群论 (Group Theory) 终极速成 マボロシの旋量空间与哈人的 Clifford 代数

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/373020066
• 发布日期: 2021-05-25
• 分类: 群论 / 表示论

序言

这一篇可以说是酝酿了有一阵子了[1], 因为这背后的数学比以往都复杂很多, 我只能说是在试着用尽可能少的数学与尽可能直观的结论来阐述整个构架. 至于说我这里定义的旋量 (spinor) 跟数学系[2]或工科生[3]口中的旋量是否一致我不敢保证. 但本文定义的旋量肯定跟量子理论语境下与费米子相关联的那个旋量是同一个东西.

如果说特殊正交群 $\text{SO}\left(3\right)$ 是现实世界的旋转群而 \text{S}{\text{O}^{+}\left( 1,3 \right) 是现实世界的齐次惯性参考系变换群, 那 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的连通李子群就是广义现实世界的齐次惯性参考系变换群. 我们处理的东西一般也就是在这个现实世界里, 所谓的矢量或者说张量也就是将现实世界看作线性空间时[4]定义在这个线性空间上的张量.

旋量不如说玄量, 它不是广义平直现实世界上的张量, 当然更不可能是现实世界里的元素了, 但它又 somehow 能感受到正交变换的作用, 真是不可谓不玄幻. 它究竟处于一个怎样的神秘空间? 又是如何感受到 $\text{O}\left(p,q\right)$ 作用的呢? 走近科学, 带你探索旋量的神秘栖居场所与现实世界的潜在联系.

只要涉及到正交群, Clifford 代数这个词可谓是不绝于耳. 但你要真去 wiki 一下, 搜到的东西好像从第一个字到最后一个字都不知道在讲个啥玩意. 其实 Clifford 代数的表示粗略来说就是与旋量表示锁定了的代数表示.

然后全文最后举了一个实例, 我们又一次地展现了什么叫做费米子的转两圈才能回到原位.

接下来可能就是写洛伦兹群的表示与旋量表示吧. 然后我想想, 一直忘了介绍杨图了, 表示的张量积与直和分解之类的也蛮重要的, 可能会一起写写.

呃··· 我动笔之前其实觉得粒子物理系能用到的群论撑死六篇文就能讲清楚吧, 毕竟挺简单的, 内容也不算太多. 结果真写起来发现想三十章之内完结都悬, well, 慢慢来罢.

全文默认指标 $\mu ,\nu ,\rho ,\sigma ,\cdots$ 取 $\left\{ 0,1,2,3 \right\}$ 或 $\left\{ 1,2,3,\cdots ,p+q \right\}$[[5]](#ref_5). 全文默认指标 $i,j,k,l,\cdots$ 只取 $\left\{1,2,3\right\}$.

目録

17. 二重覆盖与 (spin group) 旋量群

17.1. Previously on AMC's The Double Cover 17.2. 旋量群的基本概念

18. 旋量群的李代数与克利福德代数 (Clifford algebra)

18.1. Clifford 代数的产生 *18.2. 真正的 Clifford 代数[[6]](#ref_6) 18.3. Clifford 代数与旋量群李代数的关系

19. 神秘莫测的旋量空间 (spinor space)

19.1. 旋量与旋量表示 19.2. 以 $\text{Spin}\left(3\right)=\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{SO}\left(3\right)$ 为例把前文的一切理论都验证一下 19.3. 故 $\text{SU}\left(2\right)$ 的基本表示就是 $\text{SO}\left(3\right)$ 的一个旋量表示, 现在来研究一下这个表示空间 19.4. 以自旋空间为例, 演示一下旋量与矢量直接的联系

[附录 L] 关于 Clifford 代数的一些江湖传闻

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 物理系零基础火箭级 notes

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 群表示理论

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 群表示论下的正交性与完备性

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 李群 (Lie group) 的定义与常见李群

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / SU(2) 与 SO(3) 的梦幻联动

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / SU(2) 的全体不可约表示与李群上的积分

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 李群对应的李代数与可爱又迷人的伴随表示

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group) 与洛伦兹代数

東雲正樹：群论 (Group Theory) 终极速成 / マボロシの旋量空间与哈人的 Clifford 代数

17. 二重覆盖与旋量群 (spin group)

17.1. Previously on AMC's The Double Cover:

✦ 在 [梦幻联动] 里第一次提到二重覆盖这个词, 我们面对的对象是 $\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{SO}\left(3\right)$:

简述 $\text{SU}\left(2\right)$:

生成元空间的基矢: ${\sigma }_{1}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right],{\sigma }_{2}=\left[ \begin{matrix} 0 & -\text{i} \\ \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right],{\sigma }_{3}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right].$基矢的对易关系: $\left[ {\sigma }_{i},{\sigma }_{j} \right]=2\text{i}{\varepsilon }_{ij}^{k}{\sigma }_{k}$. 基矢的反对易关系: $\left\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\right\}=2{\delta }_{ij}{1}_{2\times 2}$. $\overline{}$ 对 $\forall U\in \text{SU}\left(2\right)$ 有 U={\text{e}^{\text{i}\frac{\omega }{2}{n}^{i}{\sigma }_{i}, 其中 $\vec{n}=\left(n^1,n^2,n^3\right)$ 是三维实单位矢量. $\overline{}$生成元空间 $\text{span}\left( {\sigma }_{1},{\sigma }_{2},{\sigma }_{3} \right)$ 配合对易关系 $\left[ {\sigma }_{i},{\sigma }_{j} \right]=2\text{i}{\varepsilon }_{ij}^{k}{\sigma }_{k}$ 构成李代数 $\mathfrak{s}\mathfrak{u}\left( 2 \right)$.$\overline{}$ 反对易关系 $\left\{{\sigma }_i,{\sigma }_j\right\}=2{\delta }_{ij}{1}_{2\times 2}$ 可以给出三维实空间度规的分量 ${\delta }_{ij}$.

简述 $\text{SO}\left(3\right)$:

生成元空间的基矢: ${T}_{1}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\text{i} \\ 0 & \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right],{T}_{2}=\left[ \begin{matrix} 0 & 0 & \text{i} \\ 0 & 0 & 0 \\ -\text{i} & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right],{T}_{3}=\left[ \begin{matrix} 0 & -\text{i} & 0 \\ \text{i} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right].$基矢的对易关系: $\left[ {T}_{i},{T}_{j} \right]=\text{i}{\varepsilon }_{ij}^{k}{T}_{k}$. 基矢的反对易关系: {\left\{ {T}_{i},{T}_{j} \right\}^{k}_{l}=-{\delta }^{k}_{i}{\delta }^{j}_{l}-{\delta }^{k}_{j}{\delta }^{i}_{l}. $\overline{}$ 对 $\forall \mathcal{R}\in \text{SO}\left(3\right)$ 有 \mathcal{R}={\text{e}^{\text{i}\omega {n}^{i}{T}_{i} 其中 $\vec{n}=\left(n^1,n^2,n^3\right)$ 是三维实单位矢量. $\overline{}$生成元空间 $\text{span}\left( {T}_{1},{T}_{2},{T}_{3} \right)$ 配合对易关系 $\left[ {T}_{i},{T}_{j} \right]=\text{i}{\varepsilon }_{ij}^{k}{T}_{k}$ 构成李代数 $\mathfrak{so}\left( 3 \right)$.

