二次量子化 (Second Quantization) PT. 1 - 对称与反对称基矢

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/95670627
• 发布日期: 2019-12-06
• 分类: 量子力学基础与量子信息

全文大白话, 可以说是通俗到了即使是 (懂本科阶段量子力学的) 小学生也能看得懂的程度.

序言:

二次量子化是针对全同多粒子体系开发出来的直击核心又十分精巧的处理方法. 但不能顾名思义, 其实我们并没有说在正则量子化的基础上又很神秘的强制量子化了一次, 实际上只是在原本的量子力学体系中拼造了一个很适合处理全同多粒子体系的全新构架罢了, 这个构架包括了全新的巨希尔伯特空间 (Fock Space)、全新的基矢与多粒子算符的全新表达形式. 所以或许称之为第二 "类" 量子化更贴切.

其实全同粒子体系的构架除了我们这里讲的这个构造方法之外还有另外一条完全相反的路, 显然那条路需要先强行假设一些东西, 就像是量子化经典力学的开局一样, 所以称这个操作也会被称作二次量子化. 从这个意义上来讲一次量子化即正则量子化, 其对象是广义坐标, 而二次量子化的对象是波函数. 这都是题外话, 大家开局不必深究.

特别欣赏喀兴林教授写的量子力学, 因为里面的逻辑十分自洽, 整个系统的内部构造一目了然. 但在很多地方的定义却有些不合胃口, 例如二次量子化的系数与一些算符的引入或者单、双算符二次量子化的过程之类, 确实整个都讲通了, 也很直接, 形式也很一般化, 但是却讲得不简单, 动不动就一大长串式子与比较不直观的推导过程, 让新手看着眼花缭乱有些抗拒心理.

所以我这次花了些精力在这本书的主框架上把大部分定义都推倒重建了, 对新手而言应该是会友好许多, 也相对更为详尽了. 我可以很不要脸地告诉你, 我构建的体系比书上的漂亮得多还不失严谨.

同时不用担心这篇文章会不会是某民科的孤芳自赏, 这里只是把内部逻辑重建了, 最后的结论和具体的运用起来仍然是和国际形式接轨的. 但假如你们学校很奇葩, 期末不考怎么运用二次量子化, 而专考喀兴林的定义与推导过程, 那··· 那问题也不大, 看完我这个再去看那本《高等量子力学》简直易如反掌 (たぶん.

其实我写了好几个版本, 包括直接在 Fock 态下面构造产生湮灭算符 (因为我希望能让不那么想学清楚而只想赶快使用二次量子化的人能快速掌握运算方法), 包括强行一般化地推导多体算符的二次量子化, 甚至还想直接从 Fock 态切入而完全掠过对称或反对称态的构造.

但最后经过多次折衷, 我决定先讲清楚对称态与反对称态的构造, 因为这个是全同粒子系统的根基, 必须有一个相对严谨自洽的体系作为基层逻辑才会使人感到安心, 再者这个过程并不困难, 理论上是必须掌握的. 然后我们会就顺着这个框架引入产生湮灭算符那一套, 接着再会用一个比较取巧的办法进行算符的二次量子化 (出于人道主义考虑), 最后, 我们将矢量符号进行等价转换引出 Fock 态就算能暂且画上一个句号了.

一篇过于臃肿的长文是不便于修改补充的[[1]](#ref_1), 所以这里我又将它分为了三篇.

二次量子化三连[2]:

[1~3] 東雲正樹: 二次量子化 (Second Quantization) PT. 1 - 对称与反对称基矢

[4~5] 東雲正樹: 二次量子化 (Second Quantization) PT. 2 - 产生与湮灭

[6~9] 東雲正樹: 二次量子化 (Second Quantization) PT. 3 - 二次量子化形式

目録:

1. 多粒子系统空间

2. 对称与反对称基矢的基本相关概念

3. 对称或反对称化基矢的构建

3.1. 多粒子系统总空间关于其中任意两个粒子交换量子态对称或反对称的态矢量的表达形式 3.2. 接下来我们引入排列算符 $P_s$, 来把这个结构写的更紧凑一些 3.3. 对称或反对称基矢归一化系数的确定 3.4. 综上所述, 我们将对称与反对称的归一化基矢分别表达为 3.5. 我们也可以把对称与反对称基矢统一表达为

