群论 (Group Theory) 终极速成 李群对应的李代数与可爱又迷人的伴随表示

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/348680652
• 发布日期: 2021-03-01
• 分类: 群论 / 表示论

序言

总而言之这篇的重点在于李群对应的李代数与伴随表示的概念吧, 前者我估计不讲你都懂, 毕竟大家都是学过 QM 的人了. 但伴随表示这个概念吧, 呃就很 elephant-whipping, 但是并不难, 在我精心配置的符号下, 这个问题从『很抽象』化为了『就稍微有一丢丢绕』. 只要按顺序看下来就不可能搞不明白这个问题.

本文开局就是把遗留下来的 $\text{SO}\left(3\right)$ 的不可约表示讲一下, 这个也有考虑过就放在上一篇里, 但实在是放不下了. 然后上篇全是 $\text{SU}\left(2\right)$, 加这一丢丢也不和谐, 老实说放这也挺不和谐的.

然后讲的就是李代数, 其实我本来是不想把李代数当作李群的一个附庸而是想将其作为一个一般的数学概念来讲的. 但整个李群部分里肯定要提一下如何利用杨图来寻找表示的张量积与张量积表示的直和分解, 毕竟群表示理论就是群论在物理学的核心.

我记得 A. Zee 那本群论 Group Theory in a Nutshell for Physicists里也强调了杨图. 嗯, 特地强调了你千万不要去学杨图 (?), 他说人生苦短, 整这些搬砖工作是没意义的[[1]](#ref_1).$\overline{}$ 但对粒子物理来说, 我们在标准模型里肯定经常要找不可约表示啊. 所以我决定到时候就只讲讲怎么直接用杨图处理 $\text{SU}\left(N\right)$ 的表示, 至于其背后的原理我打算只字不提.

而要处理各种不可约表示的话肯定要先清楚一些最常见的表示的概念, 比如基本表示、伴随表示之类, 但要想讲清楚伴随表示之类的内容就还是得引入先李代数的概念. 我总不能李群讲到一半突然唐突开讲代数结构然后又跳回李群讲表示论吧? 反正我不喜欢这样, 太乱了这样. 所以只好先讲讲李群对应的那些李代数, 先凑合着用着.

李代数作为一个独立的数学对象能讨论的东西也不少, 比如说单不单啦、理想的概念啦、子代数与 Cartan-Weyl 基与根图之类的啦. 这些就不会在这里讲了, 将来讲完李群之后可能会谈谈这个问题. 至于说后面我估计就是讲讲洛伦兹群 $\text{O}\left(1,3\right)$ 和特殊线性群 $\text{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)$ 以及旋量的概念了吧, 这样应该就可以比较顺利地对 QFT 之类的科目下毒手了, 然后李群部分我觉得就没啥好讲的了. 噢对对对, 还有一个 Clifford 代数可能也要想办法深入浅出地整整.

说实话我有点儿不想继续写了, 我突然又觉得我前面设计的符号不够优美了, 总之就是很嫌弃. 有点想把前面的符号全都改掉再继续写.

目録

12.$\text{SO}\left(3\right)$的不可约表示

12.1. $\text{SO}\left(3\right)$ 的全体不可约表示 12.2. 球谐函数构成 $\text{SO}\left(3\right)$ 的无穷维表示的基底

12i[2]. 李群的李代数 (Lie algebra)

12i.1. 一般李代数的定义 12i.2. 结构常数与结构张量的概念 12i.3. 李群对应的李代数 12i.4. 引入李代数的目的 12i.5. 常见李群对应的李代数里边儿的都是些啥

14. 伴随表示 (adjoint representation)

14.1. 李群与李代数的表示 14.2. 李群的伴随表示 14.3. 举例 $\text{SU}\left(2\right)$ 的伴随表示 14.4. 李代数的伴随表示

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12. $\text{SO}\left(3\right)$ 的不可约表示

上节给出了 $\text{SU}\left(2\right)$ 的全体不可约表示, 而 $\text{SO}\left(3\right)$ 给人感觉不就是半个 $\text{SU}\left(2\right)$ 吗?

所以理所当然地, $\text{SO}\left(3\right)$ 的全体不可约表示也算是找着了.

12.1.$\text{SO}\left(3\right)$的全体不可约表示:

✦ 我们曾经介绍了二重覆盖映射: $D:\text{SU}\left(2\right)\to \text{SO}\left(3\right)$ [3].

具体而言是 $D{\left[U\left(\vec{n},\omega \right)\right]}_b^a=\frac{1}{2}\text{tr}\left({\sigma }^{a}U{\sigma }_b{U}^{-1}\right)=\mathcal{R}{\left(\vec{n},\omega \right)}_b^a\in \text{SO}\left(3\right)$.

✦ 上述映射有时可以从 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示中诱导出 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示:

方法就是强行定义 $R_j^{\text{SO}\left(3\right)}\left[D\left(U\right)\right]\equiv R_j\left(U\right),U\in \text{SU}\left(2\right)$.

