[张量系列DLC] 多层内积空间与泡利矩阵 (Pauli matrices) 的运算性质

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/340171183
• 发布日期: 2021-01-02
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

本文是基于 Masaki Notation 的一篇 DLC, 不过只要你懂任何一种指标运算就肯定看得懂.

主要是终于终于终于写到李群了, 作为生成元之一的泡利矩阵的相关知识自然要提前预备好.

有时候算着算着可能会出来很多 Levi-Civita 符号, 这个时候建议参阅 [DLC].

btw 封面给出来的就是三个最好用的关系式.

目録

1. 多层空间

1.1. 第一层 1.2. 第二层 1.3. 举两例

2. 泡利矩阵 (Pauli matrices)

2.1. 三个泡利矩阵的定义 2.2. 泡利矩阵的基础性质 2.4. 泡利矩阵的指数表示

[附录A] 为何${\mathbf{\sigma }}_b{\sigma }_a$无需再取转置?

1. 多层空间

之前研究的都是简单的单层空间内的运算, 现在开始就是要进行两层内积空间的运算了.

1.1. 第一层:

通常都是良定义的有物理本质的矢量空间, 数域也很确定 (一般是复数域).

比如说希尔伯特空间或者群的表示空间.

1.2. 第二层:

一般是为了简化计算强行人工构造的实矩阵空间, 基就是矩阵空间正交基向量.

这个空间中的张量的系数通常是第一层空间的矢量或张量. ┣ 比如说 [[DLC]](https://zhuanlan.zhihu.com/p/331738362) 中开头提到的量子力学矢量算符及其本征值所处的空间. ┣ 比如说那些用泡利矩阵作为 $2\times 2$ 复矩阵基底的空间, 在这里复矩阵是系数. ┗ 为了方便, 后面还有第三层第四层空间也完全是有可能的, 但都和第二层本质上差不多.

总之人工捏造的空间基本上都有 $v^a{u}_a\equiv v_a{u}^a$ 即矢量和对偶矢量分量是一模一样的.

1.3. 举两例:

(1). 先有动量算符 $P_x,P_y,P_z$, 它是希尔伯特空间的线性变换, 也可以说是张量, 矩阵.

然后在这个基础上, 我们为了计算方便会构造矢量 $\vec{P}=\left[ \begin{matrix} {P}^{1} \\ {P}^{2} \\ {P}^{3} \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{a}{P}^{a}{\vec{e}_{a}.$┗ 其中系数 $\left\{ \begin{align} & {P}^{1}={P}_{x}, \\ & {P}^{2}={P}_{y}, \\ & {P}^{3}={P}_{z} \\ \end{align} \right.$, 而基矢就是 $\left\{ \begin{align} & {\vec{e}_{1}={\left[ 1,0,0 \right]}^{\text{T}, \\ & {\vec{e}_{2}={\left[ 0,1,0 \right]}^{\text{T}, \\ & {\vec{e}_{3}={\left[ 0,0,1 \right]}^{\text{T}. \\ \end{align} \right.$

(2). 先有一个 qubit 空间, 确定表象下里面的任意算符都可以表示为 $2\times 2$ 复矩阵.

然后在这个基础上我们为了方便计算会用泡利矩阵来展开这个空间的矩阵: ┣ 即 $M=\alpha 1_{2\times 2}+\sum _{a=1}^3{\beta }^a{\sigma }_a$, 我们仍可以采取重复指标求和: $M=\alpha 1_{2\times 2}+{\beta }^a{\sigma }_a.$ ┣ 你可以说矢量 $M=\left(\alpha ,{\beta }^1,{\beta }^2,{\beta }^3\right)$ , 基矢为 $\left\{{\sigma }_0,{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\right\}$, 其中 ${\sigma }_0=1_{2\times 2}.$ ┗ 那这个明明是矩阵的 $M$ 在以泡利矩阵为基矢的第二层空间里就被视为矢量了. 或者你也可以认为是三维空间, $M$ 是系数, $1_{2\times 2}$ 也是系数, 我们后面主要采取这种观点吧. ┣ 然后 \vec{\beta }=\sum\limits_{a=1}^{3}{\beta }^{a}{\vec{e}_{a} 与 \vec{\sigma }=\sum\limits_{a=1}^{3}{\sigma }^{a}{\vec{e}_{a} 就是俩矢量, 其中 \left\{ {\vec{e}_{1},{\vec{e}_{2},{\vec{e}_{3} \right\} 是空间基矢. ┗ 这个矢量空间是人工捏造的, 也是一种第二层空间, 其实怎么看都随你便啦.

