[张量系列DLC] 洛伦兹变换分量系数的指标能被闵氏度规升降吗

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/365457613
• 发布日期: 2021-04-16
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

答: 可.

似乎是一个毋庸置疑的问题, 就是说 $g\Lambda \to g_{\rho \mu }{\Lambda }_{\nu }^{\mu }={\Lambda }_{\rho \nu }$, 很常识对吧?

但要细究的话还是会有不少人觉得这里面有一定的争议.

Anyway, 争议会出现在哪儿呢? 如下所述:

按照 [常见李群] 中的定义, 洛伦兹群即 $\text{O}\left(1,3\right)\equiv \left\{\Lambda |g_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }=g_{\rho \sigma }\right\}$.

其中 $g_{\mu \nu }\to g=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$ 为度规, 是一个 {\mathbb{R}^{4} 上的一个 (0,2) 型张量. 闵氏度规比较简单, 摆成矩阵的话就具有性质 {g}^{\text{T}={g}^{-1}=g, 所以平时都只写作 $g$. $g_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }=g_{\rho \sigma }$ 或 {\Lambda }^{\text{T}g\Lambda =g 被称为保度规条件, 洛伦兹变换的定义由此给出.

就从保度规条件 $g_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }=g_{\rho \sigma }$ 出发:

\begin{align} & {g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={g}_{\rho \sigma }\Rightarrow {g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau }={g}_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\delta }^{\nu }_{\tau }={g}_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {g}_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }={g}_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {g}_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\left( {g}^{-1} \right)}^{\nu \rho }={\left( {g}^{-1} \right)}^{\nu \rho }{g}_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {g}_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\left( {g}^{-1} \right)}^{\rho \nu }={\delta }^{\nu }_{\sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {g}_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{g}^{\rho \nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }.\ \\ \end{align}

虽然写得很细, but so far so good, right? 那接下来就允许度规升降指标:

\begin{align} & {g}_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{g}^{\rho \nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\Rightarrow {\Lambda }_{\tau }^{\nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}^{\nu }_{\tau }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\to {\Lambda }^{\text{T}={\Lambda }^{-1}.\ \\ \end{align}

这里有人说 {\Lambda }^{\text{T}={\Lambda }^{-1} 没啥问题, 那我问你 $\text{O}\left(4\right)$ 群元的定义条件是啥.

这个式子肯定是错的, 但它偶尔对, 我们知道固有保时向[[1]](#ref_1)洛伦兹群元分为三类:三维空间旋转、Boost[[2]](#ref_2) 与它们的乘积. 三维空间的旋转的那些就是个 $\text{SO}\left(3\right)$ 的可约表示, 它们自然满足 {\Lambda }^{\text{T}={\Lambda }^{-1}. 但 Boost, 绝对不满足, 可自行验证对 Boost 有 g{\Lambda }^{\text{T}g\Lambda ={1}_{4\times 4} 但 {\Lambda }^{\text{T}\Lambda \ne {1}_{4\times 4}.

这个时候就众说纷纭了[3]:

A 桑: 一上一下的指标之间是没有转置一说的, 张量的对称性也是关于同上下的指标而言的. B 桑: 洛伦兹变换是张量但不是洛伦兹张量, 度规不能升降它的指标. C 桑: 升降指标本身就不应该出现, 全都把度规写上就没这问题了. D 桑: 用矩阵来描述张量是过时且愚蠢的, 矩阵只能描述 $V\to V$ 而无法触及对偶空间.

这个问题下有三类人:

(1). 认为 ${\Lambda }_{\mu }^{\nu }={\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\mu }^{\nu }$ 的人, 这很常见, 包括我. (2). 认为 ${\Lambda }_{\mu }^{\nu }\ne {\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\mu }^{\nu }$ 而 ${\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\rho }^{\sigma }=g_{\mu \rho }{g}^{\nu \sigma }{\Lambda }_{\nu }^{\mu }$ 的人, 也不少. (3). 压根儿就没意识到有这个问题所以觉得没啥问题的人, 占绝大多数.

