終 · 一步到位的张量指标运算

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/359082678
• 发布日期: 2021-03-22
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

我当然可以直接告诉你具体的约定, 但我更愿意让你意识到这些约定的来源是直观而自然的.

对线性空间的构造不清晰的话还是得先看: 東雲正樹 - [前置内容] 从映射到张量

序言

终极版本了, 这一篇整出来以后, 关于指标运算的问题应该再也没啥能补充的了.

原来那个长不拉几的版本太新手向了, 故从另一个角度写一篇更直接的版本.

我会在这里搞这么多有的没的主要还是因为我真的很在乎记号的一致性与自洽性···

如果硬要说张量这块儿还有啥能说道的估计就是群论语境下的群变换张量了. 这个在相对论框架里相当重要, 比如经常有人说的不能凑四个分量就叫洛伦兹矢量之类. 在群论语境下的张量和矢量本质上和线性空间里的概念是一回事, 但又有微妙的不同.

在 [前置内容] 中我们明确定义了数域 $P$ 上线性空间 $V$ 与其对偶空间 $V^{\ast }$ 的概念, 在这个基础上我们又定义了 $\left(m,n\right)$ 型张量所处的线性空间 $\underset{共m个}{\underbrace{V\otimes \cdots \otimes V}}\otimes {\underbrace{V}}^{\ast }\otimes \cdots \otimes V_{共n个}^{\ast }$.

这些空间中的元素是会相互作用的:

例如 $u^{\ast }\in V^{\ast }$ 就是一个 $V\to P$ 的线性映射. 然后人为定义对 $v\in V$ 有 $v\left(u^{\ast }\right)\equiv v^{\ast \ast }\left(u^{\ast }\right)=u^{\ast }\left(v\right)\in P$. 而张量就是 $V^{\ast }\times \cdots \times V^{\ast }\times V\times \cdots \times V\to P$ 的多重线性映射.

到处都有线性变换的主动观点与被动观点一说, 这令初心者感到迷惑不解, 故在此我们将暂且回避一些这个问题: 将涉及到的所有相互作用全部归结为张量之间的缩并. 这样一来就不存在什么主动, 被动观点了.

我们前面已经证明了矢量、对偶矢量以及线性变换三者都是张量的一种, 故只需要研究张量之间的相互作用即可, 由此一切都将变得直观、粗暴且明了起来.

本文的目的就是介绍一个记号来轻松处理它们之间的相互作用.

撇开度规与内积的微妙区别, 本文将以内积为例处理所有情况. 主要是很少见度规配复空间, 而内积无论是在实数域还是复数域上的线性空间里都很常见.

考虑到初学者可能还是看到求和符号与基矢会比较踏实一点, 所以我一直到最后才去掉这些.

是的, 看完全文你就会发现我们今后可以用分量式来计算一切, 但我写东西的时候始终会出现 $T\to T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }$ 这样的箭头符号而不是用等号. 这是因为分量终究是分量, 它只是数域中的一个数, 虽然指定基底后的分量的通项与张量本身蕴含的信息量相同, 它们也终究不可能相等. 这和我以前强调狄拉克矢量和某确定表象下的波函数之间不能划等号是类似的[1]. 总之, 心里要区分好张量和它的分量, 绝对不要写出 $p^{\mu }=\left(p^0,p^1,p^2,p^3\right)=p$ 这样的式子. 不过写成 $p^{\mu }\to \left(p^0,p^1,p^2,p^3\right)=p$ 我就觉得很可以接受.

目録

1. 统一自洽的自然约定 (如果你不在乎细节的话, 这章不看也罢)

1.1. 在基矢与对偶基矢下的展开系数 1.2. 人为选择的自然约定 1.3. 矢量 $v$ 的第 $\mu$ 分量 $v^{\mu }$ 与对偶矢量 $v^{\ast }$ 的 $\mu$ 分量 $v_{\mu }\equiv {\left(v^{\ast }\right)}_{\mu }$的联系

2. 张量之间的相互作用与数表 (矩阵) 乘法的统一

2.1. 对偶矢量 $v^{\ast }$ 作用于矢量 $u$ 的情况 2.2. 矢量 $u$ 作用于对偶矢量 $v^{\ast }$ 的情况 2.3. (1,1) 型张量 $M$ 作用于矢量 $u$ 的情况 2.4. (0,2) 型张量 $M$ 作用于矢量 $u$ 的情况 2.5. (0,2) 型张量 $M$ 作用于 (2,0) 型张量 $N$ 的情况

3. 重复指标求和约定与张量积

3.1. 先列出前面涉及的所有计算式 3.2. 观察出结论 3.3. 由上述结论可知

3. 度规的升降指标效果*

4. 固定的指标结构与对偶空间对应的伴随对象

4.1. 指标结构的绝对固定性 4.2. 对偶空间的伴随式 4.3. 对偶空间中对应的伴随对象一律用 $†$ 或 $\ast$ 标记 4.4. 总结

5. 答疑环节

1. 统一自洽的自然约定 (如果你不在乎细节的话, 这章不看也罢)

1.1. 在基矢与对偶基矢下的展开系数:

✦ 一个 维线性空间 $V$ 中的基矢 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 是人为任意取定的,

由此可以通过条件 $e^{\mu }\left(e_{\nu }\right)={\delta }_{\nu }^{\mu }$ [2]生成对偶空间 $V^{\ast }$ 的基矢 $\left\{e^1,e^2,\cdots ,e^n\right\}$.

✦ $\forall v\in V$ 均可做展开 $v=\sum _{\mu =1}^n{v}^{\mu }{e}_{\mu }$.

其中 $v^{\mu }\equiv v\left(e^{\mu }\right)\in P$ 是系数, $e^{\mu }\in V^{\ast }$ 是对偶基矢, $e_{\mu }\in V$ 是基矢. 即选定了基矢的情况下我们可以用一组数 $\left\{v^1,v^2,\cdots ,v^n\right\}$ 来表征一个矢量.

✦ $\forall u^{\ast }\in V^{\ast }$ 均可做展开 $u^{\ast }=\sum _{\mu =1}^n{u}_{\mu }{e}^{\mu }$.

其中 $u_{\mu }=u^{\ast }\left(e_{\mu }\right)\in P$ 是系数, $e^{\mu }\in V^{\ast }$ 是对偶基矢, $e_{\mu }\in V$ 是基矢. 即选定了基矢的情况下我们可以用一组数 $\left\{u_1,u_2,\cdots ,u_n\right\}$ 来表征一个对偶矢量.

✦ $\forall \left(p,q\right)$ 型张量满足 $T=\sum _{\mu \cdots v\rho \cdots \sigma }^n{T}_{\rho \cdots \sigma }^{\mu \cdots \nu }{e}_{\mu }\otimes \cdots \otimes e_{\nu }\otimes e^{\rho }\otimes \cdots \otimes e^{\sigma }$.

