喀兴林先生的一个『与此类似』竟让我嗯算了一整晚!

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/95929998
• 发布日期: 2019-12-07
• 分类: 数学方法 / 物理数学工具箱

解决的是喀兴林《高等量子力学》中的:

§ 8 角动量算符和角动量表象 中的 § 8-2 轨道角动量和方向算符 中的 (8.25) 式的推导.

$N_z|l,l⟩=c_z|l+1,l⟩$ (8.25)

并且后来发现还算是同时补充了:

喀兴林-高等量子力学 练习 8.3 课后习题答案.

这么写是希望推不出来的人能搜到这篇文章, 因为公式本身是确实没错的, 而且我看后续还会一直用到这个关系, 如果是以这本书作为基础主干却推不出这个公式可就闹心了.

推导过程在文章的 Part II.

前面的 Part I 只是我耗费了一个晚上的心路历程.

评论区里的方法放在了 Part III.

算上瘾了是吧, 草.

Part I. 这一段就是一个小故事, 不看也没啥

事情是这样的, 下午看了下手机发现有个朋友问我喀兴林写的《高等量子力学》中的一个公式是怎么推出来的, 就是下面那个画红框的:

其中 $c_z$ 是一个归一化系数. 我看这本书的时候其实把初等量子力学部分都跳过了, 所以也是第一次听说这个方向算符处理角动量的方法. 但我肯定不能说不会啊, 装还是要装一下的. 我一看, 这还写着大大的『同样』二字, 这可还行, 估计很简单吧, 我就现场开始推导, 然后准备装作早就推过了的感觉发给朋友.

***有兴趣的可以自己就靠上面那两张图推一下, 这样应该会更有参与感. (笑 ***

好吧然后就用各种方法, 利用各种对易关系计算了一整晚:

I mean, 逻辑很简单啊, 我只要证明关系 $L^2{N}_z|l,l⟩=\left(l+1\right)\left(l+2\right){\hslash }^2{N}_z|l,l⟩$ 成立不就结束了吗? straight, right? 那就是对易咯, 即 ${L}^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle ={N}_{z}{L}^{2}\left| l,l \right\rangle +\left[ {L}^{2},{N}_{z} \right]\left| l,l \right\rangle.$显然问题就是出在 $\left[ {L}^{2},{N}_{z} \right]\left| l,l \right\rangle$ 这一项上. 那我只要把它化简成 $f\left(l\right)N_z|l,l⟩$ 的形式不就搞定了吗? 然后我就算了一整晚, 从各个角度去计算, 无数次的发现新的方法, 无数次来灵感, 但最后都走到了同一个死胡同: $\begin{align} & \left[ {L}^{2},{N}_{z} \right]=2i\hbar \left( {N}_{x}{L}_{y}-{N}_{y}{L}_{x} \right)+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2i\hbar \left[ {N}_{x}\frac{1}{2i}\left( {L}_{+}-{L}_{-} \right)-{N}_{y}\frac{1}{2}\left( {L}_{+}+{L}_{-} \right) \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{x}\left( {L}_{+}-{L}_{-} \right)-{N}_{y}i\left( {L}_{+}+{L}_{-} \right) \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{x}{L}_{+}-{N}_{x}{L}_{-}-i{N}_{y}{L}_{+}-i{N}_{y}{L}_{-} \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{x}{L}_{+}-i{N}_{y}{L}_{+}-{N}_{x}{L}_{-}-i{N}_{y}{L}_{-} \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{-}{L}_{+}-{N}_{+}{L}_{-} \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} .\\ \end{align}$

怎么对易都没有用, 别说 $N_z$ 了, 能把 $N_x,N_y$ 这种捣乱的去掉就已经开始掉头发了.

每次去掉这些, 就剩下这么一个式子卡我:

$N_{+}{L}_{-}.$

它让 $|l,l⟩$ 降了一格, 变成 $|l,l-1⟩$ , 然后 $N_x$ 的作用又不明朗.

DEAD END.

但我想, 既然书上都说了『同样』, 那就一定是从$\left[L^2,\vec{N}\right]=2i\hslash \vec{N}\times \vec{L}-2{\left(i\hslash \right)}^2\vec{N}$得到的分量式子$\left[L^2,N_z\right]=2i\hslash \left(N_x{L}_y-N_y{L}_x\right)+2{\hslash }^2{N}_z$出发吧!

然后 Somehow 化简到往 $|l,l⟩$ 上一作用就得到结论.

毕竟只有这样才能称作『同样』.

然而并不是! 我推了一整晚!

只好就求助于互联网:

好吧, 这是17年的帖子.

但我坚持不懈搜到了一篇论文, 竟然也提到了这个算符:

竟然还是私货!

自 引 刷 引 用 (误)

而且这篇论文内部关于这个部分写的如出一辙:

『与此类似』可还行?

完 全 不 类 似 好 伐 !

然后我就开始玄学解题:

• 我要从答案推出条件!
• 我要假设答案成立!
• 我要从中间往两边推导!
• 我要强行猜出来再证明!
• 我要强行增加条件!
• 我要猜出新的条件!

