并矢是什么如何运算

原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/62612523
发布日期: 2019-04-16
分类: 数学方法 / 物理数学工具箱

并矢是一个既想在电动力学中使用简单的张量又不想学数学的偷懒产物.

但是好像没怎么见过哪里把这个概念定义好了, 这里就用口头语言试着理一理吧.

张量积, 张量, 矩阵, 直积, 直和··· 关于这些东西, 你觉得很混乱, 我是理解的. 别担心, 大家在这个阶段都这样. 因为这些东西在物理系里从来就不算 well-defined. 这里暂且就先感性地记住运算规矩然后全『看感觉』来. 这一切问题都会在将来学完物理系的群论和物理系的微分几何之后豁然开朗. btw, 希望最好是在本科阶段学完上面那俩, 会派上大用场的.

设 $α = (α_{1}, α_{2}, α_{3}), β = (β_{1}, β_{2}, β_{3}), γ = (γ_{1}, γ_{2}, γ_{3}), ω = (ω_{1}, ω_{2}, ω_{3}) .$

✦并矢定义:

$\vec \alpha \vec \beta = \left[ {\begin{array}{*{20}{c} {\alpha _1}{\beta _1}&{\alpha _1}{\beta _2}&{\alpha _1}{\beta _3} \\ {\alpha _2}{\beta _1}&{\alpha _2}{\beta _2}&{\alpha _2}{\beta _3} \\ {\alpha _3}{\beta _1}&{\alpha _3}{\beta _2}&{\alpha _3}{\beta _3} \end{array} \right] = \left( \begin{gathered} \;\;\;{\alpha _1}{\beta _1}{\vec e}_1}{\vec e}_1} + {\alpha _1}{\beta _2}{\vec e}_1}{\vec e}_2} + {\alpha _1}{\beta _3}{\vec e}_1}{\vec e}_3} \hfill \\ + {\alpha _2}{\beta _1}{\vec e}_2}{\vec e}_1} + {\alpha _2}{\beta _2}{\vec e}_2}{\vec e}_2} + {\alpha _2}{\beta _3}{\vec e}_2}{\vec e}_3} \hfill \\ + {\alpha _3}{\beta _1}{\vec e}_3}{\vec e}_1} + {\alpha _3}{\beta _2}{\vec e}_3}{\vec e}_2} + {\alpha _3}{\beta _3}{\vec e}_3}{\vec e}_3} \hfill \\ \end{gathered} \right).$

运算的记号就是上面那样不点不叉就是把俩向量放在一起. 不难发现其实就是张量积或者说直积[1], 得到的也就是张量或者说矩阵[2], 所以当矩阵乘法运算就好了[3]. 实际上点乘或者说内积也可以表达为矩阵的乘法, (俩矢量的) 张量积就正好和反过来乘的结果相吻合 (巧合罢了, 其实矩阵和矩阵也可以做张量积, 具体去查查克罗内克积). 那叉乘或者说外积呢? 其实叉乘是三维和七维独有的运算, 并不普遍. 总而言之就先这样记住运算规律就好了:

$α β = α_{1} α_{2} α_{3} [β_{1} β_{2} β_{3}] = α_{1} β_{1} α_{2} β_{1} α_{3} β_{1} α_{1} β_{2} α_{2} β_{2} α_{3} β_{2} α_{1} β_{3} α_{2} β_{3} α_{3} β_{3} .$

再唠叨一大句吧, 矩阵的排列是有约定俗成的规矩的, 这点可能初学者一下子没意识到. 就比如 [行列式] 这个词为什么不叫 [列行式]? 我们平时都说的是 [左右] 这个词而不是 [右左] 对吧? 其实 [左对应行] [右对应列] 在我看来应该是一个系统里面约定好了的.

举个例子: 设一个 $2 \times 2$ 的矩阵怎么标号? 是 $[A_{11} A_{21} A_{12} A_{22}]$ 还是它的转置 $[A_{11} A_{12} A_{21} A_{22}] ?$

当然是前面那个写法啦. 下标 [左右] 对应着 [行列], 第一行下标左边当然是 1 , 第二列下标右边当然是 2. 同理我们的并矢运算也是左边的矢量掌控着行, 右边的矢量掌控着列. 最后再比如, 雅可比行列式, 是不是上面掌握着行下面掌握着列? 因为有 [上下] 这个词. well, 记不住顺序的人自己体会一下吧.

✦并矢张量的运算规则:

$\left\{ \begin{align} & \left( \vec{\alpha }\vec{\beta } \right)\cdot \vec{\gamma }=\vec{\alpha }\left( \vec{\beta }\cdot \vec{\gamma } \right), \\ & \vec{\gamma }\cdot \left( \vec{\alpha }\vec{\beta } \right)=\left( \vec{\gamma }\cdot \vec{\alpha } \right)\vec{\beta }, \\ & \left( \vec{\alpha }\vec{\beta } \right):\left( \vec{\gamma }\vec{\omega } \right)=\left( \vec{\beta }\cdot \vec{\gamma } \right)\left( \vec{\alpha }\cdot \vec{\omega } \right). \\ \end{align} \right.$

这就是为何要有并矢概念, 因为这样写着巨简洁且符合直觉, 就是把挨着的做内积就是了.

