群论 (Group Theory) 终极速成 李群 (Lie group) 的定义与常见李群

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/340870993
• 发布日期: 2021-01-03
• 分类: 群论 / 表示论

序言

终于到这儿了, 你的群论终于快能派上用场了, 我老早就想讲李群了, 奈何前面的铺垫都是不可或缺的. 然后到这儿我又发现吧, 草, 流形还无定义呢. 那怎么办? 我反正是不可能再铺垫这些了, 毕竟是火箭级终极速成嘛, 该砍的全砍掉, 目的就是最快地使自己能看懂文献中的那一大堆李群相关的东西. 所以流形这块儿朦朦胧胧地跟我感受一下就行了, 有需要的话再自己去补充相关理论.

目録

7. 李群 (Lie group) 的定义与常见李群

7.1. 一句话概括 7.2. 常见李群

8. 浅谈$\text{SU}\left(2\right)$ 与生成元的概念

8.1. $\text{SU}\left(2\right)$ 的基本概念 8.2. $\text{SU}\left(2\right)$ 的几何描述与泡利矩阵表达 8.3. $\text{SU}\left(2\right)$ 中的共轭类 8.4. 李群中的单参子群与生成元的概念

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7. 李群 (Lie group) 的定义与常见李群

7.1. 一句话概括:

✦ A Lie group is a group which is also a manifold that satisfying the following two conditions: (1) 群乘映射$G\times G\to G$is{\text{C}^{\infty }, (2) 求逆映射$G\to G$is{\text{C}^{\infty }.

这句话在国内算是终极洗脑了对吧? 翻译过来就是说李群是个群, 它同时又是满足群乘法与求逆两个映射无穷阶可导的流形. $\overline{}$ 我们这里提到的流形本质都是实流形, 哪怕群元的参数中有虚数, 它对应的流形也是实流形. 其实复流形或可说是偶数维实流形加了复结构[[1]](#ref_1), 哎三言两语解释不清, 先不提这个.

是什么意思呢? 这里比较棘手, 我不可能再从定义开集到流形走一遍, 大家跟着我感受一下就好.

就是说呢, 李群它是个群, 是个无限群, 是个连续群, 你先认定他本质是群肯定没错. 群里边儿有群元, 我们将群元看作一个点, 这个点可以由 $n$ 个参数确定, 那么你也可以想到这个点会随着参数跑动, 点动成线, 线动成面··· 依此类推, 群元将构成一个 $n$ 维空间, 比如说一条参数曲线就是一维空间嘛. 而我们将给这个 $n$ 维空间一个全新的名字 -- 流形. $\overline{}$ 有点儿感觉了吧? 这就是流形, 以前的曲线曲面都是流形, 三维欧几里得空间也是流形. 那我们现在也可以说李群它本质上是个满足那俩条件的流形, 所以还可以讨论李群的形状. 没啥想讲的了, 以上就是无敌不严谨但直观的解释, 将来我们还会在李群上积分, 所以说认识到它是一个流形 (歪七扭八的空间) 还是很重要的.

反正流形就是一块儿歪七扭八的 $n$ 维几何体或空间, 现在介绍一下 $n$ 连通的概念.

所谓连通流形, 就是其中任意俩点都可以通过流形中一条曲线相连的流形. 连通流形又叫 $0$ 连通流形. 所谓 $1$ 连通[[2]](#ref_2)流形就是其中任何一条闭合曲线都可以通过连续形变缩成一个点的流形[[3]](#ref_3). 所谓 $2$ 连通流形就是其中任何一个二维闭合曲面都可以通过连续形变缩成一个点的流形. 以此类推可以有 $n$ 连通流形的概念. $\overline{}$ 如果一个流形不连通, 那就说明这个流形起码分了两坨, 其中每一坨都称为一个连通分支.

✦ 紧致 (compact) 流形:

所谓紧致, 就是我们不会严格用到的那种概念, 但很多地方我都会提一下紧致性, 紧致很好. 紧致是一个拓扑学概念, 你只要模模糊糊地认为是「有限」的意思就好了. 比如说一条实数轴就是不紧致的, 但假如它绕一圈又回来了, 成了一个圆环就紧致了.

其实关于拓扑空间和流形这一块儿里边儿还是大有说道的, 比如呢? 不告诉你哈哈.

✦ 李群的维度被定义为其对应流形的维度.

李代数作为相应李群在恒等元处的切空间, 自然有李代数的维度等于相应李群的维度[[4]](#ref_4).

✦ 李群同态与李群同构是比群同态与群同构要求更高一些的[5].

高就高在李群本质也是流形, 所以李群同态是在群同态映射的基础上要求映射光滑. 李群同构是在群同构映射的基础上要求正与逆映射光滑, 即同时是流形之间的微分同胚.

✦ 如果把加法看作群乘法的话, 实数域 $\mathbb{R}$ 本身就是一个一维的阿贝尔李群.

✦ 李群的子群不一定是一个李群噢, 比如说 $\mathbb{Z}\in \mathbb{R}$ 是 $\mathbb{R}$ 的子群但 $\mathbb{Z}$ 并不是李群.

如果这个子群同时还是原李群的子流形, 那它就也是李群, 称为李子群.

7.2. 常见李群:

下面我们将一口气把常见的李群都先列出来, 以后再慢慢讨论它们的性质.