4. 对称化基矢量的正交归一化关系与完全性关系

4.1. $n$ 粒子系统对称或反对称基矢的正交归一性 4.2. $n$ 粒子系统对称或反对称基矢的完全性关系

5. 产生算符与湮灭算符

5.1. 产生算符的定义式 5.2. 产生算符之间的对易关系 5.3. 湮灭算符的定义式 5.4. 湮灭算符之间的对易关系 5.5. 产生湮灭算符之间的对易关系 5.6. 我们这样定义产生湮灭算符会不会导致一些运算不自洽

6. 粒子数算符

7. 表象的变换

8. 算符的二次量子化形式

8.1. 全同粒子体系下算符的种类 8.2. 单体算符的二次量子化形式 8.3. 双体算符的二次量子化形式

9. 巨希尔伯特空间 (Fock Space) 与粒子数表象

9.1. 巨希尔伯特空间 (Fock Space) 9.2. 粒子数表象

几点说明:

✦直积与直和的相关知识请自备, 本文暂不提供.[3]

✦式子 ${|{\phi }_a⟩}_1{|{\phi }_b⟩}_2{|{\phi }_c⟩}_3={|{\phi }_b⟩}_2{|{\phi }_a⟩}_1{|{\phi }_c⟩}_3$ 在物理意义上是成立的.[4]

✦定义 $|{\lambda }_a{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot {\lambda }_z)={|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2\cdot \cdot \cdot {|{\lambda }_z⟩}_n$ 以区分对称或反对称化矢量.[5]

✦矢量 ${|\phi ⟩}_n$ 右下角的标号表示态所处的空间, 即说明是第几个粒子的希尔伯特空间的态.

左矢本应该写为 ${}_n⟨\phi |$ 但如你所见, 知乎的左下标间距太大十分丑陋, 故用记号 ${⟨\phi |}_n$ 代替.

✦全文默认 $\epsilon =\pm 1$, 且 $\epsilon =1$ 表征对称态; $\epsilon =-1$ 表征反对称态.

✦有的地方记号为 \left\{ \begin{align} & \left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle \\ & \left| {n}_{1}{n}_{2}{n}_{3}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \\ & \left. |{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right) \\ \end{align} \right., 而有的地方又是这样的 \left\{ \begin{align} & \left| n;{\lambda }_{a},{\lambda }_{b},\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_{z} \right\rangle \\ & \left| {n}_{1},{n}_{2},{n}_{3}\cdot \cdot \cdot \right\rangle \\ & \left. |{\lambda }_{a},{\lambda }_{b},\cdot \cdot \cdot ,{\lambda }_{z} \right) \\ \end{align} \right.

出于节省空间考虑, 本文采用前者, 没有逗号不代表相乘, 也仅是代表排列上去.

✦全文将专注于处理离散谱, 因为这样形式能相对的简洁一些.

离散谱不仅是推导过程中形式简洁, 更能引入一个巨希尔伯特空间 (Fock Space) 中的重要表象即 "粒子数表象", 使得处理形式大幅简化. 这个框架在连续谱也有类似的版本, 但本文不会涉及, 那个还是交给量子场论吧. 从离散谱对应到连续谱只需做两点改动: \left\{ \begin{align} & \sum\limits_{a,b,\cdot \cdot \cdot ,z}{\to \iint{\cdot \cdot \cdot \int{dadb\cdot \cdot \cdot dz} \\ & {\delta }_{ab}\to \delta \left( a-b \right) \\ \end{align} \right.

1. 多粒子系统空间:

众所周知, 单粒子系统的态空间是一个希尔伯特空间. 而多粒子系统的态空间就是各个单粒子态空间的直积构成的.

我们以 $n$ 个粒子的系统为例, 先将这 $n$ 个粒子按顺序标号. 我们记第 $i$ 个粒子的态空间为 $R^{\left(i\right)}$ 空间内一组基矢为 $\left\{{|\phi ⟩}_i\right\}$ , 则 $n$ 粒子系统的态空间 $R_n$表达为:

$R_n=R^{\left(1\right)}\otimes R^{\left(2\right)}\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes R^{\left(i\right)}\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes R^{\left(n\right)}$

其中的一个态矢量 $|\psi ⟩$ 表达为:

$|\psi ⟩={|{\phi }_a⟩}_1\otimes {|{\phi }_b⟩}_2\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes {|{\phi }_l⟩}_i\otimes \cdot \cdot \cdot \otimes {|{\phi }_z⟩}_n={|{\phi }_a⟩}_1{|{\phi }_b⟩}_2\cdot \cdot \cdot {|{\phi }_l⟩}_i\cdot \cdot \cdot {|{\phi }_z⟩}_n\cdot \cdot \cdot$

你一定看到过很多地方都有在强调非定域同种粒子无法分辨、不能标号的问题. 这源于粒子的全同性假设. 但这里的标号并不违背全同性[[6]](#ref_6), 我们研究的粒子将是始终保持标号状态的.