2. 泡利矩阵(Pauli matrices)

2.1. 三个泡利矩阵的定义:

通常我们都在 ${\sigma }_3$ 的本征矢作为基矢的表象下写出它们的对应矩阵:

${\sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}0& -\mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right],{\sigma }_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$, 一般记作 ${\sigma }_a$, $a\in \left\{1,2,3\right\}.$

与 ${1}_{2\times 2}$ 一起是完备的: $\left\{ \begin{align} & {1}_{2\times 2}+{\sigma }_{3}=\left[ \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right], \\ & {1}_{2\times 2}-{\sigma }_{3}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{matrix} \right], \\ \end{align} \right.$ $\left\{ \begin{align} & {\sigma }_{1}+i{\sigma }_{2}=\left[ \begin{matrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right], \\ & {\sigma }_{1}-i{\sigma }_{2}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \\ \end{matrix} \right]. \\ \end{align} \right.$有时有人还会记 ${\sigma }_{0}={1}_{2\times 2}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$, 但三维空间我很少这样搞, 这太怪了.

2.2. 泡利矩阵的基础性质:

(1). 厄米性: ${\sigma }_a^{†}={\sigma }_a.$

(2). 无迹性: $\text{tr}{\sigma }_a=0.$

(3). 行列式的值: $\left|{\sigma }_a\right|=-1.$

(4). 那个性质: ${\sigma }_a{\sigma }_b=\mathrm{i}{\epsilon }_{ab}^c{\sigma }_c+{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}.$

这个性质的信息量很大, 它整合了下述三条性质[[1]](#ref_1): ┣ ①. 自逆性: ${\left({\sigma }_a\right)}^2={\sigma }_a{\sigma }_a=1_{2\times 2}.$┣ ②. 对易关系: $\left[ {\sigma }_{a},{\sigma }_{b} \right]={\sigma }_{a}{\sigma }_{b}-{\sigma }_{b}{\sigma }_{a}=2{\rm i}{\varepsilon }_{ab}^{c}{\sigma }_{c}.$ ┗ ③. 反对易关系: $\left\{{\sigma }_a,{\sigma }_b\right\}={\sigma }_a{\sigma }_b+{\sigma }_b{\sigma }_a=2{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}.$#如果你觉得对易与反对易关系里面的 ${\sigma }_{b}{\sigma }_{a}$ 要加个转置请参见 **[附录 A]**[[2]](#ref_2).

2.3. 泡利矩阵的推论性质:

(1). 完备性: $M=\frac{\text{tr}M}{2}{1}_{2\times 2}+\frac{\text{tr}\left(M{\sigma }^a\right)}{2}{\sigma }_a$, $M$ 为任意 $2\times 2$ 复矩阵.

确定 $M=\alpha 1_{2\times 2}+{\beta }^a{\sigma }_a$ 中的展开系数: ┣ $\text{tr}M=\alpha \text{tr}\left(1_{2\times 2}\right)+{\beta }^{\alpha }\text{tr}{\sigma }_a\Rightarrow \alpha =\frac{1}{2}\text{tr}M$ ┣ $\text{tr}\left(M{\sigma }_b\right)=\alpha \text{tr}\left({\sigma }_b\right)+{\beta }^a\text{tr}\left({\sigma }_a{\sigma }_b\right)$ ┣ $={\beta }^a\text{tr}\left(\mathrm{i}{\epsilon }_{ab}^c{\sigma }_c+{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}\right)$ ┗ $=2{\beta }^a{\delta }_{ab}\Rightarrow {\beta }_b=\frac{1}{2}\text{tr}\left(M{\sigma }_b\right)\Rightarrow {\beta }^a=\frac{1}{2}\text{tr}\left(M{\sigma }^a\right).$

(2). 完备性关系式: ${\left({\sigma }_a\right)}_{\nu }^{\mu }{\left({\sigma }^a\right)}_{\sigma }^{\rho }=2{\delta }_{\sigma }^{\mu }{\delta }_{\nu }^{\rho }-{\delta }_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\sigma }^{\rho }$[3].