✦ 一般线性群 (general linear group):

\begin{align} & \text{GL}\left( V \right)\equiv \left\{ T\ |\ T:V\to V,T\ 可逆 \right\} \\ & \text{GL}\left( n,\mathbb{R} \right)\equiv \left\{ {所有的\ n\times n\ 可逆实矩阵} \right\} \\ & \text{GL}\left( n,\mathbb{C} \right)\equiv \left\{ {所有的\ n\times n\ 可逆复矩阵} \right\} \\ \end{align}

老朋友了, $V$ 指矢量空间, $\text{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 是非连通流形, 而 $\text{GL}\left(n,\mathbb{C}\right)$ 连通. 不连通的是因为不存在 $\det T=0$ 的点来连通 $\det T$ 大于零与小于零的两个连通分支. $\overline{}$$\text{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 当然是 $n^2$ 维李群, $\text{GL}\left(n,\mathbb{C}\right)$ 则是 $2n^2$ 维李群. $\overline{}$ 然而也可以说 $\text{GL}\left(n,\mathbb{C}\right)$ 是 $n^2$ 维复数李群, 一般不强调复数就是实数. 记作 \dim\text{GL}\left( n,\mathbb{R} \right)={n}^{2},\ \dim\text{GL}\left( n,\mathbb{C} \right)=2{n}^{2},\ {\dim}_{\mathbb{C}\text{GL}\left( n,\mathbb{C} \right)={n}^{2}. $\overline{}$$\text{GL}\left(n,\mathbb{R}\right)$ 对应的李代数中的元素就是纯粹的没有任何限制条件的 $n\times n$ 实阵. $\text{GL}\left(n,\mathbb{C}\right)$ 对应的李代数中的元素就是纯粹的没有任何限制条件的 $n\times n$ 复阵.

✦ 正交群 (orthogonal group):

\underbrace{\text{O}\left( n \right)\equiv \left\{ Q\ |\ Q\in \text{GL}\left( n,\mathbb{R} \right),{Q}^{\text{T}Q={1}_{n\times n} \right\}_{\dim\text{O}\left( n \right)=n\left( n-1 \right)/2}

我们一般都默认正交群是实数域上的, 但确实可以类似地定义其它数域上的正交群. $\text{O}\left(n\right)$ 对应的李代数中的元素是 $n\times n$ 反称方阵, 既满足 {A}^{\text{T}=-A 的方阵.

✦ 不定正交群 (indefinite orthogonal group):[6]

\underbrace{\text{O}\left( p,q \right)\equiv \left\{ \Lambda \ |\ \Lambda \in \text{GL}\left( p+q,\mathbb{R} \right){\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={\eta }_{\rho \sigma } \right\}_{\dim\text{O}\left( p,q \right)=\left( p+q \right)\left( p+q-1 \right)/2\ }

$\text{where}\text{metric}\text{tensor matrix}\eta =\text{diag}(\underset{共p个}{\underbrace{1,\cdots ,1}},\underset{共q个}{\underbrace{-1,\cdots ,-1}})$.

一直藏着掖着的这个被称之为度规的 $\eta$ 还是要搬出来 (悲. 不详谈, 就把度规定义为升降指标的工具吧, 即 {\eta }_{\mu \nu }{T}^{\rho \mu \sigma }_{\tau }={T}^{\rho }{_{\nu }^{\sigma }_{\tau }. 你会发现度规可以联系矢量空间与对偶矢量空间 ${\eta }_{\mu \nu }{\alpha }^{\mu }={\alpha }_{\nu }$, 所以理论上我们总可以用内积的概念来刻画度规 (不[深究](https://zhuanlan.zhihu.com/p/356975719)的话).$\overline{}$ 你会发现正交群是不定正交群的特例: $\text{O}\left(n\right)\equiv \text{O}\left(n,0\right)$. $\overline{}$ 条件写成矩阵形式即 {\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\mu }{\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={\eta }_{\rho \sigma }\to {\Lambda }^{\text{T}\eta \Lambda =\eta. 所以我们会称不定正交群的条件为保度规条件. 对于正交群的情况因为 $\eta =1_{n\times n}$ 所以有 {Q}^{\text{T}\eta Q=\eta \to {Q}^{\text{T}Q={1}_{n\times n}.

✦ 洛伦兹群 (Lorentz group):

$\underset{\dim \text{O}\left(1,3\right)=6}{\underbrace{\text{O}\left(1,3\right)}}$

就这么简单, 不过一般洛伦兹群里面的度规分量我们写作 $g_{\mu \nu }$ 而非 ${\eta }_{\mu \nu }$. $\text{O}\left( 1,3 \right)$ 对应的李代数中的元素是满足条件 ${A}^{\text{T}=-gAg$ 的 $4\times 4$ 方阵[[7]](#ref_7). $\text{O}\left( 1,3 \right)$ 有四个连通分支, 其中含有恒等元的那个[[8]](#ref_8)作为流形是 $6$ 维的 ${\mathbb{R}^{3}\times \text{SO}\left( 3 \right)$.

✦ 幺正群 (unitary group):

\underbrace{\text{U}\left( n \right)\equiv \left\{ U\ |\ U\in \text{GL}\left( n,\mathbb{C} \right),{U}^{\dagger }U={1}_{n\times n} \right\}_{\dim\text{U}\left( n \right)={n}^{2}

前面说了正交群的条件被称作保度规条件, 而幺正群的条件则被称作保复内积条件. 这是因为 $⟨Uv,Uw⟩=⟨v,U^{†}Uw⟩=⟨v,w⟩$. $\overline{}$ $\text{U}\left( n \right)$ 对应的李代数中的元素是 $n\times n$ 厄米方阵, 既满足 ${H}^{\dagger }=H$ 的方阵[[9]](#ref_9).