2. 对称与反对称基矢的基本相关概念:

我们要求三维空间中的 $n$ 个全同粒子[7]构成的系统的态一定是对称或反对称的. 也就是说假如交换系统内任意两个粒子的态, 则总系统的态矢量就会由原态 $|\psi ⟩$ 变为 $\pm |\psi ⟩$, 其中取正号的情况对应的粒子满足玻色-爱因斯坦分布, 故称作玻色子；而取负号的情况对应的粒子满足费米-狄拉克分布, 故称作费米子. 其中玻色子总是有着整数的自旋, 而费米子的自旋总是半整数, 这点暂作为经验假设, 这种自旋-统计关联的必要性将来可以在相对论量子理论框架下显示出来.

怎么保证态都是对称或者反对称呢? 态是由基矢叠加而成的, 如果我们保证了基矢全都是对称或反对称的, 那么态就一定是对称或反对称的了.

不难发现如果我们要求标号的同种粒子所处的态必须是对称或反对称的, 则等价于各个粒子都是全同的 (或不可分辨的). 因为你交换其中两个粒子的态前后的波函数最多只差一个总相位因子, 故通过系统得到的物理预言不会有改变. 简而言之就是只要我们保证系统的态永远对称或者反对称, 那么无论粒子可分辨与否都是等价的, 无论可分辨与否都不会改变物理预言.

**值得思考的是, 态矢量随着时间演化会不会破坏它的对称性或反对称性呢?**答案是不会的, 简单而言如果系统的初态是对称或反对称的, 则在时间演化算符的作用下将始终保持对称或反对称. 这一点在最后面可能会讲到. 具体做法就是证明后面将引入的对称化或反对称化算符与哈密顿算符对易, 所以对称或反对称化算符的本征态就是一个定态.

3. 对称或反对称化基矢的构建:

我们接下来将研究 $n$ 个全同粒子的系统, 用单粒子算符 $M$ 来表征单粒子的一组完备力学量, ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\cdot \cdot \cdot$ 表征这组力学量各组不同的本征值. $\left\{|{\lambda }_1⟩,|{\lambda }_2⟩,|{\lambda }_3⟩,\cdot \cdot \cdot \right\}$ 则是对应的共同本征态, 选作单粒子空间的一组基矢.

3.1. 多粒子系统总空间关于其中任意两个粒子交换编号 (或者交换量子态)[8]对称或反对称的态矢量的表达形式:

以 $n=3$ 的系统为例来研究一下, 如果是 $3$ 个玻色子分别处于 $|{\lambda }_a⟩,|{\lambda }_b⟩,|{\lambda }_c⟩{}_{\left(a,b,c\in N_{+}\right)}$, 我们其实可以这样构造一个对称的量子态来描述这个系统:

{\left| 3;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}{\lambda }_{c} \right\rangle }_{S}=\left[ \begin{align} & \ \ \ \ \ {\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{3}+{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{2} \\ & +{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{3}+{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{1} \\ & +{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{2}+{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{1} \\ \end{align} \right]

不难发现, 对于上面这个叠加态, 你随便交换其中两个粒子的标号, 这个态不会发生改变. 这个态很好构造, 我们只要取一个全排列就好了.

如果是 $3$ 个费米子分别处于 $|{\lambda }_a⟩,|{\lambda }_b⟩,|{\lambda }_c⟩{}_{\left(a,b,c\in N_{+}\right)}$, 我们就可以这样构造一个反对称的量子态来描述这个系统:

{\left| 3;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}{\lambda }_{c} \right\rangle }_{A}=\left[ \begin{align} & \ \ \ \ \ {\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{3}-{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{2} \\ & -{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{3}+{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{1} \\ & +{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{2}-{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{3}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{1} \\ \end{align} \right]

不难发现, 对于上面这个叠加态, 你随便交换其中两个粒子的标号, 这个态会多出一个负号. 这个态也很好构造, 同样是取一个全排列, 然后以第一个态 ${|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2{|{\lambda }_c⟩}_3$ 为基准, 交换一次标号就添加一个负号的去写出后面的态. 比如 ${|{\lambda }_a⟩}_2{|{\lambda }_b⟩}_3{|{\lambda }_c⟩}_1$ 是 $2,1$ 交换与 $3,1$ 交换达到的. 所以要添加两个负号. 简而言之就是把系数看作是 $-1$ 的"编号逆序数"次方就行了.

