兄啊, 为啥动量算符在坐标表象下看着不像厄米算符啊

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/170626229
• 发布日期: 2020-08-06
• 分类: 量子力学基础与量子信息

本文的 $P$ 均指一维动量算符, 本该写为 $P_x$ 的, 但这里简洁起见就不标注下标 $x$ 了.

A. 引言

今天有一位知友私信问我"为何动量算符在坐标表象下看起来不像厄米算符? "

我看到这个问题的几秒内脑子里思绪万千:

1. 坐标表象下的动量算符是 $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$. 2. 曾经证明过微分算子 $\frac{\partial }{\partial x}$ 是反厄米的 (后文 D3 证明了这一点. )[[1]](#ref_1)
2. 所以显然就需要加上一个虚数单位 $i$ 来保证动量算符的厄米性.
3. 好像一切正常, 没啥问题啊.
4. Ah wait, そもそも、究竟什么是厄米算符?
5. 厄米算符就是厄米共轭等于它本身的算符啊.
6. 这么看的话愣眼一看 ${\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{†}=-\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\ne \frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 还确实不怎么像厄米算符.
7. 啊, 我知道这个问题是什么意思了, 其实只要从厄米算符的定义出发稍微算一下就可以解除这个误会了.

这个问题通过证明解决起来应该是不难的, 但考虑到应该初学者可能或多或少都会有这样的疑惑, 所以特此写篇文把问题捋一捋.

这也应该会是我最后一次谈类似问题了.

碰到这些想不通的地方, 关键是要从定义与基本概念出发.

B. 厄米算符的定义:

让我们回到初学者最朴素的思想, 什么是算符? 在量子论入门级的观点中算符就是一个线性变换, 就是一个矩阵. 那么厄米算符其实就是厄米矩阵, 什么是厄米矩阵呢? 厄米矩阵的定义就是自己与自己的厄米共轭相等的矩阵, 所谓厄米共轭就是先转置再取共轭. 那么从这一点来看, 厄米矩阵之于一般复矩阵就像实数之于复数那样. 其实也可以看作是以前线性代数中对称矩阵向复数域的一个推广. 或者说厄米矩阵在全体复矩阵中的地位与复数域中的实数的地位差不多, 这个推广角度会更准确一点.

那么厄米算符就有如下两个等价定义:

1. $P^{†}=P$

这可以看作是最根本的定义.

2. $P_{ab}={\left(P_{ba}\right)}^{\ast }$

我们知道矩阵元 $⟨a|P|b⟩$ 是一个复数, 它的共轭复数是 $⟨b|P^{†}|a⟩$ . 既有 $\langle b|{P}^{\dagger }\left| a \right\rangle ={\left[ \langle a|P\left| b \right\rangle \right]}^{*}$.那么如果算符 $P$ 是厄米的, 就有关系式 $\langle a|P\left| b \right\rangle ={\left[ \langle b|{P}^{\dagger }\left| a \right\rangle \right]}^{*}={\left[ \langle b|P\left| a \right\rangle \right]}^{*}$. 我们可将之简写为 $P_{ab}={\left(P_{ba}\right)}^{\ast }$. 其实你就直接从厄米矩阵的定义来看, 一个厄米矩阵的矩阵元必然满足这个关系啊.

3. \int{\varphi }^{*}P\psi \text{d}x}=\int{\left( P\varphi \right)}^{*}\psi \text{d}x

这个我本来不想写的, 但还是写了, 其实就是为了照顾一下国服玩家. \int{\varphi }^{*}P\psi \text{d}x}=\int{\left( P\varphi \right)}^{*}\psi \text{d}x={\left( \int{P\varphi {\psi }^{*}\text{d}x} \right)}^{*} 观察一下上面那个式子, 是不是就是 $P_{\phi \psi }={\left(P_{\psi \phi }\right)}^{\ast }$ 的意思? 要是看不出来我就再提示一下: {P}_{\varphi \psi }=\left\langle \varphi \right|P\left| \psi \right\rangle =\left\langle \varphi | {\psi }'} \right\rangle =\int{\left\langle \varphi | x \right\rangle \left\langle x | {\psi }'} \right\rangle dx}=\int{\varphi }^{*}{\psi }'dx}=\int{\varphi }^{*}P\psi dx}其实也不完全是这么回事. 这里其实牵扯到了一个作用在态矢量上的算符和作用在波函数上的算符存在着一些微妙区别的问题. 详见 [正樹：请不要再继续混用分别作用于 态矢量 与 波函数 的算符了！/ 左矢与算符怎么会交换位置?](https://zhuanlan.zhihu.com/p/90587825)

