从 Boost 到洛伦兹群, ようこそ Minkowski パークへ

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/367408697
• 发布日期: 2021-04-26
• 分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

说前面的铺垫都是为了这一刻也不为过, 但这也只是开端, 要说的话四维语言应该是摩登物理的大门. 更古老的玩意儿且不谈, 就四大力学什么的也是百年前的东西了, 从小到大学点儿啥都是导论、简介与初步, 要么就是几百年前的老一套, 但现在从这一刻开始终于走向科学前沿了还是蛮爽的吧, 我是说 (据称) 这个地球上最懂量子场论的那个人也是 2007 年才去世的.

为了能讲清楚这个话题前面从群论到线性空间可谓是做足了准备, 就连指标运算都定制了一款. 不过实际上问题没那么复杂, 总的来说准备工作有点儿用力过猛. 但这都是值得的, 要不然学起来总觉得もやもや的, 我个人反正是受不了这种.

本文还是从 ABC 讲起, 不会假设你什么都懂的, 面向本科仔好吧. 中间当然也会涉及到比较深的观点, 但通常也会给一个简单的版本, 各取所需吧. 不过那种什么时间膨胀、尺子缩短之类的小盆友才玩的东西就别指望我这里讲了. 其实这些东西在四维语言下也是有点儿意思的但用到时空图与世界线啥的又有点儿超纲了.

具体到运算还是采取 Masaki Notation, 实在懒得看就暂且认为是重复的指标全范围求和吧. 不过早看晚看都是看, 线性空间的基本知识是必须要懂的, 逃过去了你就永远也学不会"真正的"物理了, 所以建议看完.

全文都采取自然单位制, 这才是真正的关怀新手: 如何理解自然单位制？

欸终于算是写了点儿比较物理的东西了, 前阵子好像尽是在更新那个数学工具专栏···

目録

0. 破四旧

0.1. 现代人口中的狭义相对论是建立在实四维线性空间上的, 不存在虚数 0.2. 质量就是静质量, 民科嘴里才有所谓的动质量 0.3. 肯定还有, 就是我一时想不起来罢了

1. 从 Boost 到洛伦兹群

1.1. 童年时期的洛伦兹变换 1.2. 四维时空间隔不变性导致我们引入闵氏度规 1.3. 洛伦兹变换的定义 1.4. 洛伦兹群 1.5. 洛伦兹逆变换 1.6. 一般意义上的时空间隔不变性

2. 闵氏时空与洛伦兹张量

2.0. 最肤浅玄学的理解[[1]](#ref_1) 2.1. 闵可夫斯基空间与洛伦兹群的关系 2.2. 洛伦兹群张量与指标的升降 2.3. 狭义相对论的底流形

[番外] 主动与被动 / 逆变与协变

[主动与被动 / 逆变与协变](https://zhuanlan.zhihu.com/p/371277329)

时空图的应用示范:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/426477668## 0. 破四旧

在开始之前, 我要极其强调地点名一些不可取的老旧思想, 暂时看不懂过程没啥, 先记住观点.

0.1. 现代人口中的狭义相对论是建立在实四维线性空间上的, 不存在虚数:

就是说后面将要讲到的四维矢量的『内积』中会有带负号的项, 比如说对 $A=\left(A^0,A^1,A^2,A^3\right),B=\left(B^0,B^1,B^2,B^3\right)$, 有 $A\cdot B=A^0{B}^0-A^1{B}^1-A^2{B}^2-A^3{B}^3$. 一百万年前的人类通过强行塞一个虚单位 $\mathrm{i}$ 来办到这一点: 即令 $A=\left(A^0,\text{i}{A}^1,\text{i}{A}^2,\text{i}{A}^3\right),B=\left(B^0,\text{i}{B}^1,\text{i}{B}^2,\text{i}{B}^3\right)$. 但现在大家都是用闵氏度规 $g_{\mu \nu }\to g=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$ 来刻画这个问题: $A\cdot B\equiv g_{\mu \nu }{A}^{\mu }{B}^{\nu }=A^{\mu }{g}_{\mu \nu }{B}^{\nu }$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ {A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {B}^{0} \\ {B}^{1} \\ {B}^{2} \\ {B}^{3} \\ \end{matrix} \right]$$=A^0{B}^0-A^1{B}^1-A^2{B}^2-A^3{B}^3$. 总之作为一个二十一世纪公民, 咱的 special relativity 里没有虚数.

