群论 (Group Theory) 终极速成 物理系零基础火箭级 notes

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/294221308
• 发布日期: 2020-11-30
• 分类: 群论 / 表示论

Breaking news, 我懒得专门写李代数的代数性质了, 给大家推一个更高级[1]的专栏:

https://www.zhihu.com/column/c_1333798682433945600> 你永远可以相信鲁鲁修老师[2].

序言

整个群论系列会时常更新, 增删内容之类, 因为很难一次性完美甄别哪些内容才是必要的.

群论? 别担心, 因为我的数学也都是云的, 所以方法都很初等, 记号都不吓人, 可读性很高.

说来你可能不信, 但本文真能让不懂拓扑与流形的人通过半几何半代数的观点来直观理解李群.

群论, 它好就好在不枯燥. 呃有限群比较无聊[3], 我就只挑着有意思的部分讲讲罢, 而李群的话可以说是我学过的最有趣[4]的内容之一了, 实际上物理系的优势就是可以只白嫖有趣的部分.

我见过的把群论讲的最通俗的材料是哪篇? 答曰: [北大李新征老师的群论一](https://link.zhihu.com/?target=http%3A//faculty.pku.edu.cn/lixinzheng/en/zhym/15376/list/index.htm). 但很遗憾, 这篇讲义并不涉及李群, 老凝聚态了我感觉. 所以如果前六章觉得我的 notes 有任何问题都可以去翻翻这篇讲义再学习一个. $\overline{}$要觉得我写的李群有问题, 你可以试试 A. Zee 的那本, 不过这本书不太适合查阅[[5]](#ref_5). A. Zee 书和国内的词典书是正好相反的两个极端, 就是零零散散地东讲点儿西讲点儿, 确实很适合初学者, 但是整体结构会给人感觉有些杂糅, 而且好像不太重视数学严谨[[6]](#ref_6).$\overline{}$顺带一提我这个系列的目标就是写一份中西结合的, 即适合查阅[[7]](#ref_7)又对新手友好的讲义.

前面几章要无中生有地建立群的概念所以会稍微细点儿. 总的来说前三章的目的就是讲清楚 [群是什么], 四到六章就是讲述 [群表示是什么], 前六章总的来说就是介绍 (有限) 群与群表示的结构与重要性质. 而掌握了这些基本常识之后第七章可以开始介绍李群与李代数了, 相信这是相当一部分人看本文的目的, 所以这之后的主要内容基本都是 [定义一个李群] 与 [介绍该李群性质上的重要结论].

而李群部分将先把常用李群的定义都摆出来以便查阅, 然后再具体介绍它们. 但我不可能逐个李群详细介绍, 这里毕竟不是 Wikipedia. 我会着重地介绍 $\text{SU}\left(2\right)$ 群, 因为它在物理中的用途十分广泛然后又十分简单而又不至于过于 trivial, 然后我会较为详细地介绍描述三维实空间旋转的 $\text{SO}\left(3\right)$ 群, 因为它与 $\text{SU}\left(2\right)$ 组合起来可以诱导出很多巨妈有趣且重要的概念, 比如说旋量、二重覆盖与共用李代数等等. 在介绍的过程中很自然地会引出类似于李群上的积分或杨图等概念, 因为研究李群的性质时不可避免地会用到这些工具.

不过比起事无巨细地去记录群的所有结论, 本文更重要的职能是介绍相关概念的由来与概念之间的联系以及如何去理解最重要的结论与其证明过程. 还是那句老话, 授人鱼我还不如直接教你怎么亲自抓鱼嘛. 这样对于我没介绍到的群, 你要想了解的话就完全可以自己自学了, 因为说到底李群 (在物理中广泛用到的) 就那么几个性质, 真要介绍起来也会和介绍 $\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{SO}\left(3\right)$ 的过程极其类似, 所以实在是没有必要写出来了, 但我有可能写写洛伦兹群与它的覆盖群, 因为这会对后面写量子场论的 notes 有大作用.

然后就是李代数吧, 我终于还是打算先些李群对应的李代数然后把李群讲完了之后再写作为独立数学对象的李代数.

如果你根本用不上李群, 那应该只用看前六章吧, 无论你是想学习有限群还是无限群这些都是必须要掌握的最基础的东西, 我愿称之为常识.

你会发现我前面几章很少画图, 我一开始是想画点儿图的, 但越写越觉得前面几章太直观, 实在是没什么理由放张图上去啊, 现在反倒是想不通为何那些教科书上那么多图, 难道不直观?

后面几章会有点儿图, 都是我亲手画的, 靠腰我图真的画的超妈漂亮[[8]](#ref_8).

你会发现我在直积直和上没怎么下功夫, 因为用不着, 不会碰到太复杂的概念的, 半直积我直接提都不提, 搞物理很少听说用到吧, 用到了你再现场去学也不迟反正.

下面极其极其粗略地介绍一下, 即使有看不懂的地方也没关系, 文中用到的话我会再详细解释.

直积生成有序元素组:$X\times Y=\left\{\left(x,y\right)|x\in X,y\in Y\right\}$.

这玩意儿也叫 Cartesian product, 说白了就是打包处理, 并没有给予任何额外的操作.

张量积 (和直积不是一回事) 构造高阶张量:v \otimes u \otimes M \to {v^\mu }{u^\nu }{M^\rho }_\sigma \equiv {T^{\mu \nu \rho }_\sigma \to T.

张量积的矩阵表述就是: $\left. \begin{align} & A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right] \\ & B=\left[ \begin{matrix} e & f \\ g & h \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right\}\Rightarrow A\otimes B=\left[ \begin{matrix} aB & bB \\ cB & dB \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} ae & af & be & bf \\ ag & ah & bg & bh \\ ce & cf & de & df \\ cg & ch & dg & dh \\ \end{matrix} \right]$. $A=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\otimes B=\left[ \begin{matrix} aB \\ bB \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \\ \end{matrix} \right]$.$A=\left[ a,b \right],B=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\otimes B=\left[ aB,bB \right]=\left[ \begin{matrix} ac & bc \\ ad & bd \\ \end{matrix} \right]$.$A=\left[ a,b \right],B=\left[ c,d \right]\Rightarrow A\otimes B=\left[ aB,bB \right]=\left[ ac,ad,bc,bd \right]$[[9]](#ref_9).