其中 $T_{\rho \cdots \sigma }^{\mu \cdots \nu }\equiv T_{\left(e_{\rho },\cdots ,e_{\sigma }\right)}^{\left(e^{\mu },\cdots ,e^{\nu }\right)}\in P$ 是系数, $e^{\mu }\in V^{\ast }$ 是对偶基矢, $e_{\mu }\in V$ 是基矢. 即选定了基矢的情况下我们可以用一组数 $\left\{ {T}^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma } \right\}$ [[3]](#ref_3)来表征一个 $\left( p,q \right)$ 型张量.

✦ 总而言之, 在选定了基矢且生成了对偶基矢后, 一切张量 (包括矢量与对偶矢量) 都可以等价地看作是一组数, 而这组数就是分量系数.

1.2. 人为选择的自然约定:

我不太确定教科书上是怎么讲这块儿的, 所以我的说法可能会比较另类.

✦ 约定对偶空间的基矢量必须由条件 $e^{\mu }\left(e_{\nu }\right)={\delta }_{\nu }^{\mu }$ 结合 $\left\{e_1,e_2,\cdots ,e_n\right\}$ 生成.

生成的 $\left\{ {e}^{1},{e}^{2},\cdots ,{e}^{n} \right\}$ 被称为 $V$ 的对偶基矢[[2]](#ref_2), 是对偶空间 ${V}^{*}$ 的基矢.

✦ 内积是 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to P$ , 可以先放一个矢量 $v\in V$ 得到 $⟨v,\cdot ⟩:V\to P$.

其中 $⟨v,\cdot ⟩$ 作为矢量空间到数域的线性映射一定是 $V^{\ast }$ 中的元素, 即 $⟨v,\cdot ⟩\in V^{\ast }$.

然而选定同构映射后 $\forall v=\sum _{\mu =1}^n{v}^{\mu }{e}_{\mu }\in V$ 都总可以对应到某个 $v^{\ast }=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{e}^{\mu }\in V^{\ast }.$

矢量空间到对偶矢量空间的同构映射是不唯一的, 而同构映射是两个空间上的线性双射, 这也就是说只要选定一款同构映射后就可以由 $v$ 唯一地定出 $v^{\ast }$ 来. $\overline{}$ 那么这里的 $v^{\ast }=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{e}^{\mu }$ 与 $⟨v,\cdot ⟩$ 其实可以不是一回事. 毕竟一个是同构映射直接给出来的, 一个是内积诱导出来的. 但我们会人为地要求 $⟨v,\cdot ⟩=v^{\ast }=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{e}^{\mu }$, 这就是一个人为而自然的约定.

另外我们会要求同构映射使基矢 $e_{\mu }$ 必须对应到对偶基矢 $e^{\mu }$ 上, 这也是一个人为而自然的约定.

于是要求 $⟨v,\cdot ⟩=v^{\ast }=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{e}^{\mu }$ 的本质就变成了在要求 $⟨e_{\mu },\cdot ⟩=e^{\mu }$,

这就是在绑定内积的选择、同构映射的选择以及基矢的选择, 而它们的选择本来都是任意的. 结合对偶基矢生成条件 $e^{\mu }\left(e_{\nu }\right)={\delta }_{\nu }^{\mu }$ 就有 $⟨e_{\mu },e_{\nu }⟩={\delta }_{\nu }^{\mu }$. 这就是说在这些条件的制约下, 选择的内积必定是使得当下的基矢标准正交化的内积.

上面的情况是先选定了基矢与同构映射, 然后迫使内积与其相容, 但也可以先确定内积:

如果说已经选好了心仪的内积 $⟨\cdot ,\cdot ⟩:V\times V\to P$ , 那么要做出让步的就是基矢那边了. 内积选定了以后同构映射也就选好了, 即必须有 $v^{\ast }=⟨v,\cdot ⟩$, 然后我们会要求同构映射使基矢 $e_{\mu }$ 必须对应到对偶基矢 $e^{\mu }$ 上, 这就是说我们要求了 $e^{\mu }\equiv ⟨e_{\mu },\cdot ⟩$, 而对偶基矢和基矢必须满足关系 $e^{\mu }\left(e_{\nu }\right)={\delta }_{\nu }^{\mu }$, 即有 $⟨e_{\mu },e_{\nu }⟩={\delta }_{\nu }^{\mu }$, 于是这样选出来的基矢就必须是内积意义下的标准正交基了. 这就比较 trivial 了, 在空间中总能找到 $\left\{e_{\mu }\right\}$ 构成内积意义下的标准正交基是很显然的. $\overline{}$ 找到 $\left\{e_{\mu }\right\}$ 后就可以自然得出 $v_{\mu }={\left(v^{\mu }\right)}^{\ast }$ 这个熟悉的关系了 {v}^{*}=\left\langle v,\cdot \right\rangle =\left\langle \sum\limits_{\mu =1}^{n}{v}^{\mu }{e}_{\mu },\cdot \right\rangle =\sum\limits_{\mu =1}^{n}{\left( {v}^{\mu } \right)}^{*}\left\langle {e}_{\mu },\cdot \right\rangle }=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{v}_{\mu }{e}^{\mu }.

✦ 对 $\forall v\in V,\forall u^{\ast }\in V^{\ast }$ 约定 $v\left(u^{\ast }\right)\equiv v^{\ast \ast }\left(u^{\ast }\right)=u^{\ast }\left(v\right)$.

对偶空间 $V^{\ast }$ 作为线性空间亦有它的对偶空间 $V^{\ast \ast }$. 对 $\forall v^{\ast \ast }\in V^{\ast \ast }$ 必 $\exists v\in V$ 使得对 $\forall u^{\ast }\in V^{\ast }$ 均满足 $v^{\ast \ast }\left(u^{\ast }\right)=u^{\ast }\left(v\right)\in P$. 由此我们就建立 $v$ 与 $v^{\ast \ast }$ 的一一对应, 这就是 $V$ 与 $V^{\ast \ast }$ 间存在的自然同构. 同构映射有无数种, 但我们选择最自然的这种, 这还是一个人为而自然的约定. $\overline{}$ 我们通过条件 $v^{\ast \ast }\left(u^{\ast }\right)=u^{\ast }\left(v\right)$ 建立自然同构后人为约定的是 $v\left(u^{\ast }\right)\equiv v^{\ast \ast }\left(u^{\ast }\right).$

✦ 上面这些约定都是相辅相成的, 只有这样约定, 将来带有矩阵乘法的矩阵才能成为我们的工具.