0.2. 质量就是静质量, 民科嘴里才有所谓的动质量:

就是说后面我们会证明 $E=\gamma m$ , 说白了就是下面这个过程: {E}^{2}={\vec{p}^{2}+{m}^{2}={\gamma }^{2}{m}^{2}{\vec{v}^{2}+{m}^{2}={\gamma }^{2}{m}^{2}\left( {\vec{v}^{2}+\frac{1}{\gamma }^{2} \right)={\gamma }^{2}{m}^{2}, 其中洛伦兹因子 \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\vec{v}^{2}\Rightarrow {\vec{v}^{2}+\frac{1}{\gamma }^{2}=1. 然后 $E=\gamma m$ 配合上举世皆知的 E=m{\text{c}^{2}=m, 就有人让原来真实的静质量退格到 $m_0$, 然后引入一个わけわかんない的动质量 $m=\gamma m_0$. 这纯粹是没有任何积极意义的混淆视听, 影响极其恶劣, 总之事实就是, 整个地球上都根本没人在用动质量这种概念做计算, 只有民科拿来口嗨.

0.3. 肯定还有, 就是我一时想不起来罢了.

1. 从 Boost 到洛伦兹群

1.1. 童年时期的洛伦兹变换:

什么是洛伦兹变换? 你要是足够萌新就会写出一份 \left\{ \begin{align} & \text{c}{t}'=\gamma \left( \text{c}t-\beta x \right) \\ & {x}'=\gamma \left( x-\beta \text{c}t \right) \\ & {y}'=y \\ & {z}'=z \\ & \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^{2},\ \beta =\frac{v^1}{\text{c} \\ \end{align} \right., 对吧?

这个变换本质上描述的是同一个世界在两个不同的惯性参考系下表现出的差异. 这里的 ${\Sigma }^{\prime },\Sigma$ 这俩参考系在 $t^{\prime }=t=0$ 时完全重合, 然后 {\Sigma }'} 以相对于 $\Sigma$ 为 $\vec{v}=\left(v^1,0,0\right)$ 的速度沿 $x$ 轴向匀速运行. 今后所有 ${\Sigma }'$ 系下观察到的事物全都带 ${}'$[[2]](#ref_2), 而带 ${}'$ 与不带 ${}'$ 之间只差一个洛伦兹变换.

没错这个变换确实是洛伦兹变换, 但更准确地说是这个变换属于洛伦兹变换.

先引入一个现代酷记号: $x=\left(x^0,x^1,x^2,x^3\right)\equiv \left(\text{c}t,x,y,z\right)$.

这样的矢量有四个分量, 我们一般称之为四矢量. 一个常见的问题就是, 你这不就跟指数搞混了吗? 啊, 其实是这样的, 就是说呢, 懂的都懂.

然后配合自然单位制有 \left\{ \begin{align} & {x}'}^{0}=\gamma \left( {x}^{0}-\beta {x}^{1} \right) \\ & {x}'}^{1}=\gamma \left( {x}^{1}-\beta {x}^{0} \right) \\ & {x}'}^{2}={x}^{2} \\ & {x}'}^{3}={x}^{3} \\ \end{align} \right., 其中 \left\{ \begin{align} & \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^{2} \\ & \beta =\frac{v^1}{c}={v}^{1} \\ \end{align} \right..

然后你会发现这个式子可以用矩阵乘法表示:

${x}'=\Lambda x\to \left[ \begin{matrix} {x}'}^{0} \\ {x}'}^{1} \\ {x}'}^{2} \\ {x}'}^{3} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {x}^{0} \\ {x}^{1} \\ {x}^{2} \\ {x}^{3} \\ \end{matrix} \right]$

不难看出这等价于说俩描述坐标的矢量由一个线性变换所联系.

于是 $\Lambda =\left[ \begin{matrix} \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\ -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ 就被称作洛伦兹变换矩阵了. 那以后做洛伦兹变换就很简单了, 就是拿个矩阵乘上去就是了.

洛伦兹变换矩阵还有一个用快度(rapidity)刻画的形式:

定义快度 $\vartheta \equiv {\sinh }^{-1}\left(\beta \gamma \right)={\cosh }^{-1}\gamma ={\tanh }^{-1}\beta$ . 会想到用双曲函数是因为有 ${\gamma }^2-{\beta }^2{\gamma }^2=1$, 这和 ${\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x=1$ 很像. 这样一来就有 $\Lambda =\left[ \begin{matrix} \cosh \vartheta & -\sinh \vartheta & 0 & 0 \\ -\sinh \vartheta & \cosh \vartheta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$. 用快度有一个好处就是很容易处理复合变换, 不展开讲了, 实验佬才需要这些.

刚处理的一维时间与三维空间组成的四维时空被称作闵可夫斯基空间(Minkowski space).

闵可夫斯基空间也被简称为闵氏时空, 它是一个确定度规的平直四维线性空间.