直和就是互不干扰的空间拼贴:

直和的矩阵表述就是: $A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right],\ B=\left[ \begin{matrix} e & f \\ g & h \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\oplus B=\left[ \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a & b & 0 & 0 \\ c & d & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e & f \\ 0 & 0 & g & h \\ \end{matrix} \right]$. $A=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\oplus B=\left[ \begin{matrix} A \\ B \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ \end{matrix} \right]$. $A=\left[ a,b \right],B=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\oplus B=\left[ \begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a & b & 0 \\ 0 & 0 & c \\ 0 & 0 & d \\ \end{matrix} \right]$.$A=\left[ a,b \right],B=\left[ c,d \right]\Rightarrow A\oplus B=\left[ A,B \right]=\left[ a,b,c,d \right]$.这究竟是怎么贴的? 呃··· 用心, 用心去感受[[10]](#ref_10).

目录里的全都是重点, 因为是火箭级速成, 所以稍微没那么重要的群论内容我全都砍掉了.

所以你只可能会少学了些什么, 而绝对绝对不可能在本系列中学到用处不大的知识.

推荐一篇 [前置内容], 对基本的代数结构的理解很有帮助, 当然不看也不影响看这个群论系列.

目録

1. 群的基本概念

1.1. 群的定义 1.2. 重排定理 1.3. 子群 1.4. 陪集定理 1.5. 群内的共轭关系 1.6. 商群

2. 同态与同构

2.1. 同态与同构的定义 2.2. 同态核定理

3. 群作用与变换群

3.1. 左右作用与伴随作用 3.2. 变换群 (置换群) 与自同构映射群 3.3. 确定变换群下的概念

[附录 A] 映射

[附录 B] 等价关系与等价类

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 群表示理论

4. 群表示理论

4.1. 群表示 4.2. 忠实 幺正 正则 4.3. 群代数 4.4. 类函数 4.5. 等价表示 4.6. 不可约表示 4.7. Schur 引理一 4.8. Schur 引理一的推论 4.9. Schur 引理二 4.10. 群中心, kerR与忠实性

[附录 C] 线性空间, 线性变换与内积

[附录 D] 有限高维空间往低维空间线性映射

[附录 E] 复空间线性变换至少有一个非零本征矢

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 群表示论下的正交性与完备性

5. 群表示论下的正交性与完备性

5.1. 特征标的基本属性 5.2. 表示矩阵元的正交性 5.3. 特征标的正交性 5.4. 插曲 A - 可约表示的分解 5.5. 表示矩阵元的完备性 5.6. 插曲 B - Ad 分解 5.7. 特征标的完备性 5.8. 完备性关系式

6. 新表示的构成

6.1. 群表示的张量积 #这里将来或会扩充一些内容#

[附录 F] 仅在 μ 行 ν 列为 1 其它位置均为 0 的矩阵

[附录 G] 矩阵和矩阵张量积成矩阵的张量积

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 李群 (Lie group) 的定义与常见李群

7. 李群(Lie group)的定义与常见李群

7.1. 一句话概括 7.2. 常见李群

8. 浅谈$\text{SU}\left(2\right)$与生成元的概念

8.1. $\text{SU}\left(2\right)$ 的基本概念 8.2. $\text{SU}\left(2\right)$ 的几何描述与泡利矩阵表达 8.3. $\text{SU}\left(2\right)$ 中的共轭类 8.4. 李群中的单参子群与生成元的概念

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / SU(2) 与 SO(3) 的梦幻联动

9. 浅谈$\text{SO}\left(3\right)$

9.1. $\text{SO}\left(3\right)$ 的基本概念 9.2. $\text{SO}\left(3\right)$ 的矩阵表达 9.3. $\text{SO}\left(3\right)$ 中的共轭类

10.$\text{SU}\left(2\right)$与$\text{SO}\left(3\right)$的梦幻联动

10.1. $\text{SU}\left(2\right)$ 群元诱导实三矢量的线性变换 10.2. 梦幻的二重覆盖 10.3. 流形角度的二重覆盖与同伦类 10.4. 转两圈才回到原位

[附录H] 暴力计算$D\left(U\right)$

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / SU(2) 的全体不可约表示与李群上的积分

11.$\text{SU}\left(2\right)$的全体不可约表示

11.1. $\text{SU}\left(2\right)$ 的复线性表示 11.2. (暂为雏形)李群上的积分 11.3. $\text{SU}\left(2\right)$ 上的积分 11.4. $\text{SU}\left(2\right)$ 复线性表示特征标的正交归一性与完备性 11.5. $\text{SU}\left(2\right)$ 常见表示简介

[附录 I] 为何作用进去的是逆运算

[附录 J] 等距作用的概念

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 李群对应的李代数与可爱又迷人的伴随表示

12.$\text{SO}\left(3\right)$的不可约表示

12.1. $\text{SO}\left(3\right)$ 的全体不可约表示 12.2. 球谐函数构成 $\text{SO}\left(3\right)$ 的无穷维表示的基底

12i[11]. 李群的李代数 (Lie algebra)

12i.1. 一般李代数的定义 12i.2. 结构常数与结构张量的概念 12i.3. 李群对应的李代数 12i.4. 引入李代数的目的 12i.5. 常见李群对应的李代数里边儿的都是些啥

14. 伴随表示 (adjoint representation)

14.1. 李群与李代数的表示 14.2. 李群的伴随表示 14.3. 举例 $\text{SU}\left(2\right)$ 的伴随表示 14.4. 李代数的伴随表示

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group) 与洛伦兹代数

15. 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group)

15.1. 洛伦兹群的定义 15.2. 洛伦兹群对应的流形分为四块儿

16. 洛伦兹代数

16.1. 洛伦兹代数的定义 16.2. 洛伦兹代数的基矢 16.3. 洛伦兹代数的李括号与直和分解

[附录 K] 证明{\left( {\mathcal{M}^{\rho \sigma } \right)}^{\mu }_{\nu }=\text{i}\left( {g}^{\rho \mu }{\delta }^{\sigma }_{\nu }-{g}^{\sigma \mu }{\delta }^{\rho }_{\nu } \right)

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / マボロシの旋量空间与哈人的 Clifford 代数

17. 二重覆盖与旋量群 (spin group)

17.1. Previously on AMC's The Double Cover 17.2. 旋量群的基本概念

18. 旋量群的李代数与克利福德代数 (Clifford algebra)

18.1. Clifford 代数的产生 *18.2. 真正的 Clifford 代数[[12]](#ref_12) 18.3. Clifford 代数与旋量群李代数的关系

19. 神秘莫测的旋量空间 (spinor space)

19.1. 旋量与旋量表示 19.2. 以 $\text{Spin}\left(3\right)=\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{SO}\left(3\right)$ 为例把前文的一切理论都验证一下 19.3. 故 $\text{SU}\left(2\right)$ 的基本表示就是 $\text{SO}\left(3\right)$ 的一个旋量表示, 现在来研究一下这个表示空间 19.4. 以自旋空间为例, 演示一下旋量与矢量直接的联系

[附录 L] 关于 Clifford 代数的一些江湖传闻

我是真没想到目录会这么长, 我印象中群论的知识点好像也不多来着 (?)

