观测如何影响量子力学结果 如何理解叠加态,干涉效应,概率幅 为何引入复数,为何强调相位

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/72625271
• 发布日期: 2019-07-08
• 分类: 量子力学基础与量子信息

文章最后一部分是不含公式的要点总结或对物理图像的理解, 有一定的科普意味.

文章常用符号与操作的说明:

$A|a_n⟩=a_n|a_n⟩,B|b_n⟩=b_n|b_n⟩,C|c_n⟩=c_n|c_n⟩$ 其中$A,B,C$ 为互不对易的力学量.

当我们对体系进行连续测量物理量或者从某个确定的态出发去测量物理量的时候, 我们的动作都超级快以至于体系状态还来不及发生任何演化.

开局先回忆三个极其重要的概念, 实际上这也是量子力学的几大基本假定:

***I.***量子系统在任意时刻的状态都可以用一个态矢量 $|\phi \left(t\right)⟩$ 来表述, 态矢量是希尔伯特空间的一个矢量, 它们满足叠加原理, 即多个态矢量叠加起来仍然还是一个态矢量(记得归一化): $|\phi \left(t\right)⟩={\lambda }_1|{\psi }_1\left(t\right)⟩+{\lambda }_2|{\psi }_2\left(t\right)⟩$ . 然后就是态矢量在确定表象下的分量是概率幅而不是概率, 概率幅也就是波函数, 它的模方才是概率.

***II.***每一个可以被测量的物理量都可用一个厄米算符来表示. 测量一个物理量得到的结果只能是它对应算符的本征值.

III. 设有算符 $A|u_n^i⟩=a_n|u_n^i⟩,i=1,2,\cdot \cdot \cdot ,g_n$ 其中 $g_n$ 是 $A$ 的本征值 $a_n$ 的简并度. 则对于某状态 $|\psi ⟩$ ,我们测量物理量 $A$ 得到结果 $a_n$ 的概率 P\left( {a}_{n} \right)=\sum\limits_{i=1}^{g}_{n}{\left| \left\langle u_{n}^{i} | \psi \right\rangle \right|}^{2}

线性叠加和统计混合的区别:

假如初始状态是 $|b_1⟩$ , 测量物理量 $A$ 得到结果 $a_n$ 的概率自然是 $P_{v1}\left(a_n\right)={\left|⟨a_n|b_1⟩\right|}^2$

假如初始状态是 $|b_2⟩$ , 测量物理量 $A$ 得到结果 $a_n$ 的概率自然是 $P_{v2}\left(a_n\right)={\left|⟨a_n|b_2⟩\right|}^2$

假如初始状态是 $|\psi ⟩={\lambda }_1|b_1⟩+{\lambda }_2|b_2⟩$ 测量物理量 $A$ 得到结果 $a_n$ 的概率是多少呢?

✦下面介绍一个错误的想法:

因为处于 $|b_1⟩$ 的概率是 ${\left|{\lambda }_1\right|}^2$ , 而处于 $|b_2⟩$ 的概率是 ${\left|{\lambda }_2\right|}^2$ 所以测量物理量 $A$ 得到结果 $a_n$ 的概率{P}_{\psi }\left( {a}_{n} \right)\overset{?}{\mathop{=}\,{\left| {\lambda }_{1} \right|}^{2}{P}_{b1}\left( {a}_{n} \right)+{\left| {\lambda }_{2} \right|}^{2}{P}_{b2}\left( {a}_{n} \right)\overset{?}{\mathop{=}\,{\left| {\lambda }_{1} \right|}^{2}{\left| \left\langle {a}_{n}|{b}_{1} \right\rangle \right|}^{2}+{\left| {\lambda }_{2} \right|}^{2}{\left| \left\langle {a}_{n}|{b}_{2} \right\rangle \right|}^{2}. 这个是统计混合的想法, 也就是加权求和算概率, 然而这个是错的. 日常生活中很多人都会犯这个错误, 他们错误的认为所谓叠加态就是"有一定概率处于这个态有一定概率处于那个态". 如果这个是对的那还要概率幅这个概念干嘛. 所谓叠加态就是多个态矢量的矢量和所合成的一个新的矢量所描述的状态, 叠加的是概率幅而不是概率.[1]