最后我解方程那样看看如果式子是正确的, 那会要求 $N_{+}{L}_{-}$ 这位大神等于什么呢?

最后我得到了这样一个我强行猜出来的关系式:

$i\hslash N_{+}{L}_{-}|l,l⟩=-i2l{\hslash }^2{N}_z|l,l⟩.$

然后我又更大胆的觉得, 不应该出现 $l$ 才对吧? 你这家伙! 你这个 $l\hslash$ 其实是 $L_z$ 吧!

『这味道··· 是说谎的味道! ジョルノ・ $L_z$ 』

那么${\mathbf{N}}_{+}{L}_{-}=-2N_z{L}_z$必须成立, 要不然书上的式子就是错的!

但我后来又发现啊, $N_{-}{L}_{+}|l,l⟩$ 是等于 $0$ 的, 所以完全有可能是:

$N_{-}{L}_{+}-N_{+}{L}_{-}=-2N_z{L}_z.$

那为什么不是 $N_{-}{L}_{+}+N_{+}{L}_{-}=-2N_z{L}_z?$

为什么不是 $F\left(N_{-}{L}_{+}\right)+G\left(N_{+}{L}_{-}\right)=-2N_z{L}_z?$

不过话说回来, \left\{ \begin{align} & {N}_{\pm }={N}_{x}\pm i{N}_{y}, \\ & {L}_{\pm }={L}_{x}\pm i{L}_{y} ······\\ \end{align} \right.

根 本 没 有 Z 分 量 啊 !

然后又算了半个晚上的对易关系, 终于也搞不出 $L_z$ 来.

そもそも我本来这个结论也是 XJB 猜的啊··· 突然就失去了斗志.

但是我浪费了一个晚上, 一个可以打死亡搁浅的晚上, 是不甘心的, 还挂在第六章呢!

$N_{-}{L}_{+}$! ! $N_{+}{L}_{-}$ ! ! $-2N_z{L}_z$ ! !

我不管, 你们三个一定有问题！于是就出现了我在 Part II 中的暴力解法:

『我就是把你们都拆成坐标和动量我也要看看你们到底是怎么回事! ジョルノ・$L_z$! 』

Part II. 真的生气了的计算方法

先给出角动量分量:

\vec{L}=\vec{R}\times \vec{P}=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_{x} & {\vec{e}_{y} & {\vec{e}_{z} \\ X & Y & Z \\ {P}_{x} & {P}_{y} & {P}_{z} \\ \end{matrix} \right|\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {L}_{x}=Y{P}_{z}-Z{P}_{y} \\ & {L}_{y}=Z{P}_{x}-X{P}_{z} \\ & {L}_{z}=X{P}_{y}-Y{P}_{x} \\ \end{align} \right.

强制暴力拆解 $N_z{L}_z$ , $N_{+}{L}_{-}$ , $N_{-}{L}_{+}$ :

$N_z{L}_z=\left(\frac{XZ}{R}{P}_y-\frac{YZ}{R}{P}_x\right).$

\begin{align} & {N}_{+}{L}_{-}=\left( {N}_{x}+i{N}_{y} \right)\left( {L}_{x}-i{L}_{y} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={N}_{x}{L}_{x}-i{N}_{x}{L}_{y}+i{N}_{y}{L}_{x}+{N}_{y}{L}_{y} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{X}{R}\left( Y{P}_{z}-Z{P}_{y} \right)-i\frac{X}{R}\left( Z{P}_{x}-X{P}_{z} \right)+i\frac{Y}{R}\left( Y{P}_{z}-Z{P}_{y} \right)+\frac{Y}{R}\left( Z{P}_{x}-X{P}_{z} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \frac{YZ}{R}{P}_{x}-\frac{XZ}{R}{P}_{y} \right)+i\left( \frac{X}^{2}{R}{P}_{z}+\frac{Y}^{2}{R}{P}_{z}-\frac{YZ}{R}{P}_{y}-\frac{XZ}{R}{P}_{x} \right). \\ \end{align}

\begin{align} & {N}_{-}{L}_{+}=\left( {N}_{x}-i{N}_{y} \right)\left( {L}_{x}+i{L}_{y} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={N}_{x}{L}_{x}+i{N}_{x}{L}_{y}-i{N}_{y}{L}_{x}+{N}_{y}{L}_{y} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{X}{R}\left( Y{P}_{z}-Z{P}_{y} \right)+i\frac{X}{R}\left( Z{P}_{x}-X{P}_{z} \right)-i\frac{Y}{R}\left( Y{P}_{z}-Z{P}_{y} \right)+\frac{Y}{R}\left( Z{P}_{x}-X{P}_{z} \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \frac{YZ}{R}{P}_{x}-\frac{XZ}{R}{P}_{y} \right)-i\left( \frac{X}^{2}{R}{P}_{z}+\frac{Y}^{2}{R}{P}_{z}-\frac{YZ}{R}{P}_{y}-\frac{XZ}{R}{P}_{x} \right). \\ \end{align}