✦ 二者的李代数是同构的, 或者可以直接一点说 $\mathfrak{su}\left(2\right)=\mathfrak{so}\left(3\right)$:

考虑到 $\left[2T_i,2T_j\right]=2\text{i}{\epsilon }_{ij}^{k}2T_k$, 对比 $\left[{\sigma }_i,{\sigma }_j\right]=2\text{i}{\epsilon }_{ij}^k{\sigma }_k$.

不难发现二者是拥有相同结构常数的三维实线性空间, 所以根本就是同一个李代数.

我们可以建立一个抽象的代数 $\mathfrak{g}$:

设 ${J}_{1},{J}_{2},{J}_{3}$ 三个元素满足对易关系 $\left[ {J}_{i},{J}_{j} \right]=2\text{i}{\varepsilon }_{ij}^{k}{J}_{k}$, 则实数域上的 $\text{span}\left\{J_1,J_2,J_3\right\}=\mathfrak{g}=\mathfrak{su}\left(2\right)=\mathfrak{so}\left(3\right).$$\overline{}$ 现在记 $X=X^i{J}_i,X^i\in \mathbb{R}$, 显然 $X\in \mathfrak{g}$ 且能随着参数 $X^1,X^2,X^3$ 遍历 $\mathfrak{g}$ . 此时 $X,J_i$ 都只是代数空间的元素, 当我们为 $\mathfrak{g}$ 取了表示之后, 它们就对应到表示矩阵.

✦ $\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{SO}\left(3\right)$ 是由相同的李代数 $\mathfrak{g}$[7]中的元素指数映射出来的群.

当我们为 $\mathfrak{g}$ 取 $2$ 维不可约表示后, $J_i$ 等价于 ${\sigma }_i$, 此时 \left\{ \left. {\text{e}^{\text{i}X} \right|X\in \mathfrak{g} \right\}=\text{SU}\left( 2 \right).

当我们为 $\mathfrak{g}$ 取 $3$ 维不可约表示后, $J_i$ 等价于 $T_i$, 此时 \left\{ \left. {\text{e}^{\text{i}X} \right|X\in \mathfrak{g} \right\}=\text{SO}\left( 3 \right).

要注意, 这里的李代数本身是一个实线性空间, 而表示空间是另一个线性空间. $\overline{}$ 所谓的 $n$ 维线性表示就是把目标集合里的元素映射到 $n$ 维空间上的线性变换上, 这个映射要保原集合里有的运算 (即同态), 实空间就是实表示, 复空间就是复表示. 然后如果存在 {\mathbb{R}^{n} 上的 $n$ 维实表示, 则把这些表示矩阵直接搬到 {\mathbb{C}^{n} 上去就成了 $n$ 维复线性表示了, 所以这里的维度与表示的实与复的关系并不那么大. $\overline{}$ 不要觉得复表示的自由度多了一倍之类的. 同样是 $n$ 维表示, 当讨论实表示时 $n\times n$ 表示矩阵最多只有 $n^2$ 个独立的. 而讨论复表示的时候, 虽然每个矩阵元都可以放复数了, 但整个表示空间都是复空间, 所以独立的矩阵还是只有 $n^2$ 个, 因为叠加系数都是复数了. $\overline{}$再具体点说就是你以为 $\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ 与 $\left[ \begin{matrix} \text{i} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$ 是独立的,但实际上 $\left[ \begin{matrix} \text{i} & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]=\text{i}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix} \right]$, 也就是说二者线性相关. 所以无论实复, 二维表示里就最多四个独立元素, 然后一般来说实表示不一定存在, 所以我们 (搞物理的) 从来都只考虑复表示. 只是说恰好复表示矩阵里只有实数或纯虚数时, 能把复表示空间缩到实表示空间罢了.

✦ $\mathfrak{g}$ 的表示与 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示是一一对应的且二者都与维度一一对应.

我们曾研究过 $\text{SU}\left(2\right)$ 的全体复线性表示, 各维度一个, 然后又证明了特征标的完备性.

这就说明过 $\text{SU}\left(2\right)$ 在确定维度下的不等价不可约表示是唯一的.

由于 $\text{SU}\left(2\right)$ 是单连通李群, 所以它与它的李代数的表示是一一对应的[8].

结合 $\text{SU}\left(2\right)$ 确定维度下表示的唯一性可知 $\mathfrak{g}=\mathfrak{su}\left(2\right)$ 的表示也与维度一一对应.

✦ 二重覆盖的引入:

结合前文, 我们不难推知其实 {\text{e}^{\text{i}\mathfrak{g} 就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示.

这是一个比较开玩笑的写法, 即为 $\mathfrak{g}$ 找到一个表示之后, $\mathfrak{g}$ 内元素就对应到特定矩阵, 再将 $\mathfrak{g}$ 表示矩阵都进行指数映射后得到的结果的集合将是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示矩阵的集合. 这就是 $\mathfrak{g}$ 的表示与 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示一一对应这句话的含义.

那么为 $\mathfrak{g}$ 取 $3$ 维不可约表示后得到的 $\text{SO}\left(3\right)$ 其实就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的 $3$ 维表示矩阵的集合.

所以从这个角度上来看矩阵李群 $\text{SO}\left(3\right)$ 就是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的 $3$ 维表示下的表示矩阵的集合. 虽然一个是实表示一个是复表示, 但表示矩阵还是同一拨, 就是 $\text{SO}\left(3\right)$ 里的全体矩阵.

所以 $\text{SU}\left(2\right)$ 的 $3$ 维表示映射 $D:\text{SU}\left(2\right)\to \text{SO}\left(3\right)$ 实际上就是二重覆盖映射[9].

✦ $\mathfrak{g}$ 的表示与 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示不是一一对应的, 只有一半能映射出 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示.

正因为存在这个二重覆盖, 所以 $\text{SU}\left(2\right)$ 的忠实表示绝不可能是 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示. 因为表示矩阵比群元多了一倍去了, 这根本就没法构成映射了. $\overline{}$ 但后面所谓的旋量表示就是强行当 $\text{SO}\left(3\right)$ 表示的 $\text{SU}\left(2\right)$ 的忠实表示.

✦ 综上所述, 多个李群可以共用一个李代数, 但其中只有一个李群是单连通的, 而这个单连通李群的表示能与其李代数的表示一一对应, 且这个单连通李群将是其它几个李群的覆盖群.

当然我们并未证明这一结论, 硬要说也只是一个归纳猜想, 但数学上确实有这个结论的.

17.2. 旋量群的基本概念:

✦ 旋量群 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 就被定义为 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的连通李子群的二重覆盖群.