✦ 特殊群 (special group):

\begin{align} & \underbrace{\text{SL}\left( n,\mathbb{R} \right)\equiv \left\{ T\ |\ T\in \text{GL}\left( n,\mathbb{R} \right),\left| T \right|=1 \right\}_{\dim\text{SL}\left( n,\mathbb{R} \right)={n}^{2}-1} \\ & \underbrace{\text{SL}\left( n,\mathbb{C} \right)\equiv \left\{ T\ |\ T\in \text{GL}\left( n,\mathbb{C} \right),\left| T \right|=1 \right\}_{\dim\text{SL}\left( n,\mathbb{C} \right)=2{n}^{2}-2} \\ & \underbrace{\text{SO}\left( n \right)\equiv \left\{ Q\ |\ Q\in \text{O}\left( n \right),\left| Q \right|=1 \right\}_{\dim\text{SO}\left( n \right)=n\left( n-1 \right)/2} \\ & \underbrace{\text{SU}\left( n \right)\equiv \left\{ U\ |\ U\in \text{U}\left( n \right),\left| U \right|=1 \right\}_{\dim\text{SU}\left( n \right)={n}^{2}-1} \\ \end{align}

特殊群是一大类群, 就是在原来的群里面加了一个行列式为 $1$ 的条件取出来的子群. $\text{SO}\left( n \right)$ 的李代数与 $\text{O}\left( n \right)$ 的李代数相同, 这是显然的[[10]](#ref_10).$\text{SU}\left(n\right)$ 的李代数则与 $\text{U}\left(n\right)$ 不同, 其中的元素在 $H^{†}=H$ 的基础上还要求无迹. $\text{SU}\left(2\right)$ 作为流形是单位三维球面 {\text{S}^{3}. $\text{SO}\left(3\right)$ 作为流形是半径为 $\pi$ 对径认同的三维实心球, 即实三维射影空间 \mathbb{R}{\text{P}^{3}.

仔细观察, 你会发现比较奇妙的一点就是为何有 $\dim \text{SO}\left(n\right)=\dim \text{O}\left(n\right)$?

多了一个条件, 大家的维度都下降了, 为何这个正交群不降? 考虑 $n=1$ 的情况就很显然了: \left\{ \begin{align} & \text{U}\left( 1 \right)\to \text{SU}\left( 1 \right) \\ & \text{O}\left( 1 \right)\to \text{SO}\left( 1 \right) \\ \end{align} \right.$\text{U}\left(1\right)$ 是复平面上一个单位圆, 加一个行列式为 $1$ 的限制群里就只剩下实数 $1$ 了. 这是一个一维降到零维的过程. $\text{O}\left(1\right)$ 是实数轴上 $-1$ 与 $1$ 两个点, 你现在限制行列式为 $1$ 那么就只剩下实数 $1$ 了. 这是一个零维到零维的过程. 就是说 $\text{O}\left(n\right)$ 本来就是一个分两块儿的非连通流形, $\text{SO}\left(n\right)$ 则是取了其中一块儿. 给你俩三维馒头, 我现在拿走一个, 你手上那个馒头总不能就变成二维的了吧. $\overline{}$ 简单来说就是连续变化的参数才能构成一个维度, 你把 $\left\{e^{i\theta }|\theta \in \mathbb{R}\right\}$ 里边儿的元素固定为 $e^{i0}$ 是一种降维操作, 但你在 $\left\{1,2,3\right\}$ 里边儿选一个 $1$ 则不会降维, 顶多是确定了一种情况. 总之你要认识到这俩情况的不同[[11]](#ref_11): $\left\{ \begin{align} & {Q}^{\text{T}Q={1}_{n\times n}\Rightarrow \left| Q \right|=\pm 1 \\ & {U}^{\dagger }U=1\Rightarrow \left| U \right|={e}^{i\theta },\ \theta \in \mathbb{R} \\ \end{align} \right.$

✦ 最后要指出的一点就是, 你会发现我们上面定义的这些李群里面的元素本身就是矩阵, 这样的李群叫做矩阵李群, 其实在我们眼里比较有价值的李群基本上都可以写作矩阵李群. 而且这样写有一个好处就是极其极其的直观, 也方便运算.

如果它不是矩阵李群, 那么流形上的一个点就不再是一个矩阵, 就真的是个流形点了. 面对这种群, 不懂微分几何就真的很顶了, 幸亏不用面对吧.

然后就是, 群表示理论里面的群表示矩阵也是矩阵对吧? 那我们能不能用李群表示它自己呢? 这当然是可以的, 这种表示我们一般称为李群的基本表示或者基础表示. 当然我们也可以用其它的矩阵群来表示它们, 就像以前在群表示理论里那样.

• 李群啊李群 • 既事流形又事群 • 矩阵的集合 • ——————— 東雲芭蕉『矩阵李群』

8. 浅谈 $\text{SU}\left(2\right)$

让我们先从足够简单而又不平庸的 $\text{SU}\left(2\right)$ 出发来接触矩阵李群的概念吧.

8.1.$\text{SU}\left(2\right)$的基本概念:

✦ $\text{SU}\left(2\right)\equiv \left\{U|U\in \text{GL}\left(2,\mathbb{C}\right),U^{†}U=1_{2\times 2},\left|U\right|=1\right\}$

✦ 存在更具体的等价定义 $\text{SU}\left(2\right)\equiv \left\{\left[\begin{array}{cc}a& b\\ -b^{\ast }& a^{\ast }\end{array}\right]|a,b\in \mathbb{C},{\left|a\right|}^2+{\left|b\right|}^2=1\right\}$.

