齐次函数的欧拉定理与其一推论

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/61111531
• 发布日期: 2019-04-01
• 分类: 数学方法 / 物理数学工具箱

首先给出齐次函数的定义:

若函数满足条件 $f\left(a{x}_1,a{x}_2,\cdots ,a{x}_s\right)=a^{n}f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_s\right)$ 则称其为 $n$ 次齐次函数.

齐次函数的欧拉定理表述如下:

若 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_s\right)$ 是 $n$ 次齐次函数, 则有 \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=nf.

证明:

对齐次函数的定义等式两边关于 $a$ 求导有:

\sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},a{x}_{2},\cdots ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=n{a}^{n-1}f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right).

接下来令 $a=1$ 得到: \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=nf 即得证.

推论:

对 $n$ 次齐次函数 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_s\right)$ 有 \sum\limits_{\beta \text{=1}^{s}{\frac{\partial }{\partial {x}_{\beta }\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\beta }=\left( n-1 \right)}\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }.

也就是说 $n$ 次齐次函数的每一项偏导数都是 $n-1$ 次齐次函数.

证明:

就还是对齐次函数的定义两边关于 $a$ 求导,

也就还是得到 \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},a{x}_{2},\cdots ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=n{a}^{n-1}f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right).

然后将刚证明完的定理有 \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=nf 代入上式,

得到: \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},a{x}_{2},\cdots ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }={a}^{n-1}\sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right)}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }.

显然[1]有 \frac{\partial f\left( a{x}_{1},a{x}_{2},\cdots ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }={a}^{n-1}\frac{\partial f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right)}{\partial {x}_{\alpha }, 这就是 $n-1$ 次齐次函数的定义.

再搁这用一次定理即得所求结论 \sum\limits_{\beta \text{=1}^{s}{\frac{\partial }{\partial {x}_{\beta }\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\beta }=\left( n-1 \right)}\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }.

后日谈:

见评论区指出了另一个证明方法, 如下所示:

直接对齐次函数定义 $f\left(a{x}_1,a{x}_2,\cdots ,a{x}_s\right)=a^{n}f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_s\right)$ 关于任意变量求导,

得到 \frac{\partial f}{\partial a{x}_{\alpha }\cdot a={a}^{n}\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial a{x}_{\alpha }={a}^{n-1}\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha }.

上面的 \frac{\partial f}{\partial a{x}_{\alpha }={a}^{n-1}\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha } 其实就是 $n-1$ 次齐次函数的定义.

这里要注意到所有等号左边的 $f$ 表示的是 $f\left(a{x}_1,a{x}_2,\cdots ,a{x}_s\right),$ 而所有等号右边的 $f$ 表示的是 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_s\right)$ , 为了简洁就省写了一点儿.

所以说, 实际上可以不用到欧拉定理就可以证明 $f$ 的每一项偏导数都是 $n-1$ 次齐次函数.

利用上述结论我们可以的到另一个证明欧拉定理的方法:

又又又对齐次函数的定义两边关于 $a$ 求导,

又又又还是得到 \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},a{x}_{2},\cdots ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=n{a}^{n-1}f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right).

再将结论 \frac{\partial f}{\partial a{x}_{\alpha }={a}^{n-1}\frac{\partial f}{\partial {x}_{\alpha } 套进去即得 \sum\limits_{\alpha =1}^{s}{\frac{\partial f\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right)}{\partial {x}_{\alpha }\cdot {x}_{\alpha }=nf\left( {x}_{1},{x}_{2},\cdots ,{x}_{s} \right).

后日又谈:

评论区问逆命题是否成立, 我想应该是在问:

『齐次函数一定满足欧拉定理, 那么满足欧拉定理的一定是齐次函数吗? 』

答案是肯定的:

\ \ \ \ \ \sum\limits_{\alpha =1}{\frac{\partial f\left( {x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,{x}_{s} \right)}{\partial {x}_{\alpha }{x}_{\alpha }=nf\left( {x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,{x}_{s} \right)

\Rightarrow \sum\limits_{\alpha =1}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }a{x}_{\alpha }=nf\left( a{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,a{x}_{s} \right)

\Rightarrow \sum\limits_{\alpha =1}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }{x}_{\alpha }={a}^{-1}nf\left( a{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,a{x}_{s} \right)

\Rightarrow \sum\limits_{\alpha =1}{\frac{\partial f\left( a{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,a{x}_{s} \right)}{\partial a{x}_{\alpha }\frac{\text{d}a{x}_{\alpha }{\text{d}a}={a}^{-1}nf\left( a{x}_{1},\cdot \cdot \cdot ,a{x}_{s} \right)

$\Rightarrow \frac{\text{d}f\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)}{\text{d}a}=a^{-1}nf\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)$

$\Rightarrow \frac{df\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)}{f\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)}=a^{-1}n\text{d}a$

$\Rightarrow \text{d}\ln f\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)=\text{d}\ln a^n$

$\Rightarrow \ln f\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)=\ln a^n+\text{const}$ [2]

$\Rightarrow f\left(a{x}_1,\cdot \cdot \cdot ,a{x}_s\right)=\text{const}\cdot a^n.$

令上式中 $a=1$ 不难得到关系 $\text{const}=f\left(x_1,\cdot \cdot \cdot ,x_s\right).$

QuantumElectroDynamics.

参考

• ^显然吗?
• ^Constant for a.