1. 群的基本概念

1.1. 群的定义:

✦ 群 $G=\left\{\cdots ,g,\cdots \right\}$ 就是定义了二元运算 (称之群乘法) 且满足下列条件的非空集合[13]:

(1). 封闭性: 对 $\forall g,g^{\prime }\in G$ 满足 $g{g}^{\prime }\in G$. (2). 结合律: 对 $\forall g_{\alpha },g_{\beta },g_{\gamma }\in G$ 满足 $\left(g_{\alpha }{g}_{\beta }\right)g_{\gamma }=g_{\alpha }\left(g_{\beta }{g}_{\gamma }\right)$. (3). 存在唯一单位元素 $g_e$ 使得对 $\forall g\in G$ 有 $g_{e}g=g{g}_e=g$. (4). 对 $\forall g\in G$ 存在唯一逆元 $g^{-1}\in G$ 使得 $g^{-1}g=g{g}^{-1}=g_e$.

可以看到群运算不要求交换律 $g{g}^{\prime }=g^{\prime }g$, 所以额外满足交换律的群单独被称为阿贝尔群.

以后我验证一个集合是否构成群时基本上都不会把四条全都过一遍, 但跳过仅是因为太显然.

✦ 群 $G$ 内元素数称之为群的阶数, 记作 $\left|G\right|$, 有限阶的群被称为有限群, 无限阶的群被称为无限群.

为了书写方便, 后面一律约定:

(1). 对元素的操作作用在集合上表示作用在集合内全体元素上的集合.(2). 集合对元素的操作表示集合内元素分别对元素操作的集合. 例: 对$X=\left\{x_1,x_2,x_3\right\}$ 有\left\{ \begin{align} & f\left( X \right)\equiv \left\{ f\left( {x}_{1} \right),f\left( {x}_{2} \right),f\left( {x}_{3} \right) \right\} \\ & \ \ {X}^{-1}\equiv \left\{ x_{1}^{-1},x_{2}^{-1},x_{3}^{-1} \right\} \\ & X\left( y \right)\equiv \left\{ {x}_{1}\left( y \right),{x}_{2}\left( y \right),{x}_{3}\left( y \right) \right\}. \\ \end{align} \right.

1.2. 重排定理:

✦ 群 $G$ 中任意元素以相同方式[14]作用在群中所有元素上, 得到的所有结果的集合仍是群本身.

即 $\forall g_{\alpha }\in G\Rightarrow g_{\alpha }G=\left\{g_{\alpha }g|g\in G\right\}=G{g}_{\alpha }=\left\{g{g}_{\alpha }|g\in G\right\}=G$.

证明起来很简单: (1). 显然对 $\forall g\in G,\exists g_{\beta }\in G$ 使得 $g_{\alpha }{g}_{\beta }=g$ , 只需选 $g_{\beta }=g_{\alpha }^{-1}g\in G$ 即可. (2). 显然不会重复, 因为若有 $g_{\alpha }g=g_{\alpha }{g}^{\prime }$则有 $g_{\alpha }^{-1}{g}_{\alpha }g=g_{\alpha }^{-1}{g}_{\alpha }{g}^{\prime }\Rightarrow g=g^{\prime }$.

1.3. 子群:

✦ 若 $H\subseteq G$ 且在 $G$ 的群乘法下也构成一个群, 则称 $H$ 是 $G$ 的子群.

$\forall g\in G$ 构建出的 $\left\{ g,{g}^{2},{g}^{3},\cdots \right\}$ 这样的集合将是 $G$ 的一个循环子群[[15]](#ref_15). 这是显然的, 因为 $g^n\in G$ 是必然的, 若 $g^n\ne g_e$ 那总还有 $g{g}^n\in G$, 大不了重排定理. 当然这里及下面谈的是有限群. $\overline{}$ 看有人问这里我就再讲清楚一点: 在幂集合 $\left\{g,g^2,g^4,g^5,\cdots \right\}$ 中, 由群的封闭性可知每一项都一定是本群的成员. 我们的群元是有限的, 但这个幂是没有上限的, 说明什么? 说明这个集合里面一定有重复元素吧? 比如说有 $g^a=g^b$, 那我们就知道一定有 $g_e=g^{b-a}$, 现在找到最小的那个 $\left|b-a\right|$. 记最小的 $\left|b-a\right|=n$ 就有 $g^n=g_e$, 即 $g,g^2,g^3,\cdots ,g^{n-1},g_e$ 之后就又是 $g$ 了. 你再继续排列下去无非又是一次 $n$ 阶循环, 所以我们称这种为 $n$ 阶循环群, 老顾名思义了.

1.4. 陪集定理 (★):

✦ 陪集即由任意固定的 $g\in G$ 与 $G$ 的子群 $H$ 生成的集合, 分为两类, 记号与定义如下:

左陪集: $gH=\left\{gh|h\in H\right\}$. 右陪集: $Hg=\left\{hg|h\in H\right\}$. (1). 显然陪集内元素数等于子群的阶, 因为 {h}_{\alpha }\ne {h}_{\beta }\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & g{h}_{\alpha }\ne g{h}_{\beta } \\ & {h}_{\alpha }g\ne {h}_{\beta }g \\ \end{align} \right.. (2). 如果 $g\in H$ 那陪集就是 $H$ 本身.

✦ 陪集定理: $H$ 的两个左 (右) 陪集要么完全相同, 要么无公共元素.

若 $g_{\alpha }H$ 与 $g_{\beta }H$ 有公共元素 $g_{\alpha }h=g_{\beta }{h}^{\prime }$ 则有 $\left(g_{\alpha }h\right)H=\left(g_{\beta }{h}^{\prime }\right)H\Rightarrow g_{\alpha }H=g_{\beta }H$.