C. 必须提前说明的一点:

$P\ne \frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ , 这个不等号绝不可能改成等号. 我们口头上说的 "动量算符 $P$ 在坐标表象下表达为 $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ ." 实际上严格写出来是 $⟨x|P=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}⟨x|$ , 这个掠过去的 $⟨x|$ 指的是表象选择. 为了运算形式上的一致性, $⟨x|$ 是不可或缺的, 详见下述页面: [正樹：请不要再继续混用分别作用于 态矢量 与 波函数 的算符了！/ 左矢与算符怎么会交换位置?](https://zhuanlan.zhihu.com/p/90587825)[正樹：量子力学中的动量/为何说动量是平移的生成元](https://zhuanlan.zhihu.com/p/84531862)[量子力学里左矢与算符什么时候可交换？](https://www.zhihu.com/question/309447478/answer/577887186)

D. 有一个虚数单位的必要性:

1. 考虑定义 $P^{†}=P$

\Rightarrow \left\langle x \right|P\left| {x}'} \right\rangle =\left\langle x \right|{P}^{\dagger }\left| {x}'} \right\rangle

左边:

\langle x|P\left| {x}'} \right\rangle =\langle x|P=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\left\langle x | {x}'} \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right)

右边:

$\begin{align} & \langle x|{P}^{\dagger }\left| {x}'} \right\rangle =\langle x|{\left[ \langle {x}'|P \right]}^{\dagger } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\langle x|{\left[ \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial {x}'}\langle {x}'| \right]}^{\dagger } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial {x}'}\left\langle x | {x}'} \right\rangle =-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial {x}'}\delta \left( x-{x}' \right)=\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right) \\ \end{align}$

要是没有那个虚数单位 $i$ 最后就会相差一个负号吧.

=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=

2. 考虑定义 $P_{ab}={\left(P_{ba}\right)}^{\ast }$

该定义即是说 \left\langle x \right|P\left| {x}'} \right\rangle ={\left[ \left\langle {x}'} \right|P\left| x \right\rangle \right]}^{*}

左边:

\langle x|P\left| {x}'} \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\left\langle x | {x}'} \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right)

右边:

\langle {x}'|P\left| x \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial {x}'}\left\langle x | {x}'} \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial {x}'}\delta \left( x-{x}' \right)=-\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right) 然后还要再取一个复数共轭.

试想如果没有这个虚数单位 $i$ 最后就会相差一个负号吧.

=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=#=

3. 考虑国服定义 \int{\varphi }^{*}P\psi \text{d}x}=\int{\left( P\varphi \right)}^{*}\psi \text{d}x

其实这没什么好说的, 国服玩家普遍认为矩阵元的定义就是整俩波函数做积分对吧?

那就从最简单的一个地方入手, 我们证明一下微分算子 $\frac{\partial }{\partial x}$ (在坐标表象下)的反厄米性:

$\int {\phi }^{\ast }\frac{\partial }{\partial x}\psi dx=\int {\phi }^{\ast }d\psi =-\int \psi d{\phi }^{\ast }=-\int \psi \frac{\partial }{\partial x}{\phi }^{\ast }dx=-\int {\left(\frac{\partial }{\partial x}\phi \right)}^{\ast }\psi dx$

See? You feel me? $\int {\phi }^{\ast }\frac{\partial }{\partial x}\psi dx\ne \int {\left(\frac{\partial }{\partial x}\phi \right)}^{\ast }\psi dx$

实际上它们相差一个负号, 所以, 我们必须要乘上一个虚数单位 $i$ 来保证一个厄米性.

E. 总结

从前面一大串的证明, 可以很确定的说, 动量算符的厄米性是必须要有个虚数单位 $i$ 来保证的. 这点我想应该是没有什么异议了, 不过道理我都懂, 但是鸽子究竟为什么这么大?

为什么, 为什么说好的 "动量算符 $P$ 在坐标表象下表达为 $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ ." 中的 $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 如此的不像一个厄米算符?