1.2. 四维时空间隔不变性导致我们引入闵氏度规:

四维时空间隔不变性指的就是在前面我们提到的那个变换下有这样一个结论:

\ \ \ \ {\left( {x}'}^{0} \right)}^{2}-{\left( {x}'}^{1} \right)}^{2}-{\left( {x}'}^{2} \right)}^{2}-{\left( {x}'}^{3} \right)}^{2}$={\gamma }^2{\left(x^0-\beta x^1\right)}^2-{\gamma }^2{\left(x^1-\beta x^0\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2-{\left(x^3\right)}^2$ $={\gamma }^{2}\left[ \begin{align} & {\left( {x}^{0} \right)}^{2}+{\beta }^{2}{\left( {x}^{1} \right)}^{2}-2{x}^{0}\beta {x}^{1} \\ & -{\left( {x}^{1} \right)}^{2}-{\beta }^{2}{\left( {x}^{0} \right)}^{2}+2{x}^{1}\beta {x}^{0} \\ \end{align} \right]-{\left( {x}^{2} \right)}^{2}-{\left( {x}^{3} \right)}^{2}$ $={\gamma }^{2}\left\{ {\left( {x}^{0} \right)}^{2}-{\left( {x}^{1} \right)}^{2}-{\beta }^{2}\left[ {\left( {x}^{0} \right)}^{2}-{\left( {x}^{1} \right)}^{2} \right] \right\}-{\left( {x}^{2} \right)}^{2}-{\left( {x}^{3} \right)}^{2}$$={\gamma }^2\left(1-{\beta }^2\right){\left(x^0\right)}^2-{\left(x^1\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2-{\left(x^3\right)}^2$$={\left(x^0\right)}^2-{\left(x^1\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2-{\left(x^3\right)}^2$

其中 ${\left(x^0\right)}^2-{\left(x^1\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2-{\left(x^3\right)}^2=t^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)$ 称为[3]时空间隔.

还记得以前三维空间的旋转吗? 实际上洛伦兹变换可以被不严格地看作是四维时空的某种转动.

比如三维欧氏空间绕 $z$ 轴逆时针转 $\theta$ 角就是 $\mathcal{R}\left( {e}_{3},\theta \right)=\left[ \begin{matrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$.这是不是很像前面的洛伦兹变换矩阵 $\Lambda =\left[ \begin{matrix} \cosh \vartheta & -\sinh \vartheta & 0 & 0 \\ -\sinh \vartheta & \cosh \vartheta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$?

参考系转动前后所有东西都变了吗? 其实不然, 而这其中的不变量就是空间间隔.

也许你转动时看着桌子的位置变了, 但桌子长度肯定不会变, 这就是转动的空间间隔不变性. 所以我们才会类比地把前面那个洛伦兹变换下的不变量命名为时空间隔.

定义时空间隔为四矢量的点积, 这是从三维的情况类比得来的.

即定义 $x\cdot x={\left(x^0\right)}^2-{\left(x^1\right)}^2-{\left(x^2\right)}^2-{\left(x^3\right)}^2$. 在三维空间里我们用矢量来指定位置与方向, 这些量会随着旋转变换而变化, 而空间间隔则可以表示为矢量的模长, 这可以由矢量自我点积后开方得到. 所以时空间隔也被类比地称作是四维时空矢量的自我内积了. 为什么不开方? 因为四维矢量的自我内积完全可以是一个小于零的数. $\overline{}$ 但事实上这根本不是内积, 因为内积要求矢量与其本身求内积结果非负, 而从前面所谓的『内积』的表达式来看这里的自我『内积』完全可以小于零.

为了表征这种怪怪的『内积』, 我们引入了一个闵氏度规矩阵 $g=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$.

由此即可定义 $x\cdot x={x}^{\text{T}gx=\left[ {x}^{0},{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3} \right]\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {x}^{0} \\ {x}^{1} \\ {x}^{2} \\ {x}^{3} \\ \end{matrix} \right]$. 值得注意的是这里的闵氏度规矩阵不依赖于参考系, 即洛伦兹变换前后是一样的 $g^{\prime }=g$. 然后闵氏度规还满足 {g}^{-1}={g}^{\text{T}=g, 转置不变知分量满足 $g_{\mu \nu }=g_{\nu \mu }$.

最后提一下的就是, 其实我们前面说的时空间隔都是 $x\cdot x$ 这个其实是 $x$ 到原点的时空间隔, 而真正意义上的时空间隔实际上应该是 $\left(x-y\right)\cdot \left(x-y\right)$, 其中 $y$ 是另一个位置四矢量.

而时空间隔不变性应该表达为 $\left(x^{\prime }-y^{\prime }\right)\cdot \left(x^{\prime }-y^{\prime }\right)=\left(x-y\right)\cdot \left(x-y\right)$ 即洛伦兹变换前后两个时空点 $x,y$ 之间的时空间隔不变. 证明方法和前面是一样的, 但是算起来很几把麻烦, 你要不太相信的话可以自己验算一下, 或者等我讲完洛伦兹逆变换之后看我的更高阶的证明. $\overline{}$ 这样当 $y$ 无限趋近于 $x$ 时, 就将 $x-y$ 记作 $\text{d}x=\left(\text{d}{x}^0,\text{d}{x}^1,\text{d}{x}^2,\text{d}{x}^3\right)$, 其中 $\text{d}{x}^{\mu }=x^{\mu }-y^{\mu }$, 而间隔不变性表现为 $\text{d}x\cdot \text{d}x\equiv g_{\mu \nu }\text{d}{x}^{\mu }\text{d}{x}^{\nu }=\text{d}{x}^{\mu }\text{d}{x}_{\mu }$ 的洛伦兹不变性.