3.2. 接下来我们引入排列算符$P_s$, 来把这个结构写的更紧凑一些:

排列算符 $P_s{}_{\left(s=1,2,\cdot \cdot \cdot ,n!\right)}$的作用是对粒子标号取一个排列. $n$ 个粒子的全排列有 $n!$ 种, 我们给用指标 $s$ 这些排列方式编上号. 然后定义 $P_s$ 作用在 ${|{\phi }_a⟩}_1{|{\phi }_b⟩}_2\cdot \cdot \cdot {|{\phi }_z⟩}_n$ 的时候就得到标号 $s$ 对应的排列. 所以记号 $\sum _{s=1}^{n!}{P}_s$ 就是对 $n$ 个粒子态的全排列进行求和, 我们简记为 $\sum _s{P}_s$ .

这种算符的表达形式是怎样的呢? 其实很简单: 若已知 $P_4{|{\phi }_a⟩}_1{|{\phi }_b⟩}_2{|{\phi }_c⟩}_3={|{\phi }_a⟩}_2{|{\phi }_b⟩}_3{|{\phi }_c⟩}_1$ 则有 $P_4={|{\phi }_c⟩}_1{⟨{\phi }_a|}_1\otimes {|{\phi }_a⟩}_2{⟨{\phi }_b|}_2\otimes {|{\phi }_b⟩}_3{⟨{\phi }_c|}_3$ 现在是不是感觉心里更有底了? 我们一般设定 $P_1=I$

这样一来, **[3.1]**中的对称态与反对称态就可以分别表达为:

\left\{ \begin{align} & {\left| 3;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}{\lambda }_{c} \right\rangle }_{S}=\sum\limits_{s}{P}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{3} \\ & {\left| 3;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}{\lambda }_{c} \right\rangle }_{A}=\sum\limits_{s}{\left( -1 \right)}^{p}_{s}{P}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}{\left| {\lambda }_{c} \right\rangle }_{3} \\ \end{align} \right.

$-1$ 的指数 $p_s$ 就是从态 ${|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2{|{\lambda }_c⟩}_3$ 到态 $P_s{|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2{|{\lambda }_c⟩}_3$ 的置换次数. 或者和前面说法一致, $p_s$可以理解为 $P_s{|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2{|{\lambda }_c⟩}_3$ 标号的逆序数, 你懂我意思吧? (笑

综上所述, 我们可以把一个一般的 $n$ 粒子系统的未归一化对称与反对称基矢分别记为:

\left\{ \begin{align} & {\left| n\ ;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{S}=\sum\limits_{s}{P}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n} \\ & {\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{A}=\sum\limits_{s}{\left( -1 \right)}^{p}_{s}{P}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n} \\ \end{align} \right.

这里需要指出一点, ${|n;{\lambda }_a{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot {\lambda }_z⟩}_S$ 内的下标 $a,b,\cdot \cdot \cdot ,z$ 是可以有任意个相等的. 所以括号内的态数目等于粒子数, 而态的种类数目是小于等于粒子数的. 也就是说如果多个粒子处于同一个态, 那就要把这个态多写几遍. 不过我们的全排列仍然算 $n!$ 项. 这样对相同的态采取的全排列其实是没有必要的, 且这会影响到归一化系数的确定, 下面将讨论这个问题.

3.3. 对称或反对称基矢归一化系数的确定:

$n$ 粒子系统对称或反对称基矢的归一化系数为 \frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!\cdot \cdot \cdot {n}_{z}!}

其中 $n$ 为系统粒子数；$n_a,n_b,\cdot \cdot \cdot ,n_z$ 等分别为量子态 $|{\lambda }_a⟩,|{\lambda }_b⟩,\cdot \cdot \cdot ,|{\lambda }_z⟩$ 上的粒子数. [9]

下面的解释看不懂也不要紧, 在下一篇文中讲到"对称或反对称基矢的正交归一性"这一节时我会从另一个角度再一次论证这个系数的合理性. 不过说实话, 下面的解释我也是尽力了.

