群论 (Group Theory) 终极速成群表示理论

原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/314567658
发布日期: 2020-11-30
分类: 群论 / 表示论

序言

前面三章都是 [群论 ABC], 目标就是搞清楚研究对象是啥, 以及了解一下业内的一些黑话. 第四章就是在前三章的基础上引入群表示的概念, 我们的重点是 $\dots$ 呃, 全部都是重点, 稍微有点儿不重要的都被我删掉了. 然后 Schur 引理会在第五章派上大用场, 第五章就是群概念的尾声, 我们将在第五章讲述前五章最重要的结构: 表示论下的完备正交性质与群函数空间的概念.

目测第五章结束之后就可以直接开始研究李群了, 相信这是大多数人看本文的目的, 这才终于派上用场了是吧? 其实学点儿代数概念即使没直接用上也能提高些几何观点, 接着回首望去, 在更高的观点下, 心中的整个物理体系都不得不变得精巧、清晰了起来. 所以前五章也是很神奇有趣的东西, 很值得了解一下, 尤其是看我写的这种降级阉割版本, 可以说完全不可能出现过度学习的情况.

目録

4. 群表示理论

4.1. 群表示 4.2. 忠实幺正正则 4.3. 群代数 4.4. 类函数 4.5. 等价表示 4.6. 不可约表示 4.7. Schur 引理一 4.8. Schur 引理一的推论 4.9. Schur 引理二 4.10. 群中心, kerR与忠实性

[附录 C] 线性空间, 线性变换与内积

[附录 D] 有限高维空间往低维空间线性映射

[附录 E] 复空间线性变换至少有一个非零本征矢

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 物理系零基础火箭级 notes

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 群表示理论

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東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / マボロシの旋量空间与哈人的 Clifford 代数

4. 群表示理论

表示结构是个 3P 结构.

3 名 Player 分别是 [群 $G$ ] [表示空间 $V$ 上的一般线性群 $\text{GL}\left( V \right)$ ] 与 [同态映射 $R$ ].

前面我们从群的定义出发, 抽象地介绍了群的基本概念与性质, 但如果你想让群能跟其它数学对象相互作用的话就必须得为群找到一个具象的实体, 其实这个实体就是线性空间上的线性变换.

具体的做法是定义一个从所研究的群到线性变换群的一个同态映射. 说得再通俗点儿就是把群元都用矩阵表示出来, 然后群元就可以作用在列矩阵空间上了.

所以你必须先知道什么是线性空间, 这是量子力学的任务, 这里顶多给个极其简略的 [附录C].

4.1. 群表示:

设 $V$ 是一个复数域上的 $n$ 维线性空间, 显然它必同构于 ${\mathbb{C}^{n}$ [1]. 这里也可以将 ${\mathbb{C}^{n}$ 简单地理解为选定了正交归一基底的 $V$ , 即可看作是线性代数里的 $n$ 维列矩阵空间.

✦ 复一般线性群有以下两个等价的定义:

(1). $GL (V) \equiv {M ∣ M : V \to V, M 可逆}$ .

(2). $GL (n, C) \equiv {所有 n \times n 的可逆矩阵}$ .

要求可逆主要是因为要构成群, 所谓可逆在矩阵意义上就是要求矩阵的行列式不为零. 此集合显然构成群, 群单位元就是恒等映射 $\text{id}$ [[2]](#ref_2), 也可说是 $n$ 阶单位阵. 此后我们对此将不作严格区分, 即 $GL (V) \equiv GL (n, C)$ 里的既是线性变换又是矩阵. $GL (n, R)$ 这个概念肯定也是存在的, 就是 $n$ 维实线性空间上的一般线性群.

✦ 群 $G$ 的复线性表示 $R$ 就是群 $G$ 到复一般线性群 $GL (V)$ 的一个同态映射.

即 $R \equiv R : G \to GL (V)$ 或 $R \equiv R : G \to GL (n, C)$ . 对 $\forall {g}_{\alpha },{g}_{\beta }\in G,\left\{ \begin{align} & R\left( {g}_{\alpha }{g}_{\beta } \right)=R\left( {g}_{\alpha } \right)R\left( {g}_{\beta } \right) \\ & R\left( g_{\alpha }^{-1} \right)={\left[ R\left( {g}_{\alpha } \right) \right]}^{-1} \\ & R\left( {g}_{e} \right)=\text{id} \\ \end{align} \right.$ 此外, 群表示也有非线性表示, 但我们从头到尾都不会涉及非线性表示. $V$ 的数域其实也不一定要 $\mathbb{C}$ , 但 $\mathbb{C}$ 是最简单的且完全够用了, 所以我们就只研究它[[3]](#ref_3). 值得一提的是, $GL (V)$ 是无限群, 所以一定可以改写为是有限群 $G$ 跟他的一个子群同态. 这个子群我们称之为线性变换群, 少了一般俩字就成了子群. 线性变换群可以写成同态映射的像构成的群, 即 $Im R \subset GL (V)$ , 当然这纯纯是句废话.

其中 $V$ 称为表示空间且 $\dim R\equiv {\dim}_{\mathbb{C}V$ .

说明一下符号 ${\dim}_{\mathbb{C}$ : $\dim{\mathbb{C}^{n}$ 是未定义的, 其中 ${\mathbb{C}^{n}\equiv \left\{ \left( {c}_{1},{c}_{2},\cdots ,{c}_{n} \right)|{c}_{i}\in \mathbb{C},\ i\in {\mathbb{N}_{+} \right\}$ . 就是说 ${\mathbb{C}^{n}$ 与实或复线性空间同构以后, 作为线性空间才能谈维度: $\left\{ \begin{align} & {\dim}_{\mathbb{R}{\mathbb{C}^{n}=2n \\ & {\dim}_{\mathbb{C}{\mathbb{C}^{n}=n \\ \end{align} \right.$ .

群表示这个 3P 结构我们简记为 $(G, V, R)$ .

