[张量系列DLC] 矢量混合运算 Levi-Civita 符号与 Kronecker delta

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/331738362
• 发布日期: 2020-12-07
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

本文是一篇 DLC, Masaki Notation 中设计的符号已经把复内积空间的运算解析得很完备了, 接下来我将用这套语言介绍一下三维实空间[1]的矢量混合运算的技术.

上文设计的符号的特性总结在本文末尾的 **[附录 A]**.

目録

0. 本文的工作环境

0.1. 背景是三维实空间, 常见例子如下 0.2. 诱导出对偶矢量空间的是实空间内积

1. 克罗内克符号 (Kronecker delta)

1.1. 符号定义 1.2. 在我们的体系中有 ${\delta }_{\nu }^{\mu },{\delta }_{\nu }^{\mu },{\delta }^{\mu \nu },{\delta }_{\mu \nu }$ 四种记法 1.3. 它们的作用效果

2. 列维-奇维塔符号 (Levi-Civita symbol)

2.1. 符号定义 2.2. 用于表达矢量的叉乘 (矢量积)　 2.3. 相关计算公式与重要性质 2.4. 老几把有人问我就强调一下

3. 试试看!

3.1. 让我们一步到位, 直接从不对易的系数开始 3.2. 说个你更不敢的: 把第四问全展开成坐标和动量来计算

[附录 A] 符号基本特性的总结

[附录 B] 矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算?

0. 本文的工作环境

0.1. 背景是三维实空间:

✦ (1). 比如说牛顿力学、三维电动力学以及解析几何工作的空间.

✦ (2). 比如说量子力学矢量算符及其本征值所处的空间.

你可能会觉得比较难以置信, 因为即便在幼儿园随便抓个小朋友他也会说是「希尔伯特空间」. 但其实量子力学偶尔是有两层空间的, 我们说的希尔伯特空间指的是量子态所处的空间, 一般为无穷维[[2]](#ref_2), 但矢量算符与它的矢量本征值中的矢量, 指的是狄拉克矢量吗? 当然不是, 这其实是三维实空间的矢量, 即 \vec{P}={P}_{x}{\vec{e}_{x}+{P}_{y}{\vec{e}_{y}+{P}_{z}{\vec{e}_{z}. 所以三维的量子力学实际上是在内层希尔伯特空间上外套了一个三维实空间的.

详见:

https://www.zhihu.com/question/553498178/answer/27305010770.2. 诱导出对偶矢量空间的是实空间内积:

✦ 这就导致三维实空间中对偶矢量与矢量之间仅基矢不同, 其分量本身没有区别.

即 $P^{\mu }$ 代表的分量 $P^1,P^2,P^3$ 与 $P_{\mu }$ 代表的分量 $P_1,P_2,P_3$ 完完全全是一回事, 它们并不会相差一个复共轭, 或者说实空间的复共轭就是它本身.

✦ 这也就是说有: $a_{\mu }{b}^{\mu }\equiv a^{\mu }{b}_{\mu }$, 或者说 $\left(a,b\right)=\left(b,a\right).$

其实量子力学的这个也不尽然是实空间[3], 只是比起复空间更像实空间罢了[4], 因为诱导出对偶空间的这个内积并不会牵扯到取共轭, 其实就是个简单的记法, 我能试着给它编圆就已经很给面子了.

上面提到的内积就是 $\vec{R}\cdot \vec{P}=\left(\vec{R},\vec{P}\right)=X{P}_x+Y{P}_y+Z{P}_z$ 这种. 这实际上是在强烈地模仿我们最熟悉的三维实空间, 就个处理技巧罢了.

✦ 另外还有一个大问题值得提一下, 那就是对易子为何蕴含一个转置; 这是问题 東雲正樹：矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算? 的一个终极答案, 感兴趣可以看 [附录B].

1. 克罗内克符号(Kronecker delta)

1.1. 符号定义为:{\delta }_{\mu \nu }=\left\{ \begin{align} & 1\ \ \ \ \ \ \ \mu =\nu , \\ & 0\ \ \ \ \ \ \ \mu \ne \nu . \\ \end{align} \right.

✦ 是一个极其常见的方便记号, 我们很爱它, 因为它的出现基本上就是化简式子的.

1.2. 在我们的体系中有${\delta }_{\nu }^{\mu },{\delta }_{\nu }^{\mu },{\delta }^{\mu \nu },{\delta }_{\mu \nu }$四种记法:

✦ 前面俩都事 (1,1) 型张量分量, 后边俩则分别是 (2,0) 型与 (0,2) 型张量分量.

后边儿内俩可以用来升降指标[[5]](#ref_5). 从符号的定义知道 ${\delta }_{\nu }^{\mu }$ 是单位阵的分量, 从线性变换的角度来看它也被称作恒等变换. 由于单位阵是对称的, 所以就有转置分量不变, 即 \left\{ \begin{align} & {\delta }^{\mu }_{\nu }\equiv {\delta }_{\nu }^{\mu }, \\ & {\delta }^{\mu \nu }\equiv {\delta }^{\nu \mu }, \\ & {\delta }_{\mu \nu }\equiv {\delta }_{\nu \mu }. \\ \end{align} \right.

1.3. 它们的作用效果:\left\{ \begin{align} & {\delta }^{\mu }_{\nu }{M}^{\nu }_{\rho }={M}^{\mu }_{\rho }, \\ & {\delta }_{\nu }^{\mu }{M}^{\nu }_{\rho }={M}^{\mu }_{\rho }, \\ & {\delta }^{\mu \nu }{M}_{\nu }^{\rho }={M}^{\mu \rho }, \\ & {\delta }_{\mu \nu }{M}^{\nu }_{\rho }={M}_{\mu \rho }. \\ \end{align} \right.

✦ 唯一值得说的就是, 你如果把指标全都放在下面, 那这几个式子就都是一模一样的.