在这个定义下, 可以清晰的看到 $\text{SU}\left(2\right)$ 是一个三维流形, 因为是四个自由度减去一个约束.

证明方法是先设 $U=\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]\in \text{SU}\left( 2 \right),\ a,b,c,d\in \mathbb{C}$.则存在约束 ${U}^{\dagger }U=\left[ \begin{matrix} {a}^{*} & {c}^{*} \\ {b}^{*} & {d}^{*} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix} \right]={1}_{2\times 2}$ 与 $\left| U \right|=ad-bc=1$. 通过简单的解方程组得到关系 $d=a^{\ast },c=-b^{\ast }$, 代回原式即得证.

✦ 还有一个可操作性最强的定义:

\text{SU}\left( 2 \right)\equiv \left\{ U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }|\omega \in \left[ 0,\pi \right],\vec{n} \ 为全体三维实单位矢量\right\}

展开写就是 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+i{n}^{a}{\sigma }_{a}\sin \frac{\omega }{2}\in \text{SU}\left( 2 \right)其中 $\omega \in \left[ 0,2\pi \right],\theta \in \left[ 0,\pi \right],\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$ 后面部分的核心内容就是讲解这个表述的由来与它的高度可操作性.

✦ 若采用实参数 $x_i\in \mathbb{R}$ , 令 $a=x_4+i{x}_3,b=x_2+i{x}_1$[12]来描述:

即 $U=\left[ \begin{matrix} a & b \\ -{b}^{*} & {a}^{*} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {x}_{4}+i{x}_{3} & {x}_{2}+i{x}_{1} \\ -{x}_{2}+i{x}_{1} & {x}_{4}-i{x}_{3} \\ \end{matrix} \right]$ 则约束条件变为 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$ 说明 $\text{SU}\left(2\right)$ 作为流形是 {\text{S}^{3} . 类比球面方程, ${\text{S}^{3}$ 是一个三维球面 (3-sphere), 属于超球面 (hypersphere)[[13]](#ref_13). 本文后面提到的所有 $\left\{x_1,x_2,x_3,x_4\right\}$ 指得都是这个这四个实参数.

8.2.$\text{SU}\left(2\right)$的几何描述与泡利矩阵表达:

✦ {\text{S}^{3} 的 $T^2\text{- fibration}$ 描述:

\left\{ \begin{align} & {x}_{1}=\sin \theta \cos \varphi \\ & {x}_{2}=\sin \theta \sin \varphi \\ \end{align} \right. , \left\{ \begin{align} & {x}_{3}=\cos \theta \cos \chi \\ & {x}_{4}=\cos \theta \sin \chi \\ \end{align} \right., 其中 $\theta \in \left[0,\pi /2\right];\phi ,\chi \in \left[0,2\pi \right]$.

这样写能满足前面的约束条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$.

如上图所示, 可以用俩圆锥面与一根轴描述, 在 $\theta =0$ 或 $\pi /2$时会有一个参数失效. 同时可以如下图所示, 用一个中间会随着 $\theta$ 放缩于端点处使某参数失效的甜甜圈来描述:

✦ 球坐标系描述:

对 $\omega \in \left[0,2\pi \right],\theta \in \left[0,\pi \right],\phi \in \left[0,2\pi \right]$ 有\left\{ \begin{align} & {x}_{1}=\sin \frac{\omega }{2}\sin \theta \cos \varphi \\ & {x}_{2}=\sin \frac{\omega }{2}\sin \theta \sin \varphi \\ & {x}_{3}=\sin \frac{\omega }{2}\cos \theta \\ & {x}_{4}=\cos \frac{\omega }{2} \\ \end{align} \right.

这样写也能满足前面的约束条件 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$. 这个参数方程组描述的其实是 {\text{S}^{3}, 但我们可以通过下述操作让它退到 {\text{B}^{3} (三维球体). 而 $x_1,x_2,x_3$ 可以合并为 $\vec{x}=\vec{n}\sin \frac{\omega }{2},\vec{n}=\left(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,\cos \theta \right)$. 显然当 $\omega =0$ 或 $2\pi$ 时 $\theta ,\phi$ 均失效.

如上图所示, 可以用半径为 $2\pi$ 的实心球描述, 但球表面为 $\omega =2\pi$ 要视为一个点.

✦ 泡利矩阵表达:

泡利矩阵看起来普通, 实际上是不可多得的好东西, 相关性质见 [[DLC]](https://zhuanlan.zhihu.com/p/340171183).

引入 ${\sigma }_3$ 表象下的泡利矩阵 ${\sigma }_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right],{\sigma }_2=\left[\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right],{\sigma }_3=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$.

则有 $U=\left[ \begin{matrix} {x}_{4}+i{x}_{3} & {x}_{2}+i{x}_{1} \\ -{x}_{2}+i{x}_{1} & {x}_{4}-i{x}_{3} \\ \end{matrix} \right]={x}_{4}{1}_{2\times 2}+i{x}_{1}{\sigma }_{1}+i{x}_{2}{\sigma }_{2}+i{x}_{3}{\sigma }_{3}$. 上式是容易验证的, 我们再结合球坐标可以进一步写成下述形式: U\left( \vec{n},\omega \right)={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+i\left( \vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right)\sin \frac{\omega }{2}={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }. 其中 $\vec{n}=\vec{n}\left(\theta ,\phi \right)$ 是一个三维单位矢量, 我们也可将其看作 \vec{n}={\vec{\omega }/{\omega }\;.