陪集定理告诉我们:

(1). 可以用陪集去分割群: $G=g_{e}H\cup g_{\alpha }H\cup g_{\beta }H\cup \cdots$ 缺哪个元素就用哪个元素生成左陪集加进去就是了, 因为陪集里一定有这个元素本身. $\overline{}$ (2). 子群的阶数必为群阶的因数. 这由上述分割考虑到陪集定理及陪集内元素数固定这一事实可以显然推知.

1.5. 群内的共轭关系:

✦ 共轭:

对 $\forall g_{\alpha },g_{\beta }\in G$ 若 $\exists g_{\gamma }\in G$ 使得 $g_{\alpha }=g_{\gamma }{g}_{\beta }{g}_{\gamma }^{-1}$ 则称 $g_{\alpha },g_{\beta }$ 共轭, 记作 $g_{\alpha }\sim g_{\beta }$.

显然有对称性 $g_{\alpha }\sim g_{\beta }\iff g_{\beta }\sim g_{\alpha }$ , 因为 $g_{\alpha }=g_{\gamma }{g}_{\beta }{g}_{\gamma }^{-1}\Rightarrow g_{\beta }=g_{\gamma }^{-1}{g}_{\alpha }{g}_{\gamma }=g_{\gamma }^{-1}{g}_{\alpha }{\left(g_{\gamma }^{-1}\right)}^{-1}$. 此外还具有传递性, 即 ${g}_{\alpha }\sim {g}_{\beta }$, ${g}_{\beta }\sim {g}_{\gamma }\Rightarrow {g}_{\alpha }\sim {g}_{\gamma }$[[16]](#ref_16).由此我们可以定义等价类. 什么是等价类? 请参考 **[附录B]**.

✦ 共轭类 $\left[g\right]\equiv \left\{g_{\alpha }g{g}_{\alpha }^{-1}|g_{\alpha }\in G\right\}$, 其中 $g\in G$.

前面有利用陪集分割群的做法, 实际上利用共轭类也可以分割群, 但就不是分成等份了.

✦ 正规子群 (不变子群):

若 $G$ 的子群 $H$ 中的元素的同类元素[17]都在 $H$ 内则称 $H$ 为 $G$ 的不变子群, 记作 $H◃G$.

正规子群说白了就是用一些共轭类并在一起构成的子群.

若 $H$ 是 $G$ 的正规子群则显然对 $\forall g\in G$ 有 $gH{g}^{-1}=\left\{gh{g}^{-1}|h\in H\right\}=H$.

不变子群说明对 $\forall h\in H$ 总存在 $h^{\prime }=g^{-1}h{\left(g^{-1}\right)}^{-1}\in H$ 既有 $g{h}^{\prime }{g}^{-1}=h$. 所以 $gH{g}^{-1}$ 包含了所有 $h\in H$, 且无重复, 因为 $gH{g}^{-1}$ 元素只有 $H$ 阶数个[[18]](#ref_18).

✦ 群中心:

$\text{C}\left(G\right)\equiv \left\{g_c|g_c\in G,g{g}_c=g_{c}g\text{for}\forall g\in G\right\}$.

一句话概括就是群里与其它所有群元都对易的那些群元构成的集合叫群中心. 群中心就是一个群内的阿贝尔群, 同时它也是一个群的不变子群. 从定义看, 群中心能构成一个子群实在是太过于显然了.

1.6. 商群:

正规子群的最大价值就是用来构建商群.

✦ 设 $H◃G$ , 则 $H$ 的陪集[19]可以给出分割 $G=g_{e}H\cup g_{\alpha }H\cup g_{\beta }H\cup \cdots$

此时我们可以将 $G/H\equiv \left\{H,g_{\alpha }H,g_{\beta }H,\cdots \right\}$ 定义为 $G$ 关于不变子群 $H$ 的商群.

注意商群里的每个元素都是一个集合, 当然你也可以记 $d_0\equiv H,d_{\alpha }\equiv g_{\alpha }H\cdots$ , 就是将每个集合都看作一个点也行, 这样就有 $G/H\equiv \left\{d_0,d_{\alpha },d_{\beta },\cdots \right\}$.

这样定义的理由很简单, 因为可以证明 $g_{\alpha }{g}_{\beta }=g_{\gamma }$ 可推出 $\left(g_{\alpha }H\right)\left(g_{\beta }H\right)=g_{\gamma }H$.

证: $\left(g_{\alpha }H\right)\left(g_{\beta }H\right)=g_{\alpha }{g}_{\beta }{g}_{\beta }^{-1}H{g}_{\beta }H=g_{\alpha }{g}_{\beta }HH=g_{\gamma }H$. 从证明过程不难看出一般的子群并不能办到这一点, 因为第二个等号将不一定成立. 而不变子群怎么取共轭都不会超出自己, 所以我们就可以将其打包起来扔一边儿了.

✦ 为何能确定 $G/H$一定构成群呢?

如何证明逆元也一定在里面呢?

若分割 $gH\in G/H$ 则必有 $g^{-1}H\in G/H$ 吗? 答案是肯定的. 你担心的无非就是存在 $g^{\prime }h=g^{-1}$ 导致 $g^{\prime }H\in G/H$ 占了 $g^{-1}H$ 的位置嘛. 这个担心其实很多余, 因为这样的 $g^{-1}H=g^{\prime }hH=g^{\prime }H$ 根本就是同一个元素. $\overline{}$ 实际上商群的意思就是让我们把 $gH=\left\{g,g{h}_{\alpha },g{h}_{\beta },\cdots \right\}$ 里的元素都视为同一点.

如何证明运算的封闭性呢?

对 $\forall g_{\alpha }H,g_{\beta }H\in G/H\$,记${g}{\alpha }{g}{\beta }={g}{\gamma }$,则是否必有${g}{\gamma }H\in {G}/{H}$呢?我觉得蛮显然的,因为最初肯定有${g}{\gamma }\in G$则把$G=\left{ {g},{g}{\alpha },{g}{\beta },{g}{\gamma },\cdots \right}$写成$G={g}H\cup {g}{\alpha }H\cup {g}{\beta }H\cup {g}{\gamma }H\cdots$时,也是存在${g}{\gamma }H$这一项的,如果这一项消失了,只有可能是因为存在${g}'H={g}{\gamma }H$,不过这样也没啥,因为反正${g}{\gamma }H={g}'H$,所以谁留在${G}/{H}$ 都一样.

总的来说就是将不变子群打包放一边, 得到的商群就是以不变子群作为群元单位的一个超结构.

或者说商群就是将各个陪集内部的所有元素都看成同一个元素, 将陪集缩成一个点的形成的群.