这说明指标的上下在实空间其实不那么重要, 但我们仍然保留它, 虽然不保留也不会出错, 但保留下来有很多很美的特性, 比如说必须是上下标缩并或者指标平衡之类的, 看着很爽.

也因此, 后面介绍 Levi-Civita 符号的时候, 我不会再详细地把所有上下标情况全展示出来了.

2. 列维-奇维塔符号 (Levi-Civita symbol)

2.1. 符号定义为: {\varepsilon }_{\mu \nu \rho }=\left\{ \begin{align} & \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \mu \nu \rho\ 是偶排列的, \\ & -1\ \ \ \ \mu \nu \rho\ 是奇排列的, \\ & \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \mu \nu \rho\ 中有重复的. \\ \end{align} \right.

✦ 这里 $\mu ,\nu ,\rho \in \left\{1,2,3\right\}$, 牵扯到一个叫做逆序数的神秘概念, 这个你感兴趣自己去查一下.

✦ 我不想说那么玄乎, 其实可以很简单的告诉你如何判断:

• 我们取自然数的正常序列为偶排列, 即: $1,2,3,4,5$ 是一个偶排列.
• 当我们交换偶排列中的任意两项就会变成奇排列, 比如 $1,5,3,4,2$.
• 当我们交换奇排列中的任意两项就会变成偶排列, 比如 $1,5,4,3,2$.
• 你会发现从一个确定的排列通过有限次数字交换到另一个确定的排列, 无论你是怎样交换数字的, 无论交换了多少次, 这个交换次数的奇偶性都是确定的.

不知道你听懂了没有, 这里进行枚举:

\left\{ \begin{align} & {\varepsilon }_{123}=1, \\ & {\varepsilon }_{132}=-1, \\ \end{align} \right. \ \ \ \ \ \left\{ \begin{align} & {\varepsilon }_{213}=-1, \\ & {\varepsilon }_{231}=1, \\ \end{align} \right. \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{align} & {\varepsilon }_{312}=1, \\ & {\varepsilon }_{321}=-1. \\ \end{align} \right.

✦ 最后就是说一下, 这个符号可以轻松拓展到任意阶: {\varepsilon }_{\mu \nu \cdots \rho }{^{\sigma \cdots \tau }_{\eta }.

反正就是算一下奇偶排列嘛, 满足的特性即 ${\epsilon }^{\cdots \rho \cdots \tau \cdots }=-{\epsilon }^{\cdots \tau \cdots \rho \cdots }$ 与 ${\epsilon }^{123\cdots n}=1.$

任意方阵的行列式可以借此表达为: ${\epsilon }^{\mu \nu \rho \cdots \sigma }\det M={\epsilon }^{\tau \eta \delta \cdots \epsilon }{M}_{\tau }^{\mu }{M}_{\eta }^{\nu }{M}_{\delta }^{\rho }\cdots M_{\epsilon }^{\sigma }.$

比如说 $\det M=\left|\begin{array}{cc}{M}_1^1& M_2^1\\ M_1^2& M_2^2\end{array}\right|=M_1^1{M}_2^2-M_2^1{M}_1^2={\epsilon }^{\mu \nu }{M}_{\mu }^1{M}_{\nu }^2.$ 进一步有 ${\epsilon }^{\rho \sigma }\det M={\epsilon }^{\mu \nu }{M}_{\mu }^{\rho }{M}_{\nu }^{\sigma }$, 这就很直观了吧, 具体证明就不给了. $\overline{}$ 我目前就只在群论里用到过上面那个结论.

2.2. 用于表达矢量的叉乘 (矢量积):

✦ 矢量积定义:

\vec{a}\times \vec{b}\equiv \left| \begin{matrix} {\vec{e}_{1} & {\vec{e}_{2} & {\vec{e}_{3} \\ {a}^{1} & {a}^{2} & {a}^{3} \\ {b}^{1} & {b}^{2} & {b}^{3} \\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_{1} & {a}^{1} & {b}^{1} \\ {\vec{e}_{2} & {a}^{2} & {b}^{2} \\ {\vec{e}_{3} & {a}^{3} & {b}^{3} \\ \end{matrix} \right|, 其中 \left\{ {\vec{e}_{1},{\vec{e}_{2},{\vec{e}_{3} \right\} 是实空间基底.

我小时候喜欢写左边那个行列式, 这是我高数老师害的, 其实右边那个更加合理. 我们把它展开, 观察一下: \left| \begin{matrix} {\vec{e}_{1} & {a}^{1} & {b}^{1} \\ {\vec{e}_{2} & {a}^{2} & {b}^{2} \\ {\vec{e}_{3} & {a}^{3} & {b}^{3} \\ \end{matrix} \right|=\left( \begin{align} & \ \ \ \ \ {a}^{2}{b}^{3}{\vec{e}_{1}-{a}^{3}{b}^{2}{\vec{e}_{1} \\ & +{a}^{3}{b}^{1}{\vec{e}_{2}-{a}^{1}{b}^{3}{\vec{e}_{2} \\ & +{a}^{1}{b}^{2}{\vec{e}_{3}-{a}^{2}{b}^{1}{\vec{e}_{3} \\ \end{align} \right). 是不是有点儿全排列内味儿了? 所以简记为: \vec{a}\times \vec{b}=\left| \begin{matrix} {\vec{e}_{1} & {a}^{1} & {b}^{1} \\ {\vec{e}_{2} & {a}^{2} & {b}^{2} \\ {\vec{e}_{3} & {a}^{3} & {b}^{3} \\ \end{matrix} \right|={\varepsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{\vec{e}_{\rho }, 矢量叉乘得到矢量: $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{c}$, 符合常识. 我们用分量表示矢量就是: $\vec{a}\times \vec{b}\to c^{\rho }={\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }.$

综上所述, $\vec{a}\times \vec{b}\to {\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }.$

箭头就是取第 $\rho$ 分量的意思, 当然也不一定用字母 $\rho$, 懂我意思就行.