这样就可由 $\text{SU}\left(2\right)$ 的复线性表示 $R_j$ 诱导出一个 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示 $R_j^{\text{SO}\left(3\right)}$. 就是说 $R_j^{\text{SO}\left(3\right)}$ 将 $D\left(U\right)$ 映射到 $R_j\left(U\right)$ 上, 既 $R_j^{\text{SO}\left(3\right)}:\text{SO}\left(3\right)\to \text{GL}\left(P_j\right)=\text{GL}\left(2j+1,\mathbb{C}\right)$. 但没这么便宜, 还记得我们的 $R_j\left(-U\right)={\left(-1\right)}^{2j}{R}_j\left(U\right)$ 吗? 我们知道二重覆盖映射的 $D\left(-U\right)=D\left(U\right)$ 是恒成立的. 如果 ${R}_{j}\left( -U \right)\ne {R}_{j}\left( U \right)$ 的话 $R_{j}^{\text{SO}\left( 3 \right)}$ 将无法构成一个映射[[4]](#ref_4). 所以结论就是 $j$ 取整数时可以如上所述地诱导出 $R_j^{\text{SO}\left(3\right)}$ , 取半整数时则不行. 所以 $\text{SO}\left( 3 \right)$ 的全体不可约表示即 $\left\{ \left. \left[ \text{SO}\left( 3 \right),{P}_{j},R_{j}^{\text{SO}\left( 3 \right)} \right]\ \right|\ j\in {\mathbb{N}_{+} \right\}$.$\overline{}$ 同态性用屁股都能证明, 但我还是写一下: $\ \ \ \ R_{j}^{\text{SO}\left( 3 \right)}\left[ D\left( U \right) \right]R_{j}^{\text{SO}\left( 3 \right)}\left[ D\left( {U}'} \right) \right]$ $={R}_{j}\left( U \right){R}_{j}\left( {U}'} \right)={R}_{j}\left( U{U}' \right)=R_{j}^{\text{SO}\left( 3 \right)}\left[ D\left( U{U}' \right) \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =R_{j}^{\text{SO}\left( 3 \right)}\left[ D\left( U \right)D\left( {U}'} \right) \right]$.

なに, 简单来说其实就是:

一切都很清晰, 就是说虚箭头的存在需要 $R_j$ 不忠实, 因为 $D$ 一定不忠实.

总的来讲就是说, 我们有了 $\text{GL}\left(P_j\right)$ 上的一组表示矩阵, 它们一开始是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示矩阵, 而 $\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{SO}\left(3\right)$ 之间存在二对一同态映射 所以这一组表示矩阵就基本上也可以拿去给 $\text{SO}\left(3\right)$ 当表示矩阵. $\overline{}$ 当这组表示矩阵做 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示矩阵不忠实的时候, 也就是俩群元对一个矩阵的时候 这个表示映射就也是一个二对一同态映射, 而且二对一表示映射的这个二和二重覆盖的二是同一个二, 即都是 $\pm U\in \text{SU}\left(2\right)$ 映射到同一个东西上去, 所以这组表示矩阵做 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示矩阵反而是忠实的了. $\overline{}$ 实际上二重覆盖本身就可以看作是一个特殊的二对一表示映射, 这样来看 $\text{SO}\left(3\right)$ 作为矩阵群本身就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的三维不忠实表示矩阵的集合.

12.2. 球谐函数构成$\text{SO}\left(3\right)$的无穷维表示的基底

暂无兴致, 日后详讲.

12i[2]. 李群的李代数 (Lie algebra)

12i.1. 一般李代数的定义:

✦ 李代数从名字来看也知道它是一个代数, 即一个线性空间, 我们用符号 $\mathfrak{g}$ 来表示.

何为代数? 代数又叫线性代数, 本质就是定义了矢量乘法 $V\times V\to V$ 的线性空间 $V$ .

李代数的乘法称为李括号, 写作 $\left[\cdot ,\cdot \right]:\mathfrak{g}\otimes \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ [5].

它的作用是填俩矢量得到另一个矢量, 即对 $\forall X,Y\in \mathfrak{g}$ 有$\left[ X,Y \right]=Z\in \mathfrak{g}.$

然后李括号必须满足:

(1). 反对称性 $\left[ X,Y \right]=-\left[ Y,X \right]$.(2). 雅可比恒等式 $\left[ X,\left[ Y,Z \right] \right]+\left[ Y,\left[ Z,X \right] \right]+\left[ Z,\left[ X,Y \right] \right]=0$.

✦ 举个例子罢, 哈哈你肯定在想量子力学里那一套或者泊松括号对吧? 我偏不说这俩.

说个神秘的: 其实三维实空间 {\mathbb{R}^{3} 就事一个李代数. 它的李括号是什么? 就是叉乘, think about it. 更神秘的是, 其实 {\mathbb{R}^{3}=\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)=\mathfrak{s}\mathfrak{o}\left( 3 \right), 你要很懂泡利算符与叉乘的关系就能想通.

这就是李代数, 可以看到, 它和李群可以一点儿关系也没有, 本质就是一个代数, 即线性空间.

12i.2. 结构常数与结构张量的概念:

✦ 其实这个概念就源于李括号, 李括号作为群乘法本质上是一个线性空间中的 (1,2) 型张量.

