstar \left[ iii \right]\iint{\vec{J}_{M}\cdot d\vec{S}=\oint{ni\vec{a}\cdot d\vec{l}=\oint{n\vec{m}\cdot d\vec{l}=\oint{\vec{M}\cdot d\vec{l}=\iint{\nabla \times \vec{M}\cdot d\vec{S}

$ni\vec{a}$ 分别表示[单位体积分子数/分子环状电流强度/分子环状电流面积矢量]

$★\left[iv\right]\vec{F}=q\vec{E}+q\vec{v}\times \vec{B}\Rightarrow \vec{f}=\rho \vec{E}+\rho \vec{v}\times \vec{B}$

先从最不好分析的地方入手,想办法用熟悉的量表示:

\left. \begin{align} & \vec{f}\cdot \vec{v}=\rho \vec{E}\cdot \vec{v}+\rho \left( \vec{v}\times \vec{B} \right)\cdot \vec{v}=\vec{J}\cdot \vec{E} \\ & \frac{\partial w}{\partial t}=-\nabla \cdot \vec{S}-\vec{f}\cdot \vec{v} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \vec{J}\cdot \vec{E}=-\nabla \cdot \vec{S}-\frac{\partial w}{\partial t} ❶

后面的公式都是用电场/磁场强度之类表示的,所以利用麦克斯韦方程组:

\nabla \times \vec{H}={\vec{J}_{f}+\frac{\partial \vec{D}{\partial t}\Rightarrow \vec{J}\cdot \vec{E}=\left( \nabla \times \vec{H} \right)\cdot \vec{E}-\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t} ❷

结合❶❷得到: \nabla \cdot \vec{S}+\frac{\partial w}{\partial t}=\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t}-\left( \nabla \times \vec{H} \right)\cdot \vec{E} ❸

最后一项试着用含有 $\nabla \cdot \left(\vec{E}\times \vec{H}\right)$ 的式子替代.

这样处理是怎么想到的?因 为 我 知 道 $\vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}$ 这 个 结 论 啊...

\nabla \cdot \left( \vec{E}\times \vec{H} \right)=\left( \nabla \times \vec{E} \right)\cdot \vec{H}-\left( \nabla \times \vec{H} \right)\cdot \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}{\partial t}\cdot \vec{H}-\left( \nabla \times \vec{H} \right)\cdot \vec{E}

代入❸得到: \nabla \cdot \vec{S}+\frac{\partial w}{\partial t}=\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t}+\nabla \cdot \left( \vec{E}\times \vec{H} \right)+\vec{H}\cdot \frac{\partial \vec{B}{\partial t}

最后只需要把上式的时间求导部分和散度部分分开即得到结论: \vec{S}=\vec{E}\times \vec{H}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \frac{\partial w}{\partial t}=\vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t}+\vec{H}\cdot \frac{\partial \vec{B}{\partial t}

线性介质有: \vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{D}{\partial t}=\varepsilon \vec{E}\cdot \frac{\partial \vec{E}{\partial t}=\frac{\varepsilon }{2}\frac{\partial {\vec{E}^{2}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left( \frac{1}{2}\vec{E}\cdot \vec{D} \right)\Rightarrow w=\frac{1}{2}\vec{E}\cdot \vec{D}+\frac{1}{2}\vec{H}\cdot \vec{B}