II.静电场 Electrostatic field-注释部分

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/59768829
• 发布日期: 2019-04-04
• 分类: 电动力学

文章收录于:电动力学前情回顾

这是文章的注释部分,正文请转到:正樹：II.静电场/Electrostatic field

\bigstar [i]\ \ \nabla \times \vec{E}=0\Rightarrow \iint_{S}{\left( \nabla \times \vec{E} \right)}\cdot d\vec{S}=0\Rightarrow \oint{\vec{E}\cdot d\vec{l}=0 说明与路径无关,也就是等价于可以给空间每一个点定义一个关于点坐标的函数值使得一个路径积分为初末路径值的差值,即 \varphi \left( B \right)-\varphi \left( A \right)=-\int_{A}^{B}{\vec{E}d\vec{l} .注意到$\phi \left(B\right)-\phi \left(A\right)={\int }_A^{B}d\phi$ 也就是存在某函数的全微分使得关系 $d\phi =-\vec{E}\cdot d\vec{l}$ 成立,这实际上是格林公式的几个推论之一.

由上式可直接得:d\varphi =-\vec{E}\cdot d\vec{l}\Rightarrow -\frac{d\varphi }{d\vec{l}=\vec{E}\Rightarrow -\nabla \varphi =\vec{E} 这里涉及了标量对矢量求导,它的运算逻辑是这样的: \vec{x}=\left( {x}_{1},{x}_{2},{x}_{3} \right)\Rightarrow \frac{d}{d\vec{x}=\left( \frac{\partial }{\partial {x}_{1},\frac{\partial }{\partial {x}_{2},\frac{\partial }{\partial {x}_{3} \right) ,而矢量线元 $d\vec{l}=\left(dx,dy,dz\right)$ 所以 \frac{d}{d\vec{l}=\nabla,不知道矢量线元是啥的请复习对坐标的曲线积分.

反正是注释部分不如罗嗦点再增加一个不接受标量对矢量求导的证明观点: \left. \begin{align} & d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy+\frac{\partial \varphi }{\partial z}dz=\nabla \varphi \cdot d\vec{l} \\ & d\varphi =-\vec{E}\cdot d\vec{l} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \vec{E}=-\nabla \varphi

又或者可以这么想:

$d\phi =-\vec{E}\cdot d\vec{l}$ 对于一维情形是 $d\phi =-E_x\cdot dx$ 即得 $\frac{d\phi }{dx}=-E_x$ ,

这不难推广到三维有 \left\{ \begin{align} & \frac{\partial \varphi }{\partial x}=-{E}_{x} \\ & \frac{\partial \varphi }{\partial y}=-{E}_{y} \\ & \frac{\partial \varphi }{\partial z}=-{E}_{z} \\ \end{align} \right. 即得到关系 $\vec{E}=-\nabla \phi$

我也不知道为什么要把这么浅显的东西翻来覆去讲了一波,既然写了也舍不得删,反正注释嘛就是需要哪看哪的东西,权当写给还搞不懂势能梯度与力之间关系的大一新生算了.

\bigstar [ii]\nabla \cdot \vec{D}=-\frac{\varepsilon }{4\pi {\varepsilon }_{0}\iiint_{V}'}{\rho \left( {\vec{x}'} \right){\nabla }^{2}\frac{1}{r}d{V}'}={\varepsilon }_{r}\iiint_{V}'}{\rho \left( {\vec{x}'} \right)\delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right)d{V}'}={\rho }_{f}

这里就是将电势的计算式带入计算得到了麦克斯韦方程组中的 $\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_f$

$\nabla \cdot \vec{D}=\epsilon \nabla \cdot \vec{E}=-\epsilon {\nabla }^2\phi =-\frac{\epsilon }{4\pi {\epsilon }_0{\iiint }_V^{\prime }}\rho \left({\vec{x}}^{\prime }\right){\nabla }^2\frac{1}{r}d{V}^{\prime }$

上面这步是不难理解的,注意辨析 $\nabla$ 与 {\nabla }'} 的区别就好.

其中用到的等式 {\nabla }^{\text{2}\frac{\text{1}{r}=-4\pi \delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right) 就是这里的运算重点.

上面等式成立的话(最后会证明),很自然的可以得到: \nabla \cdot \vec{D}={\varepsilon }_{r}\iiint_{V}'}{\rho \left( {\vec{x}'} \right)\delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right)d{V}'}={\varepsilon }_{r}\rho ={\rho }_{f}

顺带一提: ${\epsilon }_r\rho ={\epsilon }_r{\epsilon }_0{\frac{\rho }{\epsilon }}_0=\epsilon \nabla \cdot \vec{E}=\nabla \cdot \vec{D}={\rho }_f$

又或者 ${\rho }_f=\rho -{\rho }_P=\rho +\nabla \cdot \vec{P}=\rho +{\epsilon }_0{\chi }_e\nabla \cdot \vec{E}=\rho \left(1+{\chi }_e\right)={\epsilon }_r\rho$

这里就是要习惯几个辅助矢量与电荷密度之间的关系,习惯了能算出花来.

