IV.静电场 iii Electrostatic field iii-注释部分

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/61774489
• 发布日期: 2019-04-08
• 分类: 电动力学

文章收录于:电动力学前情回顾

这是文章的注释部分,正文请转到:正樹：IV.静电场 iii/Electrostatic field iii

\bigstar [i]\ \frac{Q}'}{Q}=-\frac{\sqrt{R_{0}^{2}+{b}^{2}-2bx}{\sqrt{R_{0}^{2}+{a}^{2}-2ax}=const

目的是解出 $b$ ,但这看着就一个方程却有 $x,b$ 两个未知数.搞得定吗?

思路是这样的,想办法化成 $Ax=B$ 的形式就好了,因为其实就 $x$ 是个变量.那这个式子本身又要求 $x$ 无论怎么取等式两边都是常量,也就是说 $Ax=B$ 必有 $A=B=0$.

即 $\frac{R_0^2+b^2-2bx}{R_0^2+a^2-2ax}=const\Rightarrow R_0^2+b^2-2bx=c{R}_0^2+c{a}^2-2acx$ 其中 $c$ 为常量.

$\Rightarrow 2x\left(ac-b\right)=\left(c-1\right)R_0^2+c{a}^2-b^2=const$

\Rightarrow \left\{ \begin{align} & ac-b=0 \\ & \left( c-1 \right)R_{0}^{2}+c{a}^{2}-{b}^{2}=0 \\ \end{align} \right. 解得 \Rightarrow \left\{ \begin{align} & c=\frac{R_{0}^{2}{a}^{2} \\ & b=ac=\frac{R_{0}^{2}{a} \\ \end{align} \right.

是的,你会发现解不唯一,判断一下就好了.

那下面这个做法怎么感觉出来的呢?

\frac{Q}'}{Q}=-\frac{\sqrt{R_{0}^{2}+{b}^{2}-2bx}{\sqrt{R_{0}^{2}+{a}^{2}-2ax}=-\frac{b\sqrt{\frac{R_{0}^{2}{b}^{2}+1-\frac{2x}{b}{R}_{0}\sqrt{\frac{a}^{2}{R_{0}^{2}+1-\frac{2ax}{R_{0}^{2}=const\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{R_{0}^{2}{b}^{2}=\frac{a}^{2}{R_{0}^{2} \\ & \frac{2x}{b}=\frac{2ax}{R_{0}^{2} \\ \end{align} \right.

两个比值是一个常数,也就是分子分母随着 $x$ 的改变成比例的变化着,可是又不能把 $x$ 提出来.那就只能是分子分母相等了. $a=b$ 肯定是不考虑的...那么提取一些常数出去,让上下形式不那么对称,观察可知如果希望得到一个 $a\ne b$ 的关系式子,把 R_{\text{0}^{\text{2} 提出去或者分别提取 $a,b$ 就没意义了,所以就一个提取 $R_0^2$ 另一个提取 $a或者b$ 咯.然后出来的分式以及不那么对称了,再要求分子分母相等.解是否唯一都不重要了,由场的唯一性定理可知有个特解就够用了,假如有多个线性无关的特解它们的效果也是一样的.

$★[ii]$ 这道题一般而言是莽不出来的,有个比较巧妙的做法,还是从场的唯一性定理出发.

**[1]**此时导体虽不接地,但它必须还是个等势体,只是势能未知罢了.

**[2]**导体带电荷 $Q_0$ 也就是球面发出的电场强度通量为 \frac{Q}_{0}{\varepsilon }_{0}

假如你Somehow凑出了上面的条件,根据唯一性定理那就是唯一解了.

Come!我们在原问题中得到了一个 {Q}'=-\frac{R}_{0}{a}Q\ \ \ 位于\left( b,0 \right) 这个电荷与题设的 $Q$ 使得导体电势为 $0$ 了对吧?假如我们现在把接地线剪断会发生什么呢?除了不接地了之外什么都不会变.现在我们已经得到了一个等势体的情况了,也就是满足了[1],接下来就是满足[2],到这一步其实答案已经出来了,没错就是在导体中心放置电荷,这样就不会破坏等势体的条件.是的就是放电量为 $Q_0-Q^{\prime }$ 的点电荷在中心.这就同时满足了[2]**.

那么给出答案吧: 与球心相距$R$ 处的任意一点有 \varphi =\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}\left( \frac{Q}{r}-\frac{\frac{R}_{0}{a}Q}{r}'}+\frac{Q}_{0}+\frac{R}_{0}{a}Q}{R} \right)

$★[iii]$如图:

绘制的原理很简单,就是整个电荷体系要同时关于上下两个表明对称,所以每添加一个电荷就要关于两个表面找对称异号的电荷.这样找下去,子子孙孙无穷匮也.

迷思一下这是不是[补充例1]中 $\theta =\frac{\pi }{\infty }=0$ 的一个特例呢?所以我们要放 $\infty -1$ 个电荷. well,也就是无穷个.