显然有: $N_{+}{L}_{-}+N_{-}{L}_{+}=-2N_z{L}_z.$

开始计算对易子:

\begin{align} & \left[ {L}^{2},{N}_{z} \right]=2i\hbar \left( {N}_{x}{L}_{y}-{N}_{y}{L}_{x} \right)+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2i\hbar \left[ {N}_{x}\frac{1}{2i}\left( {L}_{+}-{L}_{-} \right)-{N}_{y}\frac{1}{2}\left( {L}_{+}+{L}_{-} \right) \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{x}\left( {L}_{+}-{L}_{-} \right)-{N}_{y}i\left( {L}_{+}+{L}_{-} \right) \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{x}{L}_{+}-{N}_{x}{L}_{-}-i{N}_{y}{L}_{+}-i{N}_{y}{L}_{-} \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{x}{L}_{+}-i{N}_{y}{L}_{+}-{N}_{x}{L}_{-}-i{N}_{y}{L}_{-} \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left[ {N}_{-}{L}_{+}-{N}_{+}{L}_{-} \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z} .\\ & \\ \end{align}

结合前面的:$N_{+}{L}_{-}+N_{-}{L}_{+}=-2N_z{L}_z.$

得到 $\left[L^2,N_z\right]=\hslash \left[2N_{-}{L}_{+}-\left(N_{+}{L}_{-}+N_{-}{L}_{+}\right)\right]+2{\hslash }^2{N}_z.$

上式两边同时右乘 $|l,l⟩$ 并化简:

\begin{align} & \left[ {L}^{2},{N}_{z} \right]\left| l,l \right\rangle =\hbar \left[ 2{N}_{-}{L}_{+}\left| l,l \right\rangle -\left( {N}_{+}{L}_{-}+{N}_{-}{L}_{+} \right)\left| l,l \right\rangle \right]+2{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hbar \left( 2{N}_{z}{L}_{z}\left| l,l \right\rangle \right)+2{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2l{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle +2{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle. \\ \end{align}

Finally ! Lets fking try:**

\begin{align} & {L}^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle ={N}_{z}{L}^{2}\left| l,l \right\rangle +\left[ {L}^{2},{N}_{z} \right]\left| l,l \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={N}_{z}l\left( l+1 \right){\hbar }^{2}\left| l,l \right\rangle +2l{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle +2{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ l\left( l+1 \right)+2l+2 \right]{\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( {l}^{2}+3l+2 \right){\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( l+1 \right)\left( l+2 \right){\hbar }^{2}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle .\\ \end{align}

！！！接下来只需要很简单的判断磁量子数:

已知 $\left[L_z,N_z\right]=0$ $\Rightarrow L_z{N}_z|l,l⟩=N_z{L}_z|l,l⟩=l\hslash N_z|l,l⟩.$

综上所述: $N_z|l,l⟩\propto |l+1,l⟩!$

Part III. 来自评论区的骚操作

@刁钻古怪古怪刁钻 提供的一个方法:

这直接暴露了我题做的少 😦 , 详细见评论区.

这里我们要用到前面刚被证明出来的一个结论 (绿框内):

也就是说已知 $N_{+}|l,l⟩=c_{+}|l+1,l+1⟩$ 其中 $c_{+}$ 为归一化系数.

然后显然有 $\left[L_z,N_z\right]=0\Rightarrow L_z{N}_z|l,l⟩=N_z{L}_z|l,l⟩=l\hslash N_z|l,l⟩.$

再由 \left[ {L}_{\text{+},{N}_{z} \right]=-\hbar {N}_{+} 可知:

{L}_{+}{N}_{z}\left| l,l \right\rangle =\left[ {L}_{\text{+},{N}_{z} \right]\left| l,l \right\rangle +{N}_{z}{L}_{+}\left| l,l \right\rangle =-\hbar {N}_{+}\left| l,l \right\rangle.

上式结合一开始提到的结论 $N_{+}|l,l⟩=c_{+}|l+1,l+1⟩$ 得到:

$L_{+}{N}_z|l,l⟩=\mathrm{const}\cdot |\mathrm{l}+1,\mathrm{l}+1⟩.$

于是我们综合结论 \left\{ \begin{align} & {L}_{z}\left( {N}_{z}\left| l,l \right\rangle \right)=l\hbar \left( {N}_{z}\left| l,l \right\rangle \right), \\ & {L}_{+}\left( {N}_{z}\left| l,l \right\rangle \right)=\rm {const}\cdot \left| l+1,l+1 \right\rangle. \\ \end{align} \right.

考虑到 $L_{+}$ 会使 $|l,m⟩$ 升级到 $|l,m+1⟩$ 而 $N_z|l,l⟩$ 确实是 $L_z$ 的本征矢.

我们不难想到 $N_z|l,l⟩\propto |l+1,l⟩.$

从前面先给出这么个结论来看, 这很可能是作者希望我们用的方法. 那其实我当晚差一点就往这个方向走了 (?)[[1]](#ref_1) But man, 他后面那个『同样』实在是太迷惑了. 我也只是被『同样』一词玩弄于股掌之中的一名受害者罢了.

希望贴吧老哥能发现这篇文.

参考

• ^其实差了好几点, 我看 m 都变成了 l+1 就吓得马上收手了. (笑