2.3. 相关计算公式与重要性质:

✦ 反对称性:

由定义知, 我们交换该符号的任何两个指标(交换不改变指标的上下关系)都会多出一个负号.

比如 {\varepsilon }_{\mu \nu \rho }=-{\varepsilon }_{\mu \rho \nu },\ \ {\varepsilon }^{\mu \nu }_{\rho }=-{\varepsilon }_{\rho }^{\nu \mu },\ \ \ {\varepsilon }^{\mu }{_{\nu }^{\rho }=-{\varepsilon }^{\rho }{_{\nu }^{\mu }\cdots 这个也因此被称为全反对称张量.

✦ 混合积定义:

我们早就知道 \vec{a}\times \vec{b}={\varepsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{\vec{e}_{\rho } 了对吧, 显然有 \vec{c}\cdot \left( \vec{a}\times \vec{b} \right)={c}^{\sigma }{\vec{e}_{\sigma }\cdot {\varepsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{\vec{e}_{\rho }={\varepsilon }_{\mu \nu \rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{c}^{\rho }. 现在你知道为何 $\vec{a}\cdot \left(\vec{b}\times \vec{c}\right)=\vec{c}\cdot \left(\vec{a}\times \vec{b}\right)$ 了吧? $\overline{}$

由此我们可以定义 $\epsilon \left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)\equiv {\epsilon }_{\mu \nu \rho }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{c}^{\rho }=\vec{a}\cdot \left(\vec{b}\times \vec{c}\right)$$=\vec{c}\cdot \left(\vec{a}\times \vec{b}\right)$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\vec{c}\cdot \left( \begin{align} & \ \ \ \ \ {a}^{2}{b}^{3}{\vec{e}_{1}-{a}^{3}{b}^{2}{\vec{e}_{1} \\ & +{a}^{3}{b}^{1}{\vec{e}_{2}-{a}^{1}{b}^{3}{\vec{e}_{2} \\ & +{a}^{1}{b}^{2}{\vec{e}_{3}-{a}^{2}{b}^{1}{\vec{e}_{3} \\ \end{align} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \begin{align} & \ \ \ \ \ {a}^{2}{b}^{3}{c}^{1}-{a}^{3}{b}^{2}{c}^{1} \\ & +{a}^{3}{b}^{1}{c}^{2}-{a}^{1}{b}^{3}{c}^{2} \\ & +{a}^{1}{b}^{2}{c}^{3}-{a}^{2}{b}^{1}{c}^{3} \\ \end{align} \right)$=\left|\begin{array}{ccc}{c}^1& a^1& b^1\\ c^2& a^2& b^2\\ c^3& a^3& b^3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{a}^1& b^1& c^1\\ a^2& b^2& c^2\\ a^3& b^3& c^3\end{array}\right|.$ 这就是说我们可以进一步定义出 {\varepsilon }_{\mu \nu \rho }=\varepsilon \left( {\vec{e}_{\mu },{\vec{e}_{\nu },{\vec{e}_{\rho } \right)=\left| \begin{matrix} {\delta }_{\mu }^{1} & {\delta }_{\nu }^{1} & {\delta }_{\rho }^{1} \\ {\delta }_{\mu }^{2} & {\delta }_{\nu }^{2} & {\delta }_{\rho }^{2} \\ {\delta }_{\mu }^{3} & {\delta }_{\nu }^{3} & {\delta }_{\rho }^{3} \\ \end{matrix} \right|. 验证一下的: {\varepsilon }_{123}=\varepsilon \left( {\vec{e}_{1},{\vec{e}_{2},{\vec{e}_{3} \right)=\left| \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right|=1.

✦ 公式 ${\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{a}^{\nu }=0:$

这就是反对称性导致的: ${\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{a}^{\nu }=-{\epsilon }_{\nu \mu }^{\rho }{a}^{\nu }{a}^{\mu }=-{\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{a}^{\nu }\Rightarrow {\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{a}^{\nu }=0.$ 所以说 $\vec{a}\times \vec{a}\to {\epsilon }_{\mu \nu }^{\rho }{a}^{\mu }{a}^{\nu }=0$ 嘛. 提醒一下, 只要是对称张量与反对称张量求和都这样, 这原理很简单, 对吧?

✦ 公式 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \tau \eta }=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{\mu }^{\sigma }& {\delta }_{\mu }^{\tau }& {\delta }_{\mu }^{\eta }\\ {\delta }_{\nu }^{\sigma }& {\delta }_{\nu }^{\tau }& {\delta }_{\nu }^{\eta }\\ {\delta }_{\rho }^{\sigma }& {\delta }_{\rho }^{\tau }& {\delta }_{\rho }^{\eta }\end{array}\right|:$

