II.静电场 Electrostatic field

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/61473751
• 发布日期: 2019-04-04
• 分类: 电动力学

文章收录于:电动力学前情回顾

为保持版面整洁,$★$备注写在另一篇文章中:正樹：II.静电场/Electrostatic field-注释部分

Index:

✦静电场约束条件

✦无旋场→引入标势

✦电势 $\phi$ 计算式

✦矢量场唯一性定理

✦静电势的微分方程

✦电场的边值关系

✦静电场能量

✦静电场唯一性定理

✦静电场约束条件: \left\{ \begin{align} & \nabla \times \vec{E}=0 \\ & \nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{f} \\ \end{align} \right.

✦无旋场→引入标势: $\nabla \times \vec{E}=0\Rightarrow \vec{E}=-\nabla \phi ★[i]$

其原理主要是 $\nabla \times \nabla =0$ ,即 \left. \begin{align} & \nabla \times \left( \nabla \varphi \right)=0 \\ & \nabla \times \vec{E}=0 \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \vec{E}=-\nabla \varphi 也就是说所有的无旋场都可以表示为一个标量函数的梯度,这个负号在数学上是无关紧要的,物理上是为了与以前势能概念统一加上的(做正功势减少这种感觉).

✦电势$\phi$计算式:

$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{\iiint }_V^{\prime }}\frac{\rho \left({\vec{x}}^{\prime }\right)}{r}d{V}^{\prime }$ 其中 $\rho ={\rho }_f+{\rho }_P$

#再次说明今后{\vec{x}'={x}'{\vec{e}_{x}+{y}'{\vec{e}_{y}+{z}'{\vec{e}_{z}表源点, 而{\vec{x}表场点,且记\vec{r}=\vec{x}-{\vec{x}'.

#此外$\nabla$与{\nabla }'}也是完全不一样的东西,分别是对场坐标与源坐标求偏导.

虽是必然但仍然值得一提的是,这个计算式可以从麦克斯韦方程组导出: $★[ii]$

\nabla \cdot \vec{D}=-\varepsilon {\nabla }^{2}\varphi =-\frac{\varepsilon }{4\pi {\varepsilon }_{0}\iiint_{V}'}{\rho \left( {\vec{x}'} \right){\nabla }^{2}\frac{1}{r}d{V}'}={\varepsilon }_{r}\iiint_{V}'}{\rho \left( {\vec{x}'} \right)\delta \left( \vec{x}-{\vec{x}' \right)d{V}'}={\rho }_{f}

这同时也表明了标势引入的合理性与标势计算公式的合理性,此外,这说明电场强度的计算式也可以由麦克斯韦方程组导出.

✦矢量场唯一性定理:

若已知场内各点『散度 $\nabla \cdot \vec{f}$』和『旋度 $\nabla \times \vec{f}$ 』及边界『 法相分量 ${\vec{n}\cdot \vec{f}|}_S$ 或切向分量 ${\vec{n}\times \vec{f}|}_S$』则矢量场在面 $S$ 包围的区域 $V$ 内被唯一确定.

简证:

对于条件\left\{ \begin{align} & \nabla \cdot \vec{A}=\nabla \cdot \vec{B}=\alpha \\ & \nabla \times \vec{A}=\nabla \times \vec{B}=\beta \\ & {\left. \vec{n}\cdot \vec{A} \right|}_{S}={\left. \vec{n}\cdot \vec{B} \right|}_{S}=\gamma \\ \end{align} \right. 设 $\vec{f}=\vec{A}-\vec{B}$ 为一个新的矢量场,显然 \left\{ \begin{align} & \nabla \cdot \vec{f}=0 \\ & \nabla \times \vec{f}=0 \\ & {\left. \vec{n}\cdot \vec{f} \right|}_{S}=0 \\ \end{align} \right. 假如我们证明了 {\vec{f} 在整个空间都是0那就说明 $\vec{A}=\vec{B}$ ,即空间内场被三个条件唯一确定了.

我们如此构造 {\vec{f} 其实就是为了引入标势: $\nabla \cdot \vec{f}=0\Rightarrow \nabla \phi =\vec{f}$

怎么证明一个矢量场处处为0呢?自由度太大了感觉到一团糟对吧?换个思路,矢量的方向纯粹是在这里捣乱的,假如我证明了一个矢量大小为零,那管你什么方向,你都不存在.

于是我们将问题转向标量场 $\vec{f}\cdot \vec{f}$ ,来计算 ${\iiint }_V\vec{f}\cdot \vec{f}dV={\iiint }_V\nabla \phi \cdot \vec{f}dV$ :

注意到 $\nabla \cdot \left(\phi \vec{f}\right)=\nabla \phi \cdot \vec{f}+\phi \nabla \cdot \vec{f}=\nabla \phi \cdot \vec{f}$

就有 \iiint_{V}{\nabla \varphi \cdot \vec{f}dV}=\iiint_{V}{\nabla \cdot \left( \varphi \vec{f} \right)dV}=\iint_{S}{\varphi \vec{f}\cdot d\vec{S}=\iint_{S}{\varphi \vec{f}\cdot \vec{n}dS}=0

这也就说明了$\vec{A}=\vec{B}$ 也就是说空间内的场被这三个条件唯一确定了.

$★[iii]$另一个边界条件在注释部分.

有场的唯一性定理作为支撑,我们就有把握说自己的通过特殊手段找到的解是完备的了,因为你找到的解如果同时满足了旋度散度分布和边界条件的话就说明你找到了唯一的一个解,自然是完备的.也就是找到解就好了,这样在物理上我们甚至可以说猜到/感觉到/强行带入试试/或者用其他卑鄙的特殊手段强行凑出来之类都可以算作合理的方法.被逼到这一步主要是因为数学上解这些方程其实真的很难.

