[张量系列DLC] 直积和张量积有何区别 矩阵和矩阵的张量积怎么还是个矩阵

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/340956105
• 发布日期: 2020-12-31
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

本文部分概念为个人理解, 暂未追求与数学系的说法统一.

所以[[1]](#ref_1)避开了一些通用名词吧, 免得造成误导.

我们能任意比对不同的张量运算得益于 Masaki Notation 能有效地解构任意形式的张量运算.

以本文为例, 理论上任意定义的张量积都可以用指标符号拆解成分量表示: 例如定义运算 $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)\equiv \left(AC\right)\otimes \left(BD\right),$则可等价地表达为 ${\left[ {\left( {A \otimes B} \right)\left( {C \otimes D} \right)} \right]^{\mu \nu }_{\sigma \rho } \equiv {A^\mu }_\tau {B^\nu }_\eta {C^\tau }_\sigma {D^\eta }_\rho .$

目録

1. 直积与张量积的定义

1.1. 直积和张量积不是一回事 1.2. 张量积用来构造高阶张量 1.3. 喀兴林书上定义的矩阵张量积 1.4. 直积和张量积有时区别不大

2. 降维张量积[2]与老百姓张量积

2.1. 降维张量积的定义 2.2. 用 Masaki Notation 来计算降维张量积 2.3. 降维张量积的具体计算实例 2.4. 降维张量积和老百姓张量积可以是一回事

[附录A] 张量的初级理解

1. 直积与张量积的定义

这里会讲得十分简略, 因为这不是本文的重点, 若想比较系统地了解张量积请参考 [前置内容].

1.1. 直积和张量积不是一回事, 直积生成有序元素组:$X\times Y\equiv \left\{\left(x,y\right)|x\in X,y\in Y\right\}.$

这个也叫 Cartesian product, 说白了就是打包处理, 并没有给予任何额外的操作. 举个例子就是对 $X=\left\{x_1,x_2\right\},Y=\left\{y_1,y_2\right\}$ 有$X\times Y=\left\{\left(x_1,y_1\right),\left(x_1,y_2\right),\left(x_2,y_1\right),\left(x_2,y_2\right)\right\}.$

1.2. 张量积用来构造高阶张量:$v\otimes u\otimes M\to v^{\mu }{u}^{\nu }{M}_{\sigma }^{\rho }=T_{\sigma }^{\mu \nu \rho }.$

上面采用了 [Masaki Notation](https://zhuanlan.zhihu.com/p/311558501), 不懂什么是张量可参见 [附录A].

1.3. 在喀兴林书上[3]定义矩阵的张量积为:

下面只简单概括一下要点, 该做法当然至少可以安全地推广到任意有限维. $\left. \begin{align} & A=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right] \\ & B=\left[ \begin{matrix} e & f \\ g & h \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right\}\Rightarrow A\otimes B=\left[ \begin{matrix} aB & bB \\ cB & dB \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} ae & af & be & bf \\ ag & ah & bg & bh \\ ce & cf & de & df \\ cg & ch & dg & dh \\ \end{matrix} \right].$ $A=\left[ \begin{matrix} a \\ b \\ \end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\otimes B=\left[ \begin{matrix} aB \\ bB \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} ac \\ ad \\ bc \\ bd \\ \end{matrix} \right].$ $A=\left[ a,b \right],B=\left[ \begin{matrix} c \\ d \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow A\otimes B=\left[ aB,bB \right]=\left[ \begin{matrix} ac & bc \\ ad & bd \\ \end{matrix} \right].$$A=\left[ a,b \right],B=\left[ c,d \right]\Rightarrow A\otimes B=\left[ aB,bB \right]=\left[ ac,ad,bc,bd \right].$ 其实这个叫克罗内克积, 是张量积的一种特殊形式.

1.4. 直积和张量积有时区别不大:

比如我们现在在矢量空间上凭空定义两个括号 $\{\begin{array}{c}\left[\cdot ,\cdot \right]:V\otimes V\to V,\text{hfill}\\ ⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to V.\text{hfill}\end{array}$

则 $\left[\cdot ,\cdot \right]$ 必须是双线性的运算, 而 $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ 就不一定了.

因为上面的意思是对一个俩矢量的张量积进行映射, 张量积是自带线性性的. 而下面这个则是对俩矢量构成的有序对进行映射, 这并不附带什么线性要求.