当维数比较低的时候 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 会碰巧同构于一些比较有名的李群:

\begin{align} & \ \ \ \text{Spin}\left( 1,1 \right)=\text{GL}\left( 1,\mathbb{R} \right) \\ & \ \ \ \text{Spin}\left( 1,2 \right)=\text{SL}\left( 2,\mathbb{R} \right) \\ & \ \ \ \text{Spin}\left( 1,3 \right)=\text{SL}\left( 2,\mathbb{C} \right) \\ & \ \ \ \text{Spin}\left( 1,4 \right)=\text{Sp}\left( 1,1 \right) \\ \end{align} \begin{align} & \ \ \ \text{Spin}\left( 2,3 \right)=\text{Sp}\left( 4,\mathbb{R} \right) \\ & \ \ \ \text{Spin}\left( 1,5 \right)=\text{SL}\left( 2,\mathbb{H} \right) \\ & \ \ \ \text{Spin}\left( 2,4 \right)=\text{SU}\left( 2,2 \right) \\ & \ \ \ \text{Spin}\left( 3,3 \right)=\text{SL}\left( 4,\mathbb{R} \right) \\ \end{align}

而 $\text{Spin}\left(n\right)\equiv \text{Spin}\left(n,0\right)$ 是 $\text{SO}\left(n\right)$ 的二重覆盖群, 也有低维巧合同构:

\begin{align} & \text{Spin}\left( 1 \right)=\text{O}\left( 1 \right)={\mathbb{Z}_{2} \\ & \text{Spin}\left( 2 \right)=\text{U}\left( 1 \right)=\text{SO}\left( 2 \right)={\text{S}^{1} \\ & \text{Spin}\left( 3 \right)=\text{Sp}\left( 1 \right)=\text{SU}\left( 2 \right)=\text{HU}\left( 1 \right)={\text{S}^{3} \\ & \text{Spin}\left( 4 \right)=\text{SU}\left( 2 \right)\times \text{SU}\left( 2 \right) \\ & \text{Spin}\left( 5 \right)=\text{Sp}\left( 2 \right)=\text{HU}\left( 2 \right) \\ & \text{Spin}\left( 6 \right)=\text{SU}\left( 4 \right) \\ \end{align}

更高的维度下 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 就是它自己, 已经不能碰瓷名人了.

就上述列表里, 我们普通老百姓感兴趣的暂且只有俩: $\text{Spin}\left(3\right)=\text{SU}\left(2\right)$ 与 $\text{Spin}\left(1,3\right)=\text{SL}\left(2,\mathbb{C}\right)$. 前者是启蒙教育群, 后者是固有保时向洛伦兹群的覆盖群.

✦ 我们研究旋量群的主要原因就是要研究正交群与旋量表示 (spinor representation).

物理是研究对称性的学科, 无论如何你也绕不开正交群[10], 但正交群不是单连通的.

所以我们就要研究正交群的李代数对应的单连通[[11]](#ref_11)李群, 即旋量群. 旋量群作为单连通李群其表示与李代数的表示是一一对应的, 所以对于不好找表示的单连通李群可以从李代数的表示找起. 然后找到的旋量群的不忠实表示里有一部分可以给正交群的连通李子群用. $\overline{}$ 其实旋量群的表示里的那些表示矩阵比正交群的连通李子群的群元还多的表示 也可以很勉强地给正交群的连通李子群用. 这样的表示被称作旋量表示或双值表示、射影表示等. 这些表示可以说是广义表示吧, 它们实际上不是正交群的表示, 而是旋量群的表示. 故当我们用正交群的连通李子群来对应这些表示里的表示矩阵时, 表示空间里的矢量就不能再叫矢量了, 改称旋量.

18. 旋量群的李代数与克利福德代数 (Clifford algebra):

关于 Clifford 代数, 如果觉得太抽象了也别担心, 后面我还会贴心地举俩例子[[12]](#ref_12).

18.1. Clifford 代数的产生:

已知定义 $\text{O}\left(p,q\right)\equiv \left\{\Lambda |\Lambda \in \text{GL}\left(p+q,\mathbb{R}\right){\eta }_{\mu \nu }{\Lambda }_{\rho }^{\mu }{\Lambda }_{\sigma }^{\nu }={\eta }_{\rho \sigma }\right\}$$\text{where}\text{metric}\text{tensor matrix}\eta =\text{diag}(\underset{共p个}{\underbrace{1,\cdots ,1}},\underset{共q个}{\underbrace{-1,\cdots ,-1}}).$

✦ 确定了所研究的不定正交群, 就会自动确定一个度规张量 $\eta \to {\eta }_{\mu \nu }$.

然后就可由定义式 $\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}\equiv {\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }1$ 产生 $p+q$ 个 gamma 数[13].

上式中的 $1$ 是代数单位元的意思, 即有 ${\gamma }^{\mu }1=1{\gamma }^{\mu }={\gamma }^{\mu }$.

由定义知这 $p+q$ 个 gamma 数满足以下两点:

(1). 两两反对易 (意思是 $\mu \ne \nu$ 时反对易), 即 ${\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }1-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }$. (2). 其中有 $p$ 个满足 ${\left({\gamma }^{\mu }\right)}^2=1$, 剩下 $q$ 个满足 ${\left({\gamma }^{\mu }\right)}^2=-1$.

✦ 而 Clifford 代数就是任意个 gamma 数的乘积之间的任意线性组合构成的集合.

比如说 $p_{\mu }{\gamma }^{\mu }+p_{\mu \nu }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+\cdots +p_{\mu \nu \cdots \rho }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\cdots {\gamma }^{\rho }$ 就必是 Clifford 代数内的元素.

其中 $p_{\mu },p_{\mu \nu },p_{\mu \nu \cdots \rho }\in P$ 是数域 $P$ 中的数, 数域一般就是实数域.

所以 Clifford 代数实际上是一个 \sum\limits_{n=0}^{p+q}{\text{C}_{p+q}^{n}={2}^{p+q} 维的线性空间.

选基底主要是考虑到 ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=-{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }$ 与 ${\left({\gamma }^{\mu }\right)}^2=\pm 1$. 所以想用 gamma 数的乘积得到新的矢量, 这个乘积里就不能有重复的 gamma 数. 比如说, $\left\{1,{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\right\}$ 在 $\mu \ne \nu$ 的情况下肯定是个线性无关组, 你想再找三个连乘的 ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\rho }$ 放进线性无关组里, 那么 $\mu ,\nu ,\rho$ 肯定得两两不等, 要不然 ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }=\pm {\gamma }^{\nu }$ 就掉到 $\left\{{\gamma }^{\mu }\right\}$ 里去了. 所以就是算组合数 $\sum\limits_{n}{\text{C}_{p+q}^{n}={2}^{p+q}$, 排列当然没意义, 因为它们反对易[[14]](#ref_14).

18.2. 真正的 Clifford 代数[6]:*

✦ 我们先给数域 $P$ 上的线性空间 $V\equiv \text{span}\left({\gamma }^1,{\gamma }^2,\cdots ,{\gamma }^{p+q}\right)$ 配以度规 $\eta$[15].

所以前面所说的 $p+q$ 个 gamma 数差不多就可以认为是 $O\left(p,q\right)$ 的基础表示空间的基矢.

所以有 ${\gamma }^{\mu }\eta {\gamma }^{\nu }={\left({\gamma }^{\mu }\right)}_{\rho }{\eta }^{\rho \sigma }{\left({\gamma }^{\nu }\right)}_{\sigma }={\delta }_{\rho }^{\mu }{\eta }^{\rho \sigma }{\delta }_{\sigma }^{\nu }={\eta }^{\mu \nu }$.