这些约定是人为而自然的:

所谓人为就是说你确实可以不用这样约定, 就像希尔伯特空间是一个完备的内积空间, 本没有范数或者距离的概念, 但我们总会自然地将矢量的模定义为矢量到零矢量的距离. 你完全可以不遵从这个约定, 结果就是跟整个世界不同步成为一个自讨苦吃的家伙. $\overline{}$ 所谓自然就是说可以给出一个人为的约定, 让任何人都能通过这个约定独立地在确定的数学环境里找到一个确定的对象. 如在 $V$ 与 ${V}^{*}$ 间就不可能给出一个使大家能独立地找出一个确定的同构映射[[4]](#ref_4)的约定. 而我们前面论证了在 $V$ 与 $V^{\ast \ast }$ 之间是可以的, 我们称这个确定的同构映射为自然同构. $\overline{}$ 所以说自然的就是那个可以被挑选出来的, 而我们总是会人为地去选择那个自然的对象. 在有选择余地的时候我们当然会选择那个独一无二的, 这样体系也会更加对称. 这种做法是符合数理审美的, 事实上也只有这样体系才清晰且易于交流.

1.3. 矢量$v$的第$\mu$分量$v^{\mu }$与对偶矢量$v^{\ast }$的$\mu$分量$v_{\mu }\equiv {\left(v^{\ast }\right)}_{\mu }$的联系:

这由内积或度规决定, 已知内积满足 $⟨u,v⟩={⟨v,u⟩}^{\ast }$.

矢量的分量是显然的, 由标准正交基给出: $v^{\mu }\equiv e^{\mu }\left(v\right)=⟨e_{\mu },v⟩$. 对偶矢量的分量前面定义为 $v_{\mu }\equiv v^{\ast }\left(e_{\mu }\right)=⟨v,e_{\mu }⟩$. 于是就有 $v_{\mu }\equiv {\left(v^{\ast }\right)}_{\mu }={\left(v^{\mu }\right)}^{\ast }$, 二者差个复共轭, 当然如果是实数域就啥都不差了.

若用闵可夫斯基度规 g\to {g}_{\mu \nu }=\left\{ \begin{align} & 1\ \ \ \ \ \ \ \mu =\nu =0 \\ & -1\ \ \mu =\nu =1,2,3 \\ & 0\ \ \ \ \ \ \ \mu \ne \nu \\ \end{align} \right. 来取代内积的位置,

则二者的第零分量是相同的, 而 $1,2,3$ 分量均差一个负号, 暂不展开讲.

2. 张量之间的相互作用与数表 (矩阵) 乘法的统一

2.1. 对偶矢量$v^{\ast }$作用于矢量$u$的情况:

✦ 二者展开式分别为 $v^{\ast }=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{e}^{\mu },u=\sum _{\mu =1}^n{u}^{\mu }{e}_{\mu }$.

于是 {v}^{*}\left( u \right)=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{v}_{\mu }{e}^{\mu }\left( \sum\limits_{\nu =1}^{n}{u}^{\nu }{e}_{\nu } \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{v}_{\mu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }\left( {e}_{\nu } \right)}$=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{v}_{\mu }{u}^{\nu }{\delta }_{\nu }^{\mu }=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{u}^{\mu }$. 即有 $v^{\ast }\left(u\right)=\sum _{\mu =1}^n{v}_{\mu }{u}^{\mu }=\sum _{\mu =1}^n{u}^{\mu }{v}_{\mu }\in P$.

✦ 你会发现这个结果可以用矩阵运算表达出来:

$\left[ {v}_{1},\cdots ,{v}_{n} \right]\left[ \begin{matrix} {u}^{1} \\ \vdots \\ {u}^{n} \\ \end{matrix} \right]=\left[ {u}^{1},\cdots ,{u}^{n} \right]\left[ \begin{matrix} {v}_{1} \\ \vdots \\ {v}_{n} \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{u}^{\mu }{v}_{\mu }$. 所以有时候我们干脆就把 $v^{\ast }\left(u\right)=⟨v,u⟩$ 记作 $v^{\ast }u$ 或 $u{v}^{\ast }$ 了. 然后左边的就写成行矩阵右边的就写成列矩阵呗, 否则出来不是个数了.

2.2. 矢量$u$作用于对偶矢量$v^{\ast }$的情况:

$u\left(v^{\ast }\right)\equiv v^{\ast }\left(u\right).$

2.3. (1,1) 型张量$M$作用于矢量$u$的情况:

✦ 二者展开式分别为 $M=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }\otimes e^{\nu },u=\sum _{\mu =1}^n{u}^{\mu }{e}_{\mu }$.

于是 M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }\left( {e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu } \right)\left( u \right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu }\left( u \right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu }\left( \sum\limits_{\rho =1}^{n}{u}^{\rho }{e}_{\rho } \right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{\mu ,\nu ,\rho =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\rho }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu }\left( {e}_{\rho } \right)}$=\sum _{\mu ,\nu ,\rho =1}^n{M}_{\nu }^{\mu }{u}^{\rho }{e}_{\mu }{\delta }_{\rho }^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\nu }^{\mu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }$. 即有 $M_{\left(u\right)}^{\left(\cdot \right)}=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\nu }^{\mu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }\in V$.

✦ 你会发现这个结果可以用矩阵运算表达出来:

若设定 $u=\sum _{\mu =1}^n{u}^{\mu }{e}_{\mu }=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ ⋮\\ u^n\end{array}\right]$ 则意味着第 $\mu$ 行的单位是 $e_{\mu }$.

于是$\left[ \begin{matrix} {M}^{1}_{1} & \cdots & {M}^{1}_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {M}^{n}_{1} & \cdots & {M}^{n}_{n} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {u}^{1} \\ \vdots \\ {u}^{n} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}^{1}_{\nu }{u}^{\nu } \\ \vdots \\ \sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}^{n}_{\nu }{u}^{\nu } \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }$. 所以有时候我们干脆就把 $M_{\left(u\right)}^{\left(\cdot \right)}$ 记作 $Mu$ 了, 结果的第 $\rho$ 分量 {\left( Mu \right)}^{\rho }=Mu\left( {e}^{\rho } \right)=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }\left( {e}^{\rho } \right)}=\sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}^{\rho }_{\nu }{u}^{\nu }.

上面的关键点在于我摆矩阵的时候是将 $M_{\nu }^{\mu }$ 的两个分量指标按照左行右列的方式摆的.

这是一个与全世界[[5]](#ref_5)都统一的约定.

若设定 $u=\sum _{\mu =1}^n{u}^{\mu }{e}_{\mu }=\left[u^1,\cdots ,u^n\right]$ 则意味着第 $\mu$ 列的单位是 $e_{\mu }$.

