群论 (Group Theory) 终极速成 SU(2) 的全体不可约表示与李群上的积分

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/342592239
• 发布日期: 2021-02-02
• 分类: 群论 / 表示论

序言

这一篇的内容看起来简简单单, 看起来也确实会觉得简简单单, 但实际上要先进行内容的取舍之后再构思好一个最优的结构最后还反复设计了几波符号删来改去还是挺不简单的, 为了简单的结果, 我中间经历了很多复杂的过程.

写完了以后突然, 就很突然, 又想把测度论的相关概念补一点儿上去, 总觉得这样才能真的把李群上的积分直观地理清楚. 但我现在已经麻了, 再说吧, 这个假期内肯定会完善这一节反正[1].

看电影去惹, Math no good, Mads very good.

Another.Round.2020.DANISH.1080p.BluRay.x264. DTS-NOGRP-[[RARBG Rarbg Index page](https://link.zhihu.com/?target=http%3A//rarbg.to/)]还没看呢, 盲吹一波好看[[2]](#ref_2). 推荐试试 Mænd & høns (男人与鸡 2015). 如果看了觉得还行的话可以找找其它 Anders Thomas Jensen 自编自导的片子, 这一系列都是一个 (童话般的) 味道, 演员永远是 Mads、Nikolaj 他们[[3]](#ref_3), 无需多言, 神作也. 比如 The Green Butchers 就过于完美, 不过从大众口味来说确实可能会有点儿偏 cult film.

目録

11.$\text{SU}\left(2\right)$的全体不可约表示

11.1. $\text{SU}\left(2\right)$ 的复线性表示 11.2. (暂为雏形) 李群上的积分 11.3. $\text{SU}\left(2\right)$ 上的积分 11.4. $\text{SU}\left(2\right)$ 复线性表示特征标的正交归一性与完备性 11.5. $\text{SU}\left(2\right)$ 常见表示简介

[附录 I] 为何作用进去的是逆运算

[附录 J] 等距作用的概念

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11. $\text{SU}\left(2\right)$ 的全体不可约表示

11.1. $\text{SU}\left(2\right)$ 的复线性表示:

✦ 复线性表示的本质是一个表示结构, 具体而言就是 3P 结构 $\left[\text{SU}\left(2\right),P_n,R\right]$ .

然后下面我们将依次介绍涉及的表示空间 $P_n$ 与同态映射 $R$ . ┣ 值得注意的是, 这里有一个参数 $n$, 这就说明了这不只一个而是一类表示结构. ┗ 我们下面讨论复线性表示时, 参数 $n$ 都是固定值[[4]](#ref_4).

✦ 设定俩复变量 $z,w\in \mathbb{C}$ , 我们可以用它们的 $n$ 次齐次多项式构成一个线性空间:

$P_n\equiv \left\{\psi |\psi =\sum _{k=0}^n{c}_k{z}^{n-k}{w}^k,c_k\in \mathbb{C}\right\}$

我不知道是否有人从来就没搞清楚过下面这些概念却依然混进了大学: ┣ 单项式[[5]](#ref_5): 即 $c{x}^{m}{y}^{n}$, 其中 $c$ 是数字, $x,y$ 是未知数 (变量)[[6]](#ref_6), $m,n\ge 0$ 且为整数. ┣ 次数: 就是数字乘了几次未知数的意思, 比如说 $c{x}^m{y}^n$ 的次数就是 $m+n$ . ┣ 多项式: 就是一堆单项式的和, 其次数被定义为其中包含的最高次数单项式对应的次数. ┗ 齐次多项式: 包含的每一项单项式的次数都相同的多项式.

所以你可以说这个线性空间的基底[7]是 ${\varphi }_{nk}=z^{n-k}{w}^k,k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n\right\}$ [8].

维度是相当显然的 {\dim}_{\mathbb{C}{P}_{n}=n+1 . ┣ 现在表示空间也可以改写为 {P}_{n}\equiv \left\{ \psi \ \left| \ \psi =\sum\limits_{k=0}^{n}{\psi \left( k \right){\phi }_{nk},\ \psi \left( k \right)\in \mathbb{C} \right. \right\}. ┗ 狄拉克一把就是 $P_n\equiv \left\{|\psi ⟩||\psi ⟩=\sum _{k=0}^n⟨nk|\psi ⟩|nk⟩,⟨nk|\psi ⟩\in \mathbb{C}\right\}$.

✦ 确定同态映射 $R$ 来描述 $\text{SU}\left(2\right)$ 对 $P_n$ 的影响:

需要确定的就是同态映射 $R:\text{SU}\left(2\right)\to \text{GL}\left(P_n\right)=\text{GL}\left(n+1,\mathbb{C}\right)$.

$\text{SU}\left( 2 \right)$ 的群元 $U$ 本身就是 $2\times 2$ 复矩阵, 所以 $U$ 对 $\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$ 是有自然作用的.┣ $\psi$ 是矢量, 也可以说是 $z,w$ 的二元函数, 所以可以记作 $\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( z,w \right)\equiv \psi$.┗ 其中 $\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( z,w \right)\equiv \psi$ 和以前的 $y\equiv y\left( x \right)\equiv y\left[ x \right]$ 是一个意思, 就是函数.

我们可以很自然地这样定义表示矩阵对矢量的作用:

$R\left( U \right)\psi =R\left( U \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( {U}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]={\psi }'\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }'$. ┗ 注意这里 $R\left(U\right)$ 是个 $n+1$ 阶方阵, $\psi$ 是 $n+1$ 维矢量. 注意小括号里边儿是个 $U^{-1}$, 为啥要取一个逆? ┗ 这是一个常见约定, 只有这样才能保证同态顺序, 如果想不通的话可以参考 **[附录I]**.

✦ 证明全体基矢均为 $R\left[U\left(e^3,\omega \right)\right]$ [9]的本征矢:

已知 $U\left( {e}^{3},\omega \right)={e}^{i\frac{\omega }{2}{\sigma }_{3}={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+i{\sigma }_{3}\sin \frac{\omega }{2}=\left[ \begin{matrix} {e}^{i\frac{\omega }{2} & 0 \\ 0 & {e}^{-i\frac{\omega }{2} \\ \end{matrix} \right]$.┣ 不难看出 $U{\left( {e}^{3},\omega \right)}^{-1}$ [[10]](#ref_10)对变量的作用为 $\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\to \left[ \begin{matrix} {e}^{-i\frac{\omega }{2}z \\ {e}^{i\frac{\omega }{2}w \\ \end{matrix} \right]$. ┣ 故基矢为 {\phi }_{nk}={z}^{n-k}{w}^{k}\to {\phi }'={\left( {e}^{-i\frac{\omega }{2}z \right)}^{n-k}{\left( {e}^{i\frac{\omega }{2}w \right)}^{k}={e}^{-i\frac{\omega }{2}\left( n-2k \right)}{\phi }_{nk}. ┗ 这也就是说 $R\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]{\phi }_{nk}={e}^{-i\frac{\omega }{2}\left( n-2k \right)}{\phi }_{nk}$, 证毕.