✦ 表示矩阵:

在 $V$ 中选标准正交基底后则线性变换的 $R (g)$ 就可以被写为矩阵 $R (g) \to R (g)_{ν}^{μ}$ [4].

这里的矩阵 $R (g) \to R (g)_{ν}^{μ}$ 就称为 $g$ 的 $R$ 表示矩阵, 显然 $R (g^{- 1})$ 是它的逆矩阵.

或者说你干脆把表示 $R$ 看作是群 $G$ 到一个矩阵群的同态映射, 映射到的矩阵就是表示矩阵.

要注意, 所谓的 $n$ 维线性表示就是把目标集合里的元素映射到 $n$ 维空间上的线性变换上, 这个映射要保原集合里有的运算 (即同态), 实空间就是实表示, 复空间就是复表示. 然后如果存在 ${\mathbb{R}^{n}$ 上的 $n$ 维实表示, 则把这些表示矩阵直接搬到 ${\mathbb{C}^{n}$ 上去就成了 $n$ 维复线性表示了, 所以这里的维度与表示的实与复的关系并不那么大. 不要觉得复表示的自由度多了一倍之类的. 同样是 $n$ 维表示, 当讨论实表示时 $n \times n$ 表示矩阵最多只有 $n^{2}$ 个独立的. 而讨论复表示的时候, 虽然每个矩阵元都可以放复数了, 但整个表示空间都是复空间, 所以独立的矩阵还是只有 $n^{2}$ 个, 因为叠加系数都是复数了. 再具体点说就是你以为 $\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ 与 $\left[ \begin{matrix} \text{i} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ 是独立的,但实际上 $\left[ \begin{matrix} \text{i} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]=\text{i}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$, 也就是说二者线性相关. 所以无论实复, 二维表示里就最多四个独立元素, 然后一般来说实表示不一定存在, 所以我们 (搞物理的) 从来都只考虑复表示. 只是说恰好复表示矩阵里只有实数或纯虚数时, 能把复表示空间缩到实表示空间罢了.

4.2. 忠实幺正正则:

✦ 忠实表示:

若对 $\forall g_{α}, g_{β} \in G$ 满足 $g_{α} \neq = g_{β} \Leftrightarrow R (g_{α}) \neq = R (g_{β})$ 就称 $R$ 为 $G$ 的忠实表示.

其实就是单射呗, 忠实说明靠谱, 你可以极端点考虑把所有群元都映射到单位阵, 那也是保群乘法的, 但没卵用, 这样会丢失信息所以我们才说它不忠实. 有限群必存在忠实表示, 正则表示就是其中一例.

✦ 幺正表示:

若 $R (g)$ 是幺正矩阵, 即 $R (g)^{†} = R (g)^{- 1}$ 就称 $R$ 为 $G$ 的幺正表示.

当然这是选定基矢之后的, 没选定就没有幺正表示了吗? 当然不是, 其实本质定义源于内积: 对 $\forall u, v \in V$ , $\forall g \in G$ 有 $⟨ R (g) u, R (g) v ⟩ = ⟨ u, v ⟩$ 则称 $R$ 为 $G$ 的幺正表示. 其中 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 表示内积, 用尖括号是因为圆括号在这里不好看.

✦ 正则表示 (regular representation):

对有限群 $G$ , 总可以对应一个群阶维复线性表示空间 ${V}_{G}\equiv {\mathbb{C}^{\left| G \right|}$ , 其中 $∣ G ∣$ 是群的阶.

因为维度等于群阶, 所以就可以将群元与基底一一对应, 即将基矢量记为 ${e^{g} ∣ g \in G}$ .

这里 $e^{g}$ 表示的是一个与群元 $g$ 相对应的基矢, 就是一个符号, 没隐含幂运算之类的关系. 且约定对 $\forall g_{α}, g_{β}, g_{γ} \in G$ 有 $g_{α} g_{β} = g_{γ} \Leftrightarrow e_{α}^{g} g_{β} = e_{γ}^{g}$ , 就是个约定记号罢了.

规定对 $\forall g, g^{'} \in G$ 有 $R\left( g \right){e}^{g}'}={e}^{g{g}'}$ , 就定义了一个群的表示, 我们称之为正则表示.

所谓线性变换就是 $V \to V$ 的映射呗, 研究映射如何作用在任意矢量上, 只要研究它如何作用在基矢上, 为啥? 因为是线性作用啊. 那么对 $\forall g \in G$ 能对应一个线性变换 $R (g)$ , 它将任意基矢 ${e}^{g}'}\in V$ 映射到 $e^{g g^{'}}$ . 这就定义了与群同态的线性变换群 ${R (g) ∣ g \in G}$ . 表示 $R$ 是一个合格的同态映射吗? 显然是的: 保群乘法: $R (g_{α} g_{β}) e_{γ}^{g} = e_{α}^{g} g_{β} g_{γ} = R (g_{α}) R (g_{β}) e_{γ}^{g}$ . 我一开始就说过的, 其实逆元映射到逆元, 单位元映射到单位元其实都是保群乘法的推论. 其实你想想, 正则表示下是不是就是用群元作为基底构建了一个线性空间.

4.3. 群代数:

正则表示里面产生了一个复线性空间 ${V}_{G}\equiv {\mathbb{C}^{\left| G \right|}$ , 那我们可以研究其中的一个矢量的分解:

对 $v \in V_{G}$ 有 $v=\sum\limits_{g}^{g\in G}{v\left( g \right){e}^{g}$ , 其中 $v (g) \in C$ , 是矢量分量的系数.

那么, 某种意义上矢量 $v$ 其实就是一个把 $g \in G$ 变成 $v (g) \in C$ 的映射 $v : G \to C$ 对吧?

✦ 将映射 $v : G \to C$ 定义为群函数 $v$ .