于是 $\left[ {u}^{1},\cdots ,{u}^{n} \right]\left[ \begin{matrix} {M}^{1}_{1} & \cdots & {M}^{n}_{1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {M}^{1}_{n} & \cdots & {M}^{n}_{n} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \sum\limits_{\nu =1}^{n}{u}^{\nu }{M}^{1}_{\nu },\cdots ,\sum\limits_{\nu =1}^{n}{u}^{\nu }{M}^{n}_{\nu } \right]$$=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{u}^{\nu }{M}_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }$. 好像也得到了正确的结论对吧, 但这里有个小问题呀, 前面说得好好的左行右列摆矩阵的约定似乎被违背了, 然而实际上这个约定是极其重要的. 但假如我们将矩阵写成 $\left[ \begin{matrix} {M}^{1}_{1} & \cdots & {M}^{1}_{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {M}^{n}_{1} & \cdots & {M}^{n}_{n} \\ \end{matrix} \right]$ , 那么得到的结论就必然是错误的了. 既然是行列反了, 很自然地我们会想到通过取一个转置来解决这个问题. 具体而言就是可以通过等式 {M}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu }^{\mu } 来扭转一下左右指标来保证左行右列. 等式的原理就是若我们始终遵守左行右列约定, 则交换指标左右顺序就是取转置的过程, 此时内部的矩阵若再加一个转置标记, 则等于说是取了两次转置, 自然就自己本身. 换句话说就是转置矩阵的第 $\nu$ 行第 $\mu$ 列的元素等于原矩阵中第 $\mu$ 行第 $\nu$ 列的元素. $\overline{}$ 那现在利用这个等式, 一开始的式子就可以改写为遵守左行右列规则的式子: $\left[ {u}^{1},\cdots ,{u}^{n} \right]\left[ \begin{matrix} {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{1}^{1} & \cdots & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{1}^{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{n}^{1} & \cdots & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{n}^{n} \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{u}^{\nu }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }$.$=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\nu }^{\mu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }$ 即为所求. $\overline{}$最后观察 $\left\{ \begin{align} & \left[ {u}^{1},\cdots ,{u}^{n} \right]\left[ \begin{matrix} {M}^{1}_{1} & \cdots & {M}^{n}_{1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {M}^{1}_{n} & \cdots & {M}^{n}_{n} \\ \end{matrix} \right]=M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)} \\ & \left[ {u}^{1},\cdots ,{u}^{n} \right]\left[ \begin{matrix} {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{1}^{1} & \cdots & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{1}^{n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{n}^{1} & \cdots & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{n}^{n} \\ \end{matrix} \right]=M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)} \\ \end{align} \right.$ 你会发现无论从上面那个还是下面那个都可以得到相同的结论就是 M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)}=u{M}^{\text{T}.

至于说 M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)}=Mu=u{M}^{\text{T} 则是不奇怪的, 因为矢量或者对偶矢量就是一排数.

一排数你横着写还是竖着写只是约定不同罢了, 没啥本质区别, 所以矢量的转置可以无视.

所以就有 Mu={\left( Mu \right)}^{\text{T}={u}^{\text{T}{M}^{\text{T}=u{M}^{\text{T} 了.

第一个等号是因为 $Mu$ 本身是一排数. 第二个等号懂的都懂. 第三个等号是因为傻子都知道放矩阵左边的一排数得横着写.

2.4. (0,2) 型张量$M$作用于矢量$u$的情况:

✦ 二者展开式分别为 $M=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{e}^{\mu }\otimes e^{\nu },u=\sum _{\mu =1}^n{u}^{\mu }{e}_{\mu }$, 有两种作用方式.

一是 $M_{\left(u,\cdot \right)}=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{e}^{\mu }\left(u\right)\otimes e^{\nu }$$=\sum _{\mu ,\nu ,\rho =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\rho }{e}^{\mu }\left(e_{\rho }\right)\otimes e^{\nu }$$=\sum _{\mu ,\nu ,\rho =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\rho }{\delta }_{\rho }^{\mu }{e}^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }\in V^{\ast }$. 显然, 改变求和标记是没问题的: $\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\nu \mu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }$. $\overline{}$ 二是 {M}_{\left( \cdot ,u \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{e}^{\mu }\otimes {e}^{\nu }\left( u \right)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\sum\limits_{\mu ,\nu ,\rho =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\rho }{e}^{\mu }\otimes {e}^{\nu }\left( {e}_{\rho } \right)}$=\sum _{\mu ,\nu ,\rho =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\rho }{e}^{\mu }{\delta }_{\rho }^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }\in V^{\ast }$. $\overline{}$ 然而一般而言 $\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\nu \mu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }$ 与$\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }$ 是不相等的. 若相等的话, 就有 ${M}_{\mu \nu }={M}_{\nu \mu }$ 了, 我们知道虽然 ${M}_{\mu \nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu \mu }$ 是恒成立的[[6]](#ref_6),但 ${M}_{\mu \nu }={M}_{\nu \mu }$ 要是成立的话这个张量就被称为关于这俩指标对称的张量了[[7]](#ref_7).

✦ 你会发现这俩结果都可以分别用矩阵运算表达出来:

$\left[ {u}^{1},\cdots ,{u}^{n} \right]\left[ \begin{matrix} {M}_{11} & \cdots & {M}_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {M}_{n1} & \cdots & {M}_{nn} \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{u}^{\nu }{M}_{\nu \mu }{e}^{\mu }=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\nu \mu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }$. 所以有时候我们干脆就把 $M_{\left(u,\cdot \right)}$ 记作 $uM$ 了. 结果的第 $\rho$ 分量: {\left( uM \right)}_{\rho }=uM\left( {e}_{\rho } \right)=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }\left( {e}_{\rho } \right)}=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{M}_{\mu \rho }{u}^{\mu }. $\overline{}$ $\left[ \begin{matrix} {M}_{11} & \cdots & {M}_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {M}_{n1} & \cdots & {M}_{nn} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {u}^{1} \\ \vdots \\ {u}^{n} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}_{1\nu }{u}^{\nu } \\ \vdots \\ \sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}_{n\nu }{u}^{\nu } \\ \end{matrix} \right]=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }$. 所以有时候我们干脆就把 $M_{\left(\cdot ,u\right)}$ 记作 $Mu$ 了. 结果的第 $\rho$ 分量: {\left( Mu \right)}_{\rho }=Mu\left( {e}_{\rho } \right)=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }\left( {e}_{\rho } \right)}=\sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}_{\rho \nu }{u}^{\nu }.

✦ 那我凭什么就要把 $M_{\left(u,\cdot \right)}$ 记作 $uM$ 而把 $M_{\left(\cdot ,u\right)}$ 记作 $Mu$ 呢? 可以反过来吗?

可以, 但是你得带个转置:

就是把 $M_{\left(u,\cdot \right)}$ 记作 {M}^{\text{T}u 而把 $M_{\left(\cdot ,u\right)}$ 记作 u{M}^{\text{T}. 显然无论何时, 在左矩阵左边的 $u$ 都要写成行矩阵, 右边的要写成列矩阵[[8]](#ref_8).

这是什么原理呢?

原理我感觉超级显然吧, 不就还是 uM={\left( uM \right)}^{\text{T}={M}^{\text{T}{u}^{\text{T}={M}^{\text{T}u 吗? 当然严格来说还是和 2.3 的说法是完全类似的.

2.5. (0,2) 型张量$M$ 作用于 (2,0) 型张量$N$的情况:

✦ 二者展开式分别为 $M=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{M}_{\mu \nu }{e}^{\mu }\otimes e^{\nu },N=\sum _{\mu ,\nu =1}^n{N}^{\mu \nu }{e}_{\mu }\otimes e_{\nu }$.