✦ 复线性表示的忠实性:

结论就是, 当 $n$ 取奇数时为忠实表示; 而取偶数时有 $R\left(-U\right)=R\left(U\right)$, 即不忠实.

首先由定义知 $R\left( U \right)\psi =R\left( U \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( {U}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]$.┣ 所以 $R\left( -U \right)\psi =R\left( -U \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( -{U}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left[ \begin{matrix} -{z}' \\ -{w}' \\ \end{matrix} \right]$.┣ 矢量定义为 $\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{k=0}^{n}{c}_{k}{z}^{n-k}{w}^{k}\Rightarrow \psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{k=0}^{n}{c}_{k}{z}'}^{n-k}{w}'}^{k}$.┣ 所以 $\psi \left[ \begin{matrix} -{z}' \\ -{w}' \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{k=0}^{n}{c}_{k}{\left( -1 \right)}^{n-k+k}{z}'}^{n-k}{w}'}^{k}={\left( -1 \right)}^{n}\psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]$. ┗ 由此推知 $R\left(-U\right)={\left(-1\right)}^{n}R\left(U\right)$, so, you know, you just know.

✦ 咱物理人倾向于引入亲切熟悉的角动量记号, 即令 n=2j,\ \ j\in \frac{\mathbb{N}{2}.

于是矢量重写为 \psi =\sum\limits_{m=-j}^{j}{\psi \left( m \right){\varphi }_{jm} :

\psi =\sum\limits_{k=0}^{2j}{c}_{k}{z}^{2j-k}{w}^{k}=\sum\limits_{m=-j}^{j}{\psi \left( m \right){z}^{j-m}{w}^{j+m}=\sum\limits_{m=-j}^{j}{\psi \left( m \right){\varphi }_{jm}. ┗ 其中基底记号的变化为 ${\varphi }_{nk}=z^{n-k}{w}^k\to {\phi }_{jm}=z^{j-m}{w}^{j+m}$.

于是 $R\left[U\left(e^3,\omega \right)\right]$ 对基底的作用为 $R\left[U\left(e^3,\omega \right)\right]{\phi }_{jm}=e^{im\omega }{\phi }_{jm}$ :

{\varphi }_{jm}={z}^{j-m}{w}^{j+m}\to {\varphi }'={\left( {e}^{-i\frac{\omega }{2}z \right)}^{j-m}{\left( {e}^{i\frac{\omega }{2}w \right)}^{j+m}={e}^{im\omega }{\varphi }_{jm}.

然后基底我们其实还会进一步改写为 {\varphi }_{jm}=\frac{\left( -1 \right)}^{j-m}{\sqrt{\left( j+m \right)!\left( j-m \right)!}{z}^{j-m}{w}^{j+m}.

这个微调基底的做法本质上就是通过重选内积使得表示成为幺正表示. ┗ 暂时很难解释是怎么来的, 但你不难发现这么做是没问题的, 无非就是乘了个归一化系数.

在这个基础上我们再给映射加一个下标, 于是表示结构改记为 $\left[\text{SU}\left(2\right),R_j,P_j\right]$.

其中表示空间的维度 {\dim}_{\mathbb{C}{P}_{j}=2j+1.

半整数 $j$ 为忠实表示, 整数 $j$ 非忠实 j\in \frac{\mathbb{N}{2} :

结论其实很好记, 因为 $j=0$ 的一维表示显然非忠实, $j=1/2$ 的二维表示显然就是自己. ┣ 原因的话就是 ${R}_{j}\left( U \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]\Rightarrow {R}_{j}\left( -U \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} -{z}' \\ -{w}' \\ \end{matrix} \right]$.┣ 然后 $\psi \left[ \begin{matrix} -{z}' \\ -{w}' \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{m}{\left( -{z}' \right)}^{j-m}{\left( -{w}' \right)}^{j+m}={\left( -1 \right)}^{2j}\psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]$. ┣ 即 $R_j\left(-U\right)\psi ={\left(-1\right)}^{2j}{R}_j\left(U\right)\psi ,\text{for}\forall \psi \in P_j$. ┗ 所以半整数 $j$ 为忠实表示, 整数 $j$ 非忠实 j\in \frac{\mathbb{N}{2}.

狄拉克符号即 \left. \left\{ \begin{align} & {\varphi }_{jm}\leftrightarrow \left| jm \right\rangle \\ & \psi \leftrightarrow \left| \psi \right\rangle \\ & \psi \left( m \right)\leftrightarrow \left\langle jm | \psi \right\rangle \\ \end{align} \right. \right\} \Rightarrow \left\{ \begin{align} & \left| \psi \right\rangle =\sum\limits_{m}{\psi \left( m \right)\left| jm \right\rangle } \\ & {\hat{R}_{j}\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]\left| jm \right\rangle ={e}^{im\omega }\left| jm \right\rangle \\ \end{align} \right..

11.2. 李群上的积分:

✦ 引入积分的切入点:

还记得表示理论下的正交性与完备性吗? 紧李群[11]的情况, 我们的求和就要改成积分.

实际上李群作为一个流形, 理论上来说你就是可以直接搁上边儿瞎积分. ┣ $n$ 维李群上的积分无非就是对应一个 $n$ 重积分嘛. ┣ 但我们这里是群论, 重要的终究还是群结构, 所以不能这样瞎积分. ┗ 所以我们接下来的目的就是寻找一个尊重群结构的恰当积分形式.

✦ 群函数全范围求和具有左右作用不变性[12]:

即对 $\forall f:G\to \mathbb{C},\forall g_{\alpha },g_{\beta }\in G$ 有 $\sum _{g\in G}f\left(g\right)=\sum _{g\in G}f\left(g_{\alpha }g\right)=\sum _{g\in G}f\left(g{g}_{\beta }^{-1}\right)$.

那连续群当然也要类似地有$\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( g \right)}=\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( {g}_{\alpha }g \right)}=\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( gg_{\beta }^{-1} \right)}$.┣ 进一步有$\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( {g}_{\alpha }g \right)}=\int_{G}{\left[ \text{d}\left( g_{\alpha }^{-1}{g}' \right) \right]f\left( {g}'} \right)}=\int_{G}{\left[ \text{d}\left( g_{\alpha }^{-1}g \right) \right]f\left( g \right)}$.┗ 故归结为要求 $\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( g \right)}=\int_{G}{\left[ \text{d}\left( g_{\alpha }^{-1}g \right) \right]f\left( g \right)}$, 此限制即李群积分的关键[[13]](#ref_13).

✦ $n$ 维李群上的积分本质就是关于群元参数的 $n$ 重积分:

所以具体计算要做改写 \int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( g \right)}=\int{J\left( {\vec{x} \right){\text{d}^{n}x}f\left( {\vec{x} \right), 其中 $\vec{x}$ 为参数矢量.