2. 降维张量积

2.1. 降维张量积的定义:

那么, 虽然我们已经知道直积与张量积不是一回事了, 但老百姓口中的张量积和喀兴林书上的直积[[4]](#ref_4)是不是一回事呢? 答案是: 基本上是一回事, 且下面我们将论证这一点. 更具体来说咯先生书上的叫克罗内克积, 是张量积的一种特殊形式.

俩矩阵张量积完还是矩阵, 这真的是张量积吗?

本来俩 (1,1) 型张量进行张量积应该得到 (2,2) 型张量对吧? 但是你二维的纸上它写不出四维的玩意儿来, 所以我们把四维的矩阵平铺开摆在二维纸上. 就是说如果你想要在不损失信息的情况下降维度, 那么要付出的代价就是升阶数咯. $\overline{}$实际上对张量维度的限制是不必要的, 因为在具体基组[[5]](#ref_5)下张量等同于一个数列, 我们平时写出一个带有 $n$ 个字母指标的分量其实可以看作是这个 $n$ 维数列的通项. 张量作为 $n$ 维数列, 它的分量的具体排列顺序是不重要的, 因为不同排列间只差个相似变换. 所以别说把一个 (2,2) 型张量写成矩阵, 就算你写成一个列矢量也是没有任何问题的.

为了方便我们看出端倪, 这里采取更容易追踪的写法:

\left. \begin{align} & A=\left[ \begin{matrix} {A}^{1}_{1} & {A}^{1}_{2} \\ {A}^{2}_{1} & {A}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right] \\ & B=\left[ \begin{matrix} {B}^{1}_{1} & {B}^{1}_{2} \\ {B}^{2}_{1} & {B}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right] \\ \end{align} \right\}\Rightarrow C=A\otimes B=\left[ \begin{matrix} {A}^{1}_{1}{B}^{1}_{1} & {A}^{1}_{1}{B}^{1}_{2} & {A}^{1}_{2}{B}^{1}_{1} & {A}^{1}_{2}{B}^{1}_{2} \\ {A}^{1}_{1}{B}^{2}_{1} & {A}^{1}_{1}{B}^{2}_{2} & {A}^{1}_{2}{B}^{2}_{1} & {A}^{1}_{2}{B}^{2}_{2} \\ {A}^{2}_{1}{B}^{1}_{1} & {A}^{2}_{1}{B}^{1}_{2} & {A}^{2}_{2}{B}^{1}_{1} & {A}^{2}_{2}{B}^{1}_{2} \\ {A}^{2}_{1}{B}^{2}_{1} & {A}^{2}_{1}{B}^{2}_{2} & {A}^{2}_{2}{B}^{2}_{1} & {A}^{2}_{2}{B}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right].

让我们看看这个降维系数对应:

\left\{ \begin{gathered} {C^1}_1 = {C^{11}_{11}, \hfill \\ {C^1}_2 = {C^{11}_{12}, \hfill \\ {C^1}_3 = {C^{11}_{21}, \hfill \\ {C^1}_4 = {C^{11}_{22}, \hfill \\ \end{gathered} \right. \left\{ \begin{gathered} {C^2}_1 = {C^{12}_{11}, \hfill \\ {C^2}_2 = {C^{12}_{12}, \hfill \\ {C^2}_3 = {C^{12}_{21}, \hfill \\ {C^2}_4 = {C^{12}_{22}, \hfill \\ \end{gathered} \right. $\cdots$ 不难发现这个过程就是用阶进制数做了一个序列替代: $\left\{1\to 11,2\to 12,3\to 21,4\to 22\right\}$.

你一定发现了一个事实: 这样的降维操作应该不唯一罢.

确实, 但我们这里就和国际接轨, 取这样的约定, 事实上不同约定之间只差一个幺正变换.

最后你会在意的就是说, 降维张量积和老百姓张量积是否是一回事.

答案是可以是, 我们将在最后阐述这一点.

2.2. 用 Masaki Notation 来计算降维张量积:

下面将以二维矩阵为例观察一下这个表达效果.