这个公式本身很少被用上, 但它可以用来证明有用的公式, 计算过程碰到这种真的造孽好吗? 前面我们说过 {\varepsilon }_{\mu \nu \rho }=\varepsilon \left( {\vec{e}_{\mu },{\vec{e}_{\nu },{\vec{e}_{\rho } \right)=\left| \begin{matrix} {\delta }_{\mu }^{1} & {\delta }_{\nu }^{1} & {\delta }_{\rho }^{1} \\ {\delta }_{\mu }^{2} & {\delta }_{\nu }^{2} & {\delta }_{\rho }^{2} \\ {\delta }_{\mu }^{3} & {\delta }_{\nu }^{3} & {\delta }_{\rho }^{3} \\ \end{matrix} \right|. 于是 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \tau \eta }=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{\mu }^1& {\delta }_{\nu }^1& {\delta }_{\rho }^1\\ {\delta }_{\mu }^2& {\delta }_{\nu }^2& {\delta }_{\rho }^2\\ {\delta }_{\mu }^3& {\delta }_{\nu }^3& {\delta }_{\rho }^3\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccc}{\delta }_1^{\sigma }& {\delta }_1^{\tau }& {\delta }_1^{\eta }\\ {\delta }_2^{\sigma }& {\delta }_2^{\tau }& {\delta }_2^{\eta }\\ {\delta }_3^{\sigma }& {\delta }_3^{\tau }& {\delta }_3^{\eta }\end{array}\right|.$ 注意行列式满足 \left| {A}^{\text{T} \right|=\left| A \right| 与 $\left|A\right|\left|B\right|=\left|AB\right|$, 将左边的转置处理. 于是就有 ${\varepsilon }_{\mu \nu \rho }{\varepsilon }^{\sigma \tau \eta }=\left| \left[ \begin{matrix} {\delta }_{\mu }^{1} & {\delta }_{\mu }^{2} & {\delta }_{\mu }^{3} \\ {\delta }_{\nu }^{1} & {\delta }_{\nu }^{2} & {\delta }_{\nu }^{3} \\ {\delta }_{\rho }^{1} & {\delta }_{\rho }^{2} & {\delta }_{\rho }^{3} \\ \end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} {\delta }_{1}^{\sigma } & {\delta }_{1}^{\tau } & {\delta }_{1}^{\eta } \\ {\delta }_{2}^{\sigma } & {\delta }_{2}^{\tau } & {\delta }_{2}^{\eta } \\ {\delta }_{3}^{\sigma } & {\delta }_{3}^{\tau } & {\delta }_{3}^{\eta } \\ \end{matrix} \right] \right|.$$\overline{}$

我们看看第二行与第三列相乘 ${\delta }_{\nu }^1{\delta }_1^{\eta }+{\delta }_{\nu }^2{\delta }_2^{\eta }+{\delta }_{\nu }^3{\delta }_3^{\eta }={\delta }_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\mu }^{\eta }={\delta }_{\nu }^{\eta }$. 其它任何行列都同理可得就有 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \tau \eta }=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{\mu }^{\sigma }& {\delta }_{\mu }^{\tau }& {\delta }_{\mu }^{\eta }\\ {\delta }_{\nu }^{\sigma }& {\delta }_{\nu }^{\tau }& {\delta }_{\nu }^{\eta }\\ {\delta }_{\rho }^{\sigma }& {\delta }_{\rho }^{\tau }& {\delta }_{\rho }^{\eta }\end{array}\right|.$

✦ 公式 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \sigma \tau }={\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\sigma }:$

令前面那个疯狂行列式中的 $\sigma =\mu$

\left| \begin{matrix} 3 & {\delta }_{\mu }^{\tau } & {\delta }_{\mu }^{\eta } \\ {\delta }_{\nu }^{\mu } & {\delta }_{\nu }^{\tau } & {\delta }_{\nu }^{\eta } \\ {\delta }_{\rho }^{\mu } & {\delta }_{\rho }^{\tau } & {\delta }_{\rho }^{\eta } \\ \end{matrix} \right|=\left( \begin{align} & \ \ \ \ \ 3{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }-3{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau } \\ & +{\delta }_{\mu }^{\tau }{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\mu }-{\delta }_{\mu }^{\tau }{\delta }_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\rho }^{\eta } \\ & +{\delta }_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\rho }^{\tau }{\delta }_{\mu }^{\eta }-{\delta }_{\mu }^{\eta }{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\mu } \\ \end{align} \right)$=3{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }-3{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }+{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }$$-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }+{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }$$=\left(3{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }\right)$$-\left(3{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }\right)$$={\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\eta }-{\delta }_{\nu }^{\eta }{\delta }_{\rho }^{\tau }$$\Rightarrow {\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \sigma \tau }={\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\sigma }$.

✦ 公式 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \nu \rho }=2{\delta }_{\mu }^{\sigma }:$

令 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \sigma \tau }={\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\sigma }$ 中的 $\sigma =\nu$

${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \tau }={\delta }_{\nu }^{\nu }{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\nu }^{\tau }{\delta }_{\rho }^{\nu }=3{\delta }_{\rho }^{\tau }-{\delta }_{\rho }^{\tau }=2{\delta }_{\rho }^{\tau }$$\Rightarrow {\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \nu \rho }=2{\delta }_{\mu }^{\sigma }$.

当然你硬算也行:

\left| \begin{matrix} {\delta }_{\mu }^{\sigma } & {\delta }_{\mu }^{\nu } & {\delta }_{\mu }^{\rho } \\ {\delta }_{\nu }^{\sigma } & 3 & {\delta }_{\nu }^{\rho } \\ {\delta }_{\rho }^{\sigma } & {\delta }_{\rho }^{\nu } & 3 \\ \end{matrix} \right|=\left( \begin{align} & \ \ \ \ \ 9{\delta }_{\mu }^{\sigma }-{\delta }_{\mu }^{\sigma }{\delta }_{\nu }^{\rho }{\delta }_{\rho }^{\nu } \\ & +{\delta }_{\mu }^{\nu }{\delta }_{\nu }^{\rho }{\delta }_{\rho }^{\sigma }-3{\delta }_{\mu }^{\nu }{\delta }_{\nu }^{\sigma } \\ & +{\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }_{\rho }^{\nu }{\delta }_{\mu }^{\rho }-3{\delta }_{\rho }^{\sigma }{\delta }_{\mu }^{\rho } \\ \end{align} \right)\begin{align} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =9{\delta }_{\mu }^{\sigma }-3{\delta }_{\mu }^{\sigma }+{\delta }_{\mu }^{\sigma }-3{\delta }_{\mu }^{\sigma }+{\delta }_{\mu }^{\sigma }-3{\delta }_{\mu }^{\sigma } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\delta }_{\mu }^{\sigma }+{\delta }_{\mu }^{\sigma }=2{\delta }_{\mu }^{\sigma }. \\ \end{align}