让我们先在李代数 $\mathfrak{g}$ 中找一组标准正交基 $\left\{J_a|a=1,2,\cdots \right\}$ 且设 $X,Y,Z\in \mathfrak{g}$.

这样一来就有 $X=X^a{J}_a,X^a\in \mathbb{R}$ , 注意重复指标缩并求和, 这对 $Y,Z$ 同理.

李括号本质和张量是一回事, 还记得什么是张量的本质吗? 就是一个无情的映射机器对吧?

李括号不也是吗? 往里面输入俩李代数中的矢量就能输出一个李代数中的矢量. 这完全可以用一个 (1,2) 型张量来描述[[6]](#ref_6): $\left[ X,Y \right]=Z\to {C}^{c}_{ab}{X}^{a}{Y}^{b}={Z}^{c}$. 上面的 $C_{ab}^c$ 就是结构常数, 它是结构张量在确定基底下的分量, 会随基底的选取而变.

✦ 作用在基矢上可以求得结构常数:

设作用在基底上时为 $\left[J_1,J_2\right]=S\to C_{ab}^c{\left(J_1\right)}^a{\left(J_2\right)}^b=C_{12}^c=S^c,S\in \mathfrak{g}$.

注意上面的 $J_1$ 是基矢, 所以它只在第 $1$ 分量等于 $1$, 其它分量都是 $0$, 然后 $J_2$ 同理. 你接着可以再求 $S$ 与 $J_3$ 的内积 $\left(J_3,S\right)=S^3=C_{12}^3$, 这是一个求结构常数的办法. 从上面的过程我们不难发现结构常数确实是依赖于基底的选取的.

✦ 注意到 $S\in \mathfrak{g}$ 也可以被基矢量展开, 所以我们可以进一步写出 $\left[J_1,J_2\right]=S=S^a{J}_a$.

然后我们前面已经知道 $C_{12}^c=S^c$ 了, 所以就有 $\left[J_1,J_2\right]=S^a{J}_a=C_{12}^a{J}_a$.

那再写的笼统一点不就是 $\left[ {J}_{a},{J}_{b} \right]={C}^{c}_{ab}{J}_{c}$ 吗?所以有的地方 (实际上是除了芝加哥学派的几乎所有地方都) 会这样定义结构常数[[7]](#ref_7). 但从前面的讨论, 我们不难看出来, 这其实是一回事.

12i.3. 李群对应的李代数:

✦ 一言蔽之, 李群 $G$ 对应的李代数 $\mathfrak{g}$ 其实就是李群的生成元空间[8].

我们曾在[[此文]](https://zhuanlan.zhihu.com/p/340870993) 中介绍了李群中的单参子群与生成元的概念[[9]](#ref_9).

我们研究的李群都是矩阵群[10], 那按定义来看, 生成元无非就也是矩阵咯.

所以相应的李括号很自然地就被定义为生成元作为矩阵的对易子.

李群对应的李代数的记号与其本身的记号是一一对应的.

比如说 $\mathfrak{g}\equiv \mathrm{Lie}G,\mathfrak{su}\left(2\right)\equiv \mathrm{Lie}\mathrm{SU}\left(2\right),\mathfrak{gl}\left(V\right)\equiv \mathrm{LieGL}\left(V\right)$ 这样. 这个字体是 \mathfrak{}, 即德文尖角体. frak for Fraktur[[11]](#ref_11).

✦ 我们研究的李群都是实流形, 所以李代数作为它的切空间自然是实空间.

✦ 确定李群对应的李代数是唯一的, 反之不然, 但确定李代数对应的单连通李群是唯一的.

经典老番: $\mathfrak{su}\left(2\right)=\mathfrak{so}\left(3\right)$, 这俩真的是包罗万象, 什么关系都让它们懂完了. 上面的等号表示的是李代数同构, 这等于说一个李代数生成了俩不同的李群. 都是指数映射, 为啥结果还能不同? 这其实归结为映射的方式不同, 即李代数的表示不同. 看作矩阵指数的话, 二维表示的李代数就生成了 $\text{SU}\left( 2 \right)$, 三维表示就生成了 $\text{SO}\left( 3 \right)$[[12]](#ref_12). 其实 $\text{SO}\left(3\right)$ 作为矩阵李群本身就可看作是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的一个不忠实表示 (个人观点). $\overline{}$ 然后就是, 一个李代数生成了多个李群时, 那个单连通的李群将是其它李群的覆盖群. 比如说 $\text{SU}\left(2\right)$ 就是单连通李群, $\text{SO}\left(3\right)$ 就不是, 所以前者是后者的二重覆盖群. 一般来说这个覆盖关系不一定是二重覆盖, 几重都可能, 这个结论我就不证明了[[13]](#ref_13).

✦ 李括号其实不是无中生有的东西, 它源于群乘法:

前面讲了李群群元都可以表达为 {\text{e}^{\text{i}tJ} , 其中 $t\in \mathbb{R}$ 参数也[14], $J\in \mathfrak{g}$ 生成元也.