解释:

反对称的基矢其实是不允许超过一个粒子出于同一个状态的, 因为如果两个粒子处于同量子态, 那么你交换这两个粒子的时候其实基矢是不应该发生任何变化的, 但反对称要求交换前后差一个负号, 而与自己的负矢量相等的矢量只能是没有意义的零矢量. 所以不存在这种情况, 这就是泡利不相容原理 (Pauli exclusion principle). 故对于反对称基矢, 归一化系数就只是 \frac{1}{\sqrt{n!}. 而我们不难发现 ${|n;{\lambda }_a{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot {\lambda }_z⟩}_A=\sum _s{\left(-1\right)}_s^p{P}_s{|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2\cdot \cdot \cdot {|{\lambda }_z⟩}_n$ 的模方就是 $n!$, 因为求和符号中的各个排列都是互相正交的 (#见下方引用块 ), 所以其模方就等于求和中的正交归一矢量数目.

\begin{align} & \ \ \ \ \ \langle {\lambda }_{a}{|}_{2}\langle {\lambda }_{b}{|}_{1}\cdot \cdot \cdot \langle {\lambda }_{z}{|}_{n}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n} \\ & =\langle {\lambda }_{b}{|}_{1}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}\langle {\lambda }_{a}{|}_{2}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot \langle {\lambda }_{z}{|}_{n}{\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n}=\left\langle {\lambda }_{b}|{\lambda }_{a} \right\rangle \left\langle {\lambda }_{a}|{\lambda }_{b} \right\rangle \cdot \cdot \cdot \left\langle {\lambda }_{z}|{\lambda }_{z} \right\rangle =0 \\ \end{align}

所以 \frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!\cdot \cdot \cdot {n}_{z}!} 这个归一化系数其实主要是针对对称基矢的, 这是怎么的出来的呢?

实际上我们只要证明处于量子态 $|{\lambda }_a⟩,|{\lambda }_b⟩,\cdot \cdot \cdot ,|{\lambda }_z⟩$ 上的粒子数分别为 $n_a,n_b,\cdot \cdot \cdot ,n_z$ 时, 前面的 $n$ 粒子系统的对称基矢 ${|n;{\lambda }_a{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot {\lambda }_z⟩}_S$ 的模方为 $n!n_a!n_b!\cdot \cdot \cdot n_z!$ 即可.

补充一点, 如果上式的 $a=b$ 则 $n_a!$ 与 $n_b!$ 就是一回事了, 系数中写一次就行. 就是说此时系数应该是 \frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{c}!\cdot \cdot \cdot {n}_{z}!} 而不是 \frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!{n}_{c}!\cdot \cdot \cdot {n}_{z}!}. 我本来是写了 $n$ 个全同玻色子系统情况的分析, 但写完自己看着都觉得眼花, 就删掉了.

直观起见, 我们以 $7$ 个全同玻色子中有 $3$ 个处于相同态的情况为例吧:

按前面定义的对称化矢量是: ${|7;{\lambda }_a{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot {\lambda }_g⟩}_S=\sum _{s=1}^{7!}{P}_s{|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2\cdot \cdot \cdot {|{\lambda }_g⟩}_7$ 可以看到后面是 $7!$ 项求和, 假如 $|{\lambda }_a⟩,|{\lambda }_b⟩,\cdot \cdot \cdot ,|{\lambda }_g⟩$ 中有 $3$ 个态相等呢? 因为求和的是一个全排列, 所以这 $7!$ 项中每一相都可以找到与它完全相等的另外$(3!-1)$项. 所以合并之后可以提出一个公共系数 $3!$, 那里面互相正交的矢量还剩几项呢? 答案是 $C_7^{4}4!=\frac{7!}{3!}$ 项, 这很简单, 就是 $7$ 个里面选 $4$ 个分别处于前 $4$ 个态, 然后再对这 $4$ 个粒子取一个全排列, 剩下的 $3$ 个自然就是处于那个有 $3$ 个粒子的态.

所以当我们对这个矢量求模方的时候, 首先会得到 $\frac{7!}{3!}$ 这个因子, 然后我们要考虑到前面提到的公共系数 $3!$ 的模方 ${\left(3!\right)}^2$ , 所以其模方就是 $\frac{7!}{3!}{\left(3!\right)}^2=7!3!$.