所以最终就有 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+i{n}^{a}{\sigma }_{a}\sin \frac{\omega }{2}.

其中 $\vec{n}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,cos\theta \right)$; $\omega \in \left[ 0,2\pi \right],\theta \in \left[ 0,\pi \right],\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$.

✦ $\text{SU}\left(2\right)$ 作为流形是 {\text{S}^{3}:

#待重新表述#

不过其实这很容易理解, 粗略地讲就是说群元要满足约束 $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1.$

那这不就构成了一个三维球面吗?

8.3.$\text{SU}\left(2\right)$中的共轭类:

✦ 共轭类 $\left[g\right]\equiv \left\{g_{\alpha }g{g}_{\alpha }^{-1}|g_{\alpha }\in G\right\}$, 其中 $g\in G$.

✦ 矩阵群内群元的迹是一个类函数: $\text{tr}\left(U_{\alpha }U{U}_{\alpha }^{-1}\right)=\text{tr}U$.

而对 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+i{n}^{a}{\sigma }_{a}\sin \frac{\omega }{2} 求 trace. 我们发现 $\text{tr}U\left(\vec{n},\omega \right)=2\cos \frac{\omega }{2}$, 即 trace 是可以直接由 $\omega$ 唯一确定的. 于是 $\omega$ 就从参数升格为一个类标签了, 即 $\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]\equiv \left\{ U\left( \vec{n},\omega \right)\ |\ \text{all}\ \vec{n} \right\}$. 这就是说, 前面的球坐标系描述中, 同一球面上的 (即同 $\omega$ 的) 所有点将构成一个共轭类.

✦ 同类元素中的标准代表元:

对确定的类我们定义标准代表元 $U\left( {e}^{3},\omega \right)=\left[ \begin{matrix} {e}^{i\frac{\omega }{2} & 0 \\ 0 & {e}^{-i\frac{\omega }{2} \\ \end{matrix} \right]\in \left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]$. 其中 $e^3=\left(0,0,1\right)$ 是第三坐标基矢. 任意类函数 $f$ 将满足关系 $f\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]=f\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]$.

✦ 验证上面的说法:

就是说我们将证明任意群元 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }\in \text{SU}\left( 2 \right)都可以通过一个伴随作用 $\text{A}{\text{d}_{U}_{\vec{n}$ 得到类 $\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]$ 的标准代表元 $U\left( {e}^{3},\omega \right)$. 即 \exists {U}_{\vec{n}\in \text{SU}\left( 2 \right) 使得 {U}_{\vec{n}U\left( \vec{n},\omega \right)U_{\vec{n}^{-1}=U\left( {e}^{3},\omega \right). 其中 $\vec{n}=\left(\sin \theta \cos \phi ,\sin \theta \sin \phi ,cos\theta \right)$. 好的答案就是 ${U}_{\vec{n}=\left[ \begin{matrix} i{e}^{i\left( \varphi +x \right)}\cos \frac{\theta }{2} & i{e}^{ix}\sin \frac{\theta }{2} \\ i{e}^{-ix}\sin \frac{\theta }{2} & -i{e}^{-i\left( \varphi +x \right)}\cos \frac{\theta }{2} \\ \end{matrix} \right]$. 没错, 我已经帮你找好了, 上式中的 $x$ 是一个任意参数, 可以随便取什么值都成立. 然后这个 ${U}_{\vec{n}\in \text{SU}\left( 2 \right)$ 也是显然[[14]](#ref_14)的吧, 你可以自己用 Mathematica 之类的试试看.

​`` (*我一不小心把 Mathematica 的代码都写了,尽管拿去试试:*) Clear[\[Omega], \[Theta], \[CurlyPhi], x, s1, s2, s3] (*三个泡利矩阵*) \[Sigma]1 = {0, 1}, {1, 0}; \[Sigma]2 = {0, -I}, {I, 0}; \[Sigma]3 = {1, 0}, {0, -1}; (*定义变换矩阵*) Un[\[Theta]_, \[CurlyPhi]_] := {I Exp[I (\[CurlyPhi] + x)] Cos[\[Theta]/2], I Exp[(I x)] Sin[\[Theta]/2]}, {I Exp[-I x] Sin[\[Theta]/2], -I Exp[-I (\[CurlyPhi] + x)] Cos[\[Theta]/2]}; (*定义上述变换矩阵的逆*) Uni[\[Theta]_, \[CurlyPhi]_] := Inverse[Un[\[Theta], \[CurlyPhi]]] (*定义三维单位矢量*) n[\[Theta]_, \[CurlyPhi]_] := {Sin[\[Theta]] Cos[\[CurlyPhi]], Sin[\[Theta]] Sin[\[CurlyPhi]], Cos[\[Theta]]} (*对上述单位矢量对应的 SU(2)元素做幺正变换*) U[\[Omega]_, \[Theta]_, \[CurlyPhi]_] := MatrixExp[I \[Omega]/2 n[\[Theta], \[CurlyPhi]].{\[Sigma]1, \[Sigma]2, \[Sigma]3}] (*显示变换结果*) MatrixForm[Simplify[Un[\[Theta], \[CurlyPhi]].U[\[Omega], \[Theta], \[CurlyPhi]].Uni[\[Theta],\[CurlyPhi]]]] ​``

✦ 群元的标准形式:

前面已经给出 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+i{n}^{a}{\sigma }_{a}\sin \frac{\omega }{2}\in \text{SU}\left( 2 \right).