那在恒等元无穷小领域内的群元, 其实就可以取一阶近似了, 即 {\text{e}^{\text{i}\varepsilon J}=I+\text{i}J\varepsilon .

我们知道李群一般而言都是非阿贝尔的, 这是群乘法的特性.

非阿贝尔就说明一般来说对 $g,g^{\prime }\in G$ 都有 {g}'g{g}'}^{-1}\ne g . 那在恒等元领域内就是这样的: {\text{e}^{\text{i}\varepsilon {J}'}{\text{e}^{\text{i}\varepsilon J}{\text{e}^{-\text{i}\varepsilon {J}'}=\left( I+\text{i}{J}'\varepsilon \right)\left( I+\text{i}J\varepsilon \right)\left( I-\text{i}{J}'\varepsilon \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =I+iJ\varepsilon +J{J}'{\varepsilon }^{2}-{J}'J{\varepsilon }^{2}+{J}'}^{2}{\varepsilon }^{2} $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\text{e}^{\text{i}\varepsilon J}+\left[ J,{J}' \right]{\varepsilon }^{2}+{J}'}^{2}{\varepsilon }^{2}$所以说这个对易子 $\left[ J,{J}' \right]$ 其实就藏在这个非阿贝尔性造成的差异里.

实际上生成元的对易子还有一种定义就是流形上的矢量场的对易子[15]在恒等元处的矢量.

可以证明这个定义在矩阵李群中与矩阵对易子的定义是等价的.

12i.4. 引入李代数的目的:

✦ 为何要研究李代数? 因为要研究李群. 为何要研究李群? 这就是你自己的问题了.

我们知道李群是一个具有群结构的流形, 也就是说, 是一块儿歪七扭八的几何体或空间. 那搞起来肯定很苦手, 所以我们就采取了物理人的终极奥义"展开一阶近似"来研究李群. 所谓一阶近似就是用切线代替曲线、用切面代替曲面、用切空间代替流形. 而李代数, 其实就是李群在恒等元处的切空间, 这就是二者的联系.

✦ 李代数的另一个解释是李群的全体左不变矢量场的集合.

这与前面并不矛盾, 因为全体左不变矢量场的集合作为李代数与恒等元的切空间是同构的.

✦ 但李群那么大一坨 (简单起见我们这里仅考虑紧致单连通李群), 你只研究一个点, 有啥用?

但其实这么做的巧妙之处就在这里, 我们可以从恒等元的切空间中 somehow 届到任意群元.

具体而言即李代数中的一个矢量可以生成一条紧李群上的参数曲线从而联系到每个群元.

掌握群元就等于是掌握了集合中的点, 但群身为群, 它比一般集合的高级之处就在于其群乘法.

而李括号就是由群乘法诱导出来的矢量乘法, 它一定程度上地反映了群乘法的特性.

所以综上所述, 我们可以用李群的李代数来研究李群的部分特性.

✦ 举一个比较具体的例子的话, 就是可以通过李代数的表示找到李群得表示.

因为李群的表示本质上是与李群本身同构 (或同态的) 矩阵群, 我们就先只考虑同构的情况吧, 也即忠实表示的情况, 此时的矩阵群理论上可以就当作是李群的定义, 然后求这个矩阵李群的生成元, 得到的也是一个矩阵代数, 而这正好就是李代数的表示. $\overline{}$ 但我们一般都是反过来, 因为李代数的表示比较容易找. 即我们可以找到一个李代数的表示以后通过指数映射得到李群的一个表示. 不过得到的都是单连通李群的表示, 像一堆李群共用一个李代数的情况, 里面只有一个李群是单连通的, 然后它是其它李群的覆盖群.

12i.5. 常见李群对应的李代数里边儿的都是些啥:

基本上就是把群元写成单参子群的形式然后操作一通.

✦ $\mathfrak{gl}\left(V\right)$ 其实就是 $\text{End}\left(V\right)$[16].

其实这没啥好讲的, 因为 $\text{GL}\left(V\right)$ 只要求群元可逆, 其群元若写为指数映射形式就是 {\text{e}^{\text{i}tM}. 请问这对 $M$ 有啥要求吗? 都写成 {\text{e}^{\text{i}tM} 这个形式了, 无论怎样都铁可逆好吧.

✦ $\mathfrak{so}\left(n\right)$ 里边儿的都是 $n\times n$ 的反对称阵, 既满足 $A^{\text{T}}=-A$ 的矩阵.

这是因为 $\text{SO}\left(n\right)$ 要求群元满足 {Q}^{\text{T}Q={1}_{n\times n}. 把上述条件写成指数形式就是 {\left( {\text{e}^{\text{i}tA} \right)}^{\text{T}{\text{e}^{\text{i}tA}={1}_{n\times n}. 对上式关于 $t$ 求导得 {\left( \text{i}A{\text{e}^{\text{i}tA} \right)}^{\text{T}{\text{e}^{\text{i}tA}+{\left( {\text{e}^{\text{i}tA} \right)}^{\text{T}\text{i}A{\text{e}^{\text{i}tA}=0. 取 $t=0$ 得 {\left( \text{i}A \right)}^{\text{T}+\text{i}A=0\Rightarrow {A}^{\text{T}=-A. $\overline{}$ 然后你说没用到条件 $\left|Q\right|=1$ ? 没啥好用的, $\text{SO}\left( n \right)$ 与 $\text{O}\left( n \right)$ 的李代数是一回事[[17]](#ref_17).

