IV.静电场 iii Electrostatic field iii

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/61630006
• 发布日期: 2019-04-08
• 分类: 电动力学

文章收录于:电动力学前情回顾

为保持版面整洁,$★$备注写在另一篇文章中:正樹：IV.静电场 iii/Electrostatic field iii-注释部分

✦镜象法:

拉普拉斯方程 ${\nabla }^2\phi =0$ 的情况好像能处理一点了,但是泊松方程 {\nabla }^{2}\varphi =\frac{\rho }_{f}{\varepsilon } 还是搞不定吧?这里介绍一个镜象法可以处理部分泊松方程的静电场问题.

原理:矢量场(静电场)唯一性原理. 即先删除所有边界上的感应或极化电荷,再在所研究区域外添加点电荷使得边界条件保持不变.此时这些自行添加的点电荷就可以代替原来删除的电荷,就将问题化简为研究点电荷产生电势/电场的情况.

#放置思路:[1]考察对称性. [2]分析电场与分界面是否垂直. [3]考虑电势

例:真空中有半径为$R_0$的接地导体球,于距球心 $a\left(a>R_0\right)$ 处放电荷$Q$,求解球外电势.

解:

从对称性猜测,或许可以在如图 $x$ 轴上放置电荷 {Q}'}代替球面电荷.

解法①如图所设坐标不难算出球上一点 P\left( x,y=\sqrt{R_{0}^{2}-{x}^{2} \right)

应有 {\varphi }_{P}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}\left( \frac{Q}'}{\sqrt{\left( x-b \right)}^{2}+{y}^{2}+\frac{Q}{\sqrt{\left( x-a \right)}^{2}+{y}^{2} \right)\equiv 0 \Rightarrow \frac{Q}'}{Q}=-\frac{\sqrt{R_{0}^{2}+{b}^{2}-2bx}{\sqrt{R_{0}^{2}+{a}^{2}-2ax}=-\frac{b\sqrt{\frac{R_{0}^{2}{b}^{2}+1-\frac{2x}{b}{R}_{0}\sqrt{\frac{a}^{2}{R_{0}^{2}+1-\frac{2ax}{R_{0}^{2}=const\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{R_{0}^{2}{b}^{2}=\frac{a}^{2}{R_{0}^{2} \\ & \frac{2x}{b}=\frac{2ax}{R_{0}^{2} \\ \end{align} \right. \Rightarrow b=\frac{R_{0}^{2}{a}\Rightarrow {Q}'=-\frac{R}_{0}{a}Q

这个推导其实没有什么道理,就是我凭感觉猜出来的,物理学嘛 『感』也是很重要的.

$★[i]$严格推导也是可以的,还有就是感觉是怎么来的之类就请看注释部分吧.

解法② {\varphi }_{P}=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}\left( \frac{Q}'}{r}'}+\frac{Q}{r} \right)=0\Rightarrow \frac{Q}'}{Q}=-\frac{r}'}{r}=Const\Rightarrow \Delta {Q}'PO\sim \Delta PQ{O}' \Rightarrow \frac{r}'}{r}=\frac{R}_{0}{a}=\frac{b}{R}_{0}\Rightarrow b=\frac{R_{0}^{2}{a}

好像是更简单的方法吧?那为什么我要把这个作为解法②呢?因为不符合思维习惯,电动力学很少突然就找三角形相似吧?其实方法①也没啥运算量,还直观很多.

最后提一点: \left| {Q}'} \right|<\left| Q \right| 是显然的,可以考虑保持 $Q$ 电量不变而趋于无穷远,那么 \left| {Q}'} \right| 不难想象是会越来越小.为什么要提这点呢？因为有人会死背结论 {Q}'=-\frac{R}_{0}{a}Q 却不记得 $a和R_0$ 谁是分母.

$★[ii]$不接地你会算吗(假定带电荷 {Q}_{\text{0} )?可以玩玩看,搞不定就看看注释部分.

补充例1:

就如上图所示,两个接地金属的边界成 $\frac{\pi }{3}$ 的夹角,在真空中放一个题设电荷,要想用等效电荷替代边界产生的感应电荷,需要放几个?放哪里?

答案如图所示要放5个,这里是通过电势判断的,金属接地所以电势为 $0$ ,为了保证 $\Pi$ 面电势为 $0$ 就要在 $B$ 处放置 $-Q$ .同理也要在 $C$ 处放置$-Q$,但此时考察 $\Omega$ 面发现电势不为 $0$,还需要在 $D$ 处放一个 $+Q$ 来抵消 $B$ 处的影响.但这个时候 $\Pi$ 电荷又不为 $0$ 了,就要在 $E,F$ 处放置电荷,最后如图所示就达到了要求.

这里是通过电势考虑的,从[金属表面与表面的合电场强度要垂直]的角度出发也能做出这题.

最后提一下可以证明类似情况当夹角 $\theta \text{=}\frac{\pi }{n}$ 时,需要放2n-1各等效电荷,正如上图所暗示的那样,这些等效电荷都在同一个圆上.

补充例2:

如上图所示这种情况要在哪里放几个等效电荷呢?

答案是无穷个,由电荷系统要同时关于两个界面对称可知起码要放无穷个.想不出来就看看注释部分吧. $★[iii]$