2. 同态与同构

2.1. 同态与同构的定义:

✦ 同态与同构是群 $G,H$ 之间的关系, 同构是同态的特殊情况, 记为 $G\cong H$.

若存在映射 $\phi :G\to H$ 能保持群结构 (即保持群乘法, 下面会详讲) 则称 $G$ 与 $H$ 同态, 进一步地如果这个映射是双射则升级为 $G$ 与 $H$ 同构. 同态既不要求单射也不要求满射, 同构是既要求单射又要求满射的同态.$\overline{}$至于说什么是映射, 什么又是双射, 请参考 **[附录A]**.

什么是保持群结构? 群与普通集合最大的区别无非就是多了一个二元运算结构.

故映射保群结构的定义就为 \varphi \left( g \right)\varphi \left( {g}'} \right)=\varphi \left( g{g}' \right) , 即映射的乘积等于乘积的映射[20].

值得一提的是, 这个要求直接会导致单位元映射到单位元、互逆的元素会映射到互逆的元素: (1). $\phi \left(g_e\right)\phi \left(g\right)=\phi \left(g_{e}g\right)=\phi \left(g\right)\Rightarrow \phi \left(g_e\right)=h_e$. (2). ${h}_{e}=\varphi \left( {g}_{e} \right)=\varphi \left( {g}^{-1}g \right)=\varphi \left( {g}^{-1} \right)\varphi \left( g \right)\Rightarrow \varphi \left( {g}^{-1} \right)={\left[ \varphi \left( g \right) \right]}^{-1}$.注意与 $\varphi \left( g \right)$ 互逆的是 ${\left[ \varphi \left( g \right) \right]}^{-1}$ , 可别写成 ${\varphi }^{-1}\left( g \right)$ 了, ${\varphi }^{-1}$ 的定义域可是 $H$ . 即使我不作说明也应该猜到 $g_e,h_e$ 分别是群 $G,H$ 里的单位元吧.

把 $G$ 中所有元素都映射到 $h_e$ 构成一个平凡的同态映射, 所以实际上任意俩群总是存在至少一个平凡同态映射, 故一般如果说设俩群同态指的应当是存在非平凡的同态映射[21].

如果两个群同构了, 我们完全可以认为它们就是同一个群, 它们在数学上没有任何区别.

2.2. 同态核定理:

同构是俩群元素有一一对应, 同态可以证明是 $n$ 一对应, $n$ 在同一个同态映射下是个常数.

同态核定理可以证明这一点.

✦ 同态核:

在同态映射 $\phi :G\to H$ 下, 所有被映射到 $H$ 中的单位元 $h_e$ 上的元素构成的集合.

我们一般将这个映射的同态核记作 $\ker \phi$.

✦ 同态核定理:

(1). 同态核 $\ker \phi$ 是 $G$ 的正规子群.

(2). 商群 $G/\ker \phi$ 与 $H$ 同构.

第二条要求 $\varphi :G\to H$ 是满射, 否则就要将这里及下面的 $H$ 换成它的子群 $\operatorname{Im}\varphi$ [[22]](#ref_22).

直观来讲就是说同态核定理指出了:

(1). 同态核 $\ker \phi$ 可将群 $G$ 分割为 $G=\ker \phi \cup g_{\alpha }\ker \phi \cup g_{\beta }\ker \phi \cup \cdots$. $\overline{}$(2). 同态映射 $\varphi :G\to H$ 就是将上述分割里面的各个陪集映射到 $H$ 的元素上[[23]](#ref_23). 所以说同态是 $n$ 一对应, 且我们可以通过取一个商群达到一一对应, 即构成同构关系. 如何找构建商群的不变子群是显然的, 当然就是找第一个陪集 $g_e\ker \phi =\ker \phi$ 啦.

同态核定理的证明[24]:

设 $g\in G,h\in H$, $k_{\alpha },k_{\beta }\in \ker \phi$, 且记 $\phi \left(\left\{a,b,c\right\}\right)\equiv \left\{\phi \left(a\right),\phi \left(b\right),\phi \left(c\right)\right\}$. (1). \left\{ \begin{align} & \varphi \left( {k}_{\alpha }{k}_{\beta } \right)=\varphi \left( {k}_{\alpha } \right)\varphi \left( {k}_{\beta } \right)={h}_{e}\Rightarrow {k}_{\alpha }{k}_{\beta }\in \ker \varphi \\ & {h}_{e}=\varphi \left( {k}_{\alpha }k_{\alpha }^{-1} \right)=\varphi \left( {k}_{\alpha } \right)\varphi \left( k_{\alpha }^{-1} \right)=\varphi \left( k_{\alpha }^{-1} \right)={h}_{e}\Rightarrow k_{\alpha }^{-1}\in \ker \varphi \\ \end{align} \right. 说明 $\ker \phi$ 是子群. $\overline{}$ (2). $\phi \left(g\ker \phi g^{-1}\right)=\phi \left(g\right)\phi \left(\ker \phi \right)\phi \left(g^{-1}\right)=h{h}_e{h}^{-1}=h_e$$\Rightarrow g\ker \phi g^{-1}=\ker \phi$ 说明 $\ker \phi ◃G$. $\overline{}$ (3). $\phi \left(g\ker \phi \right)=\phi \left(g\right)\phi \left(\ker \phi \right)=\phi \left(g\right)h_e=\phi \left(g\right)\in H$, 说明 $\ker \phi$ 给出来的分割里的同一个陪集都映射到 $H$ 中同一个元素上. $\overline{}$ (4). 有无可能存在 $g\ker \phi \ne g^{\prime }\ker \phi$ 却满足 $\phi \left(g\ker \phi \right)=\phi \left(g^{\prime }\ker \phi \right)$ 的情况呢? 不可能, 因为这样就有 $\phi \left(g^{-1}\right)\phi \left(g\ker \phi \right)=\phi \left(g^{-1}\right)\phi \left(g^{\prime }\ker \phi \right)$, 显然左边 $\phi \left(g^{-1}\right)\phi \left(g\ker \phi \right)=\phi \left(g^{-1}g\ker \phi \right)=h_e$, 说明右边 $\phi \left(g^{-1}{g}^{\prime }\ker \phi \right)=h_e\Rightarrow g^{-1}{g}^{\prime }\ker \phi =\ker \phi$ 这就是说 $g^{\prime }\ker \phi =g\ker \phi$, 则与前提矛盾, 故假设不成立. $\overline{}$ 综合 (3), (4) 两点来看, $G/\ker \phi$ 内每个元素都对应则着一个 $H$ 中的元素, 然后又不存在多对一的情况, 显然这就是 $G/\ker \phi \cong H$, 注意我们假设过满射了.