其中 $\left[ \text{d}g \right]$ 称为哈尔测度[[14]](#ref_14)(Haar measure), 而 $J\left( {\vec{x} \right)$ 称为权重 (weight).┣ 故对确定的李群想给出合适的积分形式的话只需确定 $\left[ \text{d}g \right]$ 或 $J\left( {\vec{x} \right)$ 即可. ┣ 具体而言是通过两个条件来确定: ┣ (1). 归一化条件: $\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]}=\int{J\left( {\vec{x} \right){\text{d}^{n}x}=1$,┗ (2). 左右作用不变条件: $\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]f\left( g \right)}=\int_{G}{\left[ \text{d}\left( g_{\alpha }g \right) \right]f\left( g \right)}$ for $\forall f:G\to \mathbb{C}$.

✦ 对类函数[15]我们可以先积掉那些不同的类所共享的参量, 因为反正类函数不依赖于它们.

✦ 表示理论下的正交性与完备性:

设紧李群 $G$ 的全体不可约幺正表示为 $\left\{R^{\left(i\right)}|i\in \mathbb{N}\right\}$, 可以写出正交完备关系:

我知道这几个正交完备公式很难记住, 但狄拉克符号的版本应该会写吧: ┣ (1). \left\langle \left. {\hat{R}^{\left( i \right)}{^{\mu }_{\nu } \right|{\hat{R}^{\left( j \right)}{^{\rho }_{\sigma } \right\rangle ={\delta }^{\mu }_{\sigma }{\delta }^{\rho }_{\nu }\delta _{j}^{i}. ┣ (2). \sum\limits_{i,\mu \nu }{\left| {\hat{R}^{\left( i \right)}{^{\mu }_{\nu } \right\rangle \left\langle {\hat{R}^{\left( i \right)}{^{\mu }_{\nu } \right|}={1}_{\left| G \right|\times \left| G \right|}. ┣ (3). \left\langle \left. \hat{\chi }_{R}^{\left( i \right)}^{\text{cl} \right|\hat{\chi }_{R}^{\left( j \right)}^{\text{cl} \right\rangle =\delta _{j}^{i}. ┣ (4). \sum\limits_{i}{\left| \hat{\chi }_{R}^{\left( i \right)}^{\text{cl} \right\rangle \left\langle \hat{\chi }_{R}^{\left( i \right)}^{\text{cl} \right|}={1}_{\left| \text{cl}\left( G \right) \right|\times \left| \text{cl}\left( G \right) \right|}. ┣ 带系数的那个记不得还算是无可厚非, 要上面这些都写不出来可就白学了. ┗ 最后记得我们的表象是群元表象 $\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]\left| g \right\rangle \left\langle g \right|}={1}_{\left| G \right|\times \left| G \right|}$ . 在李群里就是下面这样儿的: ┣ (1). $\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]{\left[ {R}^{\left( i \right)}{\left( g \right)}^{\dagger } \right]}^{\mu }_{\nu }{R}^{\left( j \right)}{\left( g \right)}^{\rho }_{\sigma }=\frac{1}{\dim{R}^{\left( i \right)}{\delta }^{\mu }_{\sigma }{\delta }^{\rho }_{\nu }\delta _{j}^{i}$.┗ (3). $\int_{G}{\left[ \text{d}g \right]{\left[ {\chi }_{R}^{\left( i \right)}\left( g \right) \right]}^{*}{\chi }_{R}^{\left( j \right)}\left( g \right)}=\delta _{j}^{i}$.以前离散群的系数里还有 $\left| G \right|$ 和 $\left| \left[ g \right] \right|$ 对吧?┣ 类数 $\left| \left[ g \right] \right|$ 是对类求和造成的, 如果是对群元求和 (积分)就可以不用写了.┣ 而 $\left| G \right|$ 作为归一化系数在李群的情况被吸收到哈尔测度 $\left[ \text{d}g \right]$ 里了. ┗ 系数 $\dim R^{\left(i\right)}$ 没被吸收是因为这个是依赖于表示的, 而不是群本身归一化该考虑的. 至于说这个 (2) 和 (4), 其实应该很难形式上地表达出来, 因为其中的系数依赖于哈尔测度. ┣ 但总的来说呢, 还是会满足一些符合直觉的关系, ┣ 比如说特征标吧就满足 $\sum\limits_{i}{\chi }_{R}^{\left( i \right)}\left( g \right){\chi }_{R}^{\left( j \right)}\left( {g}'} \right)}\sim \delta \left( \left[ g \right]-\left[ {g}'} \right] \right)$. ┗ 具体例子可以看本文后面复线性表示特征标完备性证明那部分.

11.3.$\text{SU}\left(2\right)$上的积分:

如前文所言, 我们第一步就是要找到 $\text{SU}\left(2\right)$ 对应的哈尔测度.

✦ $\text{SU}\left(2\right)$ 对应的哈尔测度是 {\text{S}^{3} 的微元:

归一化条件先不用管, 这无非就是乘个系数的事, 重点是左右作用不变这个限制.

以左作用为例, $\text{SU}\left(2\right)$ 对 $\text{SU}\left(2\right)$ 的左作用本质就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 对 {\text{S}^{3} 的几何作用. ┗ 所以就是要找到关于 $\text{SU}\left(2\right)$ 几何作用不变的 {\text{S}^{3} 上的积分微元就好了. 几何作用不变的意思就是说这个流形被作用完形状不能改变, 即等距作用 (参考 **[附录J]**). ┣ 已知 $U_{\alpha }\in \text{SU}\left(2\right)$ 本质上是 $2\times 2$ 幺正阵, 对复二维线性空间的作用是等距的. ┣ 其中二维线性空间我们写作 ${\mathbb{C}^{2}=\left\{ \left. \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\ \right|\ z,w\in \mathbb{C} \right\}$.┣ 三维球面 ${\text{S}^{3}\equiv \left\{ \left. \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\ \right|\ \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\in {\mathbb{C}^{2},{\left| z \right|}^{2}+{\left| w \right|}^{2}=1 \right\}$ 是 ${\mathbb{C}^{2}$ 的子集. ┗ 故显然 $\text{SU}\left(2\right)$ 对 {\text{S}^{3} 的作用也等距, 就可用三维球面的天然微元来充当 J\left( {\vec{x} \right){\text{d}^{n}x.

总之就是说, 若你选择了三维球面的天然微元作为测度或者说积分微元, 并将对整个 $\text{SU}\left(2\right)$ 的积分改写为对整个三维球面的积分的话, 则这个积分的测度或者说积分微元将在 $\text{SU}\left(2\right)$ 的左右作用下仍能保持积分值不变. 这是因为等距作用无非就是"旋转"了三维球面, 我们终究还是要对整个球面进行积分, 所以最后的积分结果不会发生改变.

✦ 半径为 $r$ 的三维球面 \text{S}_{r}^{3}:\left\{ \begin{align} & {x}_{1}=r\sin \frac{\omega }{2}\sin \theta \cos \varphi \\ & {x}_{2}=r\sin \frac{\omega }{2}\sin \theta \sin \varphi \\ & {x}_{3}=r\sin \frac{\omega }{2}\cos \theta \\ & {x}_{4}=r\cos \frac{\omega }{2} \\ \end{align} \right.