比较棘手, 这也是我们要引入指标运算的原因, 这里分了四种情况, 实在懒得写, 暂不讨论.

3. 重复指标求和约定与张量积

3.1. 先列出前面涉及的所有计算式:

\left\{ \begin{align} & {v}^{*}=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{v}_{\mu }{e}^{\mu },\ u=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{u}^{\mu }{e}_{\mu } \\ & {v}^{*}\left( u \right)=\left\langle v,u \right\rangle =\sum\limits_{\mu =1}^{n}{v}_{\mu }{u}^{\mu }={v}^{*}u\in P \\ & {v}^{*}\left( u \right)=\left\langle v,u \right\rangle =\sum\limits_{\mu =1}^{n}{u}^{\mu }{v}_{\mu }=u{v}^{*}\in P \\ & u\left( {v}^{*} \right)\equiv {v}^{*}\left( u \right)\in P \\ \end{align} \right.

\left\{ \begin{align} & M=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu },\ u=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{u}^{\mu }{e}_{\mu } \\ & M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }=Mu\in V \\ & M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu }^{\mu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }=u{M}^{\text{T}\in V \\ & {\left( Mu \right)}^{\rho }=Mu\left( {e}^{\rho } \right)=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }\left( {e}^{\rho } \right)}=\sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}^{\rho }_{\nu }{u}^{\nu } \\ \end{align} \right.

\left\{ \begin{align} & M=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{e}^{\mu }\otimes {e}^{\nu },u=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{u}^{\mu }{e}_{\mu } \\ & {M}_{\left( u,\cdot \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }=uM\in {V}^{*} \\ & {M}_{\left( u,\cdot \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu \mu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }={M}^{\text{T}u\in {V}^{*} \\ & {M}_{\left( \cdot ,u \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }=Mu\in {V}^{*} \\ & {M}_{\left( \cdot ,u \right)}=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu \mu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }=u{M}^{\text{T}\in {V}^{*} \\ & {\left( uM \right)}_{\rho }=uM\left( {e}_{\rho } \right)=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }\left( {e}_{\rho } \right)}=\sum\limits_{\mu =1}^{n}{M}_{\mu \rho }{u}^{\mu } \\ & {\left( Mu \right)}_{\rho }=Mu\left( {e}_{\rho } \right)=\sum\limits_{\mu ,\nu =1}^{n}{M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }\left( {e}_{\rho } \right)}=\sum\limits_{\nu =1}^{n}{M}_{\rho \nu }{u}^{\nu } \\ \end{align} \right.

3.2. 观察出结论:

(-3). 所有的求和符号上的指标都出现了两次, 且还都是一上一下, 我们称之为指标缩并.

(-2). 所有出现了两次的指标都可以换成任何其它没出现过的指标, 因其只是求和指标.

(-1). 所有只出现了一次的指标 (就是那些 $\rho$ ) 在连等式各项中始终存在一个, 这叫做指标平衡.

(0). 不存在出现了三次或更多次的指标, 要么只出现一次, 要么就是一上一下出现两次缩并了.

(1). 我们很难从张量本身看出其型号, 但从它的分量上却很容易看出来.

(2). 从求和式写成矩阵式的时候, 张量之间的左右位置取决于指标的位置, 要正好接上.

(3). 求和式写成矩阵式的时候, 矢量与对偶矢量写成行矩阵还是列矩阵取决于自己所处的位置.

(4). 被视为矩阵元的张量分量的指标交换左右位置后, 张量作为矩阵被做了一个转置[9].

(5). 其实张量加不加转置和判断矢量写成行矩阵还是列矩阵的本质是一样的, 就是指标要接上.

(6). 所谓的相互作用在确定的基矢下其实就是表现在分量指标的缩并上了.

(7). 仅看结果的系数[10], 把系数上缩并的指标删除后, 若上面剩 $m$ 个指标, 下面剩 $n$ 个指标, 则结果就是一个 $\left(m,n\right)$ 型的张量[11].

3.3. 由上述结论可知:

(0). 如果要用希腊指标的话就请务必按照 $\mu ,\nu ,\rho ,\sigma ,\tau ,\eta ,\delta ,\epsilon ,\lambda ,\gamma$ 的顺序使用.

我就是这样用的, 你抄我的这套那就得跟我统一, 不过分吧? 进入场论之后这些希腊指标将特指洛伦兹指标, 场论外的地方就随便你怎么用了.

(1). 我们可以去掉所有的求和符号, 这是一个简单却高效而优美的约定:

\left\{ \begin{align} & {v}^{*}={v}_{\mu }{e}^{\mu },\ u={u}^{\mu }{e}_{\mu } \\ & {v}^{*}\left( u \right)=\left\langle v,u \right\rangle ={v}_{\mu }{u}^{\mu }={v}^{*}u\in P \\ \end{align} \right.\left\{ \begin{align} & M={M}^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu },\ u={u}^{\mu }{e}_{\mu } \\ & M_{\left( u \right)}^{\left( \cdot \right)}={M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu }{e}_{\mu }=Mu\in V \\ & {\left( Mu \right)}^{\mu }={M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu } \\ \end{align} \right.\left\{ \begin{align} & M={M}_{\mu \nu }{e}^{\mu }\otimes {e}^{\nu },u={u}^{\mu }{e}_{\mu } \\ & {M}_{\left( u,\cdot \right)}={M}_{\mu \nu }{u}^{\mu }{e}^{\nu }=uM\in {V}^{*} \\ & {M}_{\left( \cdot ,u \right)}={M}_{\mu \nu }{u}^{\nu }{e}^{\mu }=Mu\in {V}^{*} \\ & {\left( uM \right)}_{\nu }={M}_{\mu \nu }{u}^{\mu } \\ & {\left( Mu \right)}_{\mu }={M}_{\mu \nu }{u}^{\nu } \\ \end{align} \right.

(2). 我们不再写出张量本身, 因为只要知道分量通项就可以随时补上基矢还原张量了[12].

比如说 $M=M_{\nu }^{\mu }{e}_{\mu }\otimes e^{\nu }$ 以后我们只需要写出分量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$. 我们随时可以根据分量补上基矢, 原则就是等式两边指标平衡, 等式左边没有指标, 那么右边的指标就一定被缩并了, 由此可补上基矢或对偶基矢. 我们还可以根据分量一眼就看出它是 (1,1) 型张量, 就数上下标就是了. $\overline{}$ 这样我们前面的三大段式子还可以化简: \left\{ \begin{align} & v\to {v}_{\mu },\ u\to {u}^{\mu } \\ & vu={v}_{\mu }{u}^{\mu }={u}^{\mu }{v}_{\mu }\in P \\ \end{align} \right.\left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ u\to {u}^{\mu } \\ & Mu\to {M}^{\mu }_{\nu }{u}^{\nu },Mu\in V \\ \end{align} \right.\left\{ \begin{align} & M\to {M}_{\mu \nu },u\to {u}^{\mu } \\ & uM\to {M}_{\mu \nu }{u}^{\mu },uM\in {V}^{*} \\ & Mu\to {M}_{\mu \nu }{u}^{\nu },Mu\in {V}^{*} \\ \end{align} \right. 感受一下吧, 这套约定将运算过程无信息丢失地化简到了一个不可思议的地步.

