不确定性关系的简单证明

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/76793971
• 发布日期: 2019-08-05
• 分类: 量子力学基础与量子信息

2020.12.28: 鸽了, 懒得写, 这个其实你们要感兴趣傅里叶共轭那块儿, 我记得 Susskind 的公开课里都提到过, 可以去看看.

其实发之前我还是斟酌了一下子的, 因为感觉这种程度的 note 或没有资格被单独发出来.

所以后来就决定暂且先给出个最简单的证明, 日后有空会在文中添加:

1. 更多的证明方法.

2. 如何理解不确定性原理.

3. 不确定性与傅里叶共轭之间的关系, 或者说不确定度关系的源头在哪.

···

或者不.

不确定性关系的几个简易证明:

**✦**1. 从内积的定义要求的 ${\left||\psi ⟩\right|}^2\equiv ⟨\psi |\psi ⟩\ge 0$ 入手.

研究的是厄米算符 $A,B.$

总可构造右矢 $|\psi ⟩=\left(A+\mathrm{i}\lambda B\right)|\phi ⟩$ 其中的 $\lambda$ 是个任意的实参量 $|\phi ⟩$ 则为任意右矢.

代入开头的不等式可得 $⟨\psi |\psi ⟩=⟨\phi |\left(A-\mathrm{i}\lambda B\right)\left(A+\mathrm{i}\lambda B\right)|\phi ⟩\ge 0.$

整理得 \left\langle {B}^{2} \right\rangle {\lambda }^{2}+{\rm i}\left\langle \left[ A,B \right] \right\rangle \lambda +\left\langle {A}^{2} \right\rangle \ge 0.---{\bold {[1]}

${[A,B]}^{†}=BA-AB=-\left[A,B\right]$ 说明其对易子是反厄米算符, 所以 $\mathrm{i}⟨\left[A,B\right]⟩$ 为实数.

所以 [1] 式的成立显然要求判别式 ${\left(\mathrm{i}⟨\left[A,B\right]⟩\right)}^2-4⟨A^2⟩⟨B^2⟩\le 0.$

整理得 $⟨A^2⟩⟨B^2⟩\ge {\left(\frac{\mathrm{i}}{2}⟨\left[A,B\right]⟩\right)}^2.$

设算符 $A^{\prime }=A-⟨A⟩,B^{\prime }=B-⟨B⟩$ 这显然有 $\left[A^{\prime },B^{\prime }\right]=AB-BA=\left[A,B\right].$

于是有 \left\langle {A}'}^{2} \right\rangle \left\langle {B}'}^{2} \right\rangle \ge {\left( \frac{\rm i}{2}\left\langle \left[ {A}',{B}' \right] \right\rangle \right)}^{2}={\left( \frac{\rm i}{2}\left\langle \left[ A,B \right] \right\rangle \right)}^{2}.

常识之 \left\langle {A}'}^{2} \right\rangle =\left\langle {\left( A-\left\langle A \right\rangle \right)}^{\text{2} \right\rangle 就是我们生活中所说的方差的概念.

这里将 $A$ 的方差记作 {\left( \Delta A \right)}^{\text{2} , 则整理上式可得$\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\left|⟨\left[A,B\right]⟩\right|$

**✦**2. 利用施瓦兹不等式: ${\left||a⟩\right|}^2{\left||b⟩\right|}^2\ge {\left|⟨a|b⟩\right|}^2$ 或 $⟨a|a⟩⟨b|b⟩\ge ⟨a|b⟩⟨b|a⟩.$

要研究的是厄米算符 $A,B.$

我们总可以通过任意右矢 $|\phi ⟩$ 构造如下两个右矢:

$|a⟩=\left(A-⟨A⟩\right)|\phi ⟩=A^{\prime }|\phi ⟩,|b⟩=\left(B-⟨B⟩\right)|\phi ⟩=B^{\prime }|\phi ⟩.$

代入不等式: $⟨\phi |{\left(A-⟨A⟩\right)}^2|\phi ⟩⟨\phi |{\left(B-⟨B⟩\right)}^2|\phi ⟩\ge {\left|⟨\phi |A^{\prime }{B}^{\prime }|\phi ⟩\right|}^2.---[\mathbf{a}]$

定义反对易子 $\left\{A,B\right\}=AB+BA$ , 则 $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{1}{2}\left[A^{\prime },B^{\prime }\right]+\frac{1}{2}\left\{A^{\prime },B^{\prime }\right\}.$

显然 $\left[A^{\prime },B^{\prime }\right]=AB-BA=\left[A,B\right]$ 所以 $A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{2}\left\{A^{\prime },B^{\prime }\right\}.$

将上述表达式代入 [a] 得到:

$⟨\phi |{\left(A-⟨A⟩\right)}^2|\phi ⟩⟨\phi |{\left(B-⟨B⟩\right)}^2|\phi ⟩\ge {\left|⟨\phi |\left(\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{2}\left\{A^{\prime },B^{\prime }\right\}\right)|\phi ⟩\right|}^2={\left|\frac{1}{2}⟨\left[A,B\right]⟩+\frac{1}{2}⟨\left\{A^{\prime },B^{\prime }\right\}⟩\right|}^2.$

显然有 {\left\{ {A}',{B}' \right\}^{\dagger }={B}'{A}'+{A}'{B}'=\left\{ {A}',{B}' \right\},{\left[ A,B \right]}^{\dagger }=BA-AB=-\left[ A,B \right].

所以二者的期望值分别为实数和纯虚数.

于是不等式可以进一步化简得到:

$⟨{\left(A-⟨A⟩\right)}^2⟩⟨{\left(B-⟨B⟩\right)}^2⟩\ge {\left|\frac{1}{2}⟨\left[A,B\right]⟩\right|}^2+{\left|\frac{1}{2}⟨\left\{A^{\prime },B^{\prime }\right\}⟩\right|}^2\ge {\left|\frac{1}{2}⟨\left[A,B\right]⟩\right|}^2.$

最终记为: $\Delta A\Delta B\ge \frac{1}{2}\left|⟨\left[A,B\right]⟩\right|.$