其天然微元: $\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\text{d}{x}_3\text{d}{x}_4=\frac{1}{2}{r}^3\sin \theta {\sin }^2\frac{\omega }{2}\text{d}r\text{d}\phi \text{d}\theta \text{d}\omega$.

其中 $\frac{1}{2}{r}^3\sin \theta {\sin }^2\frac{\omega }{2}=\left|\frac{\partial \left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)}{\partial \left(r,\phi ,\theta ,\omega \right)}\right|$.

单位球面的测度即 $\frac{1}{2}\sin \theta {\sin }^2\frac{\omega }{2}\text{d}r\text{d}\phi \text{d}\theta \text{d}\omega$.

由此可以计算单位球面的面积 $A\left(S_{r=1}^3\right)=\frac{1}{2}\int \sin \theta {\sin }^2\frac{\omega }{2}\text{d}r\text{d}\phi \text{d}\theta \text{d}\omega =2{\pi }^2$.

✦ 参数形式的 $\text{SU}\left(2\right)$ 积分:

${\int }_{\text{SU}\left(2\right)}\left[\text{d}U\right]f\left(U\right)={\frac{1}{4{\pi }^2{\int }_0^{2\pi }\text{d}\phi {\int }_0^{\pi }\sin \theta \text{d}\theta \underbrace{{\int }_0^{2\pi }{\sin }^2\frac{\omega }{2}\text{d}\omega }f\left(\phi ,\theta ,\omega \right)}}_{\text{sum}\text{over}\text{U}\left(1\right)}$

前面的归一化系数是由单位球面的面积 $A\left(S_{r=1}^3\right)=2{\pi }^2$ 确定的.

✦ 对类函数 (Ad 不变函数) 进行的 $\text{SU}\left(2\right)$ 积分:

任意类函数 {f}^{\text{Ad} 均满足 {f}^{\text{Ad}\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]={f}^{\text{Ad}\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right] [9]就只是 $\omega$ 的函数.

所以积分可以把其它参量先积掉, 即: ┗ $\int_{\text{SU}\left( 2 \right)}{\left[ \text{d}U \right]{f}^{\text{Ad}\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}\text{d}\omega }{f}^{\text{Ad}\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]$.

11.4.$\text{SU}\left(2\right)$复线性表示特征标的正交归一性与完备性:

✦ 因为特征标是类函数所以可以简记 {\chi }_{j}\left( \omega \right)\equiv {\chi }_{R}_{j}\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right].

✦ 虽然以前讲过但还是先解释一下这几个性质的内涵:

(1). 正交性意味着这些表示互不等价. (2). 归一性意味着这些表示都不可约. (3). 完备性结合上述两条就意味着这些表示是全体不等价不可约表示.

✦ 复线性表示特征标的正交归一性:

已知基底都是 $R_j\left[U\left(e^3,\omega \right)\right]$ 的本征矢, 即 $R_j\left[U\left(e^3,\omega \right)\right]{\phi }_{jm}=e^{im\omega }{\phi }_{jm}$.

那当然用 ${\chi }_{j}\left( \omega \right)\equiv {\chi }_{R}_{j}\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]={\chi }_{R}_{j}\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]$ 来计算 ${\chi }_{j}\left( \omega \right)$ 最好啦. ┣ 我们选定内积使得基底都正交归一, 是的, 内积就是可以人为选定的东西. ┣ 于是矩阵 ${R}_{j}\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right]$ 很显然就是 $\left[ \begin{matrix} {e}^{i\left( -j \right)\omega } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {e}^{i\left( -j+1 \right)\omega } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {e}^{ij\omega } \\ \end{matrix} \right]$[[16]](#ref_16).┗ 综上所述 ${\chi }_{j}\left( \omega \right)=\sum\limits_{m=-j}^{j}{e}^{im\omega }={e}^{-ij\omega }\frac{1-{e}^{i\left( 2j+1 \right)\omega }{1-{e}^{i\omega }=\frac{\sin \left[ \left( j+\frac{1}{2} \right)\omega \right]}{\sin \frac{\omega }{2}$.

结合公式 \left\{ \begin{align} & \int_{\text{SU}\left( 2 \right)}{\left[ \text{d}U \right]{f}^{\text{cl}\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}\text{d}\omega }{f}^{\text{cl}\left[ U\left( {e}^{3},\omega \right) \right] \\ & \int_{G}{\left[ \text{d}g \right]{\left[ {\chi }_{R}^{\left( i \right)}\left( g \right) \right]}^{*}{\chi }_{R}^{\left( j \right)}\left( g \right)}=\delta _{j}^{i} \\ \end{align} \right.

计算 $\int_{\text{SU}\left( 2 \right)}{\left[ \text{d}U \right]{\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*}{\chi }_{j}'}\left( \omega \right)}$┣ $=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}\text{d}\omega {\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*}{\chi }_{j}'}\left( \omega \right)}$┣ $=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}\text{d}\omega \frac{\sin \left[ \left( j+\frac{1}{2} \right)\omega \right]\sin \left[ \left( {j}'+\frac{1}{2} \right)\omega \right]}{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}$┣ $=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{\sin \left[ \left( j+\frac{1}{2} \right)\omega \right]\sin \left[ \left( {j}'+\frac{1}{2} \right)\omega \right]\text{d}\omega }$┗ $=-\frac{1}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }{\left\{ \cos \left[ \left( j+{j}'+1 \right)\omega \right]-\cos \left[ \left( j-{j}' \right)\omega \right] \right\}\text{d}\omega }$[[17]](#ref_17) 考虑到结论 ${\int }_0^{2\pi }\cos \alpha x\text{d}x=\frac{\sin 2\alpha \pi }{\alpha }$. ┗ 得到 $\int_{\text{SU}\left( 2 \right)}{\left[ \text{d}U \right]{\left[ {\chi }_{R}_{j}\left( U \right) \right]}^{*}{\chi }_{R}_{j}'}\left( U \right)}=\delta _{j}'}^{j}$ 说明特征标正交归一.

✦ 复线性表示特征标的完备性:

特征标的完备性即 \sum\limits_{i}{\frac{\left| \left[ {g}_{\alpha } \right] \right|}{\left| G \right|}\chi _{R}^{\left( i \right)}^{\text{cl}\left( \left[ {g}_{\alpha } \right] \right){\left[ \chi _{R}^{\left( i \right)}^{\text{cl}\left( \left[ {g}_{\beta } \right] \right) \right]}^{*}=\delta _{\left[ {g}_{\beta } \right]}^{\left[ {g}_{\alpha } \right]}.