还是那句老话, $P\ne \frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ , 你要想在坐标表象下讨论问题就永远别忘了你在坐标表象下, 我们只有一个等式, 那就是 $⟨x|P=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}⟨x|$.

你写个 $P^{†}=P$ 自然是啥问题没有, 但要是写个 $P^{†}|x⟩=⟨x|P$ 就不伦不类了吧? 同样的道理, ${\left(\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}\right)}^{†}$ 这种式子就不应该出现, 实际上这甚至都不是动量算符在坐标表象下的矩阵元.

动量算符在坐标表象下的矩阵元人尽皆知是: {P}_{x{x}'}=\left\langle x \right|P\left| {x}'} \right\rangle =\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right).

最后就是说一下, 国服里那个什么都搁坐标表象计算, 只用波函数不整狄拉克符号的风气真的很不好, 最后不就把自己绕进去了吗? 实际上你把内积 $⟨\phi |\psi ⟩$ 等价于 \int{\varphi }^{*}\left( x \right)\psi \left( x \right)dx} 的粗暴做法是插入了一个完备性关系式 $\int |x⟩⟨x|\text{d}x=1$ 的. 这么做完了以后这个积分里面的东西化简完就得整体考虑了, 要不然就会提出一个大家都感觉是动量算符的东西, 但一看好像又不厄米.

实际上也可以说是定义用错了, 你要考察 $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 厄米与否, 就应该像我前面的判断微分算符是否厄米的做法那样用波动力学特化出来的定义 \int{\varphi }^{*}P\psi \text{d}x}=\int{\left( P\varphi \right)}^{*}\psi \text{d}x 去判断.

而不是用厄米矩阵的国际判断依据 $P^{†}=P$ , I mean, $\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}$ 这玩意儿看着像是矩阵吗?

只要搞清楚了 $⟨x|P=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x}⟨x|$ 这个式子, 从波函数那套到矩阵表述那套其实是很自然的: $\begin{align} & {P}_{\varphi \psi }=\left\langle \varphi \right|P\left| \psi \right\rangle =\iint{\left\langle \varphi | x \right\rangle \left\langle x \right|P\left| {x}'} \right\rangle \left\langle {x}'} | \psi \right\rangle \text{d}x\text{d}{x}'} \\ & \ \ \ \ \ \ =\iint{\varphi }^{*}\left( x \right)\frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right)\psi \left( {x}'} \right)\text{d}x\text{d}{x}'} \\ & \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{i}\int{\psi \left( {x}'} \right)\left[ \int{\varphi }^{*}\left( x \right)\frac{\partial }{\partial x}\delta \left( x-{x}' \right)}\text{d}x \right]}\text{d}{x}' \\ & \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{i}\int{\psi \left( {x}'} \right)\left[ \int{\varphi }^{*}\left( x \right)\text{d}\delta \left( x-{x}' \right)} \right]}\text{d}{x}' \\ & \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{i}\int{\psi \left( {x}'} \right)\left[ -\int{\delta \left( x-{x}' \right)\text{d}{\varphi }^{*}\left( x \right)} \right]}\text{d}{x}' \\ & \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{i}\int{\psi \left( {x}'} \right)\left[ -\int{\delta \left( x-{x}' \right)\frac{\partial }{\partial x}{\varphi }^{*}\left( x \right)\text{d}x} \right]}\text{d}{x}' \\ & \ \ \ \ \ \ =-\frac{\hbar }{i}\int{\psi \left( {x}'} \right)\frac{\partial }{\partial {x}'}{\varphi }^{*}\left( {x}'} \right)}\text{d}{x}' \\ & \ \ \ \ \ \ =-\frac{\hbar }{i}\int{\psi \left( x \right)\frac{\partial }{\partial x}{\varphi }^{*}\left( x \right)}\text{d}x \\ & \ \ \ \ \ \ ={\left( \frac{\hbar }{i}\int{\psi }^{*}\left( x \right)\frac{\partial }{\partial x}\varphi \left( x \right)}\text{d}x \right)}^{*}={\left[ \left\langle \psi \right|P\left| \varphi \right\rangle \right]}^{*}={\left( {P}_{\psi \varphi } \right)}^{*} \\ \end{align}$

参考

• ^但这实际上是一个不规范的表述, 对坐标的微分算符具有反厄米性的这种说法仅在坐标表象下才 make sense, 此时我们将 ∂_x 视作 iP/ћ.