记 $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)=EF$, 展开写就是: $\left[ \begin{matrix} {A}^{1}_{1}{B}^{1}_{1} & {A}^{1}_{1}{B}^{1}_{2} & {A}^{1}_{2}{B}^{1}_{1} & {A}^{1}_{2}{B}^{1}_{2} \\ {A}^{1}_{1}{B}^{2}_{1} & {A}^{1}_{1}{B}^{2}_{2} & {A}^{1}_{2}{B}^{2}_{1} & {A}^{1}_{2}{B}^{2}_{2} \\ {A}^{2}_{1}{B}^{1}_{1} & {A}^{2}_{1}{B}^{1}_{2} & {A}^{2}_{2}{B}^{1}_{1} & {A}^{2}_{2}{B}^{1}_{2} \\ {A}^{2}_{1}{B}^{2}_{1} & {A}^{2}_{1}{B}^{2}_{2} & {A}^{2}_{2}{B}^{2}_{1} & {A}^{2}_{2}{B}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right]\!\!\!\!\left[ \begin{matrix} {C}^{1}_{1}{D}^{1}_{1} & {C}^{1}_{1}{D}^{1}_{2} & {C}^{1}_{2}{D}^{1}_{1} & {C}^{1}_{2}{D}^{1}_{2} \\ {C}^{1}_{1}{D}^{2}_{1} & {C}^{1}_{1}{D}^{2}_{2} & {C}^{1}_{2}{D}^{2}_{1} & {C}^{1}_{2}{D}^{2}_{2} \\ {C}^{2}_{1}{D}^{1}_{1} & {C}^{2}_{1}{D}^{1}_{2} & {C}^{2}_{2}{D}^{1}_{1} & {C}^{2}_{2}{D}^{1}_{2} \\ {C}^{2}_{1}{D}^{2}_{1} & {C}^{2}_{1}{D}^{2}_{2} & {C}^{2}_{2}{D}^{2}_{1} & {C}^{2}_{2}{D}^{2}_{2} \\ \end{matrix} \right]\!\!\!=\!\!EF.$ 我们看看 ${\left(EF\right)}_3^2$ 的表达式: ${\left(EF\right)}_3^2=A_1^1{B}_1^2{C}_2^1{D}_1^1+A_1^1{B}_2^2{C}_2^1{D}_1^2+A_2^1{B}_1^2{C}_2^2{D}_1^1+A_2^1{B}_2^2{C}_2^2{D}_1^2.$ 总结一下就是 ${\left(EF\right)}_3^2=A_{\rho }^1{B}_{\sigma }^2{C}_2^{\rho }{D}_1^{\sigma }$, 这里当然也采用了重复指标求和. 这和前面的阶进制数序列替代 $\left\{1\to 11,2\to 12,3\to 21,4\to 22\right\}$ 是一致的. 因为 {\left( {EF} \right)^2}_3 \to {\left( {EF} \right)^{12}_{21} = {A^1}_\rho {B^2}_\sigma {C^\rho }_2{D^\sigma }_1. 推广到一般就是 ${\left(EF\right)}_{\rho \sigma }^{\mu \nu }\equiv A_{\tau }^{\mu }{B}_{\eta }^{\nu }{C}_{\rho }^{\tau }{D}_{\sigma }^{\eta }.$ 而我们知道 $EF=\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right).$$\overline{}$ 这样一来我们就有结论: ${\left[ \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }\equiv {\left( EF \right)}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }\equiv {A}^{\mu }_{\tau }{B}^{\nu }_{\eta }{C}^{\tau }_{\rho }{D}^{\eta }_{\sigma }.$ 其中 $E,F$ 都是 (2,2) 型张量, 就是说: ${\left(EF\right)}_{\rho \sigma }^{\mu \nu }=E_{\tau \eta }^{\mu \nu }{F}_{\rho \sigma }^{\tau \eta }.$即 ${\left[ \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }={\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\tau \eta }{\left( C\otimes D \right)}^{\tau \eta }_{\rho \sigma }.$ 结合第一条就是还要求有 ${\left(A\otimes B\right)}_{\tau \eta }^{\mu \nu }=A_{\tau }^{\mu }{B}_{\eta }^{\nu }.$

综上所述, 我们可以采用如下约定来计算降维升阶的喀式矩阵张量积:

$\left\{ \begin{align} & {A}^{\mu }_{\rho }{B}^{\nu }_{\sigma }\equiv {\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }, \\ & {\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\tau \eta }{\left( C\otimes D \right)}^{\tau \eta }_{\rho \sigma }\equiv {\left[ \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }. \\ \end{align} \right.$

2.3. 降维张量积的具体计算实例:

学过群论的同志一定知道降维张量积满足关系 $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)=\left(AC\right)\otimes \left(BD\right).$

然而我看好像不少书为了证明这一点都大费口舌.