李群的情况我们只能先不管系数算算看 $\sum\limits_{j}{\chi }_{j}\left( {\omega }'} \right){\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*}$ 是否具有某种完备性:┣ $\ \ \ \ \sum\limits_{j}{\chi }_{j}\left( {\omega }'} \right){\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*}$┣ $=\sum\limits_{j}{\frac{\sin \left[ \left( j+\frac{1}{2} \right){\omega }' \right]}{\sin \frac{\omega }'}{2}\frac{\sin \left[ \left( j+\frac{1}{2} \right)\omega \right]}{\sin \frac{\omega }{2}$┣ $=\frac{1}{\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\sin \left[ \left( n+1 \right)\frac{\omega }{2} \right]\sin \left[ \left( n+1 \right)\frac{\omega }'}{2} \right]}$┣ $=-\frac{1}{2\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ \cos \frac{n\left( \omega +{\omega }' \right)}{2}-\cos \frac{n\left( \omega -{\omega }' \right)}{2} \right]}$┣ $=-\frac{1}{4\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty }{\left[ {e}^{in\frac{\omega +{\omega }'}{2}+{e}^{-in\frac{\omega +{\omega }'}{2}-{e}^{in\frac{\omega -{\omega }'}{2}-{e}^{-in\frac{\omega -{\omega }'}{2} \right]}$┣ $=-\frac{1}{4\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\left[ {e}^{in\frac{\omega +{\omega }'}{2}+1-{e}^{in\frac{\omega -{\omega }'}{2}-1 \right]}$ ┗ =\frac{1}{4\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\left( \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{in\frac{\omega -{\omega }'}{2}-\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{in\frac{\omega +{\omega }'}{2} \right)这里罢, 这里从远古记忆中思考, 是啥? 是无穷平面波叠加, 是啥? 事动量本征态[[18]](#ref_18).┣ 还记得动量本征态的箱归一化吗 (设定 $x\in \left[ 0,L \right]$ )? 这里我们迅速回顾一波: ┣ P\left| p \right\rangle =p\left| p \right\rangle \Rightarrow \frac{\hbar }{i}\frac{\partial }{\partial x}{\psi }_{p}\left( x \right)=p{\psi }_{p}\left( x \right)\Rightarrow {\psi }_{p}\left( x \right)=\frac{1}{\sqrt{L}{e}^{i\frac{p}{\hbar }x} . ┣ {\psi }_{p}_{x}\left( 0 \right)={\psi }_{p}_{x}\left( L \right)\Rightarrow {e}^{i\frac{p}_{x}{\hbar }L}=1\Rightarrow \frac{p}_{x}{\hbar }L=2n\pi \Rightarrow {p}_{x}=n\frac{h}{L},\ n\in \mathbb{Z}. ┣ 完备性关系式: \sum\limits_{p}{\left| p \right\rangle \left\langle p \right|}=\text{id}\Rightarrow \sum\limits_{p}{\frac{1}{\sqrt{L}{e}^{i\frac{p}{\hbar }x}\frac{1}{\sqrt{L}{e}^{-i\frac{p}{\hbar }{x}'}=\left\langle x | {x}'} \right\rangle. ┗ 最后整理得到: $\sum\limits_{n}{e}^{i\frac{2\pi n}{L}\left( x-{x}' \right)}=L\sum\limits_{n}{\delta \left( x-{x}'+nL \right)}$[[19]](#ref_19). 回到正题, 我们的 $\omega$ 是有取值范围的, 即 $\omega \in \left(0,2\pi \right)\Rightarrow L_{\omega }=2\pi$, 套上面公式就有: ┗ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{in\frac{\omega -{\omega }'}{2}=\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{i\frac{2\pi n}{L}_{\omega }\frac{\omega -{\omega }'}{2}=2\pi \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\delta \left( \frac{\omega -{\omega }'}{2}+2n\pi \right)}. 这样我们就彻底计算出来了: ┣ $\ \ \ \ \sum\limits_{j}{\chi }_{j}\left( {\omega }'} \right){\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*}$ ┣ =\frac{1}{4\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\left( \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{in\frac{\omega -{\omega }'}{2}-\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{e}^{in\frac{\omega +{\omega }'}{2} \right)┗ $=\frac{\pi \left[ \sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\delta \left( \frac{\omega -{\omega }'}{2}+2n\pi \right)}-\sum\limits_{n=-\infty }^{\infty }{\delta \left( \frac{\omega +{\omega }'}{2}+2n\pi \right)} \right]}{2\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}$ 这里, 思考一下, 分子上有无穷个 delta 函数, 我们在乎的是究竟哪些有不为零的可能性. ┣ 首先, 我们限定[[20]](#ref_20) $\omega ,{\omega }'\in \left( 0,2\pi \right)$ , 那么 $\frac{\omega +{\omega }'}{2}+2n\pi =0$ 有解吗?┣ 显然无解, 其实如果取了闭区间就会有都等于 $0$ 和都等于 $2\pi$ 俩解, 但我就是不取[[21]](#ref_21). ┣ 无解所以我们就直接抛弃右半支, 那么左半支呢? $\frac{\omega -{\omega }^{\prime }}{2}+2n\pi =0$ 有解吗? ┣ 显然在 $n=0$ 时有一个解 $\omega ={\omega }^{\prime }$, $n\ne 0$ 的直接都扔掉, 这些 delta 显然恒为 $0$. ┗ 综上所述 $\sum\limits_{j}{\chi }_{j}\left( {\omega }'} \right){\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*}=\frac{\pi }{2\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\delta \left( \frac{\omega -{\omega }'}{2} \right)$.

试试看上述关系式是否是某种完备性关系式:

$\ \ \ \ \ \ \int_{\text{SU}\left( 2 \right)}{\left[ \text{d}U \right]\left\{ \sum\limits_{j}{\chi }_{j}\left( {\omega }'} \right){\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*} \right\}{f}^{\text{Ad}\left( \omega \right)}$ ┣ =\frac{1}{\pi }\int_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}\text{d}\omega }\frac{\pi }{2\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }'}{2}\delta \left( \frac{\omega -{\omega }'}{2} \right){f}^{\text{Ad}\left( \omega \right) ┣ ={f}^{\text{Ad}\left( {\omega }'} \right)\int_{0}^{2\pi }{\sin }^{2}\frac{\omega }{2}\text{d}\frac{\omega }{2}\frac{1}{\sin \frac{\omega }{2}\sin \frac{\omega }{2} ┗ ={f}^{\text{Ad}\left( {\omega }'} \right)\int_{0}^{2\pi }{\text{d}\frac{\omega }{2}={f}^{\text{Ad}\left( {\omega }'} \right)\pi 这就是一种完备性.

综上所述 \int_{\text{SU}\left( 2 \right)}{\left[ \text{d}U \right]\left\{ \frac{1}{\pi }\sum\limits_{j}{\chi }_{j}\left( {\omega }'} \right){\left[ {\chi }_{j}\left( \omega \right) \right]}^{*} \right\}{f}^{\text{Ad}\left( \omega \right)}={f}^{\text{Ad}\left( {\omega }'} \right).