✦ 公式 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }=6:$

令 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \nu \rho }=2{\delta }_{\mu }^{\sigma }$ 中的 $\sigma =\mu$

${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }=2{\delta }_{\mu }^{\mu }=6.$

2.4. 老几把有人问我就强调一下:

总之一定要记住先结论 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\sigma \tau \eta }=\left|\begin{array}{ccc}{\delta }_{\mu }^{\sigma }& {\delta }_{\mu }^{\tau }& {\delta }_{\mu }^{\eta }\\ {\delta }_{\nu }^{\sigma }& {\delta }_{\nu }^{\tau }& {\delta }_{\nu }^{\eta }\\ {\delta }_{\rho }^{\sigma }& {\delta }_{\rho }^{\tau }& {\delta }_{\rho }^{\eta }\end{array}\right|.$

接着嘛比如说当你令 $\sigma =\mu$ 的时候, ${\delta }_{\mu }^{\sigma }\to {\delta }_{\mu }^{\mu }=\sum _{\mu }{\delta }_{\mu }^{\mu }=3\ne 1.$

然后更关键的是令 $\sigma =\mu$ 的时候, ${\delta }_{\nu }^{\sigma }\to {\delta }_{\nu }^{\mu }$ 并不一定就是 $0.$

你千万别想着 $\nu \ne \mu$ 是什么自然成立的, 没这回事!

我们就是重复指标要 全范围 求和, 并不是只取几个排列, 别默认只取几个排列.$\overline{}$ 你可能会想 $\mu =\nu$ 不就直接推出 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }=0$ 了吗? 但这不是你该考虑的, 你要相信的是我们这个行列式已经完全地刻画了 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }$ 的所有性质, 不需要你再多操心了, 你只要放着展开计算缩并就好了.

最后就是, 当你面对一个类似于 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{A}^{\mu \nu }=B_{\rho }$ 的等式时可能要小心:

以存在约束 $A^{\mu \nu }=-A^{\nu \mu }$ 的情况为例:

请问 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{A}^{\mu \nu }=B_{\rho }$ 表明的是 $A^{12}=B_3$ 还是 $A^{12}=\frac{1}{2}{B}_3$? 答案是后者. 你可能会想我们设定 $\mu =1,\nu =2$ 不就有 ${\epsilon }_{12\rho }{A}^{12}=B_{\rho }\Rightarrow A^{12}=B_3$ 吗? 当然还类似地会有 ${\epsilon }_{21\rho }{A}^{21}=B_{\rho }\Rightarrow A^{21}=-B_3,$ 然后你再试试令 $\rho =3$, 这样就有 ${\epsilon }_{\mu \nu 3}{A}^{\mu \nu }=B_3=A^{12}-A^{21}=2B_3.$ 矛盾了吧? 这是因为 $\mu \nu$ 是求和指标, 你不能瞎令求和指标等于某个数, 这样会破坏求和. $\overline{}$ 那正确的做法是什么呢? 有两种办法: (1). 令 $\rho =3$, 就有 ${\epsilon }_{\mu \nu 3}{A}^{\mu \nu }=B_3=A^{12}-A^{21}=2A^{12}\Rightarrow A^{12}=\frac{1}{2}{B}_3.$ (2). 爷直接两边取乘 ${\epsilon }^{\sigma \tau \rho }$ 得到 ${\epsilon }^{\sigma \tau \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{A}^{\mu \nu }={\epsilon }^{\sigma \tau \rho }{B}_{\rho }.$ 左边 ${\epsilon }^{\sigma \tau \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{A}^{\mu \nu }={\delta }_{\mu }^{\sigma }{\delta }_{\nu }^{\tau }{A}^{\mu \nu }-{\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }_{\mu }^{\tau }{A}^{\mu \nu }=A^{\sigma \tau }-A^{\tau \sigma },$ 于是就有 ${\epsilon }^{\sigma \tau \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{A}^{\mu \nu }=A^{\sigma \tau }-A^{\tau \sigma }={\epsilon }^{\sigma \tau \rho }{B}_{\rho },$ 换一下指标 $A^{\mu \nu }-A^{\nu \mu }={\epsilon }^{\mu \nu \rho }{B}_{\rho }.$ 然后还是约束 $A^{\mu \nu }=-A^{\nu \mu }$, 这样就有 $A^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{B}_{\rho },$ 现在就可以安心令 $\mu =1,\nu =2$ 了, 即, $A^{12}=\frac{1}{2}{\epsilon }^{12\rho }{B}_{\rho }=\frac{1}{2}{B}_3.$

不知道你们有没有发现, 如果把这个符号累积起来写的很长很长的话感觉就跟分割线一样:

${\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }{\epsilon }_{\mu \nu \rho }{\epsilon }^{\mu \nu \rho }$

我觉得有点搞笑.

3. 试试看!

3.1. 让我们一步到位, 直接从不对易的系数开始:

例: 已知角动量算符$\vec{L}=\vec{R}\times \vec{P}$, 试证明下列对易关系:

(1). $\left[ {R}^{2},\vec{L} \right]=0.$(2). $\left[ {P}^{2},\vec{L} \right]=0.$(3). $\left[ \vec{R}\cdot \vec{P},\vec{L} \right]=0.$(4). $\left[ {L}^{2},\vec{n}\cdot \vec{L} \right]=0$, 其中 ${\vec{n}$ 是一个系数为复数的普通矢量.