反过来说, 一个群函数也可以唯一确定一个矢量 $v\equiv \sum\limits_{g}^{g\in G}{v\left( g \right){e}^{g}$ . 那么前面的群阶维复线性表示空间 ${V}_{G}\equiv {\mathbb{C}^{\left| G \right|}$ 其实就是群函数空间 $Map (G, C)$ 吧. 那么很显然, ${V}_{G}\equiv {\mathbb{C}^{\left| G \right|}=\text{Map}\left( G,\mathbb{C} \right)$ 中最多只能有 $∣ G ∣$ 个线性独立的矢量. 结论: [群 $G$ 中的群函数] 就是 [正则表示 ${V}_{G}$ 中的一个矢量]. 这里暂不说透, 但可以说这个概念与波函数跟态矢量的关系十分类似, 后面会讲到.

✦ 可以定义矢量乘法: 对 $\forall {e}^{g},{e}^{g}'}\in {V}_{G}$ 有 ${e}^{g}{e}^{g}'}={e}^{g{g}'}\in {V}_{G}$ .

给定矢量 $v^{α} \equiv g \in G \sum v^{α} (g) e^{g}$ , $v^{β} \equiv g \in G \sum v^{β} (g) e^{g}$ . 显然有 ${v}^{\alpha }{v}^{\beta }=\sum\limits_{g,{g}'\in G}{v}^{\alpha }\left( g \right){e}^{g}{v}^{\beta }\left( {g}'} \right){e}^{g}'}=\sum\limits_{g,{g}'}{v}^{\alpha }\left( g \right){v}^{\beta }\left( {g}'} \right){e}^{g{g}'}$ . 现在记 $g g^{'} = \tilde{g}$ , $v^{α} v^{β} = \tilde{v}$ 则有: ${v}^{\alpha }{v}^{\beta }=\sum\limits_{g,{g}'}{v}^{\alpha }\left( g \right){v}^{\beta }\left( {g}'} \right){e}^{\tilde{g}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{g,\tilde{g}{v}^{\alpha }\left( g \right){v}^{\beta }\left( {g}^{-1}\tilde{g} \right){e}^{\tilde{g}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{\tilde{g}{\left[ \sum\limits_{g}{v}^{\alpha }\left( g \right){v}^{\beta }\left( {g}^{-1}\tilde{g} \right)} \right]{e}^{\tilde{g}=\sum\limits_{\tilde{g}{\tilde{v}\left( {\tilde{g} \right){e}^{\tilde{g}=\tilde{v}\in {V}_{G}$. 上面可不是什么 ${v}^{\alpha }\left( g \right){v}^{\beta }\left( {g}^{-1}\tilde{g} \right)=\tilde{v}\left( g{g}^{-1}\tilde{g} \right)=\tilde{v}\left( {\tilde{g} \right)$ , 别胡思乱想. 倒数第二个等号是因为对 $g$ 求完和只剩下 ${\tilde{g}$ 这个变量了.

✦ 综上所述, $V_{G}$ 形成了一个代数, 我们称之为群代数 (group algebra).

代数又称线性代数, 简单来说就是定义有矢量乘法 $V \times V \to V$ 的线性空间 $V$ , 乘法有分配律而不要求结合律, 有结合律的代数叫结合代数. 比如说全体 $n \times n$ 方阵可以在矩阵乘法下构成一个线性代数.

✦ 一般人为定义内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 使正则空间基底 ${e^{g} ∣ g \in G}$ 正交归一.

这样就能取矢量系数: $v\left( {g}'} \right)=\left\langle {e}^{g}'},v \right\rangle =\sum\limits_{g}{v\left( g \right)\left\langle {e}^{g}'},{e}^{g} \right\rangle }=\sum\limits_{g}{v\left( g \right)\delta _{g}^{g}'}$ .

强行狄拉克符号即 $\left\{ \begin{align} & {e}^{g}\to \left| g \right\rangle \\ & v\to \left| v \right\rangle \\ & v\left( g \right)\to \left\langle g | v \right\rangle \\ & \sum\limits_{g}{\left| g \right\rangle \left\langle g \right|}={1}_{G\times G} \\ \end{align} \right.$ 是不是很熟悉: $v\left( {g}'} \right)=\left\langle {g}'} | v \right\rangle =\sum\limits_{g}{\left\langle {g}'} | g \right\rangle \left\langle g | v \right\rangle }=\sum\limits_{g}{v\left( g \right)\delta _{g}^{g}'}$ .

4.4. 类函数:

✦ 共轭类集合 $cl (G) = {[g] ∣ g \in G}$ , cl for class.

对 $\forall g\in G$ , $\left[ g \right]\equiv \left\{ {g}_{\alpha }gg_{\alpha }^{-1}|{g}_{\alpha }\in G \right\}$ 是一个集合.

✦ 类函数即满足对 $\forall g, g^{'} \in G$ 有 $f (A d_{g}^{'} g) = f (g)$ , 的群函数 $f : G \to C$ .

你该不会忘了Ad for adjoint 吧? $\text{A}{\text{d}_{g}{g}'=g{g}'{g}^{-1}$ . 这也就是说类函数将一个共轭类映射到同一个复数上, 所以是共轭类的函数, 称之类函数. 也可以说是 $Ad$ 轨道的函数: $\text{Ad}$ 轨道即 $\mathcal{O}_{g}^{\text{Inn}G}\equiv \left\{ \text{A}{\text{d}_{g}_{\alpha }g|{g}_{\alpha }\in G \right\}=\left\{ {g}_{\alpha }gg_{\alpha }^{-1}|{g}_{\alpha }\in G \right\}\equiv \left[ g \right]$.

例如表示矩阵的迹 ${\chi }_{R}\left( g \right)\equiv \text{tr}R\left( g \right)=R{\left( g \right)}^{\mu }_{\mu }=\sum\limits_{i=1}^{\dim R}{R{\left( g \right)}^{i}_{i}$ 显然就是一个类函数.