(3). 对于 $M_{\mu \nu }{u}^{\mu }$ 的矩阵形式中 $M$ 写不写转置关键还是要考虑接指标的问题.

若把 $u$ 放左边, 即 $u^{\mu }{M}_{\mu \nu }$ 使得重复指标 $\mu$ 接上了就可以写成矩阵 $uM$. 若你死活不肯把 $u$ 放左边, 为了接上指标只能取转置 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu \mu }{u}^{\mu } 即 {M}^{\text{T}u . $\overline{}$ 总之翻译成矩阵就是要遵循这个原则, 我们可以称之为指标接力原则.

(4). 作用即缩并, 张量间的作用只需把指标缩并即可, 最后数单指标就知道结果的型号了[11].

例如 (2,3) 型张量 $T\to T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }$ 作用在一个矢量 $v\to v^{\mu }$ 上. 三种作用方式: $T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }{v}^{\rho },T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }{v}^{\sigma },T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }{v}^{\tau }$, 结果都是 (2,2) 型张量, 就这么简单. 说是 (2,2) 型张量的意思是 $T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }{v}^{\sigma }=M_{\rho \tau }^{\mu \nu }\to M$ 是一个 (2,2) 型张量. $\overline{}$ 例如我们棘手的 2.5. 中的大 BOSS, 可惜它现在已经是一个杂兵了. (0,2) 型张量 $M$ 作用于 (2,0) 型张量 $N$ 的情况: 就是说 $M\to M_{\mu \nu },N\to N^{\mu \nu }$ 之间的作用. 四种作用方式: {M}_{\mu \nu }{N}^{\nu \rho },\ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu \nu }{N}^{\nu \rho },\ {N}^{\mu \nu }{M}_{\nu \rho },\ {N}^{\mu \nu }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\nu \rho } 一目了然. 上面都是 (1,1) 型张量的分量, 所以最后得到的结果都是 (1,1) 型张量.

(5). 写分量计算式的时候要随时注意指标平衡的问题.

你可以检查上面任何一串等式, 我保证只出现了一次的指标永远是只出现一次.

(6). 自个儿作用, 张量自己身上的上下指标也能相互缩并.

例如如 (2,3) 型张量 $T\to T_{\rho \sigma \tau }^{\mu \nu }$, 自缩并即 $T_{\rho \nu \tau }^{\mu \nu }=M_{\rho \tau }^{\mu }$. 缩完的张量是一个 (1,2) 型张量 $M\to M_{\nu \rho }^{\mu }$. $\overline{}$ 其实自缩并是求迹的推广, 我们知道方阵是列矩阵空间的 (1,1) 型张量 $T\to T_{\nu }^{\mu }$. 求迹运算无非就是对角元求和 $\text{tr}T\to \sum _{\mu =1}^n{T}_{\mu }^{\mu }=T_{\mu }^{\mu }$. 那么矩阵乘积的迹满足的性质突然就变得极其显然了: $\text{tr}\left(AB\right)={\left(AB\right)}_{\mu }^{\mu }=A_{\nu }^{\mu }{B}_{\mu }^{\nu }=B_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }^{\mu }={\left(BA\right)}_{\mu }^{\mu }=\text{tr}\left(BA\right).$$\overline{}$ 问题就是说, 分量是依赖于基矢的选择的, 不同的基矢下张量的分量都不同, 这是不是说明张量的缩并依赖于基矢的选择呢? 答案是否定的, 张量的缩并是不依赖于基矢的, 这是因为张量在不同基矢下的矩阵只相差一个相似变换, 而相似矩阵的 trace 是相同的. 具体证明我就懒得搞了, 其实我要不提一嘴可能你们都不会望这个问题上想.

(7). 张量积, 前所未有的简单.

关于作用我们已经很懂了, 就是缩并, 那如果不缩并呢? 其实就是张量积. 比如说 (1,2) 型张量 $M_{\nu \rho }^{\mu }{e}_{\mu }\otimes e^{\nu }\otimes e^{\rho }$ 与 (2,0) 型张量 $N^{\mu \nu }{e}_{\mu }\otimes e_{\nu }$ 做张量积: $\left(M_{\nu \rho }^{\mu }{e}_{\mu }\otimes e^{\nu }\otimes e^{\rho }\right)\otimes \left(N^{\sigma \tau }{e}_{\sigma }\otimes e_{\tau }\right)$$=M_{\nu \rho }^{\mu }{N}^{\sigma \tau }{e}_{\mu }\otimes e^{\nu }\otimes e^{\rho }\otimes e_{\sigma }\otimes e_{\tau }\to M_{\nu \rho }^{\mu }{N}^{\sigma \tau }$ 结果是一个 (3,2) 型张量. 不必太诧异, 还真就是这么简单.

3*. 度规的升降指标效果

什么叫做度规的升降指标效果呢? 就是说度规可以将张量的一个指标进行升降, 但在介绍完指标运算之前肯定都没法讲这个, 所以只好在这里插这么一丢丢可有可无的内容.

上一篇中我们就已经指出度规其实是一个对称且非退化的 (0,2) 型张量.

这意味着我们一般就将度规表达为 $\eta \to {\eta }_{\mu \nu }.$

既然度规是非退化的, 那么作为 $V\to V^{\ast }$ 的映射的张量自然也有逆映射 ${\eta }^{-1}:V^{\ast }\to V.$

很显然这是一个 (2,0) 型张量, 这样我们就可以将逆度规表达为 ${\eta }^{-1}\to {\eta }^{\mu \nu }.$

为什么分量不是 ${\left({\eta }^{-1}\right)}^{\mu \nu }$ 呢? 因为你都写上指标了, 自然谁都知道你指的是逆度规啦.

现在有了 ${\eta }_{\mu \nu },{\eta }^{\mu \nu }$ 这俩老哥就可以进行一般的指标升降了.

比如对于任意张量 $T\to T_{\rho \cdots \sigma }^{\mu \cdots \nu }$ 我们都可以作下面两个定义:

(1). 定义 $T_{\nu \rho \cdots \sigma }^{\mu \cdots }\equiv {\eta }_{\tau \nu }{T}_{\rho \cdots \sigma }^{\mu \cdots \tau }.$ (2). 定义 $T_{\cdots \sigma }^{\mu \cdots \nu \rho }\equiv {\eta }^{\tau \rho }{T}_{\tau \cdots \sigma }^{\mu \cdots \nu }.$

这样就可以由某个张量的原型定义出任意指标升降后的张量了.