你觉得呢?

接下来我的解答就是讲讲我的看法罢了.

本记号下的观点

• (1). 如同 [张量运算] 中叙述的那样, 只考虑俩指标的话就是左行右列的死规矩, 对调即转置.
• (2). 洛伦兹变换分量系数的指标可以被度规升降.
• (3). 由张量运算退格到矩阵运算不会导致无法表述对偶空间的运算.
• (4). 造成上述矛盾的原因是, 没认识到张量指标结构的绝对固定性.

考虑 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$, 请问 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu } 是什么?

是张量 $M$ 的分量 $M_{\nu }^{\mu }$ 构成的矩阵的转置矩阵 {M}^{\text{T} 的 $\mu$ 行 $\nu$ 列上的分量吗? 你硬是这么认为其实也很难发现错误, 因为时常能碰巧对上, 但实际上并非如此. $\overline{}$ 事实上当我们确定了张量的指标结构 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 后, 转置矩阵 {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } 的指标结构就也随之确定了. 所以张量 $M$ 的分量 $M_{\nu }^{\mu }$ 构成的矩阵的转置矩阵的 $\mu$ 行 $\nu$ 列分量是 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }. 而 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu } 则是一个不伦不类的东西, 你需要度规来升降它的指标, 即 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }, 这样一来三项就都是熟知的东西了. 如果你的度规就是单位阵, 那么就会出现好像 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } 的情况. 这个问题如果不重视的话在闵可夫斯基时空中有可能会吃苦头 (详**[**[click here](https://zhuanlan.zhihu.com/p/365457613)**]**).$\overline{}$ 顺带一提, 确定了张量的指标结构 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 后, 逆矩阵的指标结构确定为 $M^{-1}\to {\left(M^{-1}\right)}_{\nu }^{\mu }$, 是和原结构相同的. $\overline{}$ 实际上最初指定 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 也是必然的, 这源于要求翻译成矩阵的过程遵循指标接力.

现在回到我们洛伦兹变换的问题:

不难发现前面推到的错误就出在 $g_{\mu \tau }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{g}^{\rho \nu }={\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\tau }^{\nu }\Rightarrow {\Lambda }_{\tau }^{\nu }={\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\tau }^{\nu }$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}^{\nu }_{\tau }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\to {\Lambda }^{\text{T}={\Lambda }^{-1}. 中的 {\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}^{\nu }_{\tau }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\to {\Lambda }^{\text{T}={\Lambda }^{-1} 上. $\overline{}$ 按照前面的说法, 你这想翻译成矩阵害差了俩度规呢: {\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}^{\nu }_{\tau }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\Rightarrow {g}^{\nu \mu }{\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\rho }{g}_{\tau \rho }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\to g{\Lambda }^{\text{T}g={\Lambda }^{-1}. 由此一来就可以兼容 g{\Lambda }^{\text{T}g\Lambda ={1}_{4\times 4} 而 {\Lambda }^{\text{T}\Lambda \ne {1}_{4\times 4} 的这个事实了. 同时我们也不需要舍弃矩阵对应、升降指标与转置运算这仨老朋友, めでたしめでたし! $\overline{}$ 最后提一下就是逆矩阵 ${\Lambda }^{-1}\to {\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\nu }^{\mu }$ 的指标结构与原矩阵相同是理所当然的, 因为逆变换和变换的地位很显然是对等的.

固定的指标结构与对偶空间对应伴随对象的进一步讨论

对偶空间的伴随式:

在 QM 里我们有等价关系 $|B⟩=M|A⟩\Leftarrow =\Rightarrow ⟨B|=⟨A|M^{†}$.

这两个等式是可以根据对偶空间之间的确定同构映射相互推出的, 称二者互为伴随式.

通过转置是通常[4]是得不到与原式对偶的伴随式的.