✦ 产生 $V$ 上的 Clifford 代数 $\text{Cl}\left(V,\eta \right)$:

所谓代数, 就是一个引入了矢量乘法的线性空间, 现在我们允许 ${\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }\cdots {\gamma }^{\rho }$ 这样的元素存在.

gamma 数连乘得到的 ${\gamma }^{\mu }\cdots {\gamma }^{\nu }$ 这样的元素肯定超出 $V$ 了, 所以引入矢量乘法后线性空间将由 $V$ 扩大为 $\text{Cl}\left(V,\eta \right)$.

但这像样无穷无尽地产生新元素肯定不行, 所以要对全体 $u,v\in V$ 引入某种限制条件.

于是就引入 Clifford 条件[16]: $\left\{u,v\right\}\equiv uv+vu=2u\eta v1$.

这样一来就对矢量乘法作出了限制, 具体而言就是由 Clifford 条件可以推知: $\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}=2{\gamma }^{\mu }\eta {\gamma }^{\nu }1=2{\left({\gamma }^{\mu }\right)}_{\rho }{\eta }^{\rho \sigma }{\left({\gamma }^{\nu }\right)}_{\sigma }1=2{\delta }_{\nu }^{\mu }{\eta }^{\rho \sigma }{\delta }_{\sigma }^{\nu }1=2{\eta }^{\mu \nu }1$. 即回到了我们上一节一开始空降的定义式 $\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}=2{\eta }^{\mu \nu }1$.

再往后就是熟悉的老一套了, 因为已经得到条件 ${\gamma }^{\nu }{\gamma }^{\mu }=2{\eta }^{\mu \nu }1-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }$ 了.

最后就是由上述条件限制可以推知 \dim\text{Cl}\left( V,\eta \right)=\sum\limits_{n=0}^{\dim V}{\text{C}_{\dim V}^{n}={2}^{\dim V}.

✦ 最后约定一下记号吧, 与 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 联系的 $\mathbb{R}$ 上的 Clifford 代数就记作 $\text{Cl}\left(p,q\right)$.

因为我们后面主要就是用 Clifford 代数来产生 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 李代数 (实线性空间), 所以需要的信息就只有一个 $\left(p,q\right)$ 或者说度规的号差.

✦ 数学上的说法就更神秘一点, 对 Clifford 代数还有更多好奇的话可以参考 [附录L].

18.3. Clifford 代数与旋量群李代数的关系:

✦ 现在回到我们的主线, 我们之所以需要 Clifford 代数就是因为它可以产生正交群的李代数.

由 gamma 数可以定义 $S^{\mu \nu }\equiv \left[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right]$, 当然这也是 Clifford 代数内的元素.

而这个 ${S}^{\mu \nu }$ 则在如云般翻卷的混沌之中涌现出秩序, 恰可作为 $\mathfrak{s}\mathfrak{p}\mathfrak{i}\mathfrak{n}\left( p,q \right)$ [[17]](#ref_17)的基矢,也就是说 $\left[ {S}^{\mu \nu },{S}^{\rho \sigma } \right]={T}^{\mu \nu \rho \sigma }_{\eta \tau }{S}^{\eta \tau }$ 中的 ${T}^{\mu \nu \rho \sigma }_{\eta \tau }$ 正是 $\mathfrak{o}\left( p,q \right)$ 的结构常数.

✦ 一定要认识到 Clifford 代数和李代数完全是两个不同的代数[18].

下面我理一理这二者吧:

(1). 维度: $\dim \text{Cl}\left(p,q\right)=2^{p+q},\dim \mathfrak{o}\left(p,q\right)=\frac{\left(p+q\right)\left(p+q-1\right)}{2}$. (2). 乘法: $\mathfrak{o}\left(p,q\right)$ 的矢量乘法是李括号, $\text{Cl}\left(p,q\right)$ 的乘法就是真的很像乘法的那个东西. (3). 对 $\forall u,v\in V,\text{Cl}\left(p,q\right)$ 里只有一个 Clifford 条件 $\left\{u,v\right\}\equiv uv+vu=2u\eta v1$. (4). 对 $\forall X,Y\in \mathfrak{o}\left(p,q\right)$, 李代数里只有一个结构张量, 或者说只有确定的对易关系. (5). 二者唯一的联系就是 $S^{\mu \nu }$ 正好满足 $\mathfrak{o}\left(p,q\right)$ 里的对易关系. (6). 你会发现 $S^{\mu \nu }$ 的总数确实是 ${\text{C}}_{p+q}^2=\frac{\left(p+q\right)\left(p+q-1\right)}{2}=\dim \mathfrak{o}\left(p,q\right)$. (7). 我前面专门写了 $T_i$ 的反对易关系就是为了强调 $T_i$ 与 ${\sigma }_i$ 并非 Clifford 代数同构.

✦ Clifford 代数表示下的 $S^{\mu \nu }$ 被指数映射后生成的一定是 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的一个旋量表示.

作为代数, $\text{Cl}\left(p,q\right)$ 自然有它的线性表示, 和李代数的表示大同小异, 意会一下差不多了.

所谓线性表示就是找一个矩阵集合与代数集合建立同态映射, 同态就是保代数乘法. 与旋量群的关系是这样的, 首先在 $\text{Cl}\left(p,q\right)$ 的确定表示下 $S^{\mu \nu }$ 将对应到表示矩阵. 而对由 $\left\{S^{\mu \nu }\right\}$ 张成的整个实空间进行指数映射后得到的则是 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的旋量表示矩阵群.

19. 神秘莫测的旋量空间 (spinor space)

19.1. 旋量与旋量表示:

✦ 前面主要就讲了个 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 与 $\text{O}\left(p,q\right)$ 李代数相同且是后者连通李子群的二重覆盖.

作为单连通李群, 我们可以用李代数的全部表示指数映射出 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 的全部表示.

但 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 的群元比 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的连通李子群的群元多了一倍. 所以并不是所有的 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 表示下的表示矩阵都可以全体打包给后者当表示矩阵. 但如果我们接受多值表示, 即一个群元对应不止一个表示矩阵的话, 那就全体 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 表示都可以直接给 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的连通李子群当表示. 而这种多值表示作为一种广义表示, 在此就被命名为旋量表示.

总而言之, 一个表示矩阵群, 如果内部的矩阵数目比 $\text{O}\left(p,q\right)$ 的连通李子群群元还多, 则作为其表示矩阵群时就构成旋量表示. 但作为 $\text{Spin}\left(p,q\right)$ 的表示就只是传统意义上的表示.

✦ 所谓旋量, 就是旋量表示空间里的元素.

比如 $\text{Spin}\left(3\right)=\text{SU}\left(2\right)$ 基础表示空间里的矢量就是 $\text{SO}\left(3\right)$ 旋量表示空间里的旋量.

19.2. 以$\text{Spin}\left(3\right)=\text{SU}\left(2\right)$与$\text{SO}\left(3\right)$为例把前文的一切理论都验证一下:

✦ 现在涉及的是三维实线性空间生成的 Clifford 代数, 度规是 $\delta =\text{diag}\left(1,1,1\right)$.