这个定理更万无一失的写法是 $G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$, 但对新手来说可能直观性差了点儿吧就没这么写, 其实一开始我连 $\ker \phi$ 都不太想用, 但后面这个太常用了就觉得还是有必要熟悉一下.

3. 群作用与变换群

这一章开始就会变得很几把抽象了, 一个概念将会有多个解读观点, 希望做好心理准备.

3.1. 左右作用与伴随作用:

✦ 左作用: 对群 $G$ 可以由 $\forall g,g^{\prime }\in G$ 定义左作用 $L_g:G\to G$, 效果为 $L_g{g}^{\prime }\equiv g{g}^{\prime }$.

✦ 右作用: 对群 $G$ 可以由 $\forall g,g^{\prime }\in G$ 定义右作用 $R_g:G\to G$, 效果为 $R_g{g}^{\prime }\equiv g^{\prime }{g}^{-1}$.

你会发现右作用并不是直接右乘, 而是右乘逆元, 要不然下面这个结论就不成立了: $L,R$ 都不是同构映射但都是 $G\to S_G$ 的同态映射 ($S_G$ 定义见 3.2), 因为对 $\forall g\in G$ 有 $L_g\in S_G$, 且保群乘法: {L}_{g{g}'}={L}_{g}{L}_{g}'}, {R}_{g{g}'}={R}_{g}{R}_{g}'}.

显然 $\left\{L_g|g\in G\right\},\left\{R_g|g\in G\right\}$ 也分别构成俩群且与 $G$ 同构.

✦ 伴随作用: (这个超妈重要)

对群 $G$ 可以由 $\forall g\in G$ 定义伴随作用 \text{A}{\text{d}_{g}:G\to G, 效果为 \text{A}{\text{d}_{g}{g}'\equiv g{g}'{g}^{-1}.

Ad for Adjoint, 意为伴随或共轭. 显然, \text{A}{\text{d}_{g} 是一个同构映射: (1). 保群乘法: \text{A}{\text{d}_{g}{g}_{\alpha }\text{A}{\text{d}_{g}{g}_{\beta }=g{g}_{\alpha }{g}^{-1}g{g}_{\beta }{g}^{-1}=g{g}_{\alpha }{g}_{\beta }{g}^{-1}=\text{A}{\text{d}_{g}\left( {g}_{\alpha }{g}_{\beta } \right). (2). 单位元映射到单位元: \text{A}{\text{d}_{g}{g}_{e}=g{g}_{e}{g}^{-1}={g}_{e}. (3). 逆到逆: \text{A}{\text{d}_{g}\left( {g}_{\alpha }g_{\alpha }^{-1} \right)=\text{A}{\text{d}_{g}{g}_{\alpha }\text{A}{\text{d}_{g}g_{\alpha }^{-1}={g}_{e}\Rightarrow \text{A}{\text{d}_{g}g_{\alpha }^{-1}={\left( \text{A}{\text{d}_{g}{g}_{\alpha } \right)}^{-1}.

这是一个在我们日后的日常生活中极其极其常用的操作.

我们称之为伴随作用, adjoint action, 也叫 $\text{Ad}$ 作用, 请务必记住这些名称. 它会诱导出一个同构映射, 我们称之为内自同构映射, 也称之为伴随同构映射, 后面会讲.

3.2. 变换群 (置换群) 与自同构映射群:

✦ 设集合 $X=\left\{\cdots ,x_i,x_j,x_k,\cdots \right\}$, 则双射 $\phi :X\to X$ 被称为 $X$ 上的变换或置换.

若将 $X$ 上变换的乘积 $\varphi \phi$ 对 $\forall x\in X$ 的作用 $fg\left( {x} \right)$ 都定义为 $\varphi \phi \left( x \right)=\varphi \left[ \phi \left( x \right) \right]$, 则在此乘法规则下 $X$ 上的所有变换构成一个群, 称之为 $X$ 的完全变换 (置换) 群或完全对称群, 记为 $S_X$. 当 $X$ 内有 $n$ 个元素时, 对应的完全对称群称之为 $n$ 阶置换群 $S_n$, 其中包含 $n!$ 个元素. 而变换群 (置换群) 则是完全变换 (置换) 群 $S_X$ 的一个子群. 被变换群作用的集合 $X$ 完全可以是一个无穷集合甚至连续空间, 比如说希尔伯特空间.

✦ 完全变换群 $S_G\equiv \left\{所有G\to G的双射\right\}$.

✦ 凯莱 (Cayley) 定理: 群 $G$ 同构于 $S_G$ 的一个子群.

显然 $G$ 中生成的左作用 $L_g$构成的群 $\left\{L_g|g\in G\right\}$ 就是 $S_G$ 的子群且与 $G$ 同构.

✦ 自同构映射群 $\text{Aut}G\equiv \left\{所有G\to G的同构映射\right\}$.

✦ 内自同构映射群 \text{Inn}G\equiv \left\{ \text{A}{\text{d}_{g}|g\in G \right\}.

内自同构映射就是由群内群元本身诱导的出来的同构映射, 只有伴随作用这一种.

给定一个 $g\in G$ 就可对应一个 \text{A}{\text{d}_{g}\in \text{Inn}G. 所以可以说 $\text{Ad}$ 本质上是映射 $\text{Ad}:G\to \text{Inn}G$.

3.3. 确定变换群下的概念:

设 $G$ 为集合 $X=\left\{\cdots ,x_i,x_j,x_k,\cdots \right\}$ 上的变换群.

✦ 变换群等价: 若 $\exists g\in G$ 使得 $g\left(x_i\right)=x_j$ 则称 $x_i$ 与 $x_j$ 是 $G$ 等价的.

显然前面说的 $x_i,x_j\in X$ , 上述 $x_i$ 与 $x_j$ 等价可以记作 $x_i\sim x_j$. 等价具有对称性与传递性, 即 $x_i\sim x_j\Rightarrow x_j\sim x_i$, \left. \begin{align} & {x}_{i}\sim {x}_{j} \\ & {x}_{j}\sim {x}_{k} \\ \end{align} \right\}\Rightarrow {x}_{i}\sim {x}_{k}. 与共轭类很相似, 由此可以给出等价类. 什么是等价类? 请参考 **[附录B]**. 关于变换群 $G$ 的等价类我们称之为关于变换群 $G$ 的 $G$ 轨道.