也就是说 $7$ 个粒子中有 $3$ 处于相同态的时对称化基矢的模方为 $7!3!$. 这里不难推广到 $n$ 粒子系统中有 $n_a$ 个处于一个态、$n_b$ 个处于另一个态 $\cdot \cdot \cdot$ 的情况, 此时模方应该是 $n!n_a!n_b!\cdot \cdot \cdot$

所以, 我们的归一化系数应该是 \frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!\cdot \cdot\ \cdot }.

3.4. 综上所述, 我们将对称与反对称的归一化基矢分别表达为:

\left\{ \begin{align} & {\left| n\ ;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{S}=\frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!\cdot \cdot \cdot }\sum\limits_{s}{P}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n} \\ & {\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{A}=\frac{1}{\sqrt{n!}\sum\limits_{s}{\left( -1 \right)}^{p}_{s}{P}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n} \\ \end{align} \right.

其中 $n_a!n_b!\cdot \cdot \cdot$ 中的 $n_a,n_b,\cdot \cdot \cdot$ 应当理解为每一个态出现的次数

这种符号实际上就是把所有粒子的态全部列出来, 例如 $5$ 个电子系统, $3$ 个自旋向上, $2$ 个自旋向下的对称自旋态矢的记号就定义为: \left| 5;\uparrow \uparrow \uparrow \downarrow \downarrow \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{5!3!2!}\sum\limits_{s}{P}_{s}{\left| \uparrow \right\rangle }_{1}{\left| \uparrow \right\rangle }_{2}{\left| \uparrow \right\rangle }_{3}{\left| \downarrow \right\rangle }_{4}{\left| \downarrow \right\rangle }_{5}

可能有人会问为何电子还能有对称的态, 其实电子可以有对称的坐标或自旋态, 但二者不可以同时为对称态, 因为电子的总态是二者的直积必须为反对称态.

前面的记号显然满足 \left\{ \begin{align} & {\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}{\lambda }_{c}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{S}={\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{c}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{S} \\ & {\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}{\lambda }_{c}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{A}=-{\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{c}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle }_{A} \\ \end{align} \right.

3.5. 我们也可以把对称与反对称基矢统一表达为:

\left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!\cdot \cdot \cdot {n}_{z}!}\sum\limits_{s}{P}_{s}{\varepsilon }^{p}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n}

其中 $\epsilon =\pm 1$, 取 $-1$ 时表示反对称基矢.

符号上我们将 $|⟩$ 定义为对称或反对称的矢量, 表达式如上所述. 而 $|)$ 用于表示未经过对称化或反对称化处理的矢量, 以区分 $|{\lambda }_a,{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot ⟩$ 与 $|{\lambda }_a⟩|{\lambda }_b⟩\cdot \cdot \cdot$ 也就是说 \left| n;{\lambda }_{a}{\lambda }_{b}\cdot \cdot \cdot {\lambda }_{z} \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!{n}_{a}!{n}_{b}!\cdot \cdot \cdot {n}_{z}!}\sum\limits_{s}{P}_{s}{\varepsilon }^{p}_{s}{\left| {\lambda }_{a} \right\rangle }_{1}{\left| {\lambda }_{b} \right\rangle }_{2}\cdot \cdot \cdot {\left| {\lambda }_{z} \right\rangle }_{n} 而 $|{\lambda }_a{\lambda }_b\cdot \cdot \cdot {\lambda }_z)={|{\lambda }_a⟩}_1{|{\lambda }_b⟩}_2\cdot \cdot \cdot {|{\lambda }_z⟩}_n$

参考

• ^每次点开修改浏览器都要大喘气
• ^当前这篇仅包含目录中的前三章.
• ^以后有可能完善一下.
• ^虽然这个式子在矩阵运算定义的张量积下不成立, 但这只是矩阵表示的局限性造成的, 实际上只要保证不同空间中的对象之间只能进行直和与直积运算物理上就不会出现问题.
• ^更详细的说明可以参考3.5
• ^下面的对称化基矢部分会解释这个问题.
• ^后面偶尔会省略"全同"二字.
• ^数学上看, 交换标号和交换量子态其实是一回事, 你可以瞪着下面的态矢量感受一下.
• ^也可以说是对称矢中各个态出现的次数.