写出 Clifford 条件 \left\{ {\gamma }^{i},{\gamma }^{j} \right\}=2{\delta }^{ij}\mathbf{1}\Rightarrow \left\{ \begin{align} & {\gamma }^{j}{\gamma }^{i}=2{\delta }^{ij}\mathbf{1}-{\gamma }^{i}{\gamma }^{j} \\ & {\left( {\gamma }^{i} \right)}^{2}=\mathbf{1} \\ \end{align} \right.

定义 ${S}^{ij}\equiv \left[ {\gamma }^{i},{\gamma }^{j} \right]$ 等下用来产生正交群的李代数.

✦ 先验证 $\left\{S^{ij}\right\}$ 是否满足 $\mathfrak{so}\left(3\right)$ 李代数:

因为指标只能取三个数, 所以 $\left[S^{ij},S^{kl}\right]$ 的四个指标里必有重复.

如果是同一个 $S^{ij}$ 的指标重复则对易子必为零, 故没必要讨论这类情况. 若超过一对指标重复则对易子必为零, 故没必要讨论这类情况.

所以不失一般地, 我们计算 $\left[S^{ij},S^{jk}\right]$ 其中 $i,j,k$ 互不相同.

暴力算 $\left[ {S}^{ij},{S}^{jk} \right]=\left[ {\gamma }^{i}{\gamma }^{j}-{\gamma }^{j}{\gamma }^{i},{\gamma }^{j}{\gamma }^{k}-{\gamma }^{k}{\gamma }^{j} \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ 2{\gamma }^{i}{\gamma }^{j},2{\gamma }^{j}{\gamma }^{k} \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =4\left[ {\gamma }^{i}{\gamma }^{j},{\gamma }^{j}{\gamma }^{k} \right]$$=4\left({\gamma }^i{\gamma }^j{\gamma }^j{\gamma }^k-{\gamma }^j{\gamma }^k{\gamma }^i{\gamma }^j\right)$$=4\left({\gamma }^i{\gamma }^k-{\gamma }^j{\gamma }^j{\gamma }^k{\gamma }^i\right)=4\left({\gamma }^i{\gamma }^k-{\gamma }^k{\gamma }^i\right)=4S^{ik}.$

呃··· 这, 究竟是不是呢? 我们知道 $\text{SO}\left(3\right)$ 生成元结构为 $\left[T_i,T_j\right]=\text{i}{\epsilon }_{ij}^k{T}_k$.

整一个 Hodge-star, 即定义 $Y^{ij}\equiv {\epsilon }^{ijk}{T}_k$. 注意若 $i,j,k$ 互不相同, 则有 ${Y}^{ij}\equiv {\varepsilon }^{ijk}{T}^{k}$, 也就是 $k$ 不求和了[[19]](#ref_19).$\overline{}$则 $\left[ {Y}^{ij},{Y}^{jk} \right]=\left[ {\varepsilon }^{ijl}{T}_{l},{\varepsilon }^{jkm}{T}_{m} \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\varepsilon }^{ijl}{\varepsilon }^{jkm}\left[ {T}_{l},{T}_{m} \right]$$=\text{i}{\epsilon }^{ijl}{\epsilon }^{jkm}{\epsilon }_{lm}^n{T}_n$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =-\text{i}{\varepsilon }^{ijl}\left( {\varepsilon }^{jkm}{\varepsilon }_{l}{^{n}_{m} \right){T}_{n}$=\text{i}{\epsilon }^{ijl}\left({\delta }^{jn}{\delta }_l^k-{\delta }_l^j{\delta }^{kn}\right)T_n$$=\text{i}{\epsilon }^{ijl}{\delta }^{jn}{\delta }_l^k{T}_n-\text{i}{\epsilon }^{ijl}{\delta }_l^j{\delta }^{kn}{T}_n$$=\text{i}{\epsilon }^{ijk}{\delta }^{jn}{T}_n-\text{i}{\epsilon }^{ijj}{\delta }^{kn}{T}_n$$=\text{i}{\epsilon }^{ijk}{\delta }^{jn}{T}_n=\text{i}{\epsilon }^{kij}{T}^j=\text{i}{Y}^{ki}.$$\overline{}$即得到 $\left[ {Y}^{ij},{Y}^{jk} \right]=\text{i}{Y}^{ki}\Rightarrow 16{\text{i}^{2}\left[ {Y}^{ij},{Y}^{jk} \right]=16{\text{i}^{2}\text{i}{Y}^{ki}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \left[ 4\text{i}{Y}^{ij},\text{4i}{Y}^{jk} \right]=-4\left( \text{4i}{Y}^{ki} \right)=4\left( 4\text{i}{Y}^{ik} \right).$

所以二者对易关系相同, 或者你从这个角度看也是相同的:

$\left[ {S}^{ij},{S}^{jk} \right]=-4{S}^{ki}\Rightarrow \left[ {S}^{ij},{S}^{jk} \right]={\text{i}^{2}4{S}^{ki}\Rightarrow \left[ \frac{S}^{ij}{4i},\frac{S}^{jk}{4i} \right]=i\frac{S}^{ki}{4i}.$ 总之就是 $\left\{S^{ij}\right\}$ 张成的李代数是与 $\mathfrak{so}\left(3\right)$ 同构的, 验证完毕.

✦ 再用 $\left\{S^{ij}\right\}$ 的表示映射出 $\text{SO}\left(3\right)$ 的表示:

Clifford 条件为 $\left\{{\gamma }^i,{\gamma }^j\right\}=2{\delta }^{ij}1$, 我们就找一个 Clifford 代数的最小维度的表示吧.

值得注意的是我们知道 $\dim \text{Cl}\left(V,\delta \right)=\dim \text{Cl}\left(3,0\right)=2^3=8$. 而独立的 $n\times n$ 矩阵最多只有 $n^2$ 个, 所以要忠实表示则至少 $n^2>8$, 就是说至少要三维以上的表示才可能有忠实表示. $\overline{}$一维表示是不可能存在的, 因为一维的数是不可能反对易的[[20]](#ref_20).$\overline{}$ 二维表示极其显然, 就是泡利矩阵嘛: $\left\{{\sigma }^i,{\sigma }^j\right\}=2{\delta }^{ij}{1}_{2\times 2}$. 二维表示下的 ${S}^{ij}=\left[ {\sigma }^{i},{\sigma }^{j} \right]=2\text{i}{\varepsilon }^{ij}_{k}{\sigma }^{k}$, 其实还是泡利矩阵本身. 所以生成元其实还是泡利矩阵, 那生成的表示矩阵就是 {\text{e}^{\text{i}t{n}^{i}{\sigma }_{i}\in \text{SU}\left( 2 \right), 其中 $t\in \mathbb{R}$.

19.3. 故$\text{SU}\left(2\right)$的基本表示就是$\text{SO}\left(3\right)$的一个旋量表示, 现在来研究一下这个表示空间:

✦ 这个表示空间本质上是 $\text{SU}\left(2\right)$ 的表示空间, 所以内部的元素都是 $\text{SU}\left(2\right)$ 矢量.