这和量子力学中常见的 \int{\text{d}x\sum\limits_{n}{\varphi }_{n}\left( {x}'} \right)\varphi _{n}^{*}\left( x \right)}\psi \left( x \right)}=\psi \left( {x}'} \right) 差不多是一回事. ┗ 狄拉克符号就是 $\sum _n|{\phi }_n⟩⟨{\phi }_n|\psi ⟩=|\psi ⟩\Rightarrow \sum _n|{\phi }_n⟩⟨{\phi }_n|=I$.

✦ 综上所述, $\text{SU}\left(2\right)$ 的复线性表示就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的全体不等价不可约幺正表示.

是否幺正呢? 对紧李群, 你总可以选则合适的内积使其表示为幺正表示.

11.5.$\text{SU}\left(2\right)$常见表示简介:

✦ $R_{j=0}$ : $\text{SU}\left(2\right)$ 的平凡表示, 也叫标量表示或单重态表示.

极其的平凡, 这个表示空间直接就是一维的还能怎样?

✦ {R}_{j={1}/{2} : $\text{SU}\left(2\right)$ 的基本表示, 也叫旋量表示或二重态表示.

这里我还是要明确地说明一下, 严格来说, 这个应该叫矢量表示. ┣ 就是说这个基本表示是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的矢量表示, ┣ 但有时也说它是 $\text{Spin}\left(3\right)$ 或 $\text{SO}\left(3\right)$ 的旋量表示, 然后又有 $\text{Spin}\left(3\right)\cong \text{SU}\left(2\right)$ . ┗ 而实际上它应该是 Clifford algebra 的旋量表示. 你可以看到这个表示空间是二维的, 所以这个其实就是它自己做自己的表示矩阵. ┗ 至于说旋量是个什么概念, 将来会着重介绍, 这个概念在量子场论里很重要.

提一下 $\text{SU}\left(2\right)$ 标量的概念:

$\text{SU}\left(2\right)$ 标量就是在 $\text{SU}\left(2\right)$ 变换下不发生改变的量. ┣ 在基本表示空间, 所有的矢量都是二维的, 现在设矢量 x,y\in {P}_{j={1}/{2}. ┣ 我们定义内积为 $⟨x,y⟩={\epsilon }_{\mu \nu }{x}^{\mu }{y}^{\nu }=x^1{y}^2-x^2{y}^1$, 则 $⟨x,y⟩$ 就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 标量. ┣ 上面的 ${\epsilon }_{\mu \nu }$ 和以前的 ${\epsilon }_{\mu \nu \rho }$ 差不多一个意思, 就是全反对称张量. ┣ 验证: ┣ $\text{SU}\left(2\right)$ 变换即 $x,y\to Ux,Uy$ , ┣ $⟨Ux,Uy⟩={\epsilon }_{\mu \nu }{U}_{\rho }^{\mu }{x}^{\rho }{U}_{\sigma }^{\nu }{y}^{\sigma }$ ┣ $={\epsilon }_{\mu \nu }{U}_{\rho }^{\mu }{U}_{\sigma }^{\nu }{x}^{\rho }{y}^{\sigma }$ ┣ 这里考虑到 $\rho =\sigma$ 时会出现对称与反对称求和, 按照以前的经验也知道这等于零所以: ┣ $={\epsilon }_{\mu \nu }{U}_1^{\mu }{U}_2^{\nu }{x}^1{y}^2+{\epsilon }_{\mu \nu }{U}_2^{\mu }{U}_1^{\nu }{x}^2{y}^1$ ┣ $={\epsilon }_{\mu \nu }{U}_1^{\mu }{U}_2^{\nu }{x}^1{y}^2+{\epsilon }_{\nu \mu }{U}_2^{\nu }{U}_1^{\mu }{x}^2{y}^1$ ┣ $={\epsilon }_{\mu \nu }{U}_1^{\mu }{U}_2^{\nu }{x}^1{y}^2-{\epsilon }_{\mu \nu }{U}_1^{\mu }{U}_2^{\nu }{x}^2{y}^1$ ┗ $={\epsilon }_{\mu \nu }{U}_1^{\mu }{U}_2^{\nu }\left(x^1{y}^2-x^2{y}^1\right)=\left|U\right|⟨x,y⟩=⟨x,y⟩$ 得证.

✦ $R_{j=1}$ : $\text{SU}\left(2\right)$ 的伴随表示, 也叫矢量表示或三重态表示.

同上, 为了避免混乱, 这里要申明一下, 当我们称之为矢量表示的时候, ┗ 其实是说它是 $\text{Spin}\left( 3 \right)$ 或 $\text{SO}\left( 3 \right)$ 的矢量表示, I know, 这些说法感觉乱七八糟的[[22]](#ref_22). 还记得 $R_j\left(-U\right)\psi ={\left(-1\right)}^{2j}{R}_j\left(U\right)\psi ,\text{for}\forall \psi \in P_j$ 吗? $j=1$ 自然不忠实. ┣ 此时表示是三维矩阵, 前面的二重覆盖 $D:\text{SU}\left( 2 \right)\to \text{SO}\left( 3 \right)$ [[23]](#ref_23)不就是三维的吗?┣ 二重覆盖即 $D{\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]}^{a}_{b}=\frac{1}{2}\text{tr}\left( {U}^{-1}{\sigma }^{a}U{\sigma }_{b} \right)=\mathcal{R}{\left( \vec{n},\omega \right)}^{a}_{b}\in \text{SO}\left( 3 \right)$.┣ 二重覆盖也满足 $D\left[ -U\left( \vec{n},\omega \right) \right]=D\left[ U\left( \vec{n},\omega \right) \right]$. ┣ 虽然这俩三维表示一个是实表示一个是复表示, 但其实是等价的. ┣ 这没啥奇怪的, 因为如果我们能找到一个 $n$ 维实表示, ┗ 那把这个实表示下的表示矩阵都搬到 $n$ 维复空间里去不就得到一个 $n$ 维复表示了吗. 伴随表示是相当重要的一类表示, 下一节就讲这个问题.

✦ 最后值得一提的就是, $\text{SU}\left(2\right)$ 的不可约表示与维度有一一对应的关系[24].

这就是说, 对 $\text{SU}\left(2\right)$ 来说不会存在维度相同而不等价的表示. ┣ 这点很容易证明, 因为我们前面的复线性表示就正好是与维度一一对应的, ┣ 然后我们又从证明了复线性表示就是全体不等价不可约表示, ┗ 所以在任意维度下, $\text{SU}\left(2\right)$ 有且仅有一个不等价不可约表示.

[附录 I] 为何作用进去的是逆运算:

这里好像写的有点儿问题, 但我没空改, 反正你可以从 Dirac 符号出发自己理一理.

已知 $R\left(U_{\alpha }{U}_{\beta }\right)\psi \left[\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right]=\psi \left[{\left(U_{\alpha }{U}_{\beta }\right)}^{-1}\left[\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right]\right]=\psi \left(U_{\beta }^{-1}{U}_{\alpha }^{-1}\left[\begin{array}{c}z\\ w\end{array}\right]\right)$[25].

然后同态映射是要求 $R\left(U_{\alpha }{U}_{\beta }\right)=R\left(U_{\alpha }\right)R\left(U_{\beta }\right)$ 的.

