关于 Δr^-1=-4πδ(r) 的证明

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/61368951
• 发布日期: 2019-04-03
• 分类: 数学方法 / 物理数学工具箱

1. 当$r\ne 0$时:

$\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}=\nabla \cdot \left(-{\frac{1}{r}}^2\nabla r\right)=-\nabla \cdot \left({\frac{1}{r}}^3\vec{r}\right)=-\left[\nabla {\frac{1}{r}}^3\cdot \vec{r}+{\frac{1}{r}}^3\nabla \cdot \vec{r}\right]={\frac{3}{r}}^3-{\frac{3}{r}}^3=0$

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2. 当$r=0$即\vec{x}={\vec{x}'时 (\vec{r}=\vec{x}-{\vec{x}') :

下面考虑取 {\vec{x}'=0 也就是设定源点为坐标原点, 这样 $\vec{r}=\vec{x}=\left(x,y,z\right)$ 会简洁很多.

考虑在包含了原点(即 ${\vec{x}}^{\prime }$ 点)的区域进行体积分: \iiint_{V}{\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}dV

因为在任何 $r\ne 0$ 处 ${\nabla }^2\frac{1}{r}=0$ , 所以对上面积分有贡献的点就只可能是 $r=0$ 一点.

应用高斯公式改为中心为包围了原点的闭曲面积分:

\iiint_{V}{\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}dV=\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \nabla \frac{1}{r}\cdot d\vec{S} =\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S -\frac{1}{r}^{3}\vec{r}\cdot d\vec{S}

关于 $\vec{r}\cdot d\vec{S}$ , 如下图我们可以画出面元 $d\vec{S}$ 关于原点张成的无穷小立体角 $d\Omega$ :

面元矢量的大小是面元的面积, 方向是垂直于面的方向. 下图 $d\vec{\sigma }$ 与 $\vec{r}$ 平行.

不难想象 \vec{r}\cdot d\vec{S}=rdS\left( {\vec{e}_{r}\cdot {\vec{e}_{d\vec{s} \right)=rdS\cos \theta =rd\sigma

所以原曲面积分就化为了:

\iiint_{V}{\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}dV=-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \frac{1}{r}^{3}\vec{r}\cdot d\vec{S} =-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \frac{1}{r}^{2}d\sigma =-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \frac{1}{r}^{2}{r}^{2}d\Omega =-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S d\Omega =-4\pi

觉不觉得钦定 {\vec{x}'=0 有失一般性? 没有任何的这个意思, 显然从头到尾 ${\vec{x}}^{\prime }$ 是没有动过的, 也就是一个常量, 那么无论你坐标系是如何定的都不该影响到积分结果.

假如没有包括原点(即 ${\vec{x}}^{\prime }$ 点, $\vec{r}$ 的起点), 最后积分结果是得不到 $-4\pi$ 的, 事实上此时结果为 $0$ .

关于这一点, 我一下想到了好几个证明方法都不知道该写哪一个, 留给读者思考吧.

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3. 考虑到前面讨论的种种特性, 我们可以把原式简记为一个 delta function:

{\nabla }^{\text{2}\frac{\text{1}{r}=-4\pi \delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right)

因为 -4\pi \delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right) 能表现出 ${\nabla }^2\frac{1}{r}$ 所有的特性, 所以我们说它们相等.