具体而言就是由 $M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }=B^{\mu }$ 无法推出 {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={B}_{\mu }. $\overline{}$ 要得到伴随式需要的是厄米共轭对象: $M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }=B^{\mu }\Leftarrow =\Rightarrow {\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }=B_{\mu }$. 其中[[5]](#ref_5) ${A}_{\nu }\equiv {\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {A}^{\nu } \right)}^{*}\ \\ & {\eta }_{\rho \nu }{A}^{\rho } \\ \end{align} \right.$, 而 ${\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\mu }={M}_{\mu }^{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {M}^{\mu }_{\nu } \right)}^{*} \\ & {\eta }^{\nu \sigma }{\eta }_{\mu \rho }{M}^{\rho }_{\sigma }. \\ \end{align} \right.\$ 这就是量子力学中的 $|B⟩=M|A⟩\Leftarrow =\Rightarrow ⟨B|=⟨A|M^{†}$. $\overline{}$结论 ${M}^{\mu }_{\nu }{A}^{\nu }={B}^{\mu }\Rightarrow {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\mu }{A}_{\nu }={B}_{\mu }$ 的正确性验证如下[[6]](#ref_6): 内积空间: ${\left(M^{†}\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={\left(M_{\nu }^{\mu }\right)}^{\ast }{\left(A^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(M_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(B^{\mu }\right)}^{\ast }=B_{\mu }$. 度规空间: ${\left(M^{\ast }\right)}_{\mu }^{\nu }{A}_{\nu }={\eta }^{\nu \sigma }{\eta }_{\mu \rho }{M}_{\sigma }^{\rho }{\eta }_{\tau \nu }{A}^{\tau }={\eta }_{\mu \rho }{M}_{\sigma }^{\rho }{A}^{\sigma }={\eta }_{\mu \rho }{B}^{\rho }=B_{\mu }$.

关于 {A}_{\nu }=\left\{ \begin{align} & {\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\nu }\equiv {\left( {A}^{*} \right)}_{\nu }={\left( {A}^{\nu } \right)}^{*} \\ & {\left( {A}^{*} \right)}_{\nu }={\eta }_{\rho \nu }{A}^{\rho } \\ \end{align} \right. 的解释如下:

厄米共轭矢量被定义为对偶空间的伴随式, 即对 $A\in V$ 定义 $A^{†}\equiv A^{\ast }\in V^{\ast }$. 所以在内积空间二者分量差一个复共轭: $A_{\mu }\equiv {\left(A^{†}\right)}_{\mu }\equiv {\left(A^{\ast }\right)}_{\mu }={\left(A^{\mu }\right)}^{\ast }$. 而度规空间中的对偶矢量被定义为 $A^{\ast }\equiv \eta \left(A,\cdot \right)$, 这与内积空间的 $A^{\ast }\equiv ⟨A,\cdot ⟩$ 类似. 由对偶矢量的定义直接可知 $A_{\mu }\equiv {\left(A^{\ast }\right)}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu }$. $\overline{}$ 由 $A\to A^{\mu },A^{†}\to A_{\mu },A^{\ast }\to A_{\mu }$ 可看出分量指标的上下移动是到对偶空间的特征.

对偶空间中对应的伴随对象一律用 $†$ 标记:

在这个符号体系中, 我们将任意对象 $M$ 在其对偶空间中对应的伴随对象均记作 $M^{†}$ 或 $M^{\ast }$.

如果是复内积空间就是 $M^{†}$ 如果是度规空间就记作 $M^{\ast }$ 这样做是为了与量子力学中的记号完全一致.

对于矢量与对偶矢量, 它们通过的分量的上下标就足以区分彼此, 故略去 $†$ 或 $\ast$ 符号.