而这个表示空间上的张量则是 $\text{SU}\left(2\right)$ 张量, 而所谓的 $\text{SU}\left(2\right)$ 标量就是张量缩并出的数.

这与洛伦兹四矢量, 洛伦兹张量及洛伦兹标量的概念是类似的, 现在就差一个缩并的概念了.

✦ 为了能得到缩并的规则, 现在引入 $\text{SU}\left(2\right)$ 「度规」[21] $\epsilon \to {\epsilon }_{ab},a,b\in \left\{1,2\right\}$.

表示空间上的 (0,2) 型张量 $\epsilon$ 作为度规, 其分量其实就是二维 Levi-Civita 符号.

其对应的矩阵 $\varepsilon =\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right]$, 作用方式与洛伦兹表示空间那一套很相似, 即升降指标.

有了「度规」之后就可以定义矢量点积了, 记表示空间内矢量两个矢量 $\chi \to {\chi }^a,\xi \to {\xi }^a$.

定义点积 $\xi \cdot \chi \equiv {\epsilon }_{ab}{\chi }^a{\xi }^b$. 当然这也将推广到张量的缩并 {T}^{ab\cdots }{S}_{bc}^{d\cdots }\equiv {\varepsilon }_{be}{T}^{ab\cdots }{S}^{e}{_{c}^{d\cdots } .

和以前一样, 我们可以用「度规」定义相应的对偶矢量的分量, 即 ${\chi }_a\equiv {\epsilon }_{ab}{\chi }^b$.

矩阵表达为 $\left[ \begin{matrix} {\chi }_{1} \\ {\chi }_{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {\chi }^{1} \\ {\chi }^{2} \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} {\chi }^{2} \\ -{\chi }^{1} \\ \end{matrix} \right]$, 故 ${\chi }_{1}={\chi }^{2},{\chi }_{2}=-{\chi }^{1}$.

✦ 这个「度规」其实比闵氏度规还是要复杂一些的, 因为这样的缩并会具有方向性:

即会有 ${\chi }^a{\xi }_a=-{\chi }_a{\xi }^a$, 很容易证明这一点:

你可以直接展开看到结论\left\{ \begin{align} & {\chi }^{a}{\xi }_{a}={\chi }^{1}{\xi }_{1}+{\chi }^{2}{\xi }_{2}={\chi }^{1}{\xi }^{2}-{\chi }^{2}{\xi }^{1} \\ & {\chi }_{a}{\xi }^{a}={\chi }_{1}{\xi }^{1}+{\chi }_{2}{\xi }^{2}={\chi }^{2}{\xi }^{1}-{\chi }^{1}{\xi }^{2} \\ \end{align} \right. 或者你也可以这么想 \left\{ \begin{align} & {\varepsilon }_{ab}{\chi }^{a}{\xi }^{b}={\chi }^{a}{\varepsilon }_{ab}{\xi }^{b}={\chi }^{a}{\xi }_{a} \\ & {\varepsilon }_{ab}{\chi }^{a}{\xi }^{b}=-{\varepsilon }_{ba}{\chi }^{a}{\xi }^{b}=-{\chi }_{b}{\xi }^{b}=-{\chi }_{a}{\xi }^{a} \\ \end{align} \right.

所以为了避免混乱就引入西北约定 (northwest convention):

约定要求一对缩并的指标, 永远采取 ${\chi }^a{\xi }_a$ 的形式而非 ${\chi }_a{\xi }^a$ 的形式. 说白了就是参与缩并的上标要在下标的左边, 所以西北方会有个指标, 就叫西北约定.

这种有方向性的缩并会导致一般矢量的自我内积为零, 然后张量的对称指标缩并也得零:

即 ${\chi }^a{\chi }_a=0$ 且 {T}^{\cdots ab\cdots }={T}^{\cdots ba\cdots }\Rightarrow {T}^{\cdots a}{_{a}^{\cdots }=0. 这很显然, 因为 ${\chi }^{a}{\chi }_{a}={\chi }^{1}{\chi }_{1}+{\chi }^{2}{\chi }_{2}={\chi }^{1}{\chi }^{2}-{\chi }^{2}{\chi }^{1}=\left[ {\chi }^{1},{\chi }^{2} \right]=0$. 不过这只是一般情况, 即分量系数是普通数 (也叫 c 数) 的情况. $\overline{}$ 如果分量系数是 Grassmann 数的话则自身缩并不为零, Grassmann 数就像我们前面遇到的 gamma 数一样, 是代数内的元素. Grassmann 数得特点就是反对易, 所以 ${\chi }^a{\chi }_a={\chi }^1{\chi }^2-{\chi }^2{\chi }^1=2{\chi }^1{\chi }^2$.

✦ 会这样定义其实是因为这样能缩并出一个 $\text{SU}\left(2\right)$ 标量.

所谓群标量, 就是在群作用下不变的量, 可以证明这个「度规」下缩并出来的数就是标量:

直接算就行: ${\chi }^a{\chi }_a={\epsilon }_{ab}{\chi }^a{\chi }^b\to {\epsilon }_{ab}{U}_c^a{\chi }^c{U}_d^b{\chi }^d$$={\epsilon }_{ab}{U}_c^a{U}_d^b{\chi }^c{\chi }^d$$={\epsilon }_{cd}\det U{\chi }^c{\chi }^d={\chi }^c{\chi }_c$, 证毕. $\overline{}$ 其中用到了结论 ${\epsilon }_{ab}{U}_c^a{U}_d^b={\epsilon }_{cd}\det U$, 这也是很容易证明的: 首先 $\det U=U_1^1{U}_2^2-U_1^2{U}_2^1={\epsilon }_{ab}{U}_1^a{U}_2^b$$\Rightarrow {\epsilon }_{cd}\det U={\epsilon }_{ab}{U}_c^a{U}_d^b$. $\overline{}$ 其实还有更牛批的一个结论 ${\epsilon }^{\mu \nu \rho \cdots \sigma }\det M={\epsilon }^{\tau \eta \delta \cdots \epsilon }{M}_{\tau }^{\mu }{M}_{\eta }^{\nu }{M}_{\delta }^{\rho }\cdots M_{\epsilon }^{\sigma }$.

19.4. 以自旋空间为例, 演示一下旋量与矢量直接的联系:

✦ 量子力学里的 $1/2$ 自旋系统的希尔伯特空间其实就是我们前面研究的那个二维旋量空间.

量子力学里我们有一个角动量算符 $\vec{S}=\frac{\hslash }{2}\vec{\sigma }=S^i{e}_i$ 表现的像一个三维实空间[22]矢量.

其中的 $e_i$ 就是实空间基矢, 转动后表达为 {e}_{i}\overset{SO\left( 3 \right)}{\mathop{\to }\,{e}'}_{i}={\mathcal{R}_{i}^{j}{e}_{j}={\left( {\mathcal{R}^{-1} \right)}^{j}_{i}{e}_{j}. 而坐标系转动下矢量本身是不会变的: \vec{S}={S}^{i}{e}_{i}={S}'}^{i}{e}'}_{i}. 这样就有 {S}'}^{i}{e}'}_{i}={S}'}^{i}{\left( {\mathcal{R}^{-1} \right)}^{j}_{i}{e}_{j}={S}^{j}{e}_{j}\Rightarrow {S}'}^{i}={\mathcal{R}^{i}_{j}{S}^{j}. 上面是被动观点, 你采用主动观点反正分量变换也是 {S}'}^{i}={\mathcal{R}^{i}_{j}{S}^{j}. 如果搞不太懂什么是主动观点什么是被动观点可以 **[**[click here](https://zhuanlan.zhihu.com/p/371277329)**]**.

