[番外] 主动与被动逆变与协变

原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/371277329
发布日期: 2021-05-12
分类: 张量 / 指标运算 / 相对论

原作: [東雲正樹 - 从 Boost 到洛伦兹群, ようこそ Minkowski パークへ](https://zhuanlan.zhihu.com/p/367408697).

本来是不太想提这个问题的, 因为观点始终是观点, 即对同一事物的不同看法.

事物本身是客观的存在, 所以具体到运算上主动或被动的观点都不会改变分量式本身的构造.

因为这篇牵扯到的被动观点涉及了洛伦兹张量之外的东西, 所以就只能当番外了.

其实以前为了防止大家陷入混乱我一直隐瞒了一些东西, 那就是我默认了坐标系变换可以等价于一个线性变换, 但我却没有给出具体的证明. 只要涉及到坐标系变换就会存在所谓的主动观点与被动观点, 然后初学者几乎个个都要在这上面闹一阵子··· 所以我当时干脆就说线性空间上一切变换都是张量之间的相互作用, 然后研究一下张量之间的缩并, 就解决一切问题了[1].

现在就以坐标四矢量的洛伦兹变换为例谈一下主动观点与被动观点的区别:

下面采取了巨量指标运算, 不懂的话可以直接参考 **[Masaki Notation](https://zhuanlan.zhihu.com/p/359082678)** 最后的总结部分.

最初的 Boost 变换就是通过关系 $\left\{ \begin{align} & {x}'}^{0}=\gamma \left( {x}^{0}-\beta {x}^{1} \right) \\ & {x}'}^{1}=\gamma \left( {x}^{1}-\beta {x}^{0} \right) \\ & {x}'}^{2}={x}^{2} \\ & {x}'}^{3}={x}^{3} \\ \end{align} \right.$ 完成 $x^{μ}$ 到 ${x}'}^{\mu }$ 的变换.

在 **[[闵氏时空与洛伦兹张量](https://zhuanlan.zhihu.com/p/367408697)]** 证明了这个变换可以用变换矩阵 $\Lambda$ 表达为 ${x}'}^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }$.

然后我们其实一直都是采取着主动观点:

也就是说我把洛伦兹变换形容成一个 (1,1) 型的洛伦兹张量 $Λ = Λ_{ν}^{μ} e_{μ} \otimes e^{ν}$ .

而洛伦兹变换就是张量缩并的过程: $\Lambda x={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }\otimes {e}^{\nu }\left( {x}^{\rho }{e}_{\rho } \right)={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\rho }{e}_{\mu }{\delta }^{\nu }_{\rho }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }{e}_{\mu }={x}'}^{\mu }{e}_{\mu }={x}'$ 这个过程掐头去尾就有 ${\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }{e}_{\mu }={x}'}^{\mu }{e}_{\mu }$ 进一步就是 ${\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }={x}'}^{\mu }$ , 而这个就是我们想要的.

而这个做法有它的问题, 那就是你看头看尾就有 $Λ x = x^{'}$ ,

这就是典型的线性变换, 把一个矢量变成了另一个矢量, 其中 $x = x^{μ} e_{μ}, x^{'} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν} e_{μ}$ , 就是说基矢没发生改变.

但洛伦兹变换在我们老百姓的心中始终应该是参考系变换呀.

参考系变换是啥意思? 就是说你把坐标系变了, 所以基矢变了, 而两个参考系下观察的矢量是同一个矢量, 所以矢量本身不能变, 只是同一个矢量在两个参考系下的分量不一样, 而二者之间的变换就是洛伦兹变换.

所以其实与物理内涵更贴切的应该是被动观点:

即有两套惯性系 $Σ, Σ^{'}$ , 它们的基矢分别为 $\left\{ {e}_{0},{e}_{1},{e}_{2},{e}_{3} \right\},\left\{ {e}'}_{0},{e}'}_{1},{e}'}_{2},{e}'}_{3} \right\}$ .

假设这两套参考系之间的关联为 ${e}'}_{\mu }={J}^{\nu }_{\mu }{e}_{\nu }$ , 这里的 $J_{μ}^{ν}$ 就不是张量分量了, 它是变换矩阵 $J$ 的分量. 这个变换矩阵在有的地方好像也被称作过渡矩阵, 实际上就是坐标变换的雅可比矩阵.

那么在这两套参考系下看同一个点 $x$ 就表达为 $x={x}^{\mu }{e}_{\mu }={x}'}^{\nu }{e}'}_{\nu }$ .