$\begin{align} & \ \ \ \ \text{tr}\left[ R\left( \text{A}{\text{d}_{g}'}g \right) \right]=\text{tr}\left[ R\left( {g}'g{g}'}^{-1} \right) \right]=\text{tr}\left[ R\left( {g}'} \right)R\left( g \right)R\left( {g}'}^{-1} \right) \right] \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\text{tr}\left[ R\left( g \right)R\left( {g}'}^{-1} \right)R\left( {g}'} \right) \right]=\text{tr}\left[ R\left( g \right) \right] \\ & \Rightarrow {\chi }_{R}\left( \text{A}{\text{d}_{g}'}g \right)=\text{tr}\left[ R\left( \text{A}{\text{d}_{g}'}g \right) \right]=\text{tr}\left[ R\left( g \right) \right]={\chi }_{R}\left( g \right). \\ \end{align}$ 硬要严格一点儿来说的话, 这个其实只是将同类元素都映射到同一个复数上的群函数. 但很显然这能自然地诱导出一个 $cl (G) \to C$ 的类函数吧?

✦ 类函数空间 $V_{c l (G)} = Map [cl (G), C]$ 即所有类函数构成的空间.

作为线性空间有 ${V}_{cl\left( G \right)}=\text{Map}\left[ \text{cl}\left( G \right),\mathbb{C} \right]={\mathbb{C}^{\left| \text{cl}\left( G \right) \right|}$.

定义空间基底 ${e^{[g]} ∣ [g] \in cl (G)}$ 对 $\forall \left[ g \right],\left[ {g}'} \right]\in \text{cl}\left( G \right)$ 满足关系 ${e}^{\left[ g \right]}\left( \left[ {g}'} \right] \right)=\delta _{\left[ {g}'} \right]}^{\left[ g \right]}$ .

由此对任意类函数 $f:\text{cl}\left( G \right)\to \mathbb{C}$ 可做分解 : $f=\sum\limits_{\left[ g \right]}{f\left( \left[ g \right] \right){e}^{\left[ g \right]}$.这是显然的: $f\left( \left[ {g}'} \right] \right)=\sum\limits_{\left[ g \right]}{f\left( \left[ g \right] \right){e}^{\left[ g \right]}\left( \left[ {g}'} \right] \right)}=\sum\limits_{\left[ g \right]}{f\left( \left[ g \right] \right)\delta _{\left[ {g}'} \right]}^{\left[ g \right]}=f\left( \left[ {g}'} \right] \right)$.

要说的话, $f : cl (G) \to C$ 也是可以扩展到 $f : G \to C$ 的, 但没有增加任何信息量.

这么做其实也是有点儿吃饱了撑的, 我们一般都是反过来干.

4.5. 等价表示:

✦ 前面说了表示是一个 3P 的过程, 如果两个不同的表示 $(G, V, R), (G, V, \tilde{R})$ ,

若 $\exists L : V \to V$ 使得对 $\forall g \in G$ 都有 $L R (g) L^{- 1} = \tilde{R} (g)$ 或 $L R (g) = \tilde{R} (g) L$ .

则称 $R$ 与 ${\tilde{R}$ 等价, 记作 $R \sim \tilde{R}$ .

注意这里只有表示不同, $G, V$ 都是相同的.

就是说两个不同的复合映射将同一个矢量映射到同一个矢量. ✦ 有限群的全部有限维表示都各存在一个与其等价的幺正表示.

幺正表示 $R$ 就是对 $\forall g \in G, \forall u, v \in V$ 均有 $⟨ R (g) u, R (g) v ⟩ = ⟨ u, v ⟩$ 的表示. 不想给严格证明了, 直观感受如下: 本来线性空间 $V$ 内定义的内积是 $⟨ u, v ⟩ = u^{†} v$ . 我们如果这样换一个新的内积规则 ${\left\langle u,v \right\rangle }_{R}\equiv \frac{1}{\left| G \right|}\sum\limits_{g}{\left[ R\left( g \right)u \right]}^{\dagger }\left[ R\left( g \right)v \right]}$. 则在这套新的规则下, $R$ 一定是一个幺正表示: $\begin{align} & {\left\langle R\left( g \right)u,R\left( g \right)v \right\rangle }_{R}=\frac{1}{\left| G \right|}\sum\limits_{g}'}{\left[ R\left( {g}'} \right)R\left( g \right)u \right]}^{\dagger }\left[ R\left( {g}'} \right)R\left( g \right)v \right]} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\left| G \right|}\sum\limits_{g}'}{\left[ R\left( {g}'g \right)u \right]}^{\dagger }\left[ R\left( {g}'g \right)v \right]} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\left| G \right|}\sum\limits_{g}{\left[ R\left( g \right)u \right]}^{\dagger }\left[ R\left( g \right)v \right]}={\left\langle u,v \right\rangle }_{R}. \\ \end{align}$ 这里我们换了一套内积, 其实线性空间内积的取法是不唯一的, 可以通过选取新的正交基底来进行内积定义的变换. 而正交基底的变换无非就是进行一个相似变换, 这个相似变换矩阵就可以将 $R$ 等价于一个幺正表示, 如果你很懂量子力学表象的变换这里也应该能找到点儿感觉. 想不通也不要深思, 真那么好奇就自己上网冲下浪找找严格证明. 我自己不想, 也不想让大家花费精力在这里, 只希望大家能记住这个简单的结论. 这等于说我们最终只需要研究幺正表示就足够了.

4.6. 不可约表示:

✦ 可约与完全可约:

设 $R$ 是 $G$ 在 $V$ 上的表示, 若 $\exists \tilde{V} \subset V$ 使得对 $\forall \tilde{v} \in \tilde{V}, \forall g \in G$ , 有 $R (g) \tilde{v} \in \tilde{V}$ . 即 $V$ 中存在关于 $R (G) \equiv {R (g) ∣ g \in G}$ 不变的真子空间 $\tilde{V}$ , 则称 $R$ 是可约表示. 更直白点就是, $R$ 可约 $\Leftrightarrow$ 存在子空间 ${\tilde{V}$ 使得 $R (G)$ 无法将其中任何矢量射出它本身. 设 $R$ 可约, 即有 $R (G)$ 不变的真子空间 $\tilde{V}$ 存在, 若补空间 ${\tilde{V}^{\bot }=V-\tilde{V}$ 也是不变子空间, 则称 $R$ 完全可约 (complete reducible). 有限群的可约表示必然是完全可约的. 这个结论是显然的, 你都看到 4.6 节了, 这点思维量对你来说应该不值一提吧.