其实这个式子就是把 $M=\frac{\text{tr}M}{2}{1}_{2\times 2}+\frac{\text{tr}\left(M{\sigma }^a\right)}{2}{\sigma }_a$ 写成分量式: ┣ 即 $M_{\nu }^{\mu }=\frac{1}{2}{M}_{\sigma }^{\sigma }{\delta }_{\nu }^{\mu }+\frac{1}{2}{\left(M{\sigma }^a\right)}_{\sigma }^{\sigma }{\left({\sigma }_a\right)}_{\nu }^{\mu }.$ ┣ $\Rightarrow M_{\rho }^{\sigma }{\delta }_{\sigma }^{\mu }{\delta }_{\nu }^{\rho }=\frac{1}{2}{M}_{\rho }^{\sigma }{\delta }_{\sigma }^{\rho }{\delta }_{\nu }^{\mu }+\frac{1}{2}{M}_{\rho }^{\sigma }{\left({\sigma }^a\right)}_{\sigma }^{\rho }{\left({\sigma }_a\right)}_{\nu }^{\mu }.$ ┣ $\Rightarrow 2{\delta }_{\sigma }^{\mu }{\delta }_{\nu }^{\rho }={\delta }_{\sigma }^{\rho }{\delta }_{\nu }^{\mu }+{\left({\sigma }^a\right)}_{\sigma }^{\rho }{\left({\sigma }_a\right)}_{\nu }^{\mu }.$ ┗ $\Rightarrow {\left({\sigma }_a\right)}_{\nu }^{\mu }{\left({\sigma }^a\right)}_{\sigma }^{\rho }=2{\delta }_{\sigma }^{\mu }{\delta }_{\nu }^{\rho }-{\delta }_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\sigma }^{\rho }.$ 如果 ${\sigma }_0=1_{2\times 2}$ 加入战场, 使得 $a$ 取值范围变为 $0123$ 的话, ┣ 式子可化为 ${\left({\sigma }_a\right)}_{\nu }^{\mu }{\left({\sigma }^a\right)}_{\sigma }^{\rho }=2{\delta }_{\sigma }^{\mu }{\delta }_{\nu }^{\rho }.$ ┣ 这是因为 ${\left({\sigma }_0\right)}_{\nu }^{\mu }{\left({\sigma }^0\right)}_{\sigma }^{\rho }={\delta }_{\nu }^{\mu }{\delta }_{\sigma }^{\rho }.$ ┗ 我觉得这很怪, 所以很少这样写, 这里写出来就是方便大家记忆指标排布.

(3). 老感觉很有用但好像没怎么用过的性质: $-\mathrm{i}{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3={\sigma }_a{\sigma }_a=1_{2\times 2}.$

这个就事 $-\mathrm{i}{\sigma }_1{\sigma }_2{\sigma }_3=-\mathrm{i}\left(\mathrm{i}{\epsilon }_{12}^3{\sigma }_3\right){\sigma }_3$ 罢.

(4). 与叉乘的关系: $\left(\vec{\alpha }\cdot \vec{\sigma }\right)\left(\vec{\beta }\cdot \vec{\sigma }\right)=\mathrm{i}\left(\vec{\alpha }\times \vec{\beta }\right)\cdot \vec{\sigma }+\left(\vec{\alpha }\cdot \vec{\beta }\right)1_{2\times 2}.$

这是很无聊的一个式子, 如果你看过 [[DLC]](https://zhuanlan.zhihu.com/p/331738362) 那就很显然了: ┣ 两条常识: \left\{ \begin{align} & \vec{\alpha }\times \vec{\beta }\to {\varepsilon }_{ab}^{c}{\alpha }^{a}{\beta }^{b}, \\ & \left( \vec{\alpha }\times \vec{\beta } \right)\cdot \vec{\gamma }={\varepsilon }_{ab}^{c}{\alpha }^{a}{\beta }^{b}{\gamma }_{c}. \\ \end{align} \right. ┣ 结合结论 ${\sigma }_a{\sigma }_b=\mathrm{i}{\epsilon }_{ab}^c{\sigma }_c+{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}.$ ┗ 不用我多说了罢: ${\alpha }^a{\beta }^b{\sigma }_a{\sigma }_b={\alpha }^a{\beta }^{b}i{\epsilon }_{ab}^c{\sigma }_c+{\alpha }^a{\beta }^b{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}.$

(5). trace 结论大全: \left\{ \begin{align} & \text{tr}{\sigma }_{a}=0, \\ & \text{tr}\left( {\sigma }_{a}{\sigma }_{b} \right)=2{\delta }_{ab}, \\ & \text{tr}\left( {\sigma }_{a}{\sigma }_{b}{\sigma }_{c} \right)=2{\rm i}{\varepsilon }_{abc}, \\ & \text{tr}\left( {\sigma }_{a}{\sigma }_{b}{\sigma }_{c}{\sigma }_{d} \right)=2\left( {\delta }_{ab}{\delta }_{cd}-{\delta }_{ac}{\delta }_{bd}+{\delta }_{ad}{\delta }_{bc} \right). \\ \end{align} \right.