✦ $\mathfrak{su}\left(n\right)$ 里面都是 $n\times n$ 的无迹厄米阵, 你说反厄米也行, 无非就是全体矢量一起乘个 $\text{i}$.

首先 $\text{SU}\left(n\right)$ 的群元要满足 $U^{†}U=1_{n\times n}$. 把上述条件写成指数形式就是 ${\left(e^{\text{i}tH}\right)}^{†}{e}^{\text{i}tH}=1_{n\times n}$. 对上式关于 $t$ 求导得 {\left( \text{i}H{\text{e}^{\text{i}tH} \right)}^{\dagger }{\text{e}^{\text{i}tH}+{\left( {\text{e}^{\text{i}tH} \right)}^{\dagger }\text{i}H{\text{e}^{\text{i}tH}=0. 取 $t=0$ 得 ${\left(\text{i}H\right)}^{†}+\text{i}H=0\Rightarrow H^{†}=H$. 如果要取 $A=\text{i}H$ 做生成元, 这样 $A^{†}=-\text{i}{H}^{†}=-\text{i}H=-A$ 就是厄米的了. $\overline{}$ 然后就是 $\text{SU}\left(n\right)$ 的群元要满足 $\left|U\right|=1$. 把上述条件写成指数形式就是 \left| {\text{e}^{\text{i}tH} \right|=1. 从 QM 我们就老知道厄米阵 $H$ 可以通过幺正换变成对角阵 $\Lambda$ 了. 就是说有 $H=U\Lambda {U}^{\dagger }$ , 然后对角线上都是本征值, 即 $\Lambda =\left[ \begin{matrix} {\lambda }_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & {\lambda }_{n} \\ \end{matrix} \right]$. 然后我们又要用一个 QM 里老常见的手段了: {\text{e}^{\text{i}tH}=\sum\limits_{m=0}{\frac{\left( \text{i}tH \right)}^{m}{m!}\ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{m=0}{\left( \text{i}t \right)}^{m}\frac{\left( U\Lambda {U}^{\dagger } \right)}^{m}{m!}\ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{m=0}{\left( \text{i}t \right)}^{m}\frac{U\Lambda {U}^{\dagger }{\left( U\Lambda {U}^{-1} \right)}^{m-1}{m!}\ \ \ \ \ \ =U\sum\limits_{m=0}{\left( \text{i}t \right)}^{m}\frac{\Lambda }^{m}{m!}{U}^{\dagger } $\ \ \ \ \ \ =U\sum\limits_{m=0}{\left( \text{i}t \right)}^{m}\frac{\left[ \begin{matrix} \lambda _{1}^{m} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda _{n}^{m} \\ \end{matrix} \right]}{m!}{U}^{\dagger }=U\left[ \begin{matrix} {\text{e}^{\text{i}t{\lambda }_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & {\text{e}^{\text{i}t{\lambda }_{n} \\ \end{matrix} \right]{U}^{\dagger }$然后就有 $\left| {\text{e}^{\text{i}tH} \right|=\left| U\left[ \begin{matrix} {\text{e}^{\text{i}t{\lambda }_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & {\text{e}^{\text{i}t{\lambda }_{n} \\ \end{matrix} \right]{U}^{\dagger } \right|={\text{e}^{\text{i}t\sum\limits_{m}{\lambda }_{m}={\text{e}^{\text{i}t\left( \text{tr}H \right)}$. 所以如果说 \left| {\text{e}^{\text{i}tH} \right|={\text{e}^{\text{i}t\left( \text{tr}H \right)}=1 的话, 那么就要求 $\text{i}t\left(\text{tr}H\right)=2m\pi ,m\in \mathbb{Z}$. 上面那个要求是对 $\forall t\in \mathbb{R}$ 都要成立的, 所以只能取 $\text{tr}H=0$, 所以说要无迹.

其实 \left| {\text{e}^{H} \right|={\text{e}^{\text{tr}H} 还不够酷, 更一般地有 \left| M \right|={\text{e}^{\text{tr}\left( \ln M \right)}, 且只要求 $M$ 可对角化[18].

下面是一般性结论的证明过程, 你自己要实在搞不定又好奇就看看答案吧:

https://www.zhihu.com/question/473993868/answer/2021876735✦ 暂只分析这仨吧, 因为你自己也看到了, 分析起来特别简单, 套路单调又老套, 其它留作练习.

14. 伴随表示 (adjoint representation)

所谓表示, 就是与一个矩阵集合之间的同态映射, 而矩阵作为线性变换作用到的空间就称为表示空间. 在众多的表示中有一个表示特别地显眼以至于要专门拎出来讲, 这就是伴随表示. 这里的伴随指的是 adjoint, 即伴随作用 ($\text{Ad}$ 作用) 的那个伴随, 因为在定义伴随表示的时候会需要一堆伴随作用来引导所以被称为伴随表示, 这个表示蛮几把抽象的但并不难懂.