也不是无中生有, 原理就是矩阵乘法, 比如:

$α_{1} β_{1} α_{2} β_{1} α_{3} β_{1} α_{1} β_{2} α_{2} β_{2} α_{3} β_{2} α_{1} β_{3} α_{2} β_{3} α_{3} β_{3} γ_{1} γ_{2} γ_{3} = n = 1 \sum 3 α_{1} β_{n} γ_{n} n = 1 \sum 3 α_{2} β_{n} γ_{n} n = 1 \sum 3 α_{3} β_{n} γ_{n} = α_{1} α_{2} α_{3} (β \cdot γ) .$

或者

$\ \ \ \ \left[ {\gamma }_{\text{1},{\gamma }_{2},{\gamma }_{3} \right]\left[ \begin{matrix} {\alpha }_{1}{\beta }_{1} & {\alpha }_{1}{\beta }_{2} & {\alpha }_{1}{\beta }_{3} \\ {\alpha }_{2}{\beta }_{1} & {\alpha }_{2}{\beta }_{2} & {\alpha }_{2}{\beta }_{3} \\ {\alpha }_{3}{\beta }_{1} & {\alpha }_{3}{\beta }_{2} & {\alpha }_{3}{\beta }_{3} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \sum\limits_{n=1}^{3}{\alpha }_{n}{\beta }_{1}{\gamma }_{n},\sum\limits_{n=1}^{3}{\alpha }_{n}{\beta }_{2}{\gamma }_{n},\sum\limits_{n=1}^{3}{\alpha }_{n}{\beta }_{3}{\gamma }_{n} \right]=\left( \vec{\alpha }\cdot \vec{\gamma } \right)\left[ {\beta }_{1},{\beta }_{2},{\beta }_{3} \right].$

所以说这个符号设计的还是蛮巧妙的吧?

但是, 还是推荐用求和符号计算, 也就是用分量式计算, 就是:

$\begin{align} & \left( \vec{\alpha }\vec{\beta } \right)\cdot \vec{\gamma }=\sum\limits_{i,j=1}^{3}{\alpha }_{i}{\beta }_{j}{\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}\cdot \sum\limits_{k=1}^{3}{\gamma }_{k}{\vec{e}_{k}=\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{\alpha }_{i}{\beta }_{j}{\gamma }_{k}{\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}\cdot {\vec{e}_{k} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{i,j,k=1}^{3}{\alpha }_{i}{\beta }_{j}{\gamma }_{k}{\vec{e}_{i}{\delta }_{jk}=\sum\limits_{i=1}^{3}{\alpha }_{i}{\vec{e}_{i}\sum\limits_{j=1}^{3}{\beta }_{j}{\gamma }_{j}=\vec{\alpha }\left( \vec{\beta }\cdot \vec{\gamma } \right). \\ \end{align}$

✦最后补充一个一般二阶张量与矢量的内积运算:

$\overset{\Rightarrow }{\mathop{D}\,\cdot \vec{\alpha }=\sum\limits_{ij}{D}_{ij}{\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}\cdot \sum\limits_{k}{\alpha }_{k}{\vec{e}_{k}=\sum\limits_{ijk}{D}_{ij}{\alpha }_{k}{\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}\cdot {\vec{e}_{k}=\sum\limits_{ijk}{D}_{ij}{\alpha }_{k}{\vec{e}_{i}{\delta }_{jk}=\sum\limits_{ij}{D}_{ij}{\alpha }_{j}{\vec{e}_{i}.$ $\vec{\alpha }\cdot \overset{\Rightarrow }{\mathop{D}\,=\sum\limits_{k}{\alpha }_{k}{\vec{e}_{k}\cdot \sum\limits_{ij}{D}_{ij}{\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}=\sum\limits_{ijk}{\alpha }_{k}{D}_{ij}{\vec{e}_{k}\cdot {\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}=\sum\limits_{ijk}{\alpha }_{k}{D}_{ij}{\delta }_{ik}{\vec{e}_{j}=\sum\limits_{ij}{\alpha }_{i}{D}_{ij}{\vec{e}_{j}.$

其实也是矩阵的乘法啊 (棒読み)

$\overset{\Rightarrow }{\mathop{D}\,\cdot \vec{\alpha }=\left[ \begin{matrix} {D}_{11} & {D}_{12} & {D}_{13} \\ {D}_{21} & {D}_{22} & {D}_{23} \\ {D}_{31} & {D}_{32} & {D}_{33} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {\alpha }_{1} \\ {\alpha }_{2} \\ {\alpha }_{3} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \sum\limits_{n=1}^{3}{D}_{1n}{\alpha }_{n} \\ \sum\limits_{n=1}^{3}{D}_{2n}{\alpha }_{n} \\ \sum\limits_{n=1}^{3}{D}_{2n}{\alpha }_{n} \\ \end{matrix} \right].$