对于 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$:

在内积空间中为了与量子力学的格式完全一致, 我们定义 $M^{†}$ 为 $M$ 的转置共轭, 即 ${M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*}$ 而共轭在前文中就是指标的上下对调, 故也可定义 $M_{\nu }^{\mu }\equiv {\left(M_{\mu }^{\nu }\right)}^{\ast }={\left(M^{†}\right)}_{\nu }^{\mu }$. 复共轭的升降指标定义是为了后面能与度规空间中的设定完全一致而提出的. $\overline{}$ 在度规空间中, 所有的设定都是与内积空间类似的, 而升降指标由取复共轭改为度规作用. 即 {M}^{*}\to {\left( {M}^{*} \right)}^{\mu }_{\nu }={g}^{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={g}^{\mu \rho }{g}_{\nu \sigma }{M}^{\sigma }_{\rho }. 而度规是可以用来升降指标的, 于是就有 $M_{\nu }^{\mu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho }^{\sigma }={\left(M^{\ast }\right)}_{\nu }^{\mu }$. $\overline{}$ 这样的设定是不会有问题的, 因为 (1,1) 型张量 $M\to M_{\nu }^{\mu }$ 的指标结构是固定的. 所以 $M_{\mu }^{\nu }$ 这样的东西一开始就没有定义, 现在我们只是定义了 $M_{\mu }^{\nu }\equiv {\left(M^{\ast }\right)}_{\mu }^{\nu }$.

这些设定的合理性, 我们在 4.2. 中已经验证过了.

同时这也与 4.1. 中提到的 {\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma } 是兼容的. $\overline{}$ 以复内积空间为例, 你会发现 {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }, 而这实际上是合理的. 因为这并不表明 ${M}^{\dagger }={M}^{\text{T}$, 因为 ${\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }$ 本质上是 ${\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}$, 即转置共轭.

总结:

内积空间的一阶张量有 \left\{ \begin{align} & A\in V,\ {A}^{\dagger }\equiv {A}^{*}\equiv \left\langle A,\cdot \right\rangle \in {V}^{*} \\ & {A}_{\mu }={\left( {A}^{\dagger } \right)}_{\mu }={\left( {A}^{\mu } \right)}^{*} \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}^{\mu }={A}^{\mu } \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}_{\mu }={\left[ {\left( {A}^{\dagger } \right)}^{\text{T} \right]}_{\mu }={A}_{\mu }={\left( {A}^{\mu } \right)}^{*} \\ \end{align} \right.

度规空间的一阶张量有 \left\{ \begin{align} & A\in V,\ {A}^{*}\equiv \eta A\in {V}^{*} \\ & {A}_{\mu }={\left( {A}^{*} \right)}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu } \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}^{\mu }={A}^{\mu } \\ & {\left( {A}^{\text{T} \right)}_{\mu }={\left[ {\left( {A}^{*} \right)}^{\text{T} \right]}_{\mu }={A}_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu } \\ \end{align} \right.

内积空间的 (1,1) 型张量有 \left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu },\ {M}^{\dagger }\to {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu } \\ & {\left( {M}_{\mu }^{\nu } \right)}^{*}={M}^{\mu }_{\nu } \\ & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={M}^{\nu }_{\mu } \\ & {\left( {M}^{\dagger } \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*} \\ & {\left[ {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu } \right]}^{*}={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\left( {M}^{\nu }_{\mu } \right)}^{*} \\ \end{align} \right.

度规空间的 (1,1) 型张量有 \left\{ \begin{align} & M\to {M}^{\mu }_{\nu },\ {M}^{\text{T}\to {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu },\ {M}^{*}\to {\left( {M}^{*} \right)}^{\mu }_{\nu } \\ & {\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{M}_{\rho }^{\sigma }={M}^{\mu }_{\nu } \\ & {\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\nu }={M}^{\nu }_{\mu } \\ & {\left( {M}^{*} \right)}^{\mu }_{\nu }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\eta }_{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho }{M}^{\sigma }_{\rho } \\ & {\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {M}^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={\left( {M}^{\text{T} \right)}^{\mu }_{\nu }={M}_{\nu }^{\mu }={\eta }_{\nu \sigma }{\eta }^{\mu \rho }{M}^{\sigma }_{\rho } \\ \end{align} \right.