14.1. 李群与李代数的表示:

✦ 和群表示类似, 代数也有表示, 表示就是到线性变换集合的同态映射, 因为我们很懂线性变换.

群表示就是我们熟知的 3P 结构, 简记为 $\left(G,V,R\right)$:

Player 分别为 [群 $G$ ] [表示空间 $V$ 上的一般线性群 $\text{GL}\left( V \right)$ ] 与 [同态映射 $R$ ]. 同态映射的同态指的是保群乘法: $R\left(g_{\alpha }{g}_{\beta }\right)=R\left(g_{\alpha }\right)R\left(g_{\beta }\right),g_{\alpha },g_{\beta }\in G$.

李代数的表示也是一个 3P 结构, 简记为 $\left(\mathfrak{g},V,R\right)$:

即 [李代数 $\mathfrak{g}$] [表示空间 $V$ 上的线性变换集合 $\text{End}\left( V \right)$] 与 [**线性**[[19]](#ref_19)同态映射 $R$].线性同态映射的同态指保李括号[[20]](#ref_20): $R\left( \left[ X,Y \right] \right)=\left[ R\left( X \right),R\left( Y \right) \right],\ \ X,Y\in \mathfrak{g}$. 其中等号左边的李括号是李代数里的矢量乘法, 右边的李括号是矩阵对易子. $\overline{}$ 值得一提的是, 李代数取了一个表示之后就凭空多出了一个矩阵乘法运算, 而原来李代数里只有加法, 数乘与李括号, 即这个矩阵乘法运算不是李代数的内容. 所以多出来的这个矩阵乘法运算在不同表示里没啥必然联系, 纯粹是垃圾信息.

14.2. 李群的伴随表示:

✦ 对 $\forall g\in G$ 生成的伴随作用 \text{A}{\text{d}_{g}:G\to G 是我们熟知的: \text{A}{\text{d}_{g}{g}'=g{g}'{g}^{-1}.

✦ 类似地对 $\forall g\in G$ 照样可以定义一个李代数到李代数的伴随作用 \text{a}{\text{d}_{g}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}.

具体而言就是对 $\forall g\in G,\forall X\in \mathfrak{g}$ 有 \text{a}{\text{d}_{g}X=gX{g}^{-1}\in \mathfrak{g}.

这里的乘法就是矩阵乘法, 反正现在只研究矩阵李群.

关键这是个什么道理呢? 你怎知 $gX{g}^{-1}\in \mathfrak{g}$ 呢? 好, 且听我娓娓道来:

其实我们早在介绍单参子群时就埋下了伏笔: 就你会发现对一条单参子群进行伴随作用之后会得到另一条单参子群. 即单参子群 $g_x\left(t\right)$ 对 $\forall g\in G$ 都可以生成新的单参子群 $g{g}_x\left(t\right)g^{-1}$. 新曲线过恒等元: $g{g}_x\left(0\right)g^{-1}=g_x\left(0\right)$. 新曲线满足群乘法: $g{g}_x\left(t_1\right)g^{-1}g{g}_x\left(t_2\right)g^{-1}=g{g}_x\left(t_1+t_2\right)g^{-1}$. だからね、 $g_y\left(t\right)\equiv g{g}_x\left(t\right)g^{-1}$ 就是一条全新的单参子群了. $\overline{}$ 我们前面提到过单参子群唯一对应一款生成元, 且为指数映射形式. 即可以将俩单参子群分别表达为 {g}_{x}={\text{e}^{\text{i}tX},{g}_{y}\left( t \right)={\text{e}^{\text{i}tY}, 然后: 然后 {g}_{y}\left( t \right)={\text{e}^{\text{i}tY}=g{g}_{x}\left( t \right){g}^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{n=0}{g\frac{\left( \text{i}tX \right)}^{n}{n!}{g}^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{n=0}{g\left( \text{i}tX \right){g}^{-1}g\frac{\left( \text{i}tX \right)}^{n-1}{n!}{g}^{-1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{n=0}{\frac{\left( g\text{i}tX{g}^{-1} \right)}^{n}{n!}={\text{e}^{\text{i}tgX{g}^{-1}\Rightarrow gX{g}^{-1}=Y\in \mathfrak{g}. 证毕, 又来了, 这招实在是太常用了.

✦ 于是就得到了所谓的伴随表示 $\left(G,\mathfrak{g},\text{ad}\right)$ 了, 其中 $\text{ad}:G\to \text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$.