解:

对于矢量的情形我就只给到分量的通项, 剩下的懂的都懂, 不懂我也··· 哎.

\begin{align} & \left( 1 \right).\ \left[ {R}_{\sigma }{R}^{\sigma },{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right]={\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }\left\{ {R}_{\sigma }\left[ {R}^{\sigma },{P}^{\rho } \right]+\left[ {R}_{\sigma },{P}^{\rho } \right]{R}^{\sigma } \right\} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }\left( {R}_{\sigma }{\delta }^{\sigma \rho }+{\delta }_{\sigma }^{\rho }{R}^{\sigma } \right)i\hbar \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2i\hbar \left( {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{R}^{\rho } \right)=2i\hbar \cdot 0=0. \\ \end{align}

\begin{align} & \left( 2 \right).\ \left[ {P}_{\sigma }{P}^{\sigma },{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right]={\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left\{ {P}_{\sigma }\left[ {P}^{\sigma },{R}^{\nu } \right]+\left[ {P}_{\sigma },{R}^{\nu } \right]{P}^{\sigma } \right\}{P}^{\rho } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-i\hbar n{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{P}^{\rho }\left( {\delta }^{\sigma }^{\nu }{P}_{\sigma }+{\delta }_{\sigma }^{\nu }{P}^{\sigma } \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-2i\hbar \left( {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{P}^{\rho }{P}^{\nu } \right)=-2i\hbar \cdot 0=0. \\ \end{align}

\begin{align} & \left( 3 \right).\ \left[ {R}_{\sigma }{P}^{\sigma },{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right]={n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left\{ {R}_{\sigma }\left[ {P}^{\sigma },{R}^{\nu } \right]{P}^{\rho }+{R}^{\nu }\left[ {R}_{\sigma },{P}^{\rho } \right]{P}^{\sigma } \right\} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =i\hbar {n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left( -{R}_{\sigma }{\delta }^{\sigma \nu }{P}^{\rho }+{R}^{\nu }{\delta }_{\sigma }^{\rho }{P}^{\sigma } \right) \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =i\hbar {n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left( {R}^{\nu }{P}^{\rho }-{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right)=0. \\ \end{align}

\begin{align} & \left( 4 \right).\ \left[ {L}_{\nu }{L}^{\nu },{n}_{\mu }{L}^{\mu } \right]={n}_{\mu }{L}_{\nu }\left[ {L}^{\nu },{L}^{\mu } \right]+{n}_{\mu }\left[ {L}_{\nu },{L}^{\mu } \right]{L}^{\nu } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={n}_{\mu }{L}_{\nu }i\hbar {\varepsilon }^{\nu \mu }_{\rho }{L}^{\rho }+{n}_{\mu }i\hbar {\varepsilon }_{\nu }{^{\mu }_{\rho }{L}^{\rho }{L}^{\nu } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={n}_{\mu }i\hbar \left( {\varepsilon }^{\nu \mu }_{\rho }{L}_{\nu }{L}^{\rho }+{\varepsilon }_{\nu }{^{\mu }^{\rho }{L}_{\rho }{L}^{\nu } \right)={n}_{\mu }i\hbar \left( 0+0 \right)=0. \\ \end{align}

你还敢回到那个用箭头符号计算的古板日子去解这题吗?

3.2. 说个你更不敢的: 把第四问全展开成坐标和动量来计算.

但是我要算, 得证明一下我这套记号是怎么玩都不可能乱的:

$\left[ {L}_{\sigma }{L}^{\sigma },{n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right]={n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left\{ \begin{align} & {L}_{\sigma }{R}^{\nu }\left[ {L}^{\sigma },{P}^{\rho } \right]+{L}_{\sigma }\left[ {L}^{\sigma },{R}^{\nu } \right]{P}^{\rho } \\ & +{R}^{\nu }\left[ {L}_{\sigma },{P}^{\rho } \right]{L}^{\sigma }+\left[ {L}_{\sigma },{R}^{\nu } \right]{P}^{\rho }{L}^{\sigma } \\ \end{align} \right\}$代入 $\left\{ \begin{align} & \left[ {L}^{\sigma },{R}^{\nu } \right]=\left[ {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{R}^{\tau }{P}^{\eta },{R}^{\nu } \right]={\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{R}^{\tau }\left[ {P}^{\eta },{R}^{\nu } \right]=-i\hbar {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{R}^{\tau }{\delta }^{\eta \nu } \\ & \left[ {L}^{\sigma },{P}^{\rho } \right]=\left[ {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{R}^{\tau }{P}^{\eta },{P}^{\rho } \right]={\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }\left[ {R}^{\tau },{P}^{\rho } \right]{P}^{\eta }=i\hbar {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{\delta }^{\tau \rho }{P}^{\eta } \\ \end{align} \right.$

$\left[ {L}_{\sigma }{L}^{\sigma },{n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right]={n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left( \begin{align} & {L}_{\sigma }{R}^{\nu }i\hbar {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{\delta }^{\tau \rho }{P}^{\eta }-i\hbar {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{L}_{\sigma }{R}^{\tau }{\delta }^{\eta \nu }{P}^{\rho } \\ & +{R}^{\nu }i\hbar {\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{\delta }^{\tau \rho }{P}^{\eta }{L}^{\sigma }-i\hbar {\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{R}^{\tau }{\delta }^{\eta \nu }{P}^{\rho }{L}^{\sigma } \\ \end{align} \right)$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =i\hbar {n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }\left( \begin{align} & {\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{L}_{\sigma }{\delta }^{\tau \rho }{R}^{\nu }{P}^{\eta }-{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{L}_{\sigma }{\delta }^{\eta \nu }{R}^{\tau }{P}^{\rho } \\ & +{\delta }^{\tau \rho }{R}^{\nu }{P}^{\eta }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{L}^{\sigma }-{\delta }^{\eta \nu }{R}^{\tau }{P}^{\rho }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{L}^{\sigma } \\ \end{align} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =i\hbar {n}_{\mu }\left( \begin{align} & {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{\delta }^{\tau \rho }{L}_{\sigma }{R}^{\nu }{P}^{\eta }-{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{\delta }^{\eta \nu }{L}_{\sigma }{R}^{\tau }{P}^{\rho } \\ & +{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{\delta }^{\tau \rho }{R}^{\nu }{P}^{\eta }{L}^{\sigma }-{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{\delta }^{\eta \nu }{R}^{\tau }{P}^{\rho }{L}^{\sigma } \\ \end{align} \right) 代入 \left\{ \begin{align} & {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{\delta }^{\tau \rho }={\varepsilon }_{\nu }^{\tau \mu }{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }=-{\varepsilon }^{\tau }{_{\nu }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }={\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\eta }-{\delta }_{\nu }_{\eta }{\delta }^{\mu }^{\sigma } \\ & {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta }^{\sigma }{\delta }^{\eta \nu }={\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau }{^{\nu }^{\sigma }=-{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }^{\nu }{_{\tau }^{\sigma }={\delta }_{\rho }^{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\tau }-{\delta }_{\rho \tau }{\delta }^{\mu \sigma } \\ & {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{\delta }^{\tau \rho }={\varepsilon }_{\nu }{^{\tau }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }=-{\varepsilon }^{\tau }{_{\nu }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }={\delta }_{\nu }_{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\eta }-{\delta }_{\nu }_{\eta }{\delta }^{\mu }_{\sigma } \\ & {\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau \eta \sigma }{\delta }^{\eta \nu }={\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }_{\tau }{^{\nu }_{\sigma }=-{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{\varepsilon }^{\nu }{_{\tau }_{\sigma }={\delta }_{\rho }_{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\tau }-{\delta }_{\rho \tau }{\delta }^{\mu }_{\sigma } \\ \end{align} \right.