用法无非就是: \left\{ \matrix{ {\rm{tr}\left( {X_a}{\sigma ^a}{Y^b}{\sigma _b} \right) = {X_a}{Y^b}2{\delta ^a}_b = 2\vec X \cdot \vec Y, \hfill \cr {\rm{tr}\left( {X^a}{\sigma _a}{Y^b}{\sigma _b}{Z_c}{\sigma ^c} \right) = 2{\rm i}{\varepsilon _{ab}^c{X^a}{Y^b}{Z_c} = 2{\rm i}\left( {\vec X \times \vec Y} \right) \cdot \vec Z. \hfill \cr} \right. ┣ 我示范下如何证明第三条: ┣ $\text{tr}\left( {\sigma }_{a}{\sigma }_{b}{\sigma }_{c} \right)=\text{tr}\left[ \left({\rm i}{\varepsilon }_{ab}^{d}{\sigma }_{d}+{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2} \right){\sigma }_{c} \right]$┣ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\text{tr}\left[ {\rm i}{\varepsilon }_{ab}^{d}{\sigma }_{d}{\sigma }_{c}+{\delta }_{ab}{\sigma }_{c} \right]$┣ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\text{tr}\left[ {\rm i}{\varepsilon }_{ab}^{d}\left({\rm i}{\varepsilon }_{dc}^{e}{\sigma }_{e}+{\delta }_{dc}{1}_{2\times 2} \right)+{\delta }_{ab}{\sigma }_{c} \right]$ ┣ $=\text{tr}\left(\mathrm{i}{\epsilon }_{ab}^d\mathrm{i}{\epsilon }_{dc}^e{\sigma }_e+\mathrm{i}{\epsilon }_{ab}^d{\delta }_{dc}{1}_{2\times 2}+{\delta }_{ab}{\sigma }_c\right)$ ┣ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\rm i}{\varepsilon }_{ab}_{c}\text{tr}\left( {1}_{2\times 2} \right)=2{\rm i}{\varepsilon }_{abc}. ┗ 其实都是些很简单的东西.

(6). 还有一些杂七杂八乱七八糟怪浪怪浪的性质, 你根本没必要了解.

就用我们这个完美的记号配合前面的结论, 这些都可以很简单地五秒甚至七秒内推出来.

2.4. 泡利矩阵的指数表示:

这玩意在整类似于旋转之类的操作时会经常碰到, 简洁起见我们就一次性证三个式子:

\begin{align} & {\rm e}^{\rm i}\omega \left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right)}=\sum\limits_{m=0}{\frac{\left[{\rm i}\omega \left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right) \right]}^{m}{m!} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{m=0}{\frac{\left[ {\rm i}\omega \left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right) \right]}^{2m}{\left( 2m \right)!}+\sum\limits_{m=0}{\frac{\left[ {\rm i}\omega \left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right) \right]}^{2m+1}{\left( 2m+1 \right)!} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{m=0}{\left( -1 \right)}^{m}\frac{\left( \omega {n}^{a}{\sigma }_{a} \right)}^{2m}{\left( 2m \right)!}+{\rm i}\sum\limits_{m=0}{\left( -1 \right)}^{m}\frac{\left( \omega {n}^{a}{\sigma }_{a} \right)}^{2m+1}{\left( 2m+1 \right)!}.} \\ \end{align}

这里我们发现 ${\left(\vec{n}\cdot \vec{\sigma }\right)}^2={\left(n^a{\sigma }_a\right)}^2=n^a{\sigma }_a{n}^b{\sigma }_b=n^a{n}^b{\sigma }_a{\sigma }_b.$ ┣ 其中 ${\sigma }_a{\sigma }_b=\left(i{\epsilon }_{ab}^c{\sigma }_c+{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}\right),$ ┣ 就有 ${\left(\vec{n}\cdot \vec{\sigma }\right)}^2=n^a{n}^b\left(i{\epsilon }_{ab}^c{\sigma }_c+{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}\right),$ ┣ 而 ${\epsilon }_{ab}^c{n}^a{n}^b={\epsilon }_{ba}^c{n}^b{n}^a=-{\epsilon }_{ab}^c{n}^b{n}^a\Rightarrow {\epsilon }_{ab}^c{n}^a{n}^b=0,$ ┗ 所以最终就有 ${\left(\vec{n}\cdot \vec{\sigma }\right)}^2=n^a{n}^b{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}=n^a{n}_a{1}_{2\times 2}=1_{2\times 2}.$