1.3. 洛伦兹变换的定义:

四维间隔不变性的本质是洛伦兹变换保闵氏度规.

用闵氏度规矩阵 $g$ 来描述洛伦兹变换下的时空间隔不变性, 可以发现洛伦兹变换的深层性质. 已知条件为: \left\{ \begin{align} & x\cdot x={x}^{\text{T}gx \\ & {x}'\cdot {x}'=x\cdot x \\ & {x}'=\Lambda x,\ {g}'=g \\ \end{align} \right\}\Rightarrow {x}^{\text{T}{\Lambda }^{\text{T}g\Lambda x={x}^{\text{T}gx. 而位置四矢量 $x$ 是任意的, 由此一来得到关系 {\Lambda }^{\text{T}g\Lambda =g, 称为保度规条件. $\overline{}$ 已知四维时空间隔由闵氏度规描述, 若某变换前后, 变化的部分和度规放一起还是那个度规. 那么这个变换显然就具有四维时空间隔不变性. 于是某变换下具有四维时空间隔不变性就等价于该变换满足保度规条件.

定义洛伦兹变换矩阵为保度规矩阵 $g=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$ 的矩阵.

即满足 {\Lambda }^{\text{T}g\Lambda =g 的一切 $4\times 4$ 方阵都算是洛伦兹变换矩阵. 而洛伦兹变换矩阵表示的线性变换就是洛伦兹变换. 这样一来以前的 $\left[ \begin{matrix} \cosh \vartheta & -\sinh \vartheta & 0 & 0 \\ -\sinh \vartheta & \cosh \vartheta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right]$ 就是一个特例了, 这样的洛伦兹变换, 将来我们将称之为沿 $x$ 方向的 boost.

1.4. 洛伦兹群:

这个大家反而比较懂行了, 就是 $\text{O}\left(1,3\right)$, 对吧? 从 [常见李群] 中可知详细定义为:

\underbrace{\text{O}\left( 1,3 \right)\equiv \left\{ \left. \Lambda \ \right|\ \Lambda \in \text{GL}\left( 4,\mathbb{R} \right),{g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\mu }_{\rho }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }={g}_{\rho \sigma } \right\}_{\dim\text{O}\left( 1,3 \right)=6}, 其中的度规张量矩阵 $g=\text{diag}\left(1,-1,-1,-1\right)$ . 以前只知道定义, 现在知道定义的来历了, 洛伦兹群就是洛伦兹变换组成的群.

这样你会发现前面那种切换到另一个匀速参考系的变换只是一种特别特殊的情况.

洛伦兹变换还有完全不同的形式, 比如说三维空间的旋转理论上也是一个洛伦兹变换, 也就是说 $\Lambda =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathcal{R}\left( \vec{n},\theta \right) \\ \end{matrix} \right],\ \mathcal{R}\left( \vec{n},\theta \right)\in \text{SO}\left( 3 \right)$ 肯定也是洛伦兹变换.因为用屁股想也知道 $\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathcal{R}\left( \vec{n},\theta \right) \\ \end{matrix} \right]$ 肯定是满足四维时空间隔不变性的.

这样一来洛伦兹变换至少就分为两类, 即切换到另一个匀速参考系与参考系的三维空间转动.

二者分别被称为 boost[[4]](#ref_4) 与旋转, 分别记作 ${\Lambda }_{\text{B}$ 与 ${\Lambda }_{\text{R}$. 既然构成群, 那么它们的乘积 {\Lambda }_{\text{B}{\Lambda }_{\text{R} 自然也是洛伦兹变换.

但全体 {\Lambda }_{\text{B},{\Lambda }_{\text{R} 与它们的乘积构成的群也只是 $\text{O}\left(1,3\right)$ 一个子群,

称为固有保时向洛伦兹群 \text{S}{\text{O}^{+}\left( 1,3 \right).

这是因为它们通过参数 $\theta$ 与 $\vartheta$ 的变化涵盖不到时间反演变换 $\mathcal{T}$ 与宇称(parity)变换 $\mathcal{P}$. 具体写为 $\mathcal{T}=\left[ \begin{matrix} -1 & 0 \\ 0 & {1}_{3\times 3} \\ \end{matrix} \right],\ \mathcal{P}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -{1}_{3\times 3} \\ \end{matrix} \right]$, 显然这俩变换也满足保度规条件. 这样看来洛伦兹群就显然是非连通流形, 分为四块儿: \text{S}{\text{O}^{+}\left( 1,3 \right),\mathcal{T}\text{S}{\text{O}^{+}\left( 1,3 \right),\mathcal{P}\text{S}{\text{O}^{+}\left( 1,3 \right),\mathcal{T}\mathcal{P}\text{S}{\text{O}^{+}\left( 1,3 \right).