✦静电势的微分方程:

Poisson方程: {\nabla }^{2}\varphi =-\frac{\rho }_{f}{\varepsilon }

很容易看出来是怎么来的,很简洁的方程吧?呵呵巨难解.

✦电场的边值关系:

电场的边值关系表述为: \left\{ \begin{align} & {\vec{e}_{n}\cdot \left( {\vec{D}_{2}-{\vec{D}_{1} \right)={\sigma }_{f}\ \ \ --[1] \\ & {\vec{e}_{n}\times \left( {\vec{E}_{2}-{\vec{E}_{1} \right)=0\ \ \ \ \ --[2] \\ \end{align} \right.

一般界面的电势表达的边值关系: \left\{ \begin{align} & {\left. {\varphi }_{2} \right|}_{S}={\left. {\varphi }_{1} \right|}_{S}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ------[3] \\ & {\varepsilon }_{2}{\left. \frac{\partial {\varphi }_{2}{\partial n} \right|}_{S}-{\varepsilon }_{1}{\left. \frac{\partial {\varphi }_{1}{\partial n} \right|}_{S}=-{\sigma }_{f}\ \ \ \ --[4] \\ \end{align} \right.

导体表面: \left\{ \begin{align} & {\left. \varphi \right|}_{S}=const\ \ \ \ \ \ ---[5] \\ & \varepsilon {\left. \frac{\partial \varphi }{\partial n} \right|}_{S}=-{\sigma }_{f}\ \ \ ---[6] \\ \end{align} \right.

简证[1]:

正如上图所示这样做一个被界面横切的圆柱形高斯面,圆柱上下底面积为 $\Delta S$ ,高为 $h\to 0$.

Maxwell's equation: \nabla \cdot \vec{D}={\rho }_{f}\Rightarrow \mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_{\vec{S} \vec{D}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}{\rho }_{f}dV={q}_{f}

\mathop{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\nolimits_{\vec{S} \vec{D}\cdot d\vec{S} ={\vec{D}_{2}\cdot \Delta {\vec{S}_{2}+{\vec{D}_{1}\cdot \Delta {\vec{S}_{\text{1}\text{=}{\vec{e}_{n}\cdot {\vec{D}_{2}\Delta S-{\vec{e}_{n}\cdot {\vec{D}_{1}\Delta S={q}_{f}

\Rightarrow {\vec{e}_{n}\cdot \left( {\vec{D}_{2}-{\vec{D}_{1} \right)=\frac{q}_{f}{\Delta S}={\sigma }_{f} 其中 ${\sigma }_f$ 是自由电荷面密度.面积分不包括侧面是因为侧面积随着高$PQ=h\to 0$而忽略不计了.

简证[2][3]:

[3] ${{\phi }_2|}_S={{\phi }_1|}_S$ 实际上是显然的,如图 {\left. {\varphi }_{2} \right|}_{S}-{\left. {\varphi }_{1} \right|}_{S}={\varphi }_{M}-{\varphi }_{N}=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }\,\vec{E}\cdot \overrightarrow{MN}=0

同理 \left\{ \begin{align} & {\varphi }_{M}-{\varphi }_{N}=0\ \ \ [a] \\ & {\varphi }_{P}-{\varphi }_{Q}=0\ \ \ \ [b] \\ \end{align} \right. 然后 $[a]-[b]$ 得到 ${\phi }_M-{\phi }_P={\phi }_N-{\phi }_Q$

{\vec{E}_{2}\cdot \overrightarrow{MP}={\vec{E}_{1}\cdot \overrightarrow{NQ} 然而 $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NQ}$ 所以 {\vec{e}_{n}\times \left( {\vec{E}_{2}-{\vec{E}_{1} \right)=0 也即证明了[2].

{\vec{e}_{n}\times \vec{E} 是电场强度的水平分量在水平面上转了 $\frac{\pi }{2}$ ,但大家都转了 $\frac{\pi }{2}$ 结论也就等价了.

至于[4][5][6]实在是过于显然就不予以详细讨论了.

✦静电场能量:[注意积分区域是全空间]

W=\frac{1}{2}\iiint_{\infty }{\rho }_{f}\varphi dV} #注意这里 $\frac{1}{2}{\rho }_f\phi$ 不是能量密度,因为能量是场的而不是电荷的.

简证:

$W=\frac{1}{2}{\iiint }_{\infty }\vec{E}\cdot \vec{D}dV=-\frac{1}{2}{\iiint }_{\infty }\nabla \phi \cdot \vec{D}dV$

带入关系 $\nabla \cdot \left(\phi \vec{D}\right)=\nabla \phi \cdot \vec{D}+\phi \nabla \cdot \vec{D}$ 得到: W=-\frac{1}{2}\iiint_{\infty }{\left[ \nabla \cdot \left( \varphi \vec{D} \right)-\varphi \nabla \cdot \vec{D} \right]dV}=\frac{1}{2}\iiint_{\infty }{\rho }_{f}\varphi dV}\ \ \ \ \ \bigstar [iv]另一项呢?

✦静电场唯一性定理:

**[]**无导体时确定 $\phi$,只需给出『自由电荷 ${\rho }_f$ 分布』与『边界的 ${\phi |}_S$ 或 ${\frac{\partial \phi }{\partial n}|}_S$ 』即可.

**[]**有导体时确定 $\phi$,只需给出『自由电荷 ${\rho }_f$ 分布』与『导体的电势 $\phi$ 或导体电荷 $q$ 』与『边界的 ${\phi |}_S$ 或 ${\frac{\partial \phi }{\partial n}|}_S$ 』即可.

#导体的等势条件会限制电荷分布 #导体就相当于空间的一个漏洞这样的感觉吧