比如说狭义相对论里的四维坐标 $x\to x^{\mu }$ 就是一个矢量, 那么平时写的 $x_{\mu }$ 指的其实就是 $g_{\mu \nu }{x}^{\nu }$ 其中的 $g_{\mu \nu }\to g$ 就是所谓的 Minkowski 度规.

4. 固定的指标结构与对偶空间对应的伴随对象

4.1. 指标结构的绝对固定性:

考虑 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$, 请问 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu } 是什么?

是张量 $M$ 的分量 $M_{\nu }^{\mu }$ 构成的矩阵的转置矩阵 {M}^{\text{T} 的 $\mu$ 行 $\nu$ 列上的分量吗? 你硬是这么认为其实也很难发现错误, 因为时常能碰巧对上, 但实际上并非如此. $\overline{}$ 事实上当我们确定了张量的指标结构 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 后, 转置矩阵 {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } 的指标结构就也随之确定了. 所以张量 $M$ 的分量 $M_{\nu }^{\mu }$ 构成的矩阵的转置矩阵的 $\mu$ 行 $\nu$ 列分量是 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }. 而 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu } 则是一个不伦不类的东西, 你需要度规来升降它的指标, 即 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }, 这样一来三项就都是熟知的东西了. 如果你的度规就是单位阵, 那么就会出现好像 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } 的情况. 这个问题如果不重视的话在闵可夫斯基时空中有可能会吃苦头 (详**[**[click here](https://zhuanlan.zhihu.com/p/365457613)**]**).$\overline{}$ 顺带一提, 确定了张量的指标结构 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 后, 逆矩阵的指标结构确定为 $M^{-1}\to {\left(M^{-1}\right)}_{\nu }^{\mu }$, 是和原结构相同的. $\overline{}$ 实际上最初指定 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 也是必然的, 这源于要求翻译成矩阵的过程遵循指标接力.

4.2. 对偶空间的伴随式:

在 QM 里我们有等价关系 $|B⟩=M|A⟩\Leftarrow =\Rightarrow ⟨B|=⟨A|M^{†}$.

这两个等式是可以根据对偶空间之间的确定同构映射相互推出的, 称二者互为伴随式.

通过转置是通常[13]是得不到与原式对偶的伴随式的.

具体而言就是由 $M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }=B^{\mu }$ 无法推出 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={B}_{\mu }. $\overline{}$ 要得到伴随式需要的是厄米共轭对象: $M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }=B^{\mu }\Leftarrow =\Rightarrow {\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }=B_{\mu }$. 其中[[14]](#ref_14) ${A}_{\nu }\equiv {\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {A}^{\nu } \right)}^{*}\ \\ & {\eta }_{\rho \nu }{A}^{\rho } \\ \end{align} \right.$, 而 ${\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\mu }={M}_{\mu }^{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {M}^{\mu }_{\nu } \right)}^{*} \\ & {\eta }^{\nu \sigma }{\eta }_{\mu \rho }{M}^{\rho }_{\sigma }. \\ \end{align} \right.\$ 这就是量子力学中的 $|B⟩=M|A⟩\Leftarrow =\Rightarrow ⟨B|=⟨A|M^{†}$. $\overline{}$结论 ${M}^{\mu }_{\nu }{A}^{\nu }={B}^{\mu }\Rightarrow {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\mu }{A}_{\nu }={B}_{\mu }$ 的正确性验证如下[[15]](#ref_15): 内积空间: ${\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={\left(M_{\nu }^{\mu }\right)}^{\ast }{\left(A^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(B^{\mu }\right)}^{\ast }=B_{\mu }$. 度规空间: ${\left(M^{\ast }\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={\eta }^{\nu \sigma }{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\sigma }^{\rho }{\eta }_{\tau \nu }{A}^{\tau }={\eta }_{\mu \rho }{M}_{\sigma }^{\rho }{A}^{\sigma }={\eta }_{\mu \rho }{B}^{\rho }=B_{\mu }$.

关于 {A}_{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\nu }\equiv {\left( {A}^{*} \right)}_{\nu }={\left( {A}^{\nu } \right)}^{*} \\ & {\left( {A}^{*} \right)}_{\nu }={\eta }_{\rho \nu }{A}^{\rho } \\ \end{align} \right. 的解释如下:

厄米共轭矢量被定义为对偶空间的伴随式, 即对 $A\in V$ 定义 $A^{†}\equiv A^{\ast }\in V^{\ast }$. 所以在内积空间二者分量差一个复共轭: $A_{\mu }\equiv {\left(A^{†}\right)}_{\mu }\equiv {\left(A^{\ast }\right)}_{\mu }={\left(A^{\mu }\right)}^{\ast }$. 而度规空间中的对偶矢量被定义为 $A^{\ast }\equiv \eta \left(A,\cdot \right)$, 这与内积空间的 $A^{\ast }\equiv ⟨A,\cdot ⟩$ 类似. 由对偶矢量的定义直接可知 $A_{\mu }\equiv {\left(A^{\ast }\right)}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu }$. $\overline{}$ 由 $A\to A^{\mu },A^{†}\to A_{\mu },A^{\ast }\to A_{\mu }$ 可看出分量指标的上下移动是到对偶空间的特征.

4.3. 对偶空间中对应的伴随对象一律用 $†$ 或 $\ast$ 标记:

在这个符号体系中, 我们将任意对象 $M$ 在其对偶空间中对应的伴随对象均记作 $M^{†}$ 或 $M^{\ast }$.

如果是复内积空间就是 $M^{†}$ 如果是度规空间就记作 $M^{\ast }$ 这样做是为了与量子力学中的记号完全一致.

对于矢量与对偶矢量, 它们通过的分量的上下标就足以区分彼此, 故略去 $†$ 或 $\ast$ 符号.

对于 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$:

在内积空间中为了与量子力学的格式完全一致, 我们定义 $M^{†}$ 为 $M$ 的转置共轭, 即 ${M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*}$ 而共轭在前文中就是指标的上下对调, 故也可定义 $M_{\nu }^{\mu }\equiv {\left(M_{\mu }^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(M^{†}\right)}_{\nu }^{\mu }$. 复共轭的升降指标定义是为了后面能与度规空间中的设定完全一致而提出的. $\overline{}$ 在度规空间中, 所有的设定都是与内积空间类似的, 而升降指标由取复共轭改为度规作用. 即 {M}^{*}\to {\left( {M}^{*} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}^{\sigma }_{\rho }. 而度规是可以用来升降指标的, 于是就有 $M_{\nu }^{\mu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho }^{\sigma }={\left(M^{\ast }\right)}_{\nu }^{\mu }$. $\overline{}$ 这样的设定是不会有问题的, 因为 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 的指标结构是固定的. 所以 $M_{\mu }^{\nu }$ 这样的东西一开始就没有定义, 现在我们只是定义了 $M_{\mu }^{\nu }\equiv {\left(M^{\ast }\right)}_{\mu }^{\nu }$.