✦正确的算法是其实早就告诉你了, 还是老一套, 算概率幅再取模方:

\begin{align} & {P}_{\psi }\left( {a}_{n} \right)={\left| \left\langle {a}_{n}|\psi \right\rangle \right|}^{2}={\left| {\lambda }_{1}\left\langle {a}_{n}|{b}_{1} \right\rangle +{\lambda }_{2}\left\langle {a}_{n}|{b}_{2} \right\rangle \right|}^{2} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\left| {\lambda }_{1} \right|}^{2}{\left| \left\langle {a}_{n}|{b}_{1} \right\rangle \right|}^{2}+{\left| {\lambda }_{2} \right|}^{2}{\left| \left\langle {a}_{n}|{b}_{2} \right\rangle \right|}^{2}+2\operatorname{Re}\left[ {\lambda }_{1}\lambda _{2}^{*}\left\langle {a}_{n}|{b}_{1} \right\rangle {\left\langle {a}_{n}|{b}_{2} \right\rangle }^{*} \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\left| {\lambda }_{1} \right|}^{2}{P}_{b}_{1}\left( {a}_{n} \right)+{\left| {\lambda }_{2} \right|}^{2}{P}_{b}_{2}\left( {a}_{n} \right)+2\operatorname{Re}\left[ {\lambda }_{1}\lambda _{2}^{*}\left\langle {a}_{n}|{b}_{1} \right\rangle {\left\langle {a}_{n}|{b}_{2} \right\rangle }^{*} \right] \\ \end{align} 这个就是遵循了线性叠加的思想计算出来的方法. ( #取实部源于公式: $z+z^{\ast }=2\mathrm{Re}z$ )

二者区别很明显, 理解了线性叠加算出来的包含了 $2\mathrm{Re}\left[{\lambda }_1{\lambda }_2^{\ast }⟨a_n|b_1⟩{⟨a_n|b_2⟩}^{\ast }\right]$ 一项, 这个我们可以称之为干涉项, 这是量子力学的一大精髓, 这样才能体现出量子干涉效应. **所以说引入复数的一大原因就是为了表述干涉现象.**先别管为何会采取这样的表述, 但要知道只有这样描述才能和实验结果对的上.

其次值得一提的是相位的问题, 从正确的公式来看, 起决定作用的不仅是 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的模长, 他们的相对相位也是会表现出物理效应的. 然后就是一个总的相位$e^{i\theta }$ 不具有任何物理效应[2]. 因为在公式里总相位都抵消掉了.

照顾一下对复数不熟悉的人:

复数总可表示为模长和相位的乘积$z=\rho e^{i\phi }$, 所以我们可以设{\lambda }_{1}=\left| {\lambda }_{1} \right|{e}^{i{\phi }_{1},{\lambda }_{2}=\left| {\lambda }_{2} \right|{e}^{i{\phi }_{2}, 那么 ${\lambda }_1{\lambda }_2^{\ast }=\left|{\lambda }_1\right|\left|{\lambda }_2\right|e^{i\left({\varphi }_1-{\varphi }_2\right)}$, 所以重要的就只有相对相位.

概率幅概念的重要性:

下面设计两个实验:

**✦*Exp1:***从 $|a_n⟩$ 出发测量 $C$ .

显然得到 $c_n$的概率 {P}_{a}_{n}\left( {c}_{n} \right)={\left| \left\langle {c}_{n} | {a}_{n} \right\rangle \right|}^{2}

**✦*Exp2:***从 $|a_n⟩$ 出发测量 $B$ 得到结果 $b_n$之后(此时处于状态 $|b_n⟩$了)再测量 $C$ .

这一串操作之后得到 $c_n$的概率 {P}_{a}_{n}\left( {b}_{n}{c}_{n} \right)={P}_{a}_{n}\left( {b}_{n} \right){P}_{b}_{n}\left( {c}_{n} \right)={\left| \left\langle {b}_{n} | {a}_{n} \right\rangle \right|}^{2}{\left| \left\langle {c}_{n} | {b}_{n} \right\rangle \right|}^{2}

✦那么问题就来了 , {P}_{a}_{n}\left( {c}_{n} \right)\overset{?}{\mathop{=}\,\sum\limits_{b}_{n}{P}_{a}_{n}\left( {b}_{n}{c}_{n} \right)} 这个关系是否成立? 答案是否定的.