✦ 直和:

设 $V_{a}, V_{b} \subset V$ , 若对 $\forall v \in V$ 都 $\exists v^{a} \in V_{a}, v^{b} \in V_{b}$ 使 $v$ 被分解为 $v = v^{a} \oplus v^{b}$ , 则称 $V$ 是 $V_{a}$ 与 $V_{b}$ 的直和, 记作 $V = V_{a} \oplus V_{b}$ .

什么叫做子空间呢? 比如说 $x - y$ 平面就是立体直角坐标系的子空间. 建议回到第一篇文中最开头配合那几个矩阵那儿动动你的奶子好好地想一想. 其实这里稍微有个地方不太严格: 比如说我们规定 ${v}^{a}=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right],{v}^{b}=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow v={v}^{a}\oplus {v}^{b}=\left[ \begin{matrix} {v}^{a} \\ {v}^{b} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ d \\ \end{matrix} \right]$. 假如 $v^{a} \in V_{a}, v^{b} \in V_{b}$ , 那上面 $v \in V = V_{a} \oplus V_{b}$ . 我们说 $V_{a} \subset V$ , 那按理说应该有 $v^{a} \in V$ 才对呀, 怎么维数都变了啊? 其实吧, 当我们嘴上说 $v^{a}, v^{b} \in V$ 时, 心里却偷偷想的是 ${v}^{a}={v}^{a}\oplus {o}^{b}=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right],{v}^{b}={o}^{a}\oplus {v}^{b}=\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ c \\ d \\ \end{matrix} \right]$, 还请理解一下.

✦ 可约分解:

可约的情况下既然子空间都互相不干涉了, 那干脆就把总空间改写成子空间的直和.

即 $V_{a}$ 与 $V_{b} = V - V_{a}$ 都是 $V$ 的 $R (G)$ 不变子空间时, 可以写作 $V = V_{a} \oplus V_{b}$ .

再将表示 $R$ 本身也相应地分解为子表示 $R_{a}, R_{b}$ , 其表示空间分别为 $V_{a}, V_{b}$ .

我们还会这样标记表示的分解: $R = R_{a} \oplus R_{b}$ .

如此一来线性变换就一定是分块对角矩阵:

对 $\forall g\in G$ 有 $R\left( g \right)={R}_{a}\left( g \right)\oplus {R}_{b}\left( g \right)=\left[ \begin{matrix} {R}_{a}\left( g \right) & 0 \\ 0 & {R}_{b}\left( g \right) \\ \end{matrix} \right]$,设 ${v}^{a}\in {V}_{a},{v}^{b}\in {V}_{b}$, 这个时候 $V$ 中的矢量都是 $\left[ \begin{matrix} {v}^{a} \\ {v}^{b} \\ \end{matrix} \right]$ 这样的, 所以 $R (g)$ 作用上来时不同空间不会互相干涉.

其实这个 $R_{a}, R_{b}$ 或许还能进一步分解, 我们只要能分解的就不断分解下去.

最后就有: $R = R_{1} \oplus R_{2} \oplus \dots \oplus R_{n}$ 这样完全由不可约表示直和成的表示. 我们还会将上式记作 $R=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigoplus }\,{R}_{i}$ . 就是说对 $\forall g\in G$ 有 $R\left( g \right)=\left[ \begin{matrix} {R}_{1}\left( g \right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {R}_{2}\left( g \right) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {R}_{n}\left( g \right) \\ \end{matrix} \right]$.

4.7. Schur 引理一:

✦ 设 $R_{1} : G \to GL (V_{1}), R_{2} : G \to GL (V_{2})$ 是群 $G$ 的两个不等价不可约表示. 若有线性映射 $L : V_{1} \to V_{2}$ 使对 $\forall g \in G$ 均有 $L R_{1} (g) = R_{2} (g) L$ 则 $L$ 必为 $0$ 映射[5].

注意表示空间 $V_{1}, V_{2}$ 都是有限维.

证明:

首先说明一下, $ker L, Im L$ 分别是映射核 (像中单位元对应的原像集合) 与映射像 (值域). (我下面这张图画得实在是太漂亮惹. )

请务必配合我这张精心绘制的图看下面的证明, 因为初学者的想象力还不够丰富. Claim: $ker L, Im L$ 分别是 $V_{1}, V_{2}$ 的 $R_{1} (G), R_{2} (G)$ 不变子空间.

(下面将证明上面的 Claim, 此过程**暂不考虑不可约**这个条件[[6]](#ref_6)) 很简单, 题设 $L R_{1} (g) = R_{2} (g) L$ , 下面设 $v^{1} \in V_{1}, O^{2} \in V_{2}$ . 现在看 $Im L$ 内部的矢量, 它们全部都是从 $V_{1}$ 被 $L$ 从射过来的, 假如其中一个叫 $L v^{1}$ 的矢量被 $R_{2} (g)$ 射出了 $Im L$ , 即 $\exists R_{2} (g) L v^{1} \in / Im L$ . 由题设知必有 $\exists L R_{1} (g) v^{1} = R_{2} (g) L v^{1} \in / Im L$ , 这怎么可能? 所以 $R_{2} (G)$ 不可能将 $Im L$ 内任何矢量射出它本身, 这说明 $Im L$ 是 $V_{2}$ 的 $R_{2} (G)$ 不变子空间. 现在看 $ker L$ 内部的矢量, 它们全部都被 $L$ 射到 $V_{2}$ 的零元 $O^{2}$ . 假如 $ker L$ 内部有一个 $v^{1}$ 被 $R_{1} (g)$ 射出了 $ker L$ , 即 $\exists L R_{1} (g) v^{1} \neq = O^{2}$ . 由题设知必有 $\exists R_{2} (g) L v^{1} = L R_{1} (g) v^{1} \neq = O^{2}$ , 这怎么可能? 所以 $R_{1} (G)$ 不可能将 $ker L$ 内任何矢量射出它本身, 这说明 $ker L$ 是 $V_{1}$ 的 $R_{1} (G)$ 不变子空间. 这里强调一下, 不变子空间分为三类: (1). 空间本身; (2). 真不变子空间; (3). 只含零元.