✦额外内容:

$\overset{\Rightarrow }{\mathop{D}\,:\nabla \nabla =\sum\limits_{ij=1}^{3}{D}_{ij}{\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}:\sum\limits_{kl=1}^{3}{\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{k}\partial {x}_{l}{\vec{e}_{k}{\vec{e}_{l}=\sum\limits_{ijkl=1}^{3}{D}_{ij}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{k}\partial {x}_{l}{\delta }_{jk}{\delta }_{il}=\sum\limits_{ij=1}^{3}{D}_{ij}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{j}\partial {x}_{i}.$

新手搞下面这个矩阵运算可能反而容易翻车:

$\overset{\Rightarrow }{\mathop{D}\,:\nabla \nabla =\left[ \begin{matrix} {D}_{11} & {D}_{12} & {D}_{13} \\ {D}_{21} & {D}_{22} & {D}_{23} \\ {D}_{31} & {D}_{32} & {D}_{33} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{1} & \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{2} & \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{3} \\ \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{1} & \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{2} & \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{3} \\ \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{3}\partial {x}_{1} & \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{3}\partial {x}_{2} & \frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{3}\partial {x}_{3} \\ \end{matrix} \right]$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \begin{align} & \ \ \ \ \ {D}_{11}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{1}+{D}_{12}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{1}+{D}_{13}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{3}\partial {x}_{1} \\ & +{D}_{21}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{2}+{D}_{22}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{2}+{D}_{23}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{3}\partial {x}_{2} \\ & +{D}_{31}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{1}\partial {x}_{3}+{D}_{32}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{2}\partial {x}_{3}+{D}_{33}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{3}\partial {x}_{3} \\ \end{align} \right)=\sum\limits_{ij=1}^{3}{D}_{ij}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{j}\partial {x}_{i}.$

第二步怎么来的呢?

原来, 要考虑基的问题, 就像是每个分量的单位一样, 每个位置都有它的单位.

实际上平时只是省写了这些基向量:

$\overset{\Rightarrow }{\mathop{D}\,=\left[ \begin{matrix} {D}_{11} & {D}_{12} & {D}_{13} \\ {D}_{21} & {D}_{22} & {D}_{23} \\ {D}_{31} & {D}_{32} & {D}_{33} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{align} & \ \ \ \ \ {D}_{11}{\vec{e}_{1}{\vec{e}_{1}+{D}_{12}{\vec{e}_{1}{\vec{e}_{2}+{D}_{13}{\vec{e}_{1}{\vec{e}_{3} \\ & +{D}_{21}{\vec{e}_{2}{\vec{e}_{1}+{D}_{22}{\vec{e}_{2}{\vec{e}_{2}+{D}_{23}{\vec{e}_{2}{\vec{e}_{3} \\ & +{D}_{31}{\vec{e}_{3}{\vec{e}_{1}+{D}_{32}{\vec{e}_{3}{\vec{e}_{2}+{D}_{33}{\vec{e}_{3}{\vec{e}_{3} \\ \end{align} \right].$

$\vec{\alpha }=\left[ {\alpha }_{1}{\vec{e}_{1}+{\alpha }_{2}{\vec{e}_{2}+{\alpha }_{3}{\vec{e}_{3} \right]=\left[ {\alpha }_{1},{\alpha }_{2},{\alpha }_{3} \right].$

由于存在关系 ${\vec{e}_{i}{\vec{e}_{j}:{\vec{e}_{k}{\vec{e}_{l}={\delta }_{jk}{\delta }_{il}$ , 所以只有 $\sum\limits_{ij=1}^{3}{D}_{ij}\frac{\partial }^{2}{\partial {x}_{j}\partial {x}_{i}$ 九个量不为零.

注意分母是 $\partial x_{j} \partial x_{i}$ 而非 $\partial x_{i} \partial x_{j}$ , 虽说二者放进去是等价的, 但这个写法才能体现这个运算逻辑.

还需要说明的一点就是, 要自己心里清楚是在做什么运算才能得到正确的矩阵运算结果.

这样好像越搞越麻烦了, 还不如用求和形式计算呢.

参考

^实际上就是张量积, 而直积好像一般指的是笛卡尔积, 二者不是一回事, 但是在喀兴林先生的书上又是一回事了, 呃··· 懂得都懂吧只能是.
^这里需要指出的是矩阵并不等同于张量, 同样列矩阵或行矩阵也并不等同于矢量, 现阶段暂认为矩阵只是在选取了基矢之后可以当作张量或矢量的描述工具即可. 从另一个角度来说行矩阵与列矩阵分别可以构成线性空间, 这两个线性空间互为对偶空间, 而此时矩阵就是这个空间上的张量.
^这里值得指出的是, 并矢实际上应该是克罗内克积 (张量积) 的特殊情况, 应该与普遍意义上矩阵的乘法相区分, 但二者在 n 维列向量与 n 维行向量相运算的时候得到的结果是一致的, 而这仅仅只是个巧合.

并矢是什么 如何运算 ​

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