✦ 在希尔伯特空间里我们可以找到 $S^i$ 的本征态 $|\uparrow ⟩$, 得到本征方程 $S^i|\uparrow ⟩=\frac{\hslash }{2}|\uparrow ⟩$.

那转动后的 {S}'}^{i} 的本征态怎么找呢? 我们可以先展开算算看看情况:

回顾二重覆盖映射知 {S}'}^{i}={\mathcal{R}^{i}_{j}{S}^{j}=\frac{1}{2}\text{tr}\left( {\sigma }^{i}U{\sigma }_{j}{U}^{-1} \right){S}^{j}. 其中 $\mathcal{R}=\mathcal{R}\left(\vec{n},\omega \right)\in \text{SO}\left(3\right),U=U\left(\vec{n},\omega \right)\in \text{SU}\left(2\right)$, 这俩的 $\left(\vec{n},\omega \right)$ 相同. $\overline{}$ 暴力算 {\left( {S}'}^{i} \right)}^{a}_{b}=\frac{1}{2}\text{tr}\left( {\sigma }^{i}U{\sigma }_{j}{U}^{-1} \right){\left( {S}^{j} \right)}^{a}_{b}$=\frac{\hslash }{4}{\left({\sigma }^i\right)}_d^c{U}_e^d{\left({\sigma }_j\right)}_f^e{\left(U^{-1}\right)}_c^f{\left({\sigma }^j\right)}_b^a$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{4}{\left( {\sigma }^{i} \right)}^{c}_{d}{U}^{d}_{e}{\left( {U}^{-1} \right)}^{f}_{c}\left[ {\left( {\sigma }_{j} \right)}^{e}_{f}{\left( {\sigma }^{j} \right)}^{a}_{b} \right]$$=\frac{\hslash }{4}{\left({\sigma }^i\right)}_d^c{U}_e^d{\left(U^{-1}\right)}_c^f\left(2{\delta }_b^e{\delta }_f^a-{\delta }_f^e{\delta }_b^a\right)$$=\frac{\hslash }{2}{\left({\sigma }^i\right)}_d^c{U}_e^d{\left(U^{-1}\right)}_c^f{\delta }_b^e{\delta }_f^a$$-\frac{\hslash }{4}{\left({\sigma }^i\right)}_d^c{U}_e^d{\left(U^{-1}\right)}_c^f{\delta }_f^e{\delta }_b^a$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\hbar }{2}{\left( {\sigma }^{i} \right)}^{c}_{d}{U}^{d}_{b}{\left( {U}^{-1} \right)}^{a}_{c}-\frac{\hbar }{4}{\left( {\sigma }^{i} \right)}^{c}_{d}\left[ {U}^{d}_{e}{\left( {U}^{-1} \right)}^{e}_{c} \right]{\delta }^{a}_{b}$$=\frac{\hslash }{2}{\left(U^{-1}{\sigma }^{i}U\right)}_b^a-\frac{\hslash }{4}{\delta }_b^a\text{tr}{\sigma }^i={\left(U^{-1}{S}^{i}U\right)}_b^a.$

即得到结论 {S}'}^{i}={\mathcal{R}^{i}_{j}{S}^{j}={U}^{-1}{S}^{i}U, 所以 {S}'}^{i} 的本征态应当是 $U^{-1}|\uparrow ⟩$.

容易验证: {S}'}^{i}\left( {U}^{-1}\left| \uparrow \right\rangle \right)={U}^{-1}{S}^{i}U{U}^{-1}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\hbar }{2}\left( {U}^{-1}\left| \uparrow \right\rangle \right).

✦ 这里就会产生所谓的转两圈才能复原的科普爆点, 让我们来分析一下是咋回事.

简单来说就是当我们对体系进行一次 $\text{SO}\left(3\right)$ 变换后:

角动量 $S^i$ 在变换下表现的像 $\text{SO}\left(3\right)$ 矢量, 即 {S}'}^{i}={R}^{i}_{j}{S}^{j}={\left( {\text{e}^{\text{i}\omega {n}^{i}{T}_{i} \right)}^{i}_{j}{S}^{j} 或 {S}'}^{i}={U}^{-1}{S}^{i}U={\text{e}^{-\text{i}\frac{\omega }{2}{n}^{i}{\sigma }_{i}{S}^{i}{\text{e}^{\text{i}\frac{\omega }{2}{n}^{i}{\sigma }_{i}.$\overline{}$ 角动量的本征态 $|\uparrow ⟩$ 是 $\text{SO}\left(3\right)$ 旋量, 即在变换下表达为 \left| {\uparrow }'} \right\rangle ={U}^{-1}\left| \uparrow \right\rangle ={\text{e}^{-\text{i}\frac{\omega }{2}{n}^{i}{\sigma }_{i}\left| \uparrow \right\rangle .$\overline{}$ 其中 \left| \uparrow \right\rangle ,\left| {\uparrow }'} \right\rangle 分别是 {S}^{i},{S}'}^{i} 的本征态. 等于说是角动量做 $\text{SO}\left(3\right)$ 转动的时候, 它的本征子空间要跟随「转动」.

先回顾一下关系式 {\text{e}^{\text{i}\frac{\omega }{2}{n}^{i}{\sigma }_{i}={1}_{2\times 2}\cos \frac{\omega }{2}+\text{i}{n}^{i}{\sigma }_{i}\sin \frac{\omega }{2}.

接下来让我们来跟踪一下转动过程:

记三维实单位矢量 $\vec{n}=\left(\cos \phi \sin \theta ,\sin \phi \sin \theta ,\cos \theta \right).$$\underline{\overline{\begin{align} & \ \omega =0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {S}'}^{i}={S}^{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left| {\uparrow }'} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ & \ \omega =\pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {S}'}^{i}=\left[ 1 \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \left| {\uparrow }'} \right\rangle =-\text{i}{n}^{i}{\sigma }_{i}\left| \uparrow \right\rangle \\ & \ \omega =2\pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {S}'}^{i}={S}^{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left| {\uparrow }'} \right\rangle =-\left| \uparrow \right\rangle \\ & \ \omega =3\pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {S}'}^{i}=\left[ 1 \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \left| {\uparrow }'} \right\rangle =-\text{i}{n}^{i}{\sigma }_{i}\left| \uparrow \right\rangle \\ & \ \omega =4\pi \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {S}'}^{i}={S}^{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \left| {\uparrow }'} \right\rangle =\left| \uparrow \right\rangle \\ \end{align}$上述 $\left[ 1 \right]$ 为 ${S}^{i}$ 绕 ${\vec{n}$ 转 $\pi$ 后的结果.

显然, 表现为 $\text{SO}\left(3\right)$ 矢量的 {S}'} 在 $2\pi$ 时就已经复原, 而在 $4\pi$ 时已经转了两圈了.