更进一步的内容这里就写不下了, 李代数啊覆盖群啊之类的到时候我更新到李群系列里好了.

已经快写完了, 而且定义的很多细节都将与市面上常见的版本很不一样, 但结论都是一样的. 市面上比较普遍的一些定义和证明的方法在我看来符号用的太过于不严谨了. $\overline{}$刚写完了, **[[click here](https://zhuanlan.zhihu.com/p/370828021)]**.

1.5. 洛伦兹逆变换:

洛伦兹逆变换其实就是洛伦兹变换的在群中对于的逆元, 比如 $\Lambda$ 的逆变换就是 ${\Lambda }^{-1}$.

而由保度规条件 {\Lambda }^{\text{T}g\Lambda =g 用屁股都能推知 {g}^{-1}{\Lambda }^{\text{T}g={\Lambda }^{-1}.

然后由于 {g}^{-1}={g}^{\text{T}=g 所以就有 {\Lambda }^{-1}=g{\Lambda }^{\text{T}g,

分量式为 {\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\mu }_{\sigma }={g}^{\mu \nu }{\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}_{\nu }^{\rho }{g}_{\rho \sigma }={g}^{\mu \nu }{g}_{\rho \sigma }{\Lambda }^{\rho }_{\nu }.

1.6. 一般意义上的时空间隔不变性:

一般意义上的时空间隔指的是两个四维点 $x,y$ 之间的距离[5] ${\left(x-y\right)}^2$, 然后我们现在就要证明这个量是洛伦兹不变的:

变换 ${\left(x-y\right)}^2\to {\left(x^{\prime }-y^{\prime }\right)}^2=x^{\prime }\cdot x^{\prime }+y^{\prime }\cdot y^{\prime }-2x^{\prime }\cdot y^{\prime }$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\left( \Lambda x \right)}^{\text{T}g\Lambda x+{\left( \Lambda y \right)}^{\text{T}g\Lambda y-2{\left( \Lambda x \right)}^{\text{T}g\Lambda y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={x}^{\text{T}{\Lambda }^{\text{T}g\Lambda x+{y}^{\text{T}{\Lambda }^{\text{T}g\Lambda y-2{x}^{\text{T}{\Lambda }^{\text{T}g\Lambda y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={x}^{\text{T}gx+{y}^{\text{T}gy-2{x}^{\text{T}gy$=x\cdot x+y\cdot y-2x\cdot y={\left(x-y\right)}^2.$

2. 闵氏时空与洛伦兹张量

2.0. 最肤浅玄学的理解[1]:

闵氏时空就是狭义相对论下的时空, 有一维时间与三维空间共四个维度.

度规分量 $g\to g_{\mu \nu }$ 是两个下指标, 玄学肤浅的理解下解释不清原因, 你只能接受它.

容易验证闵氏度规矩阵满足 $gg=1_{4\times 4}$ 所以 $g^{-1}=g$. 单位阵的分量就是 ${\delta }_{\nu }^{\mu }$, 所以 $g^{-1}\to {\left(g^{-1}\right)}^{\mu \nu }=g^{\mu \nu }$ , 即逆度规必须是两个上指标. 这样一来才能有 $gg=1_{4\times 4}\to g^{\mu \nu }{g}_{\nu \sigma }={\delta }_{\sigma }^{\mu }$. $\overline{}$ 考虑到度规满足 {g}^{\text{T}=g 所以就有 {g}^{\mu \nu }={\left( {g}^{\text{T} \right)}^{\nu \mu }={g}^{\nu \mu },\ {g}_{\mu \nu }={\left( {g}^{\text{T} \right)}_{\nu \mu }={g}_{\nu \mu }.

坐标四矢量 $x=\left(x^0,x^1,x^2,x^3\right)$ 是一个典型的洛伦兹矢量, 是所有洛伦兹矢量的榜样.

坐标四矢量在洛伦兹变换下为 $x^{\prime }=\Lambda x$, 分量等式为 {x}'}^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }.

洛伦兹矢量定义为含有四个分量且分量在洛伦兹变换下与坐标四矢量的变换方式相同的量.

即若 $A=\left(A^0,A^1,A^2,A^3\right)$ 满足 {A}'}^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{A}^{\nu }, 则 $A$ 就是一个洛伦兹矢量.

洛伦兹对偶矢量定义为闵氏度规作用在洛伦兹矢量上得到的东西, 变换方式与洛伦兹矢量相反.

即若 $A$ 是洛伦兹矢量, 则洛伦兹对偶矢量 $A^{\ast }=gA$, 分量式为 $A_{\mu }\equiv A_{\mu }^{\ast }=g_{\mu \nu }{A}^{\nu }$.