那么 $R\left(U_{\alpha }\right)R\left(U_{\beta }\right)$ 作用上去是怎样的呢:

首先 $R\left( {U}_{\alpha } \right)R\left( {U}_{\beta } \right)\psi =R\left( {U}_{\alpha } \right)\left[ R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \right]=R\left( {U}_{\alpha } \right){\psi }_{\beta }={\psi }_{\beta \alpha }$ 总没意见吧? ┣ 那我们接下来反着推, 看看 ${\psi }_{\beta \alpha }$ 与 $\psi$ 到底什么关系: ┣ $\ \ {\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\alpha } \right){\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta }\left( U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)$┣ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left( U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)$┣ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\psi \left( U_{\beta }^{-1}U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)$┣ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\psi \left[ {\left( {U}_{\alpha }{U}_{\beta } \right)}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right]=R\left( {U}_{\alpha }{U}_{\beta } \right)\psi$. ┣ 这样一来就有 $R\left(U_{\alpha }\right)R\left(U_{\beta }\right)\psi ={\psi }_{\beta \alpha }=R\left(U_{\alpha }{U}_{\beta }\right)\psi$ 这才自洽. ┗ 你想想, 假如没那个取逆, 那这俩群元是不是就倒不过来了?

换个角度说说这个作用的过程是这样的:

$R\left( {U}_{\alpha } \right)R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\alpha } \right)\psi \left( U_{\beta }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left( U_{\beta }^{-1}U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)$. ┣ 就是说进去之后的顺序会反过来, 所以定义里需要加一个求逆运算才能再反回来. ┣ 那么为何后进去的 $R\left(U_{\alpha }\right)$ 反而跑到前面去了呢? ┣ 这是因为 $\text{SU}\left( 2 \right)$ 群元是**直接作用**在变量上的, 这里矢量 $\psi$ 看作变量 $\left[ z,w \right]$ 的函数.┣ 即表示矩阵 $R\left( U \right)$ 是作用在矢量 $\psi$ 上的, 而 ${U}^{-1}$ 则是作用在自变量 $\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$ 上的.┗ 然后 $\psi \left[ \begin{matrix} {z}'} \\ {w}'} \\ \end{matrix} \right]$ 并不是矢量的标准写法, 必须改成 ${\psi }'\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$ 才能套前面的定义.

实在接受不了就回到我们最爱的狄拉克符号[26]:

\left\{ \begin{align} & \psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\leftrightarrow \left\langle \left. \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right|\psi \right\rangle \\ & R\left( U \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=\psi \left( {U}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)\leftrightarrow \left\langle \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right|\hat{R}\left( U \right)=\left\langle {U}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right| \\ \end{align} \right.

于是就有下面这种写法: ┣ $R\left(U_{\alpha }\right)R\left(U_{\beta }\right)⟨\begin{array}{c}z\\ w\end{array}|\psi ⟩=⟨\begin{array}{c}z\\ w\end{array}|\hat{R}\left(U_{\alpha }\right)\hat{R}\left(U_{\beta }\right)|\psi ⟩$ ┣ 然后俩算符如定义的那样挨个儿向左作用就有如下效果: ┣ $\left\langle U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right|\hat{R}\left( {U}_{\beta } \right)\left| \psi \right\rangle =\left\langle \left. U_{\beta }^{-1}U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right|\psi \right\rangle =\psi \left( U_{\beta }^{-1}U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)$┣ 所以结论就是: $R\left( {U}_{\alpha } \right)R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=\psi \left( U_{\beta }^{-1}U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)$. ┣ 我不知道这种表述有没有帮助实在理解不了的人去接受这个设定, 还是说让人更加混乱了? ┗ 对我来说反正都是清晰的, 如果你能接受这个设定, 那下面的部分也就不用看了.

你要还觉得有蹊跷可以采取下面这个记号自己反复推演试试看, 这里面是没有任何矛盾的:

$\left\{ \begin{align} & R\left( {U}_{\alpha } \right)\psi =R\left( {U}_{\alpha } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\alpha } \\ & R\left( {U}_{\beta } \right)\psi =R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv \psi \left( U_{\beta }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\beta } \\ {w}_{\beta } \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta } \\ & R\left( {U}_{\alpha } \right){\psi }_{\beta }\equiv {\psi }_{\beta }\left( U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)={\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha } \\ & R\left( {U}_{\alpha } \right)R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\alpha } \right){\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha } \\ & R\left( {U}_{\alpha } \right)R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\alpha } \right){\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha \beta } \\ {w}_{\alpha \beta } \\ \end{matrix} \right] \\ & R\left( {U}_{\alpha } \right)R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\alpha } \right)\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\beta } \\ {w}_{\beta } \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha \beta } \\ {w}_{\alpha \beta } \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \\ & \psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha \beta } \\ {w}_{\alpha \beta } \\ \end{matrix} \right]=\psi \left( U_{\beta }^{-1}\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left( U_{\beta }^{-1}U_{\alpha }^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right)=\psi \left[ {\left( {U}_{\alpha }{U}_{\beta } \right)}^{-1}\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right] \right] \\ \end{align} \right.$ ┣ 一定要搞清楚的是, 上面的 ${\psi }_{\alpha },{\psi }_{\beta },\psi$ 地位是等价的, 它们都是这个空间的矢量. ┗ 虽然 ${\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {z}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]\ne {\psi }_{\beta }$ 但 ${\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {z}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\beta \alpha }$ 也是这个空间的矢量.

你要是觉得自己理解了, 那我考考你: ${\psi }_{\beta }\left[\begin{array}{c}{z}_{\alpha }\\ w_{\alpha }\end{array}\right]=R\left(U_{\beta }\right)\psi \left[\begin{array}{c}{z}_{\alpha }\\ w_{\alpha }\end{array}\right]$ 成立吗?

**答案是不成立.**成立的话不就有 ┣ ${\psi }_{\beta \alpha }={\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {z}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\beta } \right){\psi }_{\alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]={\psi }_{\alpha \beta }$ 了吗?┣ 那错在哪呢? 错就错在我们只定义了 $R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]\equiv {\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$ ,┣ 而根本不存在 ${\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]=R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]$ 这种说法.┣ 前面说了, $U_{\beta }^{-1}$ 是**直接作用**在变量 $\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$ 上的.┣ 所以 ${\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha \beta } \\ {z}_{\alpha \beta } \\ \end{matrix} \right]\ne R\left( {U}_{\beta } \right)\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\beta \alpha } \\ {z}_{\beta \alpha } \\ \end{matrix} \right]$.┣ $\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]$ 虽然也是这个空间的矢量, 但它不是标准写法, 所以不能套前面的公式.┣ 然后矢量 ${\psi }_{\alpha }={\psi }_{\alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$ 才是 $\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]$ 的标准写法,┣ 所以 ${\psi }_{\beta }\left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha } \\ {w}_{\alpha } \\ \end{matrix} \right]$ 最多也就只能是改成它的标准写法 ${\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]$, ┗ 而不能越过 $R\left(U_{\alpha }\right)$ 提出一个 $R\left(U_{\beta }\right)$ 来.