但这个思路好像没问题啊, 从 $|a_n⟩$ 演变到 $|c_n⟩$ 之间, 暂不管是否真的测量 $B$ , 我们明明都已经把如果要测量 $B$ 会发生的所有可能的 $|b_1⟩,|b_2⟩,|b_3⟩,\cdot \cdot \cdot$ 等"中间态"都考虑进去了, 怎么还会错呢? 简单来说就是量子系统*does not work this way.量子力学里面的态和传统概率论里面的态是不一样的, 传统的概率论里面是不存在叠加态这一说的. 概率论里面系统的态空间就是一个集合, 里面包含了所有的态, 态可以用一个点表示, 那这个态空间就是一个集合包含了所有的点. 但量子力学里面的态空间是一个矢量空间, 或者说是希尔伯特空间, 态不是一个点而是一个矢量, 所以有叠加态这一说.**怎么理解这个逻辑呢? 你实际上不能理解这个逻辑, 这根本就是直觉上的nonsense, 但这就是量子力学运作的逻辑, 不过好在*理解不了也能计算,**这里面一个原则就是"按规矩办事", 什么的也要按照基本法, 即量子力学的几条假定. 所以一个高度抽象的反常识情形能被总结成这几条假定, 物理学家真的很了不起.

那么我们怎么联系这两个实验呢? 当然是按照基本法: \begin{align} & {P}_{a}_{n}\left( {c}_{n} \right)={\left| \left\langle {c}_{n} | {a}_{n} \right\rangle \right|}^{2}={\left| \sum\limits_{b}_{n}{\left\langle {c}_{n} | {b}_{n} \right\rangle \left\langle {b}_{n} | {a}_{n} \right\rangle } \right|}^{2} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{b}_{n}{\left| \left\langle {c}_{n} | {b}_{n} \right\rangle \right|}^{2}{\left| \left\langle {b}_{n} | {a}_{n} \right\rangle \right|}^{2}+\sum\limits_{b}_{n}{\sum\limits_{b}'}_{n}\ne {b}_{n}{\left\langle {c}_{n} | {b}_{n} \right\rangle \left\langle {b}_{n} | {a}_{n} \right\rangle }{\left\langle {c}_{n} | {b}'}_{n} \right\rangle }^{*}{\left\langle {b}'}_{n} | {a}_{n} \right\rangle }^{*} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{b}_{n}{P}_{a}_{n}\left( {b}_{n}{c}_{n} \right)}+\sum\limits_{b}_{n}{\sum\limits_{b}'}_{n}\ne {b}_{n}{\left\langle {c}_{n} | {b}_{n} \right\rangle \left\langle {b}_{n} | {a}_{n} \right\rangle }{\left\langle {c}_{n} | {b}'}_{n} \right\rangle }^{*}{\left\langle {b}'}_{n} | {a}_{n} \right\rangle }^{*} \\ \end{align}

这个关系式才是正确的, 我们是通过插入一个完备性关系式 I=\sum\limits_{b}_{n}{\left| {b}_{n} \right\rangle }\left\langle {b}_{n} \right| 来达到目的的.错误的结果少了一大串 \sum\limits_{b}_{n}{\sum\limits_{b}'}_{n}\ne {b}_{n}{\left\langle {c}_{n}|{b}_{n} \right\rangle \left\langle {b}_{n}|{a}_{n} \right\rangle }{\left\langle {c}_{n}|{b}'}_{n} \right\rangle }^{*}{\left\langle {b}'}_{n}|{a}_{n} \right\rangle }^{*} , 这也是各个可能的 "中间态" 之间的干涉效应的体现, 所以说量子系统具有波动性, 这也说明了为什么要引入复数, 个人认为这就是为什么态矢量的系数要叫波函数--因为概率幅具有类似于波的干涉效应.

用量子态坍塌(量子力学基本假定之一)的观点去看待的话更容易发现问题, 因为你测量的过程使波函数坍塌到 $B$ 的本征态了, 这一操作取消了所有的干涉效应. 然后对于Exp1如果你认为系统是以不同概率通过了$|b_1⟩,|b_2⟩,|b_3⟩,\cdot \cdot \cdot$当中的某个"中间态"再过渡到$|c_n⟩$那你就又错了, 稍微正确一点的说法是认为它同时通过了所有的"中间态", 然后不同的路径之间存在干涉效应. 这怎么理解? 这就是波粒二象性, 这并不能被你理解, 你只能计算.