✦ 变换群轨道 ${\mathcal{O}}_x^G\equiv \left\{g\left(x\right)|g\in G\right\}$.

确定的集合元素在变换群的作用下会跑动, 被整个群作用后能跑到的位置的集合就是轨道.

两条轨道绝不相交, 因为假如 \mathcal{O}_{x}_{i}^{G},\mathcal{O}_{x}_{j}^{G} 两条轨道上存在相交的点 $x_k$, 那么一定可以找到两个变换使得式子 $g_{\alpha }\left(x_i\right)=x_k=g_{\beta }\left(x_j\right)$ 成立. 然而 ${g}_{\alpha }\left( {x}_{i} \right)={g}_{\beta }\left( {x}_{j} \right)\Rightarrow {x}_{i}=g_{\alpha }^{-1}\left[ {g}_{\beta }\left( {x}_{j} \right) \right]={g}_{\gamma }\left( {x}_{j} \right)\in \mathcal{O}_{x}_{j}^{G}$. 既然 {x}_{i}\in \mathcal{O}_{x}_{j}^{G} 都成立了, 那么 \mathcal{O}_{x}_{i}^{G}=\mathcal{O}_{x}_{j}^{G} 自然是理所当然的了. $\overline{}$ 请问 $\forall g\in G$ 关于 $\text{Inn}G$ 的轨道是什么? 显然有 $\mathcal{O}_{g}^{\text{Inn}G}\equiv \left\{ \text{A}{\text{d}_{g}_{\alpha }g|{g}_{\alpha }\in G \right\}=\left\{ {g}_{\alpha }gg_{\alpha }^{-1}|{g}_{\alpha }\in G \right\}\equiv \left[ g \right]$即共轭类对吧? 所以说 $G$ 轨道或可称作 $G$ 变换下的等价类. 有时候我们也将 $\text{Inn}G$ 轨道 ${\mathcal{O}}_g^{\text{Inn}G}$ 称作 $\text{Ad}$ 作用轨道. $\overline{}$ 陪集其实就是群元 $g\in G$ 关于子群 $H$ 产生的变换群下的轨道: 左陪集: gH\equiv \left\{ gh|h\in H \right\}=\left\{ {R}_{h}^{-1}g|h\in H \right\}=\mathcal{O}_{g}^{R}_{H} 所以左陪其实是子群的右作用. 右陪集: Hg\equiv \left\{ hg|h\in H \right\}=\left\{ {L}_{h}g|h\in H \right\}=\mathcal{O}_{g}^{L}_{H} 所以右陪其实是子群的左作用. 故陪集也可看作轨道, 这样一来陪集定理就变得显然起来了对吧? 前面符号 $\mathcal{O}_{g}^{L}_{H}$ 中的 ${L}_{H}$ 作用效果是: ${L}_{H}\left( g \right)\equiv \left\{ {L}_{h}g|h\in H \right\}$[[25]](#ref_25).$\overline{}$ 由陪集可以引入商空间的概念, 下面以左陪集为例: 陪集作为轨道的一种可以将群分割为 $G=H\cup g_{\alpha }H\cup g_{\beta }H\cup \cdots$ , 其中每项都是一条轨道, 故也可写为 G=\mathcal{O}_{g}_{e}^{R}_{H}\cup \mathcal{O}_{g}_{\alpha }^{R}_{H}\cup \mathcal{O}_{g}_{\beta }^{R}_{H}\cup \cdots. 若把每一条轨道都整体看作一个元素, 则集合 \left\{ \mathcal{O}_{g}_{e}^{R}_{H},\mathcal{O}_{g}_{\alpha }^{R}_{H},\mathcal{O}_{g}_{\beta }^{R}_{H},\cdots \right\}就被称为商空间. 当用于生成右作用变换群的子群 $H$ 是不变 (正规) 子群时, 商空间升级为商群.

✦ 变换群的不变子集:

即轨道本身或轨道的并集, 因为轨道内的元素在变换群的作用下不会跑出轨道, 故称不变子集.

设不变子集 S=\bigcup\limits_{x}_{i}{\mathcal{O}_{x}_{i}\subseteq X, 它自然对 $\forall g\in G$ 有 $g\left(S\right)=S$. $\overline{}$ 类比回共轭类呢? 其实不变 (正规) 子群就是元素共轭类或元素共轭类的并集构成的群吧. 用这里的语言来说就是: $G$ 的不变子群就是 $\text{Inn}G$ 变换下的轨道或轨道的并集构成的群. 这样不变子群 $H$ 的性质: 对 $\forall g\in G$ 有 \text{A}{\text{d}_{g}H=gH{g}^{-1}=H 就变得非常显然.

上述概念存在如下对应关系:

\begin{align} \bold {确定变换群下的概念}\ \ &与\ \ \bold {一个群的共轭性质}\\ 集合元素的等价关系 & \to 群元共轭关系 \\ 集合元素的轨道 & \to 群元的共轭类 \\ 不变子集 & \to 不变子群(正规子群) \\ \end{align}

✦ 变换群的迷向子群 $G^x\equiv \left\{g_{\alpha }|g_{\alpha }\left(x\right)=x,g_{\alpha }\in G\right\}$[26].

迷向子群一定会构成一个群吗? 超级显然, 但我还是写一下: (1). 存在单位元, 即恒等映射: $g_e\left(x\right)=x$. (2). 存在逆元: $g_{\alpha }\left(x\right)=x\Rightarrow g_{\alpha }^{-1}\left(x\right)=x$. (3). 满足封闭性: $\left. \left\{ \begin{align} & {g}_{\alpha }\left( x \right)=x \\ & {g}_{\beta }\left( x \right)=x \\ \end{align} \right. \right\}\Rightarrow \left( {g}_{\alpha }{g}_{\beta } \right)\left( x \right)={g}_{\alpha }\left[ {g}_{\beta }\left( x \right) \right]={g}_{\alpha }\left( x \right)=x$.$\overline{}$ 值得一提的是对 $\forall g\in G$, 产生的左陪集 $g{G}^x$ 都会将 $x$ 映射到一个特定的 $g\left(x\right)\in X$. 如此一来, $G^x$ 的左陪集将与 {\mathcal{O}_{x} 上的点一一对应. 我认为这个结论极为显然: 可证$g{G}^{x}\left( x \right)=\left\{ g\left[ {g}_{\alpha }\left( x \right) \right]|{g}_{\alpha }\left( x \right)=x,{g}_{\alpha }\in G \right\}=\left\{ g\left( x \right) \right\}\to g\left( x \right)\in X$. 然后 \left\{ g\left( x \right)|g\in G \right\}\equiv {\mathcal{O}_{x} 不就是 $x$ 的 $G$ 轨道的定义吗? 所以一一对应咯.