要是这样还搞不懂, 那我也是完全莫得办法辽.

总之呢, 就是说正是因为有 ${\psi }_{\beta \alpha }\left[ \begin{matrix} z \\ w \\ \end{matrix} \right]=\psi \left[ \begin{matrix} {z}_{\alpha \beta } \\ {w}_{\alpha \beta } \\ \end{matrix} \right]$ 这种奇妙的结构 ┗ 所以才必须要在定义里边儿塞一个逆.

[附录 J] 等距作用的概念:

等距作用又被称为等距映射或等距同构, 几何上称为全等变换, 其定义是基于"距离"这个概念的.

任意集合 $X$ 上的距离都由距离函数给出:

定义的距离函数 $d:X\times X\to \mathbb{R}$ 对 $\forall x,y,z\in X$ 都要满足下面三个条件: ┣ (1). $d\left(x,y\right)\ge 0,d\left(x,y\right)=0\iff x=y$, 即距离非负且仅与自己的距离为零. ┣ (2). $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$. ┗ (3). $d\left(x,z\right)\le d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)$, 即老生常谈的三角不等式. 距离函数又被称为度量, 存在度量的集合称为度量空间. ┣ 线性空间中可定义范数, 范数是矢量的长度, 或可认为是矢量到零元的距离. ┣ 然后我们可以将俩矢量之间的距离可以定义为俩矢量做差得到的矢量的范数. ┣ 所以范数的定义和距离的定义是大同小异的, 硬要说就是多一个线性性. ┣ 线性性即对矢量与数的乘积求范数等于该数的绝对值与该矢量范数的乘积. ┗ 定义了范数的线性空间称为赋范空间, 完备的赋范空间称作巴拿赫空间[[27]](#ref_27). 所以赋范空间本身就是一种度量空间, 可以用范数诱导出距离. ┣ 然后实际上线性空间的内积, 是可以诱导出范数的. ┗ 我们可以把范数定义为与矢量与自己的内积的平方根. 所以综上所述, 复内积空间也是一种度量空间, 只要用内积诱导范数, 范数诱导距离就好了.

等距作用的定义:

等距映射 $f:X\to {X}'$ 即对 $\forall x,y\in X$ 均满足 $d\left[ f\left( x \right),f\left( y \right) \right]=d\left( x,y \right)$ 的映射. ┣ 而等距作用就是等距映射的小名, 就是能保证元素之间的距离不会发生改变的作用, ┗ 即形状不发生改变, 类似刚体的平移和旋转, 所以等距作用在几何上也被称为全等变换.

$\text{SU}\left(2\right)$ 对复二维线性空间 {\mathbb{C}^{2}=\left\{ \left. {\left[ z,w \right]}^{\text{T}\ \right|\ z,w\in \mathbb{C} \right\} 的作用等距的原因:

由定义知 $\forall U\in \text{SU}\left(2\right)$ 均满足 $U^{†}U=1_{2\times 2}$. ┣ 故对 \forall \psi ,\varphi \in {\mathbb{C}^{2} 有 $⟨U\psi ,U\phi ⟩=⟨\psi ,U^{†}U\phi ⟩=⟨\psi ,\phi ⟩$, 说明此作用保内积. ┗ 而若距离由范数诱导范数由内积诱导, 则对 {\mathbb{C}^{2} 而言 $\text{SU}\left(2\right)$ 作用就是一个等距作用.

这也是为什么量子力学中满足 $U^{†}U=I$ 的算符被称为等距算符.

参考

• ^哈哈, 鸽了.
• ^看完了, 其实一般般, 超级一般, 如果 Mads 不在里面我给的评价还会低一点儿.
• ^估计就是小国家人太少了, 丹麦片里真的很难找到主演一个都不认识的那种电影···
• ^不同 n 对应的表示空间都不同了, 八竿子到不到一块儿去.
• ^可以说是数字和未知数的有限次乘积.
• ^老实说这个数字和字母其实是相对的, 是特定情况下人为选定的, 没有本质区别.
• ^你不能接受一个单项式作为一个基底? 你不能理解一个多项式作为一个矢量? well, get used to it. 我们最初定义线性空间的时候, 对矢量的构成对象就没有下任何限制, 矢量只是一个抽象的数学概念, 只是一个代号, 你可以当矢量, 我也可以当矢量, 我家的猫猫狗狗也可以当矢量.
• ^线性空间基底的选取当然是任意的, 但是要发了什么疯才会不选择这个天选之子?
• ^ab这里虽然用了中括号但并不表示"共轭类", 只是里面用了小括号所以外面表示映射作用对象的就要改成中括号. 实际上这并不会造成任何混乱, 因为如果这个中括号表示共轭类的话, 就会缺一个标明同构映射作用对象的括号.
• ^注意上面算的是 U, 下面用的是 U 的逆.
• ^紧是什么意思呢? 紧致是一个拓扑学概念, 像光滑一样是一个很『好』的性质. 你只要模模糊糊地认为是『有限』的意思就好了. 比如说一条实数轴就是不紧致的, 但假如它绕一圈又回来了, 成了一个圆环就紧致了.
• ^原理就是重排定理, 我想大家应该都知道吧.
• ^我这里只写了左作用不变, 当然右作用不变性也是要满足的.
• ^别怕, 测度不是什么高深概念, 其实就是体积元或者说微元.
• ^准确来说是 Ad 不变函数, 即将共轭的所有群元都映射到同一个数上的函数.
• ^毕竟是自己的本征表象下嘛.
• ^经典积化和差, 梦回中学.
• ^其实如果你是懂哥的话肯定一眼就能看出是傅里叶变换, 但物理人而言下面这个可能反而更亲切.
• ^以前没想到这里这么复杂吧, 周期性边界条件嘛, 无穷个周期都要算进去, 不能只是一个简简单单的 δ 函数.
• ^这里我们取了开区间, 嘛, 少一个点无伤大雅, 就不要纠着不放了.
• ^我不知道我这样说对不对吧, 但我感觉 delta 函数如果目标点坐落于积分边界的话实际上是无定义的, 所以要么直接挖掉这个边界不要管它, 要么就是先挖掉然后算出一个结论来最后再人为定义一下边界情况使其与结论相容. 具体的数学原因我懒得想, 太, 太分析学了, 我很讨厌分析学.
• ^但我不感到抱歉, 因为这不是我的错, 然后其他的物理人根本不在乎这些混乱.
• ^符号是 D, 你不用特地返回那一篇看符号是不是 D, 我早就回去暗改过了哈哈.
• ^注意这并不是所有李群都有的一般性的结论.
• ^这是毫无争议的, 就是前面刚人为定义完的东西.
• ^我们记头上带一个 ^ 为作用在狄拉克矢量上的算符, 而不带 ^ 的就是作用在"波函数"上的算符.
• ^类比完备的内积空间称为希尔伯特空间.