其中 $\vec{n}=\left( \sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,cos\theta \right)$; $\omega \in \left[ 0,2\pi \right],\theta \in \left[ 0,\pi \right],\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$. 则我们会发现若有 $U\left(\vec{n},\omega \right)\in \text{SU}\left(2\right)$ 则必有 $U\left(\vec{n},-\omega \right),-U\left(\vec{n},\omega \right)\in \text{SU}\left(2\right)$. 那么请问 $\left\{ \begin{align} & U\left( \vec{n},-\omega \right)\in \left[ U\left( {e}^{3},-\omega \right) \right] \\ & -U\left( \vec{n},\omega \right)\in \left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right] \\ \end{align} \right.$ 这俩关系是否成立呢?答案是否定的, $\omega \in \left[ 0,2\pi \right]$ 是一个正数, 根本不应该存在标签为 $-\omega$ 的共轭类. 下面这个也是错的, 问题就出在我们没有采用标准形式的写法. $\overline{}$ 改为标准形式的写法即: 上面是 $U\left( \vec{n},-\omega \right)={e}^{i\frac{-\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }={e}^{i\frac{\omega }{2}\left( -\vec{n}\cdot \vec{\sigma } \right)}=U\left( -\vec{n},\omega \right)\in \left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]$. 下面是 $-U\left(\vec{n},\omega \right)=-1_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}-i{n}^a{\sigma }_a\sin \frac{\omega }{2}$$=1_{2\times 2}\cos \left(\pi -\frac{\omega }{2}\right)-i{n}^a{\sigma }_a\sin \left(\pi -\frac{\omega }{2}\right)$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =U\left( -\vec{n},2\pi -\omega \right)\in \left[ U\left( {e}^{3},2\pi -\omega \right) \right]$.即是说有 $\left\{ \begin{align} & U\left( \vec{n},-\omega \right)=U\left( -\vec{n},\omega \right)\in \left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right] \\ & -U\left( \vec{n},\omega \right)=U\left( -\vec{n},2\pi -\omega \right)\in \left[ U\left( {e}^{3},2\pi -\omega \right) \right] \\ \end{align} \right.$ 简单来说就是要写成标准形式之后才能确定所属共轭类的 $\omega$.

✦ 所有的类函数都是 $\omega$ 的函数所以都是偶函数, 因为 $U\left(\vec{n},-\omega \right)=U\left(-\vec{n},\omega \right)$.

✦ 可以举例验证一下前面标准形式的说法是否正确:

如果觉得上面讨论的比较抽象则可以观察一下下面这两个简单的例子: 由规范的标准元 U\left( {e}^{3},\omega \right)=\text{diag}\left( {e}^{i\frac{\omega }{2},{e}^{-i\frac{\omega }{2} \right) 出发我们可以得到另外两个群元: 即 U\left( {e}^{3},-\omega \right)=\text{diag}\left( {e}^{-i\frac{\omega }{2},{e}^{i\frac{\omega }{2} \right) 与 -U\left( {e}^{3},\omega \right)=-\text{diag}\left( {e}^{i\frac{\omega }{2},{e}^{-i\frac{\omega }{2} \right). 对左边有 $\text{A}{\text{d}_{\left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]}U\left( {e}^{3},-\omega \right)=\left[ \begin{matrix} {e}^{i\frac{\omega }{2} & 0 \\ 0 & {e}^{-i\frac{\omega }{2} \\ \end{matrix} \right]=U\left( {e}^{3},\omega \right)$.对右边有 $-U\left( {e}^{3},\omega \right)=\left[ \begin{matrix} -{e}^{i\frac{\omega }{2} & 0 \\ 0 & -{e}^{-i\frac{\omega }{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {e}^{i\frac{\omega -2\pi }{2} & 0 \\ 0 & {e}^{-i\frac{\omega -2\pi }{2} \\ \end{matrix} \right]$[[15]](#ref_15) $\Rightarrow -U\left( {e}^{3},\omega \right)=\text{A}{\text{d}_{\left[ \begin{matrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]}\left[ \begin{matrix} {e}^{i\frac{2\pi -\omega }{2} & 0 \\ 0 & {e}^{-i\frac{2\pi -\omega }{2} \\ \end{matrix} \right]\in \left[ U\left( {e}^{3},2\pi -\omega \right) \right]$.

8.4. 李群中的单参子群与生成元的概念:

✦ 对固定三维单位矢 {\vec{n} 有 $\left\{U\left(\vec{n},\omega \right)|\omega \in \left[0,2\pi \right]\right\}$ 构成一个 $\text{SU}\left(2\right)$ 的 $\text{U}\left(1\right)$ 子群.

从 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma }\in \text{SU}\left( 2 \right) 来看结论是显然的, 但这里还是有值得一提的东西.

✦ 单参子群的概念:

李群 $G$ 上总是可以找到许多只含一个可变参数子群, 这样的一维子群我们称为单参子群.

以 $\text{SU}\left( 2 \right)$ 为例, 子群 $\left\{ \left. U\left( \vec{n},\omega \right)\ \right|\ \omega \in \left[ 0,2\pi \right] \right\}$ 就是由单个参数 $\omega$ 描述的子群.

李群是流形, 即一个怪浪怪浪的空间, 而单参子群则是其上的一条过恒等元的连续参数曲线.