进一步就是 $x={x}^{\mu }{e}_{\mu }={x}'}^{\nu }{e}'}_{\nu }={x}'}^{\nu }{J}^{\mu }_{\nu }{e}_{\mu }$ . 这就要求 ${x}^{\mu }={x}'}^{\nu }{J}^{\mu }_{\nu }$ , 然后我们知道洛伦兹变换下有 ${x}'}^{\nu }={\Lambda }^{\nu }_{\rho }{x}^{\rho }$ . 代入变换关系就有 $x^{μ} = Λ_{ρ}^{ν} x^{ρ} J_{ν}^{μ} = J_{ν}^{μ} Λ_{ρ}^{ν} x^{ρ} = (J Λ)_{ρ}^{μ} x^{ρ}$ . 这就意味着 $J={\Lambda }^{-1}$, 所以洛伦兹变换矩阵其实就是坐标变换的雅可比矩阵[[2]](#ref_2). 不信你可以试试, 比如 $\frac{\partial {x}'}^{1}{\partial {x}^{0}=-\gamma \beta ={\Lambda }^{1}_{0}$ 之类, 你会发现 $\frac{\partial {x}'}^{\mu }{\partial {x}^{\nu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }$ . 而 $\frac{\partial {x}'}^{\mu }{\partial {x}^{\nu }$ 就是变量替换时产生的雅可比矩阵的分量.

那总之在这个观点下就是变换前后矢量本身没有任何改变, 只是分量和基矢同时变了.

即 $x={x}^{\nu }{e}_{\nu }\to {x}'}^{\mu }{e}'}_{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }{\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\rho }_{\mu }{e}_{\rho }={\delta }^{\rho }_{\nu }{x}^{\nu }{e}_{\rho }={x}^{\nu }{e}_{\nu }=x$ .

但要真的用上被动观点, 还要对记号的观点做一定的修改:

无论什么观点, 这个源于童年的式子 ${x}'}^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }$ 都是始终成立的.

在我们不写指标的时候, 就是在指矩阵运算 $x^{'} = Λ x$ . 但是被动观点下, 变换前后观察的是同一个矢量, 所以有 $x^{'} = x$ , 这不就乱套了吗?

所以如果你要采用被动观点的话, $x$ 与 $x^{'}$ 则不应该视为时空点.

我们应该将 $x$ 与 $x^{'}$ 视作确定时空点 $p$ 的两组坐标. 即 $x=\left( {x}^{0},{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3} \right),\ {x}'=\left( {x}'}^{0},{x}'}^{1},{x}'}^{2},{x}'}^{3} \right)$ , 二者都只是系数矩阵. 且 $x^{'} \neq = x$ 而应该满足关系 $x^{'} = Λ x$ . 但这与二者描述同样的时空点 $p$ 不矛盾, 因为 $p={x}^{\mu }{e}_{\mu }={x}'}^{\mu }{e}'}_{\mu }$ .

即是说, 被动观点下, 洛伦兹变换是由于基矢的改变产生的系数的变换矩阵.

所以系数矩阵当然变了, 也是这个意义下才有的 $x^{'} \neq = x$ 且应该满足关系 $x^{'} = Λ x$ . 这样就形式上与主动观点完全统一了, 所以我说观点仅是观点, 不会改变式子本身.

总结:

你会发现虽然两种观点好像蛮多区别的, 但是归根结底二者是等价的.

因为我们只需要能给出系数的变换关系 ${x}'}^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu }$ 即可. 物理上的说法就是参考系的变换会带来这么一个系数变换矩阵 $Λ$ . 然而我们总可以找到一个线性变换 $Λ$ 作用上去正好与系数变换矩阵带来的效果相同.
总之就是, 虽然被动观点虽然更符合物理吧, 但涉及了张量之外的东西, 这样你就不好解释为啥变换矩阵明明不是洛伦兹张量还能被度规升降指标之类的. 而主动观点虽不太物理但能把一切都看作张量, 处理起来就只涉及洛伦兹张量, 很自洽.

最最重要的一点就是, 被动观点下心里一定要清楚自己写的究竟是张量本身还是系数矩阵.