由闵氏度规的自逆性 $gg=1_{4\times 4}$ 可知 $g{A}^{\ast }=ggA=A$, 即度规联系着矢量与对偶矢量.

$g{A}^{\ast }=A$ 的分量式为 $g^{\mu \nu }{A}_{\nu }=g^{\mu \nu }{g}_{\nu \rho }{A}^{\rho }={\delta }_{\rho }^{\mu }{A}^{\rho }=A^{\mu }$. 即 $g^{\mu \nu }{A}_{\nu }=A^{\mu }$, 再结合 $A_{\mu }=g_{\mu \nu }{A}^{\nu }$, 我们就说度规具有升降指标的功能.

洛伦兹对偶矢量在洛伦兹变换下的变换方式与洛伦兹矢量相反.

即 {A}'}_{\mu }={g}_{\mu \nu }{A}'}^{\nu }={g}_{\mu \nu }{\left( \Lambda A \right)}^{\nu }={g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\nu }_{\rho }{A}^{\rho } 进一步可改写为 {A}'}_{\mu }={g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\nu }_{\rho }{g}^{\rho \sigma }{A}_{\sigma }={A}_{\sigma }\left( {g}^{\sigma \rho }{g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\nu }_{\rho } \right)={A}_{\sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\sigma }_{\mu }.

可以看出我们规定洛伦兹矢量的分量指标在上面, 而洛伦兹对偶矢量的分量指标在下面.

洛伦兹矢量与对偶矢量其实就是其它人口中的逆变矢量与协变矢量, 这个说法估计是源于基变换, 什么主动观点被动观点那一套, 其实算起来都是等价的.

所谓洛伦兹张量就是分量带有多个指标的东西, 在洛伦兹变换下分量也会发生变化.

其中上指标按照洛伦兹矢量方式变, 下指标按照洛伦兹对偶矢量方式变. 以洛伦兹张量 $T\to T_{\nu \rho }^{\mu }$ 为例, 它在洛伦兹变换下的分量变换式为: {T}'}^{\mu }_{\nu \rho }={\Lambda }^{\mu }_{\sigma }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\tau }_{\nu }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\eta }_{\rho }{T}^{\sigma }_{\tau \eta }. 或者反过来说, 洛伦兹变换下分量变换满足上述规律的就是洛伦兹张量.

这种按照上述规律变化的性质就叫做洛伦兹协变性, 满足洛伦兹协变性的量就是洛伦兹张量.

所谓的洛伦兹标量就是没有指标的洛伦兹张量, 即在洛伦兹变换下不发生改变的量.

从这个意义上来看, 洛伦兹矢量与对偶矢量以及闵氏度规都是洛伦兹张量的一种.

闵氏度规在不同参考系下不变, 现在你又说它协变? 听起来挺矛盾的对吧? 其实不然, 它还真就俩都满足, 保度规条件导致它既协变又不变: {g}'}_{\mu \nu }={\Lambda }^{\rho }_{\mu }{\Lambda }^{\sigma }_{\nu }{g}_{\rho \sigma }={\left( {\Lambda }^{\text{T} \right)}_{\mu }^{\rho }{g}_{\rho \sigma }{\Lambda }^{\sigma }_{\nu }={\left( {\Lambda }^{\text{T}g\Lambda \right)}_{\mu \nu }={g}_{\mu \nu }.

以上就是我最讨厌的,『张量就是按照一定规律变化的一组量的集合』的说法.

这种说法也许可以绕开很多东西, 但是听起来玄之又玄, 令人反胃,是典型的那种你懂了你才听得懂, 即『哈哈, 懂的都懂』式的定义.下面我将从我理解的角度来重新阐述这整个概念.

2.1. 闵可夫斯基空间与洛伦兹群的关系:

闵氏时空的定义就是线性空间 {\mathbb{R}^{4} 上配一个闵氏度规 $g$.

其中闵氏度规是 {\mathbb{R}^{4} 上的一个 (0,2) 型张量, 分量 {g}_{\mu \nu }=\left\{ \begin{align} & \ \ 1\ \ \ \ \ \mu =\nu =0 \\ & -1\ \ \mu =\nu =1,2,3 \\ & \ \ 0\ \ \ \ \ \mu \ne \nu \\ \end{align} \right..

而洛伦兹群最准确的定义就是闵氏时空上的保度规线性映射构成的群.

虽然我们从 boost 开始一步一步很艰难地走过来, 但实际上洛伦兹群的定义就这么两句话. 但最好别说洛伦兹群就是闵氏时空上的保度规群, 因为闵氏时空的保度规群是庞加莱群. 洛伦兹群是庞加莱群的子群, 洛伦兹群包含了转动和 boost, 庞加莱群里多一个时空平移. 但你可以说洛伦兹群是闵氏时空上的保度规线性变换群, 因为平移是仿射变换.

所以很显然闵氏时空就是洛伦兹群的基础表示空间或者说定义表示空间、矢量表示空间.