[附录 A] 映射:

✦ 设集合 $X,Y$, 则可以定义集合间的映射 $\phi :X\to Y$:

这个记号的意思是 $\phi$ 是一个能通过输入一个 $X$ 中的元素来得到一个 $Y$ 中的元素的映射.

映射 $\phi$ 要求对 $\forall x\in X$ 在 $Y$ 中有且仅有一个 $\phi \left(x\right)=y$ 与之对应, 共分为三类:

(1). 单射: 对 $\forall x,x^{\prime }\in X$ 满足 x\ne {x}'\Rightarrow \varphi \left( x \right)\ne \varphi \left( {x}'} \right). (2). 满射: 对 $\forall y\in Y$ 一定能找到一个或多个 $x\in X$ 满足 $\phi \left(x\right)=y$. (3). 双射: 即集合 $X,Y$ 间存在一个一一对应的关系.

若非满射的话, 值域$\left\{\phi \left(x\right)|x\in X\right\}$ 则是 $Y$ 的一个子集, 我们将其记为 $\mathrm{Im}\left(\phi \right)$.

$\mathrm{Im}$ 是 Image 的缩写, 显然满射可以表达为 $\mathrm{Im}\left(\phi \right)=Y$.

单射加满射可以得到双射:

先引入 ${\varphi }^{-1}:Y\to X$ 称之为 $\varphi$ 的逆映射, 其满足关系 ${\varphi }^{-1}\left[ \varphi \left( x \right) \right]=x$.$\overline{}$ 映射要求 $\phi \left(x\right)$ 是存在且唯一的, 即映射本身要求不能一对多且 $X$ 全员参与, 单射要求 ${\phi }^{-1}\left(y\right)$ 是唯一的 (不要求一定存在), 即不能多对一, 满射要求 ${\phi }^{-1}\left(h\right)$ 是一定存在的, 即 $Y$ 内全员都参与这个映射活动, 所以 单射 + 满射 就可以给出两个集合间的一个一一对应的关系.

[附录 B] 等价关系与等价类:

✦ 等价关系是数学中十分常见且基础的概念, 简单来说就是集合中满足三个条件的二元关系.

设集合 $X=\left\{\cdots ,x_i,x_j,x_k,\cdots \right\}$ 上有二元关系 $\text{R}$ 满足下面三个条件:

(1). 自反性: $x_i\text{R}{x}_i$. (2). 对称性: $x_i\text{R}{x}_j\iff x_j\text{R}{x}_i$. (3). 传递性: \left\{ \left. \begin{align} & {x}_{i}\text{R}{x}_{j} \\ & {x}_{j}\text{R}{x}_{k} \\ \end{align} \right\} \right.\Rightarrow {x}_{i}\text{R}{x}_{k}. 如果感觉看不懂这仨条件的话, 那就 $R$ 念作『等价于』再试试.

则称 $\text{R}$ 构成集合 $X$ 上的一个等价关系, 一般将等价关系 $x_i\text{R}{x}_j$ 记为 $x_i\sim x_j$.

✦ 等价类 $\left[x_i\right]\equiv \left\{x|x\sim x_i,x\in X\right\}$.

参考

• ^也二次元味儿更冲···
• ^我的相当一部分群论知识也是跟他学的.
• ^这只是相对于接下来要讲的整个系列而言, 要把物理系必修科目都排上去的话, 有限群的有趣程度也能排在很高的位置, 因为这整个结构都挺奇妙的.
• ^不只有趣, 还特简单直观.
• ^但很多物理上能用到我却没讲到或者没讲详细的地方这本书基本都涵盖到了, 然后他讲的也很不为难, 所以如果有需要的话, 去系统地看看这本书的相关章节还是很推荐的 (虽然你可能会碰到为了看懂一节要看完好几章的情况).
• ^书本身肯定是数学上严谨的, 但本身并没有很强调这种严谨性, 而是更倾向于"你懂我意思就好了"的那种感觉.
• ^主要是我自己偶尔也要查查, 我记忆力基本上就是废的.
• ^就算没兴趣看文也可以看看图.
• ^不知道会不会用到这个, 反正先放着再说吧.
• ^我要真把规则细写出来你反而会看晕, 不如看直觉.
• ^12 与 14 之间的数字有点儿不太吉利, 理解一下.
• ^(这节选读) 其实上一节的就是真正的 Clifford 代数, 不过这一节我会用更抽象一点儿的语言来定义这个代数, 会简洁直观些.
• ^称之为群乘法仅仅是因为写法像乘法, 实际上跟以前说的那个乘法没啥必然联系, 而是一种在不同群内有不同定义的二重映射. 比如说其实数字的加法也可以看作是一种群乘法, 就是加法群的群乘法. 那为啥不叫群加法呢? 这是因为所有人都默认加法满足交换律, 而群运算并不总满足交换律所以不能叫群加法.
• ^这里这个相同方式听起来比较玄乎, 其实就只有俩方式: 左乘与右乘. 相同的方式就是说全都左乘或者全都右乘, 就这样.
• ^群元 g 的阶数定义为该循环子群的阶数.
• ^这太显然了, 利用群的封闭性结合定义证明.
• ^今后说到的同类元素一般都指的是共轭类.
• ^如果有元素重复就给不全了.
• ^根据不变子群的性质显然可证其关于确定元素的左右陪集是一样的.
• ^这是不难理解的, 这个关系说明了两个群具有相同的乘法结构, 在同构的情况下两个群甚至可以看作是同一个群只是群元的记号不同罢了.
• ^也只有物理人才会说这种胡话了, 其实就不应该这么说.
• ^Imφ 即映射 φ 的值域 (即像集, 严格来说), 因为与一个群同态故显然构成群, 是一个子群.
• ^显然不变子群 (同态核) Ker(φ) 就映射到 H 里的单位元.
• ^下面的证明有时把集合当作元素去运算了, 其实就是一个记号的问题, 这样写比那种设这个存在那个的写法看起来可简洁明了得多.
• ^这在第一张第一节就约定过, 但隔了这么远才第一次用好像, 所以还是提一下.
• ^注意迷向子群和不变子集的区分, 其实很简单, 变换群的作用对象只要是集合就行, 所以迷向子群一定是变换群的子群.