比如张量 $T = {T^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e_\mu } \cdots {e_\nu }{e^\rho } \cdots {e^\sigma }$ , 在基底变换后表达为 $T = {T'^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e'_\mu } \cdots {e'_\nu }{e'^\rho } \cdots {e'^\sigma }$ .
显然 $T = {T^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e_\mu } \cdots {e_\nu }{e^\rho } \cdots {e^\sigma } = {T'^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e'_\mu } \cdots {e'_\nu }{e'^\rho } \cdots {e'^\sigma }$ . 但变换前后肯定有 ${T^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma } \ne {T'^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }$ . 也就是说张量虽然不会改变, 但张量系数矩阵肯定变了. 现在的问题就是, 你千万别把表示系数矩阵的 $T, T^{'}$ 与表示张量本身 $T$ 搞混了.
如果你再强迫症一点儿的话, 可以给张量加个 hat:[[3]](#ref_3) 即 $\hat T = {T^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e_\mu } \cdots {e_\nu }{e^\rho } \cdots {e^\sigma }T = {T'^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e'_\mu } \cdots {e'_\nu }{e'^\rho } \cdots {e'^\sigma }$ . 这样在被动观点下虽然有 $T^{'} \neq = T$ 但并不影响 $\hat{T}$ 不依赖于基底选取的性质. 当然了, 如果你采用主动观点就没这些破事儿了.

至于说逆变和协变, 呃这个其实我也没查过为啥会这么叫, 如果我说的不对还请评论区指出.

就我个人感觉吧, 从前面来看无论是 ${x}'}^{\mu }={\Lambda }^{\mu }_{\nu }{x}^{\nu },{e}'}_{\mu }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\rho }_{\mu }{e}_{\rho }$ 还是 ${x}'}_{\mu }={g}_{\mu \nu }{x}'}^{\nu }={g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\nu }_{\rho }{x}^{\rho }$ . $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={g}_{\mu \nu }{\Lambda }^{\nu }^{\rho }{x}_{\rho }={g}_{\mu \nu }{g}^{\rho \sigma }{\Lambda }^{\nu }_{\sigma }{x}_{\rho }={\left( {\Lambda }^{-1} \right)}^{\rho }_{\mu }{x}_{\rho }$[[4]](#ref_4). 我们就不管它是什么观点了, 也不管是什么分量系数还是基矢, 它都始终存在着一个规律, 那就是带上指标的东西和带下指标的东西在变换下, 乘上去的矩阵是互逆的.
所以如果你管分量系数带下指标的对偶矢量叫协变矢量的话, 分量系数带上指标的矢量就叫逆变矢量, 因为它的变化和协变矢量的变化是互逆的. 所以就也管对偶基底 ${e^{0}, e^{1}, e^{2}, e^{3}}$ 叫逆变基底, 而 ${e_{0}, e_{1}, e_{2}, e_{3}}$ 叫协变基底. 最后就直接管上指标叫逆变指标, 下指标叫协变指标了. 不过我觉得莫名其妙, 你就直接叫上下指标不好吗? 就一定要整一个这么哈人的说法?

[附录] 为何 $g_{μν} g^{ρ σ} Λ_{σ}^{ν} = (Λ^{- 1})_{μ}^{ρ}$ :

很容易验证, 因为 $(g_{μν} g^{ρ σ} Λ_{σ}^{ν}) Λ_{τ}^{μ} = Λ_{τ}^{μ} Λ_{σ}^{ν} g_{μν} g^{ρ σ} = g_{τ σ} g^{ρ σ} = δ_{τ}^{ρ}$ .

第二个等号用到了保度规条件, 然后由此可知 $g_{μν} g^{ρ σ} Λ_{σ}^{ν} = (Λ^{- 1})_{μ}^{ρ}$ .

参考

^不过事实也确实如此.
^雅可比矩阵和它的逆都叫雅可比矩阵, 因为都是坐标变换带来的嘛.
^因为张量本身出现频率极低, 如果把 hat 加在系数矩阵上的话可就太麻烦了.
^最后一个等号搞不懂的话可以看文末的附录.

[番外] 主动与被动 逆变与协变 ​

比如张量 T = {T^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e_\mu } \cdots {e_\nu }{e^\rho } \cdots {e^\sigma }, 在基底变换后表达为 T = {T'^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e'_\mu } \cdots {e'_\nu }{e'^\rho } \cdots {e'^\sigma }. ​

参考 ​

[番外] 主动与被动逆变与协变

比如张量 $T = {T^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e_\mu } \cdots {e_\nu }{e^\rho } \cdots {e^\sigma }$ , 在基底变换后表达为 $T = {T'^{\mu \cdots \nu }_{\rho \cdots \sigma }{e'_\mu } \cdots {e'_\nu }{e'^\rho } \cdots {e'^\sigma }$ .

参考