对 $\forall g\in G$ 生成的 $\text{a}{\text{d}_{g}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 作为线性变换[[21]](#ref_21)显然都是 $\text{End}\left( \mathfrak{g} \right)$ 中的元素, 而该映射又显然可逆, 故有 \text{a}{\text{d}_{g}\in \text{GL}\left( \mathfrak{g} \right)\subset \text{End}\left( \mathfrak{g} \right). 这样就又找到了一个群 $G$ 到一般线性群 $\text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$ 的映射 $\mathrm{ad}:\text{G}\to \text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$. 它是不是同态映射呢? 显然是的: \text{a}{\text{d}_{g{g}'}X=g{g}'X{g}'}^{-1}{g}^{-1}=g\left( \text{a}{\text{d}_{g}'}X \right){g}^{-1}=\text{a}{\text{d}_{g}\text{a}{\text{d}_{g}'}X. 哦豁, 找到一个 $G\to \text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$ 的映射, 还保群乘法, you feel me?

✦ 李群的伴随表示都是自共轭表示.

✦ 李群伴随表示的维度就是对应流形的维度, 也是李代数的维度[22]或独立生成元的个数.

那 $\text{SU}\left(2\right)$ 的伴随表示是几维的呢? 一共 $3$ 个独立生成元所以就是 $3$ 维咯. 现在你知道为何复线性表示 $R_j$ 在 $j=1$ 时被称作伴随表示了吧? 因为这个表示的维度正好是 $2j+1=3$ 维, 下一节我们就分析一下这个问题.

14.3. 举例$\text{SU}\left(2\right)$的伴随表示:

结果将是令人意外的, 不过我估计你从伴随表示的定义出发都猜到了.

✦ 我们就从上一节的定义出发, 伴随表示映射就是 $\text{ad}:\text{SU}\left(2\right)\to \text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$.

这样对 $\forall U\in \text{SU}\left(2\right)$ 都能生成一个 \text{a}{\text{d}_{U}:\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)\to \mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right), 它是 $\text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$ 中的元素.

我们前面已经证明了 $\mathfrak{su}\left(2\right)$ 里边儿都是无迹厄米阵, 自然可以用泡利算符 ${\sigma }_a$ 展开. 这就是说线性空间 $\mathfrak{g}$ 的基底就是 $\left\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\right\}$.

✦ 任意无迹厄米阵 $X$ 可以被泡利算符展开: $X=X^a{\sigma }_a,X^a\in \mathbb{R}$.

于是 $X$ 作为 $\mathfrak{su}\left(2\right)$ 的元素在这组基下写成一个三维实矢量 $\left(X^1,X^2,X^3\right)$ .

✦ 我们的 \text{a}{\text{d}_{U}\in \text{GL}\left( \mathfrak{g} \right) 作为线性变换在 $\left\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3\right\}$ 这组基下写成矩阵是长啥样的呢?

回想一下以前在 QM 求矩阵元[23]的操作: $M_b^a=⟨a|M|b⟩$.

这个操作可以理解为是 $⟨a|$ 作用在矢量 $M|b⟩$ 上, 即做内积 $\left(|a⟩,M|b⟩\right)$. 在我们这里也是一样的, 你想写出 {\left( \text{a}{\text{d}_{U} \right)}^{a}_{b} 对吧? 那就先作用在基矢 ${\sigma }_b$ 上得到一个另一个矢量 \text{a}{\text{d}_{U}{\sigma }_{b}. 然后再用另一个基矢 ${\sigma }_a$ 与 \text{a}{\text{d}_{U}{\sigma }_{b} 做内积: \left\langle {\sigma }_{a}\text{,}\ \text{a}{\text{d}_{U}{\sigma }_{b} \right\rangle =\frac{1}{2}\text{tr}\left( {\sigma }^{a}\text{a}{\text{d}_{U}{\sigma }_{b} \right). 别忘了这就是泡利矩阵基底下实空间矢量内积, 不懂的话建议参考 [[DLC]](https://zhuanlan.zhihu.com/p/340171183) 中的 2.3-(5).

于是就得到结论 {\left( \text{a}{\text{d}_{U} \right)}^{a}_{b}=\frac{1}{2}\text{tr}\left( {\sigma }^{a}\text{a}{\text{d}_{U}{\sigma }_{b} \right).

眼熟马? 哈哈, 你仔细康康 {\left( \text{a}{\text{d}_{U} \right)}^{a}_{b}=\frac{1}{2}\text{tr}\left( {\sigma }^{a}\text{a}{\text{d}_{U}{\sigma }_{b} \right)=\frac{1}{2}\text{tr}\left( {\sigma }^{a}U{\sigma }_{b}{U}^{-1} \right). 没错, 这就是我们可爱又迷人的二重覆盖同态映射下的表示矩阵的矩阵元 $D{\left(U\right)}_b^a$.

所以说 $\text{SU}\left(2\right)$的伴随表示 $\text{ad}:\text{SU}\left(2\right)\to \text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$ 其实就是 $D:\text{SU}\left(2\right)\to \text{SO}\left(3\right)$.

其实上一篇中我就揭示过谜底了: $\text{SU}\left(2\right)$ 的不可约表示与维度是一一对应的. 所以单从伴随表示与二重覆盖诱导的都是三维表示来看就知道它们等价了.

14.4. 李代数的伴随表示:

✦ 回到梦开始的地方, 我们人生中的第一个伴随作用是 \text{A}{\text{d}_{g}:G\to G.

