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用狄拉克符号得到布洛赫定理
- 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/70082418
- 发布日期: 2019-06-21
- 分类: 量子力学基础与量子信息
布洛赫定理:
当势 V\left( {\vec{r} \right) 具有周期性时, 定态薛定谔方程的解具有形式: {\psi }_{k}\left( \vec{r}+{\vec{R}_{n} \right)={\text{e}^{\text{i}\vec{k}\cdot {\vec{R}_{n}{\psi }_{k}\left( {\vec{r} \right).
也就是说波函数在相距晶格矢量 {\vec{R}_{n} 的两点仅差一个相位因子 {\text{e}^{\text{i}\vec{k}\cdot {\vec{R}_{n}.
于是我们就可以把波函数写成 {\psi }_{k}\left( {\vec{r} \right)={\text{e}^{\text{i}\vec{k}\cdot \vec{r}{u}_{k}\left( {\vec{r} \right) 的形式,
其中 {u}_{k}\left( \vec{r}+{\vec{R}_{n} \right)={u}_{k}\left( {\vec{r} \right) 是一个晶格周期函数.
证明:
先引入描述平移对称操作的算符:
他们的定义是: \langle \vec{r}|{T}_{i}=\langle \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i}|\ ,\ i\in \left\{ 1,2,3 \right\} 其中 {\vec{\alpha }_{i}\ ,\ i\in \left\{ 1,2,3 \right\} 是晶格基矢.
显然平移操作之间肯定是互相对易的, 因为位置矢量的加法满足交换律嘛, 所以它们共享本征态.
假定平移算符的本征方程为
如果引入晶格周期性边界条件: \left\{ \begin{align} & \langle \vec{r}+{N}_{1}{\vec{\alpha }_{1}|=\langle \vec{r}|, \\ & \langle \vec{r}+{N}_{2}{\vec{\alpha }_{2}|=\langle \vec{r}|, \\ & \langle \vec{r}+{N}_{3}{\vec{\alpha }_{3}|=\langle \vec{r}| \\ \end{align} \right. 的话,
就会对平移算符的本征值产生约束:
\ \ \ \ \left\langle {\vec{r} | \psi \right\rangle =\left\langle \vec{r}+{N}_{i}{\vec{\alpha }_{i} | \psi \right\rangle =\left\langle {\vec{r} \right|T_{i}^{N}_{i}\left| \psi \right\rangle =\lambda _{i}^{N}_{i}\left\langle {\vec{r} | \psi \right\rangle
$\Rightarrow \lambda {i}^{N}=1={\text{e}^{\text{i}2{l}{i}\pi }\Rightarrow {\lambda }={\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi {l}{i}{N},\ {l}_{i}\in \mathbb{Z},\ i\in \left{ 1,2,3 \right}.$
动量是平移的生成元, 所以这本质上是有限空间会导致动量取值离散化这一结论的体现.
若引入矢量 \vec{k}=\frac{l}_{1}{N}_{1}{\vec{b}_{1}+\frac{l}_{2}{N}_{2}{\vec{b}_{2}+\frac{l}_{3}{N}_{3}{\vec{b}_{3},
则本征值可以改写为: {\lambda }_{i}={\text{e}^{\text{i}\vec{k}\cdot {\vec{\alpha }_{i},i\in \left\{ 1,2,3 \right\}.
现在我们试试让波函数平移晶格矢量的任意整数倍, 如 {\vec{R}_{m}={m}_{1}{\vec{\alpha }_{1}+{m}_{2}{\vec{\alpha }_{2}+{m}_{3}{\vec{\alpha }_{3}:
\begin{align} & \ \ \ \ \ \ \psi \left( \vec{r}+{\vec{R}_{m} \right)=\left\langle \vec{r}+{\vec{R}_{m}|\psi \right\rangle =\langle \vec{r}|T_{1}^{m}_{1}T_{2}^{m}_{2}T_{3}^{m}_{3}\left| \psi \right\rangle =\langle \vec{r}|\lambda _{1}^{m}_{1}\lambda _{2}^{m}_{2}\lambda _{3}^{m}_{3}\left| \psi \right\rangle \\ & \Rightarrow \psi \left( \vec{r}+{\vec{R}_{m} \right)={\text{e}^{\text{i}\vec{k}\cdot \left( {m}_{1}{\vec{\alpha }_{1}+{m}_{2}{\vec{\alpha }_{2}+{m}_{3}{\vec{\alpha }_{3} \right)}\psi \left( {\vec{r} \right)={\text{e}^{\text{i}\vec{k}\cdot {\vec{R}_{m}\psi \left( {\vec{r} \right). \\ \end{align}
这就基本证明完毕了, 但为啥说 \psi \left( {\vec{r} \right) 是定态薛定谔方程的解呢?
这是因为平移算符 与哈密顿量 对易, 所以可以找到共同本征态.
这很容易证明, 只需记住两点:
(1). 势场周期性. (2). {\nabla }_{\vec{r}+{\vec{\alpha }_{i}={\nabla }_{\vec{r} 这很显然, 因为 \text{d}\left( \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i} \right)=\text{d}\vec{r}.
$\ \ \ \ \ \langle \vec{r}|{T}_{i}H\left| f \right\rangle =\langle \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i}|H\left| f \right\rangle =\left[ -\frac{\hbar }^{2}{2m}\nabla _{\vec{r}+{\vec{\alpha }_{i}^{\text{2}+V\left( \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i} \right) \right]f\left( \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i} \right)$\Rightarrow \langle \vec{r}|{T}_{i}H\left| f \right\rangle =\left( -\frac{\hbar }^{2}{2m}\nabla _{\vec{r}^{\text{2}+V\left( {\vec{r} \right) \right)f\left( \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i} \right);\ \ \ \ \ \langle \vec{r}|H{T}_{i}\left| f \right\rangle =\left( -\frac{\hbar }^{2}{2m}\nabla _{\vec{r}^{\text{2}+V\left( {\vec{r} \right) \right)\langle \vec{r}|{T}_{i}\left| f \right\rangle\Rightarrow \langle \vec{r}|H{T}_{i}\left| f \right\rangle =\left( -\frac{\hbar }^{2}{2m}\nabla _{\vec{r}^{\text{2}+V\left( {\vec{r} \right) \right)f\left( \vec{r}+{\vec{\alpha }_{i} \right),这就是说 $\langle \vec{r}|{T}_{i}H\left| f \right\rangle =\langle \vec{r}|H{T}_{i}\left| f \right\rangle$, 所以 $\left[ {T}_{i},H \right]=0,\ i\in \left\{ 1,2,3 \right\}.$
于是布洛赫定理得证.
若想更进一步了解平移算符: [正樹：量子力学中的动量/为何说动量是平移的生成元](https://zhuanlan.zhihu.com/p/84531862)
由定义不难看出 \vec{k}=\frac{l}_{1}{N}_{1}{\vec{b}_{1}+\frac{l}_{2}{N}_{2}{\vec{b}_{2}+\frac{l}_{3}{N}_{3}{\vec{b}_{3} 内的 是平移操作算符本征态的量子数.
其中 {\vec{k} 被称为简约波矢, 表述原胞之间电子波函数的相位变化.
我们会发现 {\vec{k} 改变一个倒格矢 \vec{G}={n}_{1}{\vec{b}_{1}+{n}_{2}{\vec{b}_{2}+{n}_{3}{\vec{b}_{3} 后不会引起任何变化,
所以为了使 {\vec{k} 能够唯一地对应到本征值 我们必须把 {\vec{k} 限制在第一布里渊区内.