类比小时候在三维欧式空间里的参数曲线, 就是一条空间曲线上面每一点对应一个参数嘛. 李群是个流形, 群元是流形上的一个点, 单参子群中的群元会随着一个参数跑动. 点动成线, 所以单参子群 $\left\{g\left(t\right)|t\in \mathbb{R}\right\}$ 中的 $g\left(t\right)$ 就是一条过恒等元的参数曲线.

实际上我们还要求参数曲线 $g\left(t\right)$ 是 $\mathbb{R}$ 到 $G$ 的群同态[16], 这说明其具有指数映射的形式.

即映射 $g:\mathbb{R}\to G$ 满足关系 $g\left(t_1+t_2\right)=g\left(t_1\right)g\left(t_2\right),t_i\in \mathbb{R},g\left(t_i\right)\in G$. 这其实是李群之间同态映射的保群乘法要求, 因为 $\mathbb{R}$ 以加法作为群乘法构成阿贝尔李群. 那么很显然 $g\left(0\right)$ 对应恒等元, 对着那个保群乘法的要求用屁股猜也知道是个指数映射. $\overline{}$ But still, gonna slightly prove it: 下面运用了 $g\left(t_1+t_2\right)=g\left(t_1\right)g\left(t_2\right)$ 无穷次且记 {\left. {\partial g} \over {\partial t} \right|_{t = 0} = \omega 以做一阶近似. $g\left( t \right) = g\left( {\infty {t \over \infty } \right) = {\left[ {g\left( {t \over \infty } \right)} \right]^\infty } = {\left[ {g\left( 0 \right) + \omega {t \over \infty } \right]^{\infty \over {\omega t}\omega t} = {e^{\omega t}$ [[17]](#ref_17).

我有时就管参数曲线 $g\left(t\right)$ 叫单参子群, 这跟指着张量分量叫张量的做法多少有些异曲同工.

✦ 定义参数曲线 $g\left(t\right)=e^{itJ}$ 的生成元 $J\equiv {-i\frac{\partial }{\partial t}|}_{t=0}g\left(t\right)$ [18].

你发现 $J$ 里的 $-i$ 与指数映射上的 $i$ 明明能抵消掉, 为何还要这样写? 呃··· 历史遗留问题. 我不知道其他人如果这样写是出于什么心态, 但我这么写主要是考虑到以下几点: 一般涉及的都是幺正表示, 那就要求指数部分是个纯虚数或者说反厄米阵. 这样写的话就可以分离出一个厄米阵来, 和量子力学里的厄米算符能正好对应上. 再就是这样写可以更方便地使用欧拉公式.

生成元顾名思义就是能通过指数映射生成一个单参子群或者说一系列群元的东西.

比如说 $\vec{n}\cdot \vec{\sigma }$ 就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的生成元, 通过指数映射能得到群元 U\left( \vec{n},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}\vec{n}\cdot \vec{\sigma } .

生成元这个东西在量子力学里一般被称作力学量算符.

比如说, 动量算符事平移的生成元, 其实就是这么来的.

因为我们研究的都是矩阵李群, 所以生成元也就都是与群元维度相同的矩阵来的.

如果不是矩阵李群, 那就很难办, 就必须要从微分流形上面那一套来了.

微分几何中可以证明以生成元作为矢量张成的线性空间同构于李群恒等元处的切空间.

我们在生成元空间中可以找到一组正交基矢, 如 $\text{SU}\left(2\right)$ 的生成元基矢就是三个泡利矩阵. 由于生成元都是 $t=0$ 下算出来的东西, 然后我们又把它看作一个矢量, 所以类比为几何的观点可以将这个矢量形象地解释为流形恒等元处的一个切矢量. 这点回到高中立体几何也是一样的, 参数曲线对参数求导得到的不就是一个切矢量吗? 故生成元构成的线性空间也被称作恒等元处的切空间, 但具体的证明会涉及微分几何[[19]](#ref_19). 切空间这个概念是微分几何里的, 听着好像很吓人其实可以变得蛮直观的. 比如说曲线上一点的切空间就是一条切线, 曲面上一点的切空间就是一个切平面. 故显然独立生成元的个数应该与李群作为流形的维度相同, 其实这个线性空间就是该李群对应的李代数, 啊っ不能再剧透了噢.

✦ 严格证明生成元空间与恒等元处的切空间同构需要经历下述步骤[20]:

首先, 流形上每一点都有一个切空间, 切空间中有切矢量, 下面简称矢量. 若在流形每点的切空间中都选定一个矢量则称之为选定了一个流形上的矢量场. 李群的左作用 $L_g$ 本质是一个李群到自身的映射. 流形之间的映射可以自然诱导出一个矢量到矢量或者说矢量场到矢量场上的映射. 即流形 ${M}_{1}$ 上一点到流形 ${M}_{2}$ 上一点的映射可诱导出这两点间的矢量到矢量的映射[[21]](#ref_21).$\overline{}$若有一个李群上的矢量场在左作用映射诱导的映射[[22]](#ref_22)下仍是它本身, 则这个矢量场就称为左不变矢量场. $\overline{}$ 可以证明全体左不变矢量场的集合也构成一个矢量空间. 可以证明左不变矢量场空间与恒等元处的切空间是同构的, 也即维度相同[[23]](#ref_23). 那么恒等元的切空间中的任何一个矢量都可以映射到一个左不变矢量场. $\overline{}$ 流形上给定矢量场后, 每一个点上都有一个给定的矢量. 若此时有一条曲线, 其上每一点对应的矢量都与其相切, 则称其为此矢量场的积分曲线. 可以证明左不变矢量场过恒等元的积分曲线就是一个单参子群, 且反之亦然. $\overline{}$ 综上所述: (1). 一个单参子群必是某左不变矢量场过恒等元的积分曲线. (2). 而一个左不变矢量场唯一对应恒等元切空间的一个矢量. (3). 所以一个单参子群唯一对应一个恒等元切空间的矢量. (4). 已知一个单参子群唯一对应一个生成元. (5). well, bang! 一个生成元唯一对应一个恒等元切空间中的矢量. (6). 所以说生成元空间与恒等元处的切空间同构.