受到启发定义 \text{a}{\text{d}_{g}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g} 并由此引导出 $\text{ad}:G\to \text{GL}\left(\mathfrak{g}\right)$ 作为李群的伴随表示.

很自然地会想定义 \mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}:\mathfrak{g}\to \mathfrak{g} 来引导出 $\mathfrak{ad}:\mathfrak{g}\to \text{End}\left(\mathfrak{g}\right)$ 作为李代数的伴随表示吧.

✦ 如何定义呢? 其实很简单, 只要定义为 \mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}Y=\left[ X,Y \right] 就好了.

首先, 对 $\forall X\in \mathfrak{g}$ 在此定义下生成的 \mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X} 确实是 $\mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$ 的映射, 即 \mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}\in \text{End}\left( \mathfrak{g} \right). 其次, 这铁是个线性变换, 因为对 $\forall c_1,c_2\in \mathbb{R},\forall X,Y,Z\in \mathfrak{g}$ 下式均成立: $\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}\left( {c}_{1}Y+{c}_{2}Z \right)=\left[ X,{c}_{1}Y+{c}_{2}Z \right]={c}_{1}\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}Y+{c}_{2}\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}Z$. 这就是说 \mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}\in \text{End}\left( \mathfrak{g} \right). 那它可逆否? 那随便, 咱并不要求可逆, 是 $\text{End}\left(\mathfrak{g}\right)$ 就足矣.

✦ 于是就得到了所谓的伴随表示 $\left(\mathfrak{g},\mathfrak{g},\mathfrak{ad}\right)$, 其中 $\mathfrak{ad}:\mathfrak{g}\to \text{End}\left(\mathfrak{g}\right)$.

它是不是同态映射呢? 就是说是否保代数乘法或者说李括号呢? 可以用雅可比恒等式证明: $\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{\left[ X,Y \right]}Z=\left[ \left[ X,Y \right],Z \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\left[ Z,\left[ X,Y \right] \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ X,\left[ Y,Z \right] \right]+\left[ Y,\left[ Z,X \right] \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ X,\left[ Y,Z \right] \right]-\left[ Y,\left[ X,Z \right] \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{Y}Z-\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{Y}\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}Z=\left[ \mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X},\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{Y} \right]Z.$$\overline{}$ 它是不是线性的呢? 显然是, 因为对 $\forall c_1,c_2\in \mathbb{R},\forall X,Y,Z\in \mathfrak{g}$ 下式均成立: $\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{c}_{1}X+{c}_{2}Y}Z=\left[ {c}_{1}X+{c}_{2}Y,Z \right]=\left( {c}_{1}\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{X}+{c}_{2}\mathfrak{a}{\mathfrak{d}_{Y} \right)Z$.

参考

• ^他说他老板当年就这么跟他说的, 但我怀疑他还是偷偷学了.
• ^ab12 与 14 之间的数字有点儿不太吉利, 理解一下.
• ^符号是 D, 你不用特地返回那一篇看符号是不是 D, 我早就回去暗改过了哈哈.
• ^因为映射虽然允许多对一, 但明确要求了不允许一对多.
• ^用张量积符号目的是强调这个映射是双线性的, 写成笛卡尔积也没错但就不一定是双线性了, 比如说复内积就不是双线性的, 就不可以写张量积而必须写笛卡尔积.
• ^仔细想想为什么能? 其实还是得益于李括号是一个双线性映射对吧?
• ^为什么这个世界就不能好好地统一一下说法? 球球了.
• ^一般都是实空间, 因为参数是实的.
• ^什么? 你说对这俩词没有印象? 哈哈其实这个是我后来暗改加上去的. 没看过的话建议回去看看.
• ^能搞懂这个已经不错了, 除非你搞弦论啥的, 要不然大大滴够用了.
• ^Fraktur 一词由拉丁语 frangere 的过去分词 fractus 而来, 与英语的 fracture 同源, 总之就是一种很酷但一般人的手写不出来的字体.
• ^李代数的表示后面会讲, 其实跟群的表示大同小异, 也是往线性变换或者说方阵的集合上进行同态映射 (这里指的同态就是能用矩阵对易子表达李括号, 因为李代数里的运算除了加法和数乘就只有李括号了).
• ^没啥必要证明, 因为我觉得这个结论特别酷所以很容易记住.
• ^后文中所有的参数都是实参数.
• ^矢量场的对易子还是一个矢量场.
• ^End for endomorphism, 是自同态的意思. 这个集合其实就可以理解为线性空间 V 上的全体线性变换的集合, 可逆的不可逆的都包括在内了.
• ^因为作为群流形而言, 后者分为两坨, 而前者是其中的一坨.
• ^点到为止, 不展开讲了, 你要感兴趣你可以自己证明一下试试, 还蛮有趣的.
• ^以前研究的群本身就没有线性结构所以不会强调同态映射的线性性.
• ^其实就是保代数乘法, 所以说你暂且可以就简单地认为所谓同态就是指保乘法.
• ^线性性很重要, 但同时又很显然, 所以这里提一下但不予以证明了.
• ^因为表示空间就是李代数嘛.
• ^我发现我真的是动不动就 QM, 悲.