接下来我们将利用该 Claim 进行分类讨论:

(1). $\dim{V}_{1}<\dim{V}_{2}$ 时:

首先我们知道 $R_{2}$ 不可约, 说明 $V_{2}$ 里没有 $R_{2} (G)$ 真不变子空间. 但 Claim 指出 $Im L$ 是 $V_{2}$ 的 $R_{2} (G)$ 不变子空间. 那么要么 $Im L = V_{2}$ , 要么 $Im L = {O^{2}}$ 呗, 有可能是满射 (即 $Im L = V_{2}$ ) 吗? 显然像不可能比原像多, 即 $dim Im L \leq dim V_{1}$ 结合条件有 $\text{dim}\operatorname{Im}L<\dim{V}_{2}$ . 这也就是说 $L$ 不可能是满射, 那就只能是 $Im L = {O^{2}}$ 了呗, 即 $L$ 为 $0$ 映射.

(2). $dim V_{1} > dim V_{2}$ 时:

题设要求 $R_{1}$ 不可约, 这说明 $V_{1}$ 里没有 $R_{1} (G)$ 真不变子空间. 这也就是说结合 Claim 的话就可知要么 $ker L = {O^{1}}$ , 要么 $ker L = V_{1}$ 了呗. 高维空间往低维空间映射, 那必然有不平凡的映射核 $\ker L$, 不觉得显然的话见 **[附录D]**. 那也就是说 $ker L \neq = {O^{1}}$ 所以只有可能是 $ker L = V_{1}$ 了呗, 即 $L$ 为 $0$ 映射.

(3). $dim V_{1} = dim V_{2}$ 时, 由于 $R_{1}$ 不可约, 故结合 Claim 只有两种可能性:

①. $\ker L=\left\{ {O}^{1} \right\}$, 由 **[附录D]**可知这要求 $L$ 是单射, 这说明映射可逆, 既有 $L R_{1} (g) = R_{2} (g) L \Rightarrow L R_{1} (g) L^{- 1} = R_{2} (g)$ 而这与 $R_{1}, R_{2}$ 不等价这个条件矛盾, 故舍去. ②. $ker L = V_{1}$ , 即 $L$ 为 $0$ 映射.

综上所述, $L$ 必为 $0$ 映射, QuantumEffectDevices.

两个空间取基底后用矩阵证明会简单很多, 所以这里我选择了相对难证明的版本展示出来. 矩阵的你可以自己试试, 日后我会补上.

✦ 长话短说版:

俩不等价不可约表示不可能被非零线性变换 $L$ 像 $L R_{1} (g) = R_{2} (g) L$ 这样连接起来.

4.8. Schur 引理一的推论:

是受分类讨论第三点启发[[7]](#ref_7)给出的.

✦ 若存在非零线性映射 $L : V_{1} \to V_{2}$ 使得两个分别位于 $V_{1}, V_{2}$ 上的不可约表示 $R_{1}, R_{2}$ 对 $\forall g \in G$ 均有 $L R_{1} (g) = R_{2} (g) L$ , 则必有 $dim V_{1} = dim V_{2}$ 且 $ker L = {O^{1}}$ .

由 **[附录D]**知这要求 $L$ 是单射, 即映射可逆, 即对 $\forall g\in G$ 有 $L{R}_{1}\left( g \right){L}^{-1}={R}_{2}\left( g \right)$. 这既是说 $R_{1} \sim R_{2}$ .

✦ 长话短说版: 若有映射满足 $L R_{1} = R_{2} L$ 则 $L$ 要么为零要么可逆.

4.9. Schur 引理二:

✦ $R:G\to GL\left( V \right),V\cong {\mathbb{C}^{n}$ 是群 $G$ 的不可约复表示, 若存在非零映射 $L : V \to V$ 使得对 $\forall g \in G$ 都满足 $L R (g) = R (g) L$ , 则有 $L = λ id$ , 其中 $λ \in C$ [8].

注意这个引理对实表示不一定成立, 然后就是这个表示空间 $V$ 是有限维的. 强调复表示目的是保证 $L$ 必存在一个非零本征矢, 记住结论即可, 实在好奇见 **[附录E]**.

证明:

先设 $v \in V$ 是 $L$ 的非零本征矢, 本征值为 $λ \in C$ , 即 $Lv = λ v$ . 再构造映射 $M \equiv L - λ I : V \to V$ , 题设有 $L R (g) = R (g) L$ 不难发现也有 $M R (g) = R (g) M$ . 令**4.8.**节的推论中的 $R_{1} = R_{2} = R$ 就是现在的情况, 这说明 $M$ 要么为零要么可逆. $∣ M ∣ = ∣ L - λ I ∣ = 0$ 怎么可能可逆, 所以 $M = L - λ I = 0 \Rightarrow L = λ I$ , Q.E.D.

其实还有一个不用推论的直观做法, 但我就是想让你感受到这个推论它很牛啤, 所以放在后面.