$\ \ \ \ \left[ {L}_{\sigma }{L}^{\sigma },{n}_{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho }^{\mu }{R}^{\nu }{P}^{\rho } \right]$$=i\hbar {n}_{\mu }\left[ \begin{align} & \left( {\delta }_{\nu }^{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\eta }-{\delta }_{\nu }_{\eta }{\delta }^{\mu }^{\sigma } \right){L}_{\sigma }{R}^{\nu }{P}^{\eta }-\left( {\delta }_{\rho }^{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\tau }-{\delta }_{\rho \tau }{\delta }^{\mu \sigma } \right){L}_{\sigma }{R}^{\tau }{P}^{\rho } \\ & +\left( {\delta }_{\nu }_{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\eta }-{\delta }_{\nu }_{\eta }{\delta }^{\mu }_{\sigma } \right){R}^{\nu }{P}^{\eta }{L}^{\sigma }-\left( {\delta }_{\rho }_{\sigma }{\delta }^{\mu }_{\tau }-{\delta }_{\rho \tau }{\delta }^{\mu }_{\sigma } \right){R}^{\tau }{P}^{\rho }{L}^{\sigma } \\ \end{align} \right]$ $=i\hbar {n}_{\mu }\left[ \begin{align} & {L}_{\nu }{R}^{\nu }{P}^{\mu }-{L}^{\mu }{R}^{\nu }{P}_{\nu }-{L}_{\rho }{R}^{\mu }{P}^{\rho }+{L}^{\mu }{R}_{\rho }{P}^{\rho } \\ & +{R}^{\nu }{P}^{\mu }{L}_{\nu }-{R}^{\nu }{P}_{\nu }{L}^{\mu }-{R}^{\mu }{P}^{\rho }{L}_{\rho }+{R}_{\rho }{P}^{\rho }{L}^{\mu } \\ \end{align} \right]$ $=i\hbar {n}_{\mu }\left[ \begin{align} & {L}_{\nu }{R}^{\nu }{P}^{\mu }-{L}^{\mu }{R}^{\nu }{P}_{\nu }-{L}_{\nu }{R}^{\mu }{P}^{\nu }+{L}^{\mu }{R}_{\nu }{P}^{\nu } \\ & +{R}^{\nu }{P}^{\mu }{L}_{\nu }-{R}^{\nu }{P}_{\nu }{L}^{\mu }-{R}^{\mu }{P}^{\nu }{L}_{\nu }+{R}_{\nu }{P}^{\nu }{L}^{\mu } \\ \end{align} \right]$$=i\hbar {n}_{\mu }\left[ {L}_{\nu }{R}^{\nu }{P}^{\mu }-{L}_{\nu }{R}^{\mu }{P}^{\nu }+{R}^{\nu }{P}^{\mu }{L}_{\nu }-{R}^{\mu }{P}^{\nu }{L}_{\nu } \right]$ $=i\hbar {n}_{\mu }\left[ \begin{align} & {\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }{R}^{\nu }{P}^{\mu }-{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }{R}^{\mu }{P}^{\nu } \\ & +{R}^{\nu }{P}^{\mu }{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }-{R}^{\mu }{P}^{\nu }{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma } \\ \end{align} \right]$ $=i\hbar {n}_{\mu }\left[ \begin{align} & {\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }\left( i\hbar {\delta }^{\rho \sigma }+{P}^{\sigma }{R}^{\rho } \right){R}^{\nu }{P}^{\mu }-{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }\left( i\hbar {\delta }^{\mu \nu }+{P}^{\nu }{R}^{\mu } \right) \\ & +{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }\left( i\hbar {\delta }^{\nu \mu }+{P}^{\mu }{R}^{\nu } \right){R}^{\rho }{P}^{\sigma }-{R}^{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho \sigma }{P}^{\nu }\left( i\hbar {\delta }^{\rho \sigma }+{P}^{\sigma }{R}^{\rho } \right) \\ \end{align} \right]$$=i\hbar {n}_{\mu }\left[ \begin{align} & i\hbar {\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{\delta }^{\rho \sigma }{R}^{\nu }{P}^{\mu }+{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{P}^{\sigma }{R}^{\rho }{R}^{\nu }{P}^{\mu }-i\hbar {\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }{\delta }^{\mu \nu }-{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }{P}^{\nu }{R}^{\mu } \\ & +i\hbar {\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{\delta }^{\nu \mu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }+{P}^{\mu }{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }-i\hbar {R}^{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho \sigma }{P}^{\nu }{\delta }^{\rho \sigma }-{R}^{\mu }{\varepsilon }_{\nu \rho \sigma }{P}^{\nu }{P}^{\sigma }{R}^{\rho } \\ \end{align} \right]$ $={\hbar }^{2}{n}_{\mu }\left[ \begin{align} & -{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{\delta }^{\rho \sigma }{R}^{\nu }{P}^{\mu }+{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }{\delta }^{\mu \nu } \\ & -{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{\delta }^{\nu \mu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }+{\varepsilon }_{\nu \rho \sigma }{R}^{\mu }{P}^{\nu }{\delta }^{\rho \sigma } \\ \end{align} \right]$ $={\hbar }^{2}{n}_{\mu }\left[ {\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma }{\delta }^{\mu \nu }-{\varepsilon }_{\rho \sigma \nu }{\delta }^{\nu \mu }{R}^{\rho }{P}^{\sigma } \right]={\hbar }^{2}{n}_{\mu }\left( {L}^{\mu }-{L}^{\mu } \right)=0.$