因此**如果我们没有用测量去决定体系的具体路径就必须用概率幅去分析问题, 我们要求和的是概率幅而不是概率.**如果整篇文章都看懂了的话, 是绝对不会再出现"观测会影响结果 $\Rightarrow$ 意识决定物质"这种荒谬的论断了.

顺带一提在杨氏双缝干涉实验中, 电场强度相当于这里的概率幅, 而光强相当于概率.

**[i].**态矢量是希尔伯特空间的一个矢量, 它们满足叠加原理, 态矢量在确定表象下的分量是概率幅而不是概率, 概率幅也就是波函数, 它的模方才是概率.

**[ii].**日常生活中很多人都会犯一个错误, 他们错误的认为量子力学里所谓叠加态就是"有一定概率处于这个态有一定概率处于那个态". 如果这个是对的那还要概率幅这个概念干嘛. 所谓叠加态就是多个态矢量的矢量和所合成的一个新的矢量所描述的状态, 叠加的是概率幅而不是概率.

**[iii].引入复数的一大原因就是为了表述干涉现象.**先别管为何会采取这样的表述, 但要知道只有这样描述才能和实验结果对的上.

[iv].起决定作用的不仅是各个态的系数 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ 的模长, 他们的相对相位也是会表现出物理效应的. 然后就是一个总的相位$e^{i\theta }$ 不具有任何物理效应.

**[v].量子力学里面的态和传统概率论里面的态是不一样的, 传统的概率论里面是不存在叠加态这一说的. 概率论里面系统的态空间就是一个集合, 里面包含了所有的态, 态可以用一个点表示, 那这个态空间就是一个集合包含了所有的点. 那在量子力学里面呢? 态空间就是矢量空间, 或者说是希尔伯特空间的一个子空间, 态不是一个点而是一个矢量, 所以有叠加态这一说.怎么理解这个逻辑呢? 你实际上不能理解这个逻辑, 这根本就是nonsense, 但这就是量子力学运作的逻辑, 不过好在理解不了也能计算,**这里面一个原则就是"按规矩办事", 什么的也要按照基本法, 即量子力学的几条假定. 所以一个高度抽象的反常识情形能被总结成这几条假定, 科学家真的很了不起.

**[vi].**量子系统具有波动性, 这也是为什么要引入复数的原因, 个人认为这就是为什么态矢量的系数明明只是一个分布函数却要叫波函数--因为概率幅具有类似于波的干涉效应.

**[vii].因此如果我们没有用测量去决定体系的具体路径就必须用概率幅去分析问题, 我们要求和的是概率幅而不是概率.**如果整篇文章都看懂了的话, 是绝对不会再出现"观测会影响结果 $\Rightarrow$ 意识决定物质"这种荒谬的论断了.

**[viii].**一个物理体系的态如果可以进行线性叠加, 这就说明一个概率幅往往会表现为若干分幅之和, 而概率则是这个和的模方, 最重要的是那些分幅是彼此相干的.

**[ix].**在杨氏双缝干涉实验中, 电场强度相当于这里的概率幅, 而光强相当于概率.

**[x].**顺带一提就是测量也可以暂不导致量子态的坍塌, 只要你把测量仪器也看作一个量子体系然后和被测系统一起考虑就是了, 两个系统的合成要把本征态进行张量积. 这样看的话其实是不会引起量子态的坍塌的, 而是整个系统所处的叠加态的各个本征分态都会遵循薛定谔方程随时间继续的演化, 然后仪器和被测系统会进入高度纠缠的状态, 是如此的纠缠以至于你看一眼仪器的状态就能确定系统的状态(这就是仪器测量的本质). 不过你确定不了仪器测出了什么, 如果你用眼睛去观察仪器那你又会导致波函数坍塌. 当然你也可以把眼睛和你的大脑一起放进这个量子系统里去考虑. 这样你整个人就会和这个系统纠缠起来, 更大的系统的态又不会坍塌了, 这时候可能你妈会问你结果如何, 这样又会坍塌了, 当然你也可以把...Ah, it's getting shitty here...总之这个层状的结构总可以延伸下去无论你选择在哪里让量子态坍塌都不会造成矛盾.

参考

• ^这一点的辨析在高等量子力学或量子统计之类的课程是必须的，在那里线性叠加构成的态被称作纯态，同时会引入一个被称作混合系综的概念来描述这里讲的统计混合的情况.
• ^这句话仅对初等量子力学成立,将来会碰到一些整体相位造成的物理效应.