2.2. 洛伦兹群张量与指标的升降:

群张量这个概念在这个世界上[6]被传得玄乎其玄, 但其实就是一句话能解决的:

**群张量就是群的基础表示空间上的张量**[[7]](#ref_7)**.** 所以群张量本质上就是线性空间上的张量.

那具体到洛伦兹张量, 就是洛伦兹定义表示空间, 既闵氏时空上的张量.

线性空间上的张量参考 [前置内容], 这里唯一需要提一下的就是度规可以升降指标的问题:

度规作为 (0,2) 型张量, 可以联系线性空间与其对偶空间, 给定矢量 $A\to A^{\mu }$ 则可以由度规给出其对偶矢量 $A_{\mu }=g_{\mu \nu }{A}^{\nu }\to A^{†}\equiv A^{\ast }$. 但看分量这就是被度规升降指标的过程, 实际上我们可以定义 $A_{\mu }\equiv g_{\mu \nu }{A}^{\nu }$. 就假如你手头已知的有一个洛伦兹张量 T\to {T}^{\mu }{_{\nu \rho }^{\sigma }, 那么分量 $T_{\nu \rho \sigma }^{\mu }$ 就一定是被定义为 {g}_{\tau \sigma }{T}^{\mu }{_{\nu \rho }^{\tau }, 这是降指标的过程. 度规的逆可以升指标: {g}^{\sigma \eta }{T}^{\mu }_{\nu \rho \sigma }={g}^{\sigma \eta }{g}_{\tau \sigma }{T}^{\mu }{_{\nu \rho }^{\tau }={\delta }^{\eta }_{\tau }{T}^{\mu }{_{\nu \rho }^{\tau }={T}^{\mu }{_{\nu \rho }^{\eta }. 只要是洛伦兹张量就可以被度规升降指标, 觉得不过瘾还可以看看 **[[此文](https://zhuanlan.zhihu.com/p/365457613)]**.

所谓洛伦兹标量就是张量缩并出来的数, 很显然这不会被洛伦兹变换改变:

设洛伦兹标量 $s=A^{\mu }{B}_{\mu }$ 则洛伦兹变换后简单可证值不会发生改变: $s^{\prime }={\Lambda }_{\nu }^{\mu }{A}^{\nu }{B}_{\rho }{\left({\Lambda }^{-1}\right)}_{\mu }^{\rho }={\left({\Lambda }^{-1}\Lambda \right)}_{\nu }^{\rho }{A}^{\nu }{B}_{\rho }={\delta }_{\nu }^{\rho }{A}^{\nu }{B}_{\rho }=A^{\mu }{B}_{\mu }=s$. 任意型号张量之间的缩并都这样, 只要是洛伦兹张量缩并出来的数就一定是洛伦兹标量.

现在再回想一下『张量就是按照一定规律变化的一组量的集合』的说法, 这不就是废话吗? 因为线性变换作用的是基矢又不是分量, 大家的基矢都一样, 那所谓的『变化规律相同』不是理所当然吗? 但要是没想到这一步, 还真就不知道什么叫做『按照一定规律变化』, 老抽象废话了.

2.3. 狭义相对论的底流形:

这个问题还是蛮有必要闹清楚的, 以后量子场论可都是在底流形上建的场噢. 比较初级的场论的底流形就是这个闵氏时空流形, 现在不闹清楚可能开局还勉强能混, 但再往后到弯曲时空, 在一般的流形上建场的时候发现没想过这些问题就很难受了.

最后一个小问题就是呢, 在讨论相对论的时候其实都是要用微分几何的构架来描述的, 在微分几何的观点下, 闵氏时空是一个平直的四维流形, 流形的概念也可以参考 [常见李群].

那么闵氏时空作为 \left( {\mathbb{R}^{4},g \right) 就既是一个流形又是一个线性空间.

然后前面我们说的位置四矢量 $x$ 其实就是流形上的点, 同时也是线性空间中的元素.

但今后我们要研究的大多数四矢量比如说四动量 $p\to p^{\mu }$, 它就根本不是闵氏时空作为线性空间中包含的元素, 这实际上是一个问题, 但这个问题似乎没看到有哪本书提过, 然而不想清楚肯定是十分困扰人的吧?

好的那么我们接下来就要引入流形上的参数曲线的概念, 其实以前讲单参子群与李代数的关系时也介绍过. 这东西严格讲是要从微分几何出发的, 但是可以跟着我直观感受一下云一云得了. 就流形就是一个空间, 这个大家都能理解, 然后参数曲线就是这个空间里的一条每点都有确定参数的曲线··· 呃, 其实还挺简单的吧.

那么我们现在的流形就是闵氏时空, 流形上的一个点由三个空间坐标与一个时间坐标确定. 如果一个质量为 $m$ 的点粒子在随便运动, 那么它不同时刻会处于不同空间点, 就这些时刻配上当时的空间点就是一个四维时空点, 这些四维时空点连出来的线就被称为这个点粒子的世界线.