you feel me?

[附录 A] 符号基本特性的总结

哈哈, 我删掉了, 因为随时可能要修改完善这部分内容, 但我又不想每次修改都要改好几篇文章, 所以以后只在最初那篇文章中显示这部分内容, 也就是说在这儿:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/359082678## [附录 B] 矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算?

前排剧透答案是张量积.

我们从一个广为人知的式子 $\left[x_i,p_j\right]=x_i{p}_j-p_j{x}_i={\delta }_{ij}i\hslash$ 开始.

它被翻译成矩阵理论上就应该就是 $\left[ \vec{X},\vec{P} \right]=i\hbar {I}_{3\times 3}$ 对吧? 这个式子用我们的记号写出来就是 $R^{\mu }{P}^{\nu }-P^{\nu }{R}^{\mu }=i\hslash {\delta }^{\mu \nu }$, 写成矩阵式就是:

$\left[ \begin{matrix} {R}^{1}{P}^{1} & {R}^{1}{P}^{2} & {R}^{1}{P}^{3} \\ {R}^{2}{P}^{1} & {R}^{2}{P}^{2} & {R}^{2}{P}^{3} \\ {R}^{3}{P}^{1} & {R}^{3}{P}^{2} & {R}^{3}{P}^{3} \\ \end{matrix} \right]-\left[ \begin{matrix} {P}^{1}{R}^{1} & {P}^{2}{R}^{1} & {P}^{3}{R}^{1} \\ {P}^{1}{R}^{2} & {P}^{2}{R}^{2} & {P}^{3}{R}^{2} \\ {P}^{1}{R}^{3} & {P}^{2}{R}^{3} & {P}^{3}{R}^{3} \\ \end{matrix} \right]=i\hbar \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right].$

但如 note [東雲正樹：矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算?](https://zhuanlan.zhihu.com/p/77030597) 中指出的那样:

实际上右边的矩阵难道不应该写作 ${P}^{\nu }{R}^{\mu }\leftarrow \left[ \begin{matrix} {P}^{1}{R}^{1} & {P}^{1}{R}^{2} & {P}^{1}{R}^{3} \\ {P}^{2}{R}^{1} & {P}^{2}{R}^{2} & {P}^{2}{R}^{3} \\ {P}^{3}{R}^{1} & {P}^{3}{R}^{2} & {P}^{3}{R}^{3} \\ \end{matrix} \right]$ 吗?

是因为矩阵语言无法表达 (2,0) 型张量造成的吗?

其实不是, 当时不是在 東雲正樹：矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算? 里发现取一个实空间转置就万事大吉了吗? 这么做到底是什么道理? 怎么知道要转置?

你想要矩阵对吧? 那我们写下这样的式子: $R^{\mu }{P}_{\nu }-P_{\nu }{R}^{\mu }=i\hslash {\delta }_{\nu }^{\mu }.$

看出端倪了吗? 最左边是 {^{\mu }_{\nu } 最右边还是 {^{\mu }_{\nu }, 你中间怎么好意思写个 {_{\nu }^{\mu } 呢?

就是说矩阵等式 $A+B=C$ 的分量式应该是 ${{\left(A+B\right)}^{\mu }}_{\nu }={A^{\mu }}_{\nu }+{B^{\mu }}_{\nu }={C^{\mu }}_{\nu }.$ 而 ${D^{\mu }}_{\nu }+{E_{\nu }}^{\mu }={F^{\mu }}_{\nu }$ 则不等价于 $D+E=F.$

兄啊! 那怎么办? 把 $P_{\nu }{R}^{\mu }$ 改成 $R^{\mu }{P}_{\nu }$ 吗?

当然不行, 它们是算符, 又不是数字, 这里确实很 tricky.

但你记得 $M_{\nu }^{\mu }$ 与 $M_{\nu }^{\mu }$ 对应的矩阵之间差个什么吗?

对, 转置: {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu }^{\mu }={M}^{\mu }_{\nu }.

所以我们要将并矢而成的分量 $P_{\nu }{R}^{\mu }$ 对应的矩阵做一个转置.

而万恶之源就是物理人的矩阵思维:

https://www.zhihu.com/question/508142555/answer/2293905353## 参考

• ^因为很少听说哪里会涉及到三维复空间的矢量混合运算.
• ^1/2 自旋空间这样的非经典自由度对应的希尔伯特空间通常是例外, 它才俩维.
• ^实数域上的矢量空间要求系数全是实数, 我们这里系数还有算符呢.
• ^就是说内积是一个双线性映射, 不牵扯到复共轭.
• ^你要只听说过闵氏时空可能就会想··· 欸这就怪了, 升降指标不是还要取复共轭吗? 只能说, 呃, 很难跟你解释, 去看看那篇 [前置内容] 吧.