直观做法就是说从这个不可约的条件出发, 下面用 $R$ 代替 $R (g)$ , 懂得都懂. $\left[ L,R \right]=0$ 说明什么? 有共同的本征矢对吧? 你不会真信了吧, 那要求是厄米算符. 但我们还是会回想起一些细节: $L R = R L \Rightarrow L R v = R Lv = λ R v$ 说明 $R v$ 也在 $λ$ 对应的本征子空间里. 那这个本征子空间现在就有: $v, R v$ 等矢量. 你会发现 $L R R v = R R Lv = λ R R v$ 说明 $R (R v)$ 还是在这个本征子空间里. 那这个本征子空间不就是一个 $R (G)$ 不变子空间吗? 这与 $R$ 不可约矛盾.

✦ 长话短说版: 只有常数矩阵和零矩阵才能与不可约表示的所有表示矩阵对易.

4.10. 群中心, kerR与忠实性:

✦ 群中心 $C (G) \equiv {g_{c} ∣ [g_{c}, g] = 0, g_{c} \in G, \forall g \in G}$ , 里面的 $[\cdot, \cdot]$ 是对易子.

就是说 $g_{c} \in C (G)$ 对 $\forall g \in G$ 都有 $g_{c} g = g g_{c}$ , $C (G) ◃ G$ 是理所当然的吧. 同时显然有关系 $⎩ ⎨ ⎧ R (g_{c} g) ∣∣ R (g_{c}) R (g) = = R (g g_{c}) ∣∣ R (g) R (g_{c}), for \forall g \in G$ .

✦ 由 Schur 引理二可知作为线性变换的 $R (g_{c})$ 必为常数矩阵.

✦ 若表示 $R$ 下 $\exists g_{λ} \neq = g_{e}$ 使 $R (g_{λ}) = λ id$ , 则要么 $g_{λ} \in C (G)$ 要么 $R$ 不忠实, 也就是说不管怎样, $G$ 中都一定包含非平凡正规子群. (等下会讲到为何不忠实 = 有非平凡正规子群.)

为何不忠实: $R (g_{λ}) = λ id \Rightarrow R (g_{λ}^{- 1}) = λ^{- 1} id$ . 上式说明对 $\forall g \in G$ 均有 $R (g_{λ} g g_{λ}^{- 1}) = id R (g) id = R (g)$ . 那要么 $g_{λ} g g_{λ}^{- 1} = g \Rightarrow g_{λ} \in C (G)$ , 要么就是 $g_{λ} g g_{λ}^{- 1} \neq = g \Rightarrow R$ 不忠实.

✦ 考虑群表示 $R : G \to GL (V)$ , 若 $G$ 中存在不相等的 $g_{1}, g_{2}$ 使得 $R (g_{1}) = R (g_{2})$ , 则显然可推知 $R (g_{1} g_{2}^{- 1}) = R (g_{1}) R (g_{2})^{- 1} = id \Rightarrow g_{1} g_{2}^{- 1} \in ker R$ .

即 $ker R$ 会从一个点扩大成一个非平凡的正规子群, 即 $ker R ◃ G$ . 为什么? 因为 $ker R$ 不就是同态核吗? good ol'同态核定理.

✦ 推论: 群 $G$ 若无非平凡的正规子群则 $G$ 的非平凡表示必然忠实.

✦ 没有非平凡正规子群的有限群称为单群 (simple group).

[附录C] 线性空间, 线性变换与内积:

✦ 线性空间:

线性空间 $V$ 即对内部元素定义了[9]矢量加法 $⊞ : V \times V \to V$ 与数乘 $⊠ : P \times V \to V$ 两个能满足八条确定运算规律的集合, 而集合中的元素我们称之为矢量.

上述 $V \times V, P \times V$ 中的 $\times$ 表示直积, 定义 $X \times Y \equiv {(x, y) ∣ x \in X, y \in Y}$ . 上述中的 $P$ 是数域, 参与数乘的数就属于数域, $P$ 可以是实数域 $R$ 或复数域 $C$ 等. 要注意到顺序是这样的: 我们是先给定了一个数域 $P$ , 然后才给定一个集合 $V$ , 集合 $V$ 内定义一个 $V \times V \to V$ 的二元运算, 称之为矢量加法, 然后定义一个 $P \times V \to V$ 的数乘运算将 $V$ 与 $P$ 耦合起来. 所以谈线性空间的时候要指出是什么域上的线性空间.

矢量加法 $⊞$ 与数乘 $⊠$ 需要满足的八条运算规律:

下面对 $\forall u, v, w \in V, \forall p, p^{'} \in P$ 均成立. (1). 矢量加法的交换律: $u ⊞ v = v ⊞ u$ . (2). 矢量加法的结合律: $u ⊞ (v ⊞ w) = (u ⊞ v) ⊞ w$ . (3). 存在零元, 即矢量加法的单位元 $o \in V$ 使得 $u ⊞ o = u$ . (4). 存在矢量加法的逆元 $- u \in V$ 使得 $- u ⊞ v = o$ . (5). 存在数乘的单位元 $1$ 使得 $1 ⊠ u = u$ . (6). 数乘与数域乘法相容: $(p p^{'}) ⊠ u = p ⊠ (p^{'} ⊠ u)$ . (7). 数乘对数域加法的分配律: $(p + p^{'}) ⊠ u = p ⊠ u ⊞ p^{'} ⊠ u$ . (8). 数乘对矢量加法的分配律: $p ⊠ (u ⊞ v) = p ⊠ u ⊞ p ⊠ v$ . 注意数乘是不要求交换律的, 然后就是数域自带了正常的乘法和加法, 就是小时候玩的那种.

举一例加深理解[10]:

在 $V={\mathbb{R}^{+}=\left\{ x|x>0 \right\},\ P=\mathbb{R}$ 上定义运算 $a ⊞ b = ab, t ⊠ c = c^{t}$ . 若将 $⊞$ 定义为矢量的加法, 而将 $⊠$ 定义为数乘的话 $V$ 就构成 $R$ 上的线性空间.

线性空间 $V$ 的维度定义为线性空间内能找出的线性无关的矢量的个数的最大值, 记为 $dim V$ .