这些设定的合理性, 我们在 4.2. 中已经验证过了.

同时这也与 4.1. 中提到的 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma } 是兼容的. $\overline{}$ 以复内积空间为例, 你会发现 {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }, 而这实际上是合理的. 因为这并不表明 ${M}^{\dagger }={M}^{\text{T}$, 因为 ${\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }$ 本质上是 ${\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}$, 即转置共轭.

4.4. 总结:

内积空间的一阶张量有 \left\{ \begin{align} & A\in V,\ {A}^{\dagger }\equiv {A}^{*}\equiv \left\langle A,\cdot \right\rangle \in {V}^{*}, \\ & A\to {A}^{\mu }, \\ & {A}_{\mu }={\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\mu }={\left( {A}^{\mu } \right)}^{*}, \\ & {\left( {A}^{\rm{T} \right)}^{\mu }={A}^{\mu }, \\ & {\left( {A}^{\rm{T} \right)}_{\mu }={\left[ {\left( {A}^{\dagger } \right)}^{\rm{T} \right]}_{\mu }={A}_{\mu }={\left( {A}^{\mu } \right)}^{*}. \\ \end{align} \right.

度规空间的一阶张量有 \left\{ \begin{align} & A\in V,\ {A}^{*}\equiv \eta A\in {V}^{*}, \\ & A\to {A}^{\mu }, \\ & {A}_{\mu }={\left( {A}^{*} \right)}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu }, \\ & {\left( {A}^{\rm{T} \right)}^{\mu }={A}^{\mu }, \\ & {\left( {A}^{\rm{T} \right)}_{\mu }={\left[ {\left( {A}^{*} \right)}^{\rm{T} \right]}_{\mu }={A}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu }, \\ \end{align} \right.

内积空间的 (1,1) 型张量有 \left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ {M}^{\rm{T}\to {\left( {M}^{\rm{T} \right)}_{\mu }^{\nu },\ {M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }, \\ & {\left( {M}_{\mu }^{\nu } \right)}^{*}={M}^{\mu }_{\nu }, \\ & {\left( {M}^{\rm{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={M}^{\nu }_{\mu }, \\ & {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\rm{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*}, \\ & {\left[ {\left( {M}^{\rm{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}={\left( {M}^{\rm{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*}. \\ \end{align} \right.

度规空间的 (1,1) 型张量有 \left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ {M}^{\rm{T}\to {\left( {M}^{\rm{T} \right)}_{\mu }^{\nu },\ {M}^{*}\to {\left( {M}^{*} \right)}^{\mu }_{\nu }, \\ & {\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho }^{\sigma }={M}^{\mu }_{\nu }, \\ & {\left( {M}^{\rm{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={M}^{\nu }_{\mu }, \\ & {\left( {M}^{*} \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\rm{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\eta }_{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho }{M}^{\sigma }_{\rho }, \\ & {\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\rm{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={\left( {M}^{\rm{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\eta }_{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho }{M}^{\sigma }_{\rho }. \\ \end{align} \right.

总之就是两条结论:

(1). 取复共轭后所有指标上下对调, 在度规空间中则用度规作用代替复共轭. (2). 取对偶空间的伴随式等价于转置后取复共轭, 在度规空间中则用度规作用代替复共轭.

5. 答疑环节

5.1. 因为心情好就应评论区的要求以二维旋转矩阵为例展示一下转置矩阵的记号运算过程:

设转角为 $\theta \in \left[0,2\pi \right)$ 的二维旋转矩阵 $M=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

按照常识不难知道 {M}^{\text{T}M={1}_{2\times 2}\to {\left( {M}^{\text{T}M \right)}^{a}_{b}={\delta }^{a}_{b}.

按照记号约定有 {\left( {M}^{\text{T}M \right)}^{a}_{b}={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{a}_{c}{M}^{c}_{b}={M}_{c}^{a}{M}^{c}_{b}={\delta }_{cd}{\delta }^{ae}{M}^{d}_{e}{M}^{c}_{b}.

其中的 ${\delta }_{cd}{\delta }^{ae}$ 均为度规分量, 只不过这里的度规十分 trivial, 都是单位阵.

当 $a=b=1$ 时:

{\left( {M}^{\text{T}M \right)}^{1}_{1}={\delta }_{cd}{\delta }^{1e}{M}^{d}_{e}{M}^{c}_{1}=\sum\limits_{c,d}{\delta }_{cd}{M}^{d}_{1}{M}^{c}_{1}={\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\delta }^{1}_{1}.

当 $a=1,b=2$ 时:

{\left( {M}^{\text{T}M \right)}^{1}_{2}={\delta }_{cd}{\delta }^{1e}{M}^{d}_{e}{M}^{c}_{2}=\sum\limits_{c,d}{\delta }_{cd}{M}^{d}_{1}{M}^{c}_{2}$=-\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta ={\delta }_2^1.$

其它情形不难自行验证.

上面这是最严格的写法, 不过其实这种正定度规完全可以直接忽略上下标写成:

{\left( {M}^{\text{T}M \right)}^{a}_{b}={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{a}_{c}{M}^{c}_{b}={M}_{c}^{a}{M}^{c}_{b}=\sum\limits_{c}{M}^{c}_{a}{M}^{c}_{b}.

但闵氏度规就不能这么整了, 因为有些地方会出现 $-1$, 详情请参考 [这篇文章].

从数学上来说, 我这套还不是最最最完善的, 但假如你只需要学到规范场论的层次, 那么, 这套完全绰绰有余! 这已经很踏马复杂了, 我实在是不想再进一步地折磨你们了.

参考

• ^懒得区分的人我是可以理解的, 但我还碰到过自己不区分还不准别人区分的··· 大脑混乱是什么很值得提倡的状态吗?
• ^ab只有通过此条件结合线性空间 V 的基矢生成的对偶空间 V* 的基矢才能称作线性空间 V 的对偶基矢.
• ^每一个指标都能从 1 跑到 n, 集合内共 n^(p+q) 个系数.
• ^因为显然所有可能的同构映射都是平权的.
• ^呃, 除了台湾, 我听说他们管行叫列管列叫行(?).
• ^这和前面关于 (1,1) 型的讨论是类似的.
• ^关于俩下指标对称是度规张量需要满足的要求之一.
• ^否则你根本没法算.
• ^这一条等价于用张量分量写成矩阵时分量指标必须按照左行右列的规则来写.
• ^不看基矢的指标.
• ^ab因为只有不参与缩并的单个指标才会配一个基矢或对偶基矢, 而张量的型号就是取决于基矢与对偶基矢的数目.
• ^更关键的是我们还能从分量上一眼看出张量的型号.
• ^如果度规是 diag(1,1,1,1) 或者是实内积空间的话就碰巧能对上罢.
• ^后面会解释原因.
• ^反向验证也是类似的.