其实只要使用无敌的 Masaki Notation 就可以轻松愉快地证明这一点:

首先要意识到这四个都是 (2,2) 型张量: \left\{ \begin{align} & \left( AC \right)\otimes \left( BD \right)\to {T}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }, \\ & \left( A\otimes B \right)\to {E}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }, \\ & \left( C\otimes D \right)\to {F}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }, \\ & \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right)\to {M}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }. \\ \end{align} \right. 然后采用我们降维张量积的指标计算约定: $\left\{ \begin{align} & {\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }={A}^{\mu }_{\rho }{B}^{\nu }_{\sigma } \\ & {\left[ \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }={\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\tau \eta }{\left( C\otimes D \right)}^{\tau \eta }_{\rho \sigma } \\ \end{align} \right.$.即 $\left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right)\to {\left[ \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }$$\equiv {\left(A\otimes B\right)}_{\tau \eta }^{\mu \nu }{\left(C\otimes D\right)}_{\rho \sigma }^{\tau \eta }$$\equiv A_{\tau }^{\mu }{B}_{\eta }^{\nu }{C}_{\rho }^{\tau }{D}_{\sigma }^{\eta }$$=A_{\tau }^{\mu }{C}_{\rho }^{\tau }{B}_{\eta }^{\nu }{D}_{\sigma }^{\eta }$$={\left(AC\right)}_{\rho }^{\mu }{\left(BD\right)}_{\sigma }^{\nu }$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\left[ \left( AC \right)\otimes \left( BD \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }\to \left( AC \right)\otimes \left( BD \right).$

一下就证明完了, 很牛啤对吧?

2.4. 降维张量积和老百姓张量积可以是一回事:

其实如果你永远只采取指标运算的话, 根本不会碰上这种问题.

为什么我们说可以是一回事呢?

因为这要取决于你如何定义运算 $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right).$ 一个极其自然的定义就是 $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)\equiv \left(AC\right)\otimes \left(BD\right).$ 那如果你这样定义这个运算的话翻译成指标运算就是: $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)\to A_{\nu }^{\mu }{B}_{\sigma }^{\rho }{C}_{\tau }^{\nu }{D}_{\eta }^{\sigma }.$ 因为这样就有: $A_{\nu }^{\mu }{B}_{\sigma }^{\rho }{C}_{\tau }^{\nu }{D}_{\eta }^{\sigma }={\left(AC\right)}_{\tau }^{\mu }{\left(BD\right)}_{\eta }^{\rho }\to \left(AC\right)\otimes \left(BD\right).$

而降维张量积的运算约定为:

$\left\{ \begin{align} & {\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }={A}^{\mu }_{\rho }{B}^{\nu }_{\sigma }, \\ & {\left[ \left( A\otimes B \right)\left( C\otimes D \right) \right]}^{\mu \nu }_{\rho \sigma }={\left( A\otimes B \right)}^{\mu \nu }_{\tau \eta }{\left( C\otimes D \right)}^{\tau \eta }_{\rho \sigma }. \\ \end{align} \right.$ 这意味着 $\left(A\otimes B\right)\left(C\otimes D\right)\to A_{\tau }^{\mu }{B}_{\eta }^{\nu }{C}_{\rho }^{\tau }{D}_{\sigma }^{\eta }.$

我们能看到二者是相容的, 所以这样的约定就可以让我们日后对二者不做任何区分.

这里的名字都是我瞎起的, 本文的喀式克罗内克积也只是一个平平无奇的例子罢了. 理论上你碰到任何人定义的任何形式的张量运算都可以像我这样先给它翻译成指标运算然后再生成一套等效的指标定义, 接着你就可以尽情地指标运算了, 这会灵活很多, 算出的结果再给它翻译回去就是了.

[附录A] 张量的初级理解

我删了, 没有什么初级理解, 你要想搞懂就老老实实去看下文:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/356975719你要不想搞懂就当它事矩阵就好了.

参考

• ^通过瞎寄吧造词的做法.
• ^其实就是克罗内克积, 如果你听过的话.
• ^他管这个叫直积, 这是不好的.
• ^写作直积读作张量积.
• ^线性空间一定能找到一组标准正交基.