实际上, $dim V$ 是线性空间 $V$ 的唯一的特征量或者说不变量. 所以两个线性空间只要维度相同我们就可以说它们同构[[11]](#ref_11)了.

最后, 由于矢量加法与数乘的运算与数域加法乘法相容, 就没必要特意创造新符号了.

就是说我们将用 $u + v$ 与 $p u$ 来代替 $u ⊞ v$ 与 $p ⊠ u$ , 这并不会造成任何混乱.

✦ 线性变换:

线性变换就是 $M$ 线性空间 $V$ 到自身的线性映射 $M : V \to V$ .

关键在于是线性的映射, 就很好算, 线性就是说对 $\forall u, v \in V, \forall p \in P$ 均满足: (1). $M (u + v) = M (u) + M (v)$ . (2). $M (p u) = pM (u)$ .

所有线性变换都可以用方矩阵表示, 所有矢量都可以用列矩阵表示, 文中会证明这一点.

✦ 内积空间:

内积空间就是定义了内积运算的线性空间, 内积本质是一个映射 $(\cdot, \cdot) : V \times V \to P$ .

即对 $\forall u,v\in V$ 有 $\left( u,v \right)\in P$. 而这个映射是人为指定[[12]](#ref_12)的, 并没有什么玄妙的地方.

然后就是上述映射要满足以下四个关系才能被称作内积运算:

(1). $\left( u,v \right)={\left( v,u \right)}^{*}$[[13]](#ref_13). (2). $(u, v + w) = (u, v) + (u, w)$ . (3). $(u, p v) = p (u, v)$ . (4). $(u, u) \geq 0$ .

✦ 进一步理解参考 [前置内容].

[附录D] 有限高维空间往低维空间线性映射:

✦ 线性映射: 同一个数域 $P$ 上的线性空间之间保持加法和数乘的映射 $L : V \to V^{'}$ .

具体而言线性映射要对 $\forall v, v^{1}, v^{2} \in V, p \in P$ 满足下面两个性质:

可加性: $L (v^{1} + v^{2}) = L (v^{1}) + L (v^{2})$ . 齐次性: $L (p v) = p L (v)$ .

✦ 有限高维空间往低维空间线性映射:

考察映射 $L : V \to V^{'}$ , 其中 $dim V > dim V^{'}$ , 设零元 $O \in V, O^{'} \in V^{'}$ .

零元一定被映射到零元, 即对 $\forall p \in P$ 均有: $L (O) = L (pO) = p L (O) \Rightarrow L (O) = O^{'}$ . 逆元一定被映射到逆元, 即对 $\forall v \in V$ 有: $L (O) = L (v - v) = L (v) + L (- v) = O^{'} \Rightarrow L (- v) = - L (v)$ . 高维度往低维映射不可能是单射吧, 那么就必存在不相同的 $v, w \in V$ 使得 $L (v) = L (w)$ . 显然 $O \neq = v - w = u \in V$ , 此时有 $L (u) = L (v - w) = L (v) - L (w) = O^{'}$ . 这就说明映射核 $\ker L\ne \left\{ {O}'} \right\}$ 是非平凡的.

[附录E] 复空间线性变换至少有一个非零本征矢:

已知 $L$ 是复空间的一个线性变换, 我们可通过解它的本征方程 $∣ L - λ I ∣ = 0$ 求得本征值 $λ$ , 本征值可以有简并, 但绝不会无解, 你至少也能找到一个 $λ \in C$ 满足上述方程.

然后方程 $∣ L - λ I ∣ = 0$ 其实也说明矩阵 $L - λ I$ 是一个奇异矩阵.

行列式值为零说明如果我们将它的每列当作一个矢量, 即 $∣ L - λ I ∣ = ∣ u v \dots w ∣$ ,

那么这组矢量一定是线性相关的.

而线性相关的定义就是存在一组不全为零的数使得 $φ^{1} u + φ^{2} v + \dots + φ^{n} w = 0$ .

那么这组数构成的矢量 $φ = φ^{1} φ^{2} ⋮ φ^{n}$ 其实就是我们要找的非零本征矢.

因为 $φ^{1} u + φ^{2} v + \dots + φ^{n} w = [u, v, \dots, w] φ^{1} φ^{2} ⋮ φ^{n} = 0$ 说明 $(L - λ I) φ = 0$ .

也就是说有 $L φ = λ φ$ , 这就不用我再多说了罢.

参考

^其实线性空间只有一个不变量或者说特征, 就是维度, 所以说线性空间意义上的同构其实就是指二者维度相同的意思.
^id for identity.
^实表示说实在的, 相当难找, 因为实数坑坑洼洼的而复数是代数完备的.
^为何矩阵的标号分上下? 真的好奇的话可以看一下 [附录C] 最后附的文章, 好奇什么是张量也可以看一下.
^即将所有元素都映射到零元的那种映射.
^其实这个 Claim 还有些更简洁大方的证明方法, 但是不直观, 除了让你觉得我很牛之外啥用没有, 所以我最后还是写了这个掰碎了喂的, 看起来比较捞的版本.
^只有第三点处用到了不等价这个条件.
^id 是恒等映射, 你写成单位阵也行.
^我之所以不用普通的加号和乘号就是为了让大家意识到, 这里说的加法和乘法与数域中的相应概念不完全是一回事. 只要是能满足下面的八条运算规则的就都有资格充当这俩运算. 当然日常生活中不会这么写, 这是因为下面八条运算规律让数域上的加法与乘法和矢量加法与数乘相容了.
^如果你能证明下面说法, 你应该就算很懂线性空间是怎么一回事了.
^同构, 就是存在一个结构上的一一对应. 两个事物同构就是说两个事物在作为特定的数学对象 (比如说线性空间) 来考虑时是完全一样完全等价的.
^只需要指定基矢之间的映射效果就好了.
^右上角星号表示取共轭.

群论 (Group Theory) 终极速成 群表示理论 ​

序言 ​

目録 ​

4. 群表示理论 ​

参考 ​

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