✦ 指数映射的概念

指数映射笼统来写就是 $\exp :\mathbb{R}\times \mathfrak{g}\to G$, 其中 $\mathfrak{g}$ 是李群 $G$ 对应的生成元空间.

即将一个参数与一个生成元映射到一个李群群元, 其实生成元空间就是李代数.

从另一个角度来看指数映射也可以是一个将生成元映射到一条单参子群的映射.

这一点与微分几何中过流形某点切空间中一个切矢生成唯一一条测地线是类似的.

最后要提到的是, 指数映射 $\exp :\mathbb{R}\times \mathfrak{g}\to G$ 对紧致连通李群而言是一个满射[24].

就你会发现对一条单参子群进行伴随作用之后会得到另一条单参子群. 即单参子群 $g\left(t\right)$ 对 $g_{\alpha }\in G$ 都可以生成新的单参子群 $g_{\alpha }g\left(t\right)g_{\alpha }^{-1}$. 新曲线过恒等元: $g_{\alpha }g\left(0\right)g_{\alpha }^{-1}=g\left(0\right)$. 新曲线满足群乘法: $g_{\alpha }g\left(t_1\right)g_{\alpha }^{-1}{g}_{\alpha }g\left(t_2\right)g_{\alpha }^{-1}=g_{\alpha }g\left(t_1+t_2\right)g_{\alpha }^{-1}$. だからね、这就是一条全新的单参子群了. 从这个角度来看, 我们至少可以取完一条单参子群上所有点的同类[[25]](#ref_25)点. 从 $\text{SU}\left(2\right)$ 的角度来看就是说, 单参子群取完了 {e}^{i\omega \vec{n}\cdot \vec{\sigma } 的所有 $\omega$. 而一个共轭类将取完确定 $\omega$ 下的所有 $\vec{n}$, 于是指数映射就遍历所有群元了.

实际上如果只限定代数结构 (对易关系等), 则一组生成元生成的李群是不唯一的.

但生成的单连通李群是唯一的, 这个我们将来会在讲李代数的时候详讲.

参考

• ^这里好像有点儿容易引起误解, 总之说明下并不是说随便找一个偶数维实流形你就能往上面加复结构构造一个复流形, 我本意只是想说:"所有的复流形, 它本质上都属于实流形." (必要不充分, you see.)
• ^又叫单连通, 单是简单的单, simply connected.
• ^比如说平面就是 1 连通流形, 但如果平面上有个小洞它就会退化为 0 连通流形. 然后圆柱面或者甜甜圈也都是这种情况, 它们都只是 0 连通流形.
• ^还没讲李代数呢, 先不用在意.
• ^这个说实话不那么重要, 知道一下就好了, 哈哈其实你可能很难知道, 因为你并不知道什么叫做映射的光滑性对吧? 这就还得从拓扑与流形讲起了, 懒得讲.
• ^广相人定义的度规和我们定义的会差一个负号, 他们左上角事 -1, 右下角事 1.
• ^其中 g 是洛伦兹度规矩阵 diag(1,-1,-1,-1).
• ^不正式地一般称为固有洛伦兹群, 它本质上是洛伦兹群的一个李子群.
• ^其实这里说是反厄米也对, 无非就是全体元素同时乘一个虚数单位, 不会有啥本质区别的.
• ^当然如果你还没学李代数肯定不觉得显然, 先不用管这个.
• ^这里我总觉得有点讨厌, 行列式和取绝对值或者说范数的符号太像了, 只能说是懂得都懂了罢.
• ^这里这样对应是为了后面与泡利算符指标一致.
• ^唠叨一句, 你日常生活中是见不到三维球面的, 三维球面是四维球的表面.
• ^不觉得显然就回去看 8.1 节的矩阵定义.
• ^注意这里的 ω - 2π 是小于零的, 所以不是标准形式.
• ^要不然映射过来不一定能构成群呀, 而且这么一搞这个单参子群就都是阿贝尔的了.
• ^懒得写极限符号了, 理解一下.
• ^也有些地方定义的生成元是没有那个虚数单位 i 的, 其实没啥本质区别, 一个常数罢了.
• ^虽然不会具体给出证明细节, 但我们后面会提一下证明这一点需要经历哪些步骤以及各个步骤得到的结论.
• ^下面就是微分几何的知识了, 我不打算细讲, 能看得懂就看得懂, 看不懂就装作看懂好了, 反正就是一些结论.
• ^具体怎么诱导的我这里就不讲了罢, 其实是很直观的那种诱导.
• ^这里的左作用映射是流形到流形的映射, 而左作用映射诱导的映射指的是两个流形上矢量场之间的映射.
• ^其实线性空间只有一个不变量或者说特征, 就是维度.
• ^这个紧致性很重要, 非紧致流形是确有反例的.
• ^共轭类