使用上面的结果式子可化为:

\begin{align} & {\rm e}^{\rm i}\omega \left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right)}=\sum\limits_{m=0}{\left( -1 \right)}^{m}\frac{\left( \omega {n}^{a}{\sigma }_{a} \right)}^{2m}{\left( 2m \right)!}+{\rm i}\sum\limits_{m=0}{\left( -1 \right)}^{m}\frac{\left( \omega {n}^{a}{\sigma }_{a} \right)}^{2m+1}{\left( 2m+1 \right)!} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{m=0}{\left( -1 \right)}^{m}\frac{\omega }^{2m}\cdot {1}_{2\times 2}{\left( 2m \right)!}+{\rm i}\sum\limits_{m=0}{\left( -1 \right)}^{m}\frac{\omega }^{2m+1}{n}^{a}{\sigma }_{a}{\left( 2m+1 \right)!} \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={1}_{2\times 2}\cos \omega +{\rm i}{n}^{a}{\sigma }_{a}\sin \omega . \\ \end{align}

所以我们就得到结论 {\rm e}^{\rm i}\omega \left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right)}={1}_{2\times 2}\cos \omega +{\rm i}\left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right)\sin \omega.

[附录 A] 为何 ${\mathbf{\sigma }}_b{\sigma }_a$ 无需再取转置?

这个问题有点黑话, 主要是我们以前在使用箭头矢量符号运算时碰到这样一个问题 東雲正樹：矢量算符的对易子中的乘积究竟是什么运算? 最后结论是:

式子 $R^{\mu }{P}_{\nu }-P_{\nu }{R}^{\mu }=\mathrm{i\hslash }{\delta }_{\nu }^{\mu }$ 中三项指标分别为 {^{\mu }_{\nu },{\ }_{\nu }^{\mu },{\ }^{\mu }_{\nu }. ┣ 于是若要翻译为矩阵式的话, 中间那项翻译为矩阵之后应该取一个转置, 以保证形式一致. ┗ 即$\left[ \vec{R},\vec{P} \right]=\vec{R}\vec{P}-{\left( \vec{P}\vec{R} \right)}^{\text{T}=i\hbar {1}_{3\times 3}.$ 而我们这里的是 $\left\{{\sigma }_a,{\sigma }_b\right\}={\sigma }_a{\sigma }_b+{\sigma }_b{\sigma }_a=2{\delta }_{ab}{1}_{2\times 2}$, 并没有翻译成矩阵. ┣ 后面那个矩阵 $1_{2\times 2}$ 是希尔伯特空间的矩阵, 与 ${\sigma }_a$ 一样在第二层空间里只是一个系数. ┣ 按照前面的思路翻译成矩阵的话就是 \left\{ \vec{\sigma },\vec{\sigma } \right\}=\vec{\sigma }\vec{\sigma }+{\left( \vec{\sigma }\vec{\sigma } \right)}^{\text{T}=\left( 2\cdot {1}_{2\times 2} \right){1}_{3\times 3}. ┣ 矩阵形式如下所示: ┣ $\left[ \begin{matrix} {\sigma }_{1}{\sigma }_{1} & {\sigma }_{1}{\sigma }_{2} & {\sigma }_{1}{\sigma }_{3} \\ {\sigma }_{2}{\sigma }_{1} & {\sigma }_{2}{\sigma }_{2} & {\sigma }_{2}{\sigma }_{3} \\ {\sigma }_{3}{\sigma }_{1} & {\sigma }_{3}{\sigma }_{2} & {\sigma }_{3}{\sigma }_{3} \\ \end{matrix} \right]\!\!+\!\!\left[ \begin{matrix} {\sigma }_{1}{\sigma }_{1} & {\sigma }_{2}{\sigma }_{1} & {\sigma }_{3}{\sigma }_{1} \\ {\sigma }_{1}{\sigma }_{2} & {\sigma }_{2}{\sigma }_{2} & {\sigma }_{3}{\sigma }_{2} \\ {\sigma }_{1}{\sigma }_{3} & {\sigma }_{2}{\sigma }_{3} & {\sigma }_{3}{\sigma }_{3} \\ \end{matrix} \right]\!\!=\!2\!\!\left[ \begin{matrix} {1}_{2\times 2} & 0 & 0 \\ 0 & {1}_{2\times 2} & 0 \\ 0 & 0 & {1}_{2\times 2} \\ \end{matrix} \right]\!\!.$┗ 应该解释的很清楚了, 如果你觉得 (0,2) 型张量无法写成矩阵的话请参阅 [[DLC]](https://zhuanlan.zhihu.com/p/339120822). 其实没啥混乱的, 你要意识到作为第一层的复希尔伯特空间是根本不可能涉及转置操作的.

参考

• ^这条性质就是由下面的 ② + ③ 得到的.
• ^如果你没这个想法就也不用专门过去看一眼了.
• ^注意这里希腊指标都没出现重复反而拉丁字母指标 a 全范围求和了.