很酷对吧, 不过这并不完全是那位狂気のマッドサイエンティスト口中的世界线, 但他那个设定其实就是源于这个概念吧. 我们这个世界线就是记录一个点粒子在不同时刻的位置, 在四维空间中就是一根曲线. 就你要认识到哪怕粒子不动, 它也有一条世界线, 不过就是一条与时间轴平行的直线了.

那么世界线就是一条参数曲线, 而这条曲线的参数就是这个点粒子的固有时 (proper time) $\tau$ , 说白了就是点粒子自己手上的表的时间. 那么四维速度就被定义为世界线的切矢, 而参数曲线的切矢就是各坐标对参数求导组成的矢量嘛, 即 v=\frac{\text{d}x}{\text{d}\tau }\to {v}^{\mu }=\frac{\text{d}{x}^{\mu }{\text{d}\tau }.

这其实是一个很奇怪的概念, 固有时是点粒子自己手上的表走的时间, 它自己测自己怎么会有速度呢? 但这个在微分几何的观点下是很自然的, 因为四维时空就摆在那里, 世界线也都是一些绝对的曲线, 它们实际上都是不依赖于参考系的, 那世界线的切矢也自然就是一个可以测量的绝对几何量了. 至于说我们在三维时空讨论的三速度, 那确实是相对于观测者而言的, 这里会引入一个瞬时观测者的概念, 但没必要多费口舌了, 感兴趣的话可以去学广义相对论.

然后四动量就是粒子质量与四速度的乘积, 它和四速度的性质一样, 也是一个四矢量却并不是一个时空点, 它们作为切矢实际上是在特定时空点上的切空间中的元素. 而位置四矢量则是流形上一个确定的时空点.

就是说, 我们平时用的一些四矢量其实都不是同一个空间里的东西, 结果还相互作用了, 还都能参与洛伦兹变换, 这不都是很怪的一件事吗? 总之就是切矢和闵氏时空作为线性空间时这个空间中的矢量是什么关系要搞清楚. 还有就是不同切空间中的矢量理论上也是不能相互作用的, 它们之间的联系又是什么呢? 难道还要像广义相对论那样引入联络的概念?

那我给出的答案就是, 因为闵氏时空这个底流形十分的 trivial, 它就是平直时空, 所以它的每一个点上的切空间都相互同构且与其本身是完全同构的. 所以我们可以认为在狭义相对论的观点下进行矢量运算时, 可以把涉及的四矢量全部平移到空间的原点上去, 然后在这个意义上它们就都处于同一个空间了, 即闵氏时空作为线性空间的那个空间. 而对偶矢量与张量都可以类似的处理, 这个所谓的平移无非就是把各个张量的基底都换成位置四矢量的基底.

然而在一般非平直流形上建立的相对论呢, 洛伦兹变换都是发生在切空间[[8]](#ref_8)里的, 所以从这个意义上动量的洛伦兹变换才是最基本的洛伦兹变换, 才应该当大家的榜样, 因为: (1). 动量的洛伦兹变换即使不取定坐标系也可以描述. (2). 动量天生就是一个切矢. $\overline{}$ 在这个情形下, 流形上的点在坐标域内应该也是可以看作是矢量场的, 因为每一个点都可以用它的坐标配上那个点的切空间里的坐标基矢构成一个洛伦兹矢量.

别忘了还有一个番外篇:

**[東雲正樹：[番外] 主动与被动 / 逆变与协变](https://zhuanlan.zhihu.com/p/371277329)**

就到此为止吧, 算是把主标题讲完了, 具体啥是四动量, 然后相对论动能公式或者其它的一些关系之类这种狭义相对论下的动力学部分可以参考下文:

https://www.zhihu.com/question/425872706/answer/2330230351## 参考

• ^ab不看也罢, 但我还是会很认真地写清楚.
• ^这个东西念 prime, 其实最早也是误读, 以讹传讹了, 也就变成了正确念法.
• ^x 点到原点的
• ^这个 boost 实在是没法翻译, 你去查词典会发现 boost 是类似于『提高』『增长』的意思, 我个人观点就是说, 你换到另外一个有速度的惯性参考系等于说是整个视角都进行了一次提速, 所以叫 boost, 于是就有人翻译作『增速』. 然后它又像是四维时空的转动, 但又不完全是传统意义上的转动, 所以也被译作『伪转动』. 但就我个人而言吧, 我觉得 boost 这个词念起来特别酷, 所以就不翻译了.
• ^或者你说它是距离的平方也行吧, 差不多一个意思.
• ^是的包括国内外.
• ^为何更高阶的表示空间上的张量不算进去呢? 其实也可以算进去, 就是一般涉及不到.
• ^或者强行黏在流形点上的其它线性空间 (比如说旋量空间) 里.