总之就是两条结论:

(1). 取复共轭后所有指标上下对调, 在度规空间中则用度规作用代替复共轭. (2). 取对偶空间的伴随式等价于转置后取复共轭, 在度规空间中则用度规作用代替复共轭.

本记号下幺正群与不定正交群的统一

前面的讨论并非没事找事, 在这样的符号体系下可以形式上统一不定正交群与幺正群的条件:

✦ 幺正群(unitary group):

\underbrace{\text{U}\left( n \right)\equiv \left\{ U\ |\ U\in \text{GL}\left( n,\mathbb{C} \right),{U}^{\dagger }U={1}_{n\times n} \right\}_{\dim\text{U}\left( n \right)={n}^{2}

✦ 不定正交群(indefinite orthogonal group):

$\underset{\dim \text{O}\left(n,m\right)=\left(n+m\right)\left(n+m-1\right)/2}{\underbrace{\text{O}\left(n,m\right)\equiv \left\{\Lambda |{\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }={\eta }_{\rho \sigma }\right\},\eta =\text{diag}(\underset{共n个}{\underbrace{1,\cdots ,1}},\underset{共m个}{\underbrace{-1,\cdots ,-1}})}}$

✦ 洛伦兹群(Lorentz group):

$\underset{\dim \text{O}\left(1,3\right)=6}{\underbrace{\text{O}\left(1,3\right)}}$

从不定正交群的保度规条件 ${\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }={\eta }_{\rho \sigma }$ 出发:

\begin{align} & {\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={\eta }_{\rho \sigma }\Rightarrow {\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau }={\eta }_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\delta }^{\nu }_{\tau }={\eta }_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\eta }_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }={\eta }_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\eta }_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\left( {\eta }^{-1} \right)}^{\nu \rho }={\left( {\eta }^{-1} \right)}^{\nu \rho }{\eta }_{\rho \sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\eta }_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\left( {\eta }^{-1} \right)}^{\rho \nu }={\delta }^{\nu }_{\sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\eta }_{\mu \tau }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\eta }^{\rho \nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\Lambda }_{\tau }^{\nu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau } \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow {\Lambda }_{\tau }^{\nu }={\left( {\Lambda }^{\dagger } \right)}^{\nu }_{\tau }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\nu }_{\tau }\to {\Lambda }^{*}={\Lambda }^{-1}.\ \\ \end{align}

由此一来不定正交群的条件也可被记为 ${\Lambda }^{\ast }\Lambda =1_{\left(m+n\right)\times \left(m+n\right)}$.

这就统一了不定正交群与幺正群的条件.

但要注意这个 $\ast$ 是依赖于度规的: {\left( {\Lambda }^{*} \right)}^{\mu }_{\nu }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}_{\rho }^{\sigma }={\eta }^{\mu \rho }{\eta }_{\nu \sigma }{\Lambda }^{\sigma }_{\rho }.

洛伦兹群是不定正交群的一份子, 所以下指标的洛伦兹变换实际上是 ${\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\nu }^{\mu }=g_{\nu \sigma }{g}^{\mu \rho }{\Lambda }_{\rho }^{\sigma }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }={\left({\Lambda }^{\ast }\right)}_{\nu }^{\mu }$.

参考

• ^就是四块儿洛伦兹群里带单位元内块儿.
• ^就是大家最早听说的那个洛伦兹变换, 具体而言就是有相对速度而坐标轴均平行的俩参考系之间的变换.
• ^都是别人说的, 不是我编的.
• ^如果度规是 diag(1,1,1,1) 或者是实内积空间的话就碰巧能对上罢.
• ^后面会解释原因.
• ^反向验证也是类似的.