接下来证明{\nabla }^{\text{2}\frac{\text{1}{r}=-4\pi \delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right):

当 $r\ne 0$ 时: $\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}=\nabla \cdot \left(-{\frac{1}{r}}^2\nabla r\right)=-\nabla \cdot \left({\frac{1}{r}}^3\vec{r}\right)=-\left[\nabla {\frac{1}{r}}^3\cdot \vec{r}+{\frac{1}{r}}^3\nabla \cdot \vec{r}\right]={\frac{3}{r}}^3-{\frac{3}{r}}^3=0$

当 $r=0$ 即 \vec{x}={\vec{x}' 时: [# \vec{r}=\vec{x}-{\vec{x}' ]

可以考虑取 {\vec{x}'=0 也就是设定源点为坐标原点,这样 $\vec{r}=\vec{x}=\left(x,y,z\right)$ 会简洁很多.

考虑在原点(即 ${\vec{x}}^{\prime }$ 点)处进行无穷小区域的体积分: \iiint_{V}{\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}dV

应用高斯公式改为中心为原点的无穷小的闭曲面积分:

\iiint_{V}{\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}dV=\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \nabla \frac{1}{r}\cdot d\vec{S} =\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S -\frac{1}{r}^{3}\vec{r}\cdot d\vec{S}

这里值得注意的是 $\vec{r}\cdot d\vec{S}=rdS$ 因为 $d\vec{S}$ 也就是一个点,它的方向就是 {\vec{r} 的方向,试着想想一个球上面的面元的法线方向,是不是半径方向？ {\vec{r} 就是半径,所以就有:

\iiint_{V}{\nabla \cdot \nabla \frac{1}{r}dV=\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S -\frac{1}{r}^{3}\vec{r}\cdot d\vec{S} =\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S -\frac{dS}{r}^{2} =-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S d\Omega =-4\pi

这就奇怪了,那岂不是怎么算都是 $-4\pi$ ?当然不是,之所以能当作球来处理是要求 $r\to 0$的 ,因为无穷小的闭合曲面究竟是个球面还是正方体已经没有本质区别了.

觉不觉得钦定{\vec{x}'=0有失一般性?没有任何这个意思,显然从头到尾 ${\vec{x}}^{\prime }$ 是没有动过的,也就是一个常量,那你坐标系如何定是不会影响到积分结果的.

综上所述:{\nabla }^{\text{2}\frac{\text{1}{r}=-4\pi \delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right)

\bigstar [iii]\left\{ \begin{align} & \nabla \cdot \vec{A}=\nabla \cdot \vec{B} \\ & \nabla \times \vec{A}=\nabla \times \vec{B} \\ & {\left. \vec{n}\times \vec{A} \right|}_{S}={\left. \vec{n}\times \vec{B} \right|}_{S} \\ \end{align} \right. 同理也可以用来确定场,做法基本类似.

显然有 \left\{ \begin{align} & \nabla \cdot \vec{f}=0 \\ & \nabla \times \vec{f}=0 \\ & {\left. \vec{n}\times \vec{f} \right|}_{S}=0 \\ \end{align} \right. 同样计算 ${\iiint }_V{\vec{f}}^{2}dV={\iiint }_V\left(\nabla \times \vec{g}\right)\cdot \vec{f}dV$

带入 $\nabla \cdot \left(\vec{f}\times \vec{g}\right)=\left(\nabla \times \vec{f}\right)\cdot \vec{g}-\left(\nabla \times \vec{g}\right)\cdot \vec{f}=-\left(\nabla \times \vec{g}\right)\cdot \vec{f}$ 得到:

-\iiint_{V}{\nabla \cdot \left( \vec{f}\times \vec{g} \right)dV}=-\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \left( \vec{f}\times \vec{g} \right)\cdot d\vec{S} =\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_S \vec{g}\cdot \left( \vec{n}\times \vec{f} \right) dS=0

这又一次说明了$\vec{A}=\vec{B}$ 也就是说空间内的场被这三个条件唯一确定了.

\bigstar [iv]\frac{1}{2}\iiint_{\infty }{\nabla \cdot \left( \varphi \vec{D} \right)dV}=\frac{1}{2}\iint_{\infty }{\varphi \vec{D}\cdot d\vec{S}=0

注意积分区域是全空间,或者说所有电场染指的区域,假如说 {\vec{D} 还有 $d\vec{S}$ 方向的分量那就说明电场还能扩张一点,那么我们的积分区域就跟着扩张,假如在出现 {\vec{D} 垂直于 $d\vec{S}$ 之前就消减为0了那也好办,就直接是0呗.这个积分可以说是遭到逻辑打击了.