然而作为旋量的本征态 $|\uparrow ⟩$ 在「转动」$2\pi$ 时会多出一个负号, 要转动 $4\pi$ 才能复原.

上面就是关于转两圈才能复原的都市传说的解释, 这其实就是旋量表示的毛病, 因为旋量表示矩阵比转动群元还多, 所以才会出现这种对固定转轴的转动群元都轮回一次了但表示矩阵却才用完一半的情况. 不过为啥我们还能继续这么整呢? 这主要得益于差一个负号根本无所谓的态空间, 毕竟量子态只是希尔伯特空间中的一根射线或者说单位矢所以一个整体相位系数无关轻重. 而旋量表示, 也就是大家所说的射影表示, 与狭义表示的区别就是会差一个相位.

[附录 L] 关于 Clifford 代数的一些江湖传闻:

数学上的记号是 $\text{Cl}\left(V,Q\right)$ , 他们是为空间 $V$ 配上了二次型 $Q:V\to P$.

二次型给出矢量自乘定义: 对 $\forall v\in V$ 定义 $v^2=Q\left(v\right)1$. 然后 Clifford 条件改为 $\left\{u,v\right\}=2⟨u,v⟩1$. 其中 $\left\langle u,v \right\rangle \equiv \frac{1}{2}\left[ Q\left( u+v \right)-Q\left( u \right)-Q\left( v \right) \right]\in P$.$\overline{}$ 其实这是可以理解的, 如果把二次型看作是平方的话就是这么回事: $\left\langle u,v \right\rangle \equiv \frac{1}{2}\left[ Q\left( u+v \right)-Q\left( u \right)-Q\left( v \right) \right]$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\left[ {\left( u+v \right)}^{2}-{u}^{2}-{v}^{2} \right]$$=\frac{1}{2}\left(u^2+v^2+2u\cdot v-u^2-v^2\right)=u\cdot v$ 然后我们这里是用度规来定义的内积 $u\cdot v=u\eta v={\eta }^{\mu \nu }{u}_{\mu }{v}_{\nu }$. 所以总的来说是一回事, 就是, 感觉数学人说话真的跟 nm 外星人一样. 数学那边之所以不用度规来定义, 我想是因为对于退化的情况[[23]](#ref_23)他们也要研究一波.

为何有人说 Clifford 代数是外代数的推广且结合了内积和外积呢?

其实这是因为你可以将矢量乘法直接定义为 $uv=u\cdot v1+u\wedge v$. 显然也有 $vu=u\cdot v1-u\wedge v$. 结合上述式子可得 $\left\{ \begin{align} & u\cdot v\mathbf{1}=\frac{1}{2}\left( uv+vu \right)=\frac{1}{2}\left\{ u,v \right\} \\ & u\wedge v=\frac{1}{2}\left( uv-vu \right)=\frac{1}{2}\left[ u,v \right] \\ \end{align} \right.$$\overline{}$ 其中前一项的 $\left\{u,v\right\}=2u\cdot v1$ 正是 Clifford 条件. 所以就是这样, Clifford 代数可以通过反对易子与对易子来产生内外积. $\overline{}$ 从这个角度来看, 如果我们让度规退化到 $0$, 则 $uv=u\cdot v1+u\wedge v=u\wedge v$. 也就是说这种退化的 Clifford 代数就变成了格拉斯曼代数 (Grassmann algebra).

为何有人说复数域是 Clifford 代数呢?

其实这就是 $\mathbb{R}$ 上的一维线性空间 $V=\text{span}\left(\gamma \right)$ 的情况, 度规为 $\eta =-1$. Clifford 条件即 $\left\{\gamma ,\gamma \right\}=2{\gamma }^2=2\eta 1\Rightarrow {\gamma }^2=-1$. 然后没然后了, $\text{Cl}\left(V,\eta \right)=\text{Cl}\left(0,1\right)$ 里边儿撑死也就找俩基矢 $\left\{1,\gamma \right\}$. 然后 Clifford 代数里的元素都可以表达为 $x1+y\gamma$, 或者说 $x+y\text{i},x,y\in \mathbb{R}$.

类似的还有四元数的情况:

其实这就是 $\mathbb{R}$ 上的 $V=\text{span}\left({\gamma }^1,{\gamma }^2\right)$ 的情况, 度规为 $\eta =\text{diag}\left(-1,-1\right)$. Clifford 条件即 $\left\{{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }\right\}=2{\eta }^{\mu \nu }1$. 由此可得 ${\left({\gamma }^1\right)}^2={\left({\gamma }^2\right)}^2=-1,{\gamma }^1{\gamma }^2=-{\gamma }^2{\gamma }^1$. 然后搁 $\text{Cl}\left(V,\eta \right)=\text{Cl}\left(0,2\right)$ 里找基矢找着 $\left\{1,{\gamma }^1,{\gamma }^2,{\gamma }^1{\gamma }^2\right\}$ 共四个. 这里把符号换 $1\text{=}1,\text{i}={\gamma }^1,\text{j}={\gamma }^2,\text{k}={\gamma }^1{\gamma }^2$. 于是 Clifford 代数里的元素就都可以写为 $a+b\text{i}+c\text{j}+d\text{k},a,b,c,d\in \mathbb{R}$. $\overline{}$ 不难验证 {\text{i}^{2}={\text{j}^{2}={\text{k}^{2}=-1 且 $\text{i}=\text{jk}=-\text{kj},\text{j}=\text{ki}=-\text{ik},\text{k}=\text{ij}=-\text{ji}.$

参考

• ^什么意思呢? 就是说我接下来可能要摸了.
• ^我和一些数学系的学生讨论过, 他们似乎普遍都并没有深入接触过旋量这个概念.
• ^我看力学系的人或者那些做机器人的人好像都要系统研究旋量.
• ^当然这假定了现实世界是平直时空, 如果你处理的是弯曲时空的话, 那这里说的这个线性空间就对应到弯曲时空流形上每一点的切空间.
• ^如果研究的是 O(1,3) 就是前者, 研究的是 O(p,q) 则为后者.
• ^ab(这节选读) 其实上一节的就是真正的 Clifford 代数, 不过这一节我会用更抽象一点儿的语言来定义这个代数, 会简洁直观些.
• ^就是上文刚建立起来的那个.
• ^这个我没证明过, 且当结论吧, 并不难记.
• ^至于为何是二重这里就不多说了, 梦幻联动里讲的已经超级清楚了.
• ^因为它描述了空间除了平移之外的一切对称性.
• ^呃, 比较尴尬的是开局的 Spin(1), Spin(2) 都不是单连通的, 所以准确来说应该是 n>2 时 Spin(n) 是单连通李群.
• ^不过要等下一篇了.
• ^呃··· 所谓的「gamma 数」这个名词是我临时自创的, 所以你跟别人说这个他可能没听过. 这个数指的不是实数或虚数那种数, 应该理解为代数里面的元素, 选定表示后会对应到一个矩阵.
• ^就是可以随便挪来挪去的意思.
• ^更数学一点的写法就是配二次型, 所以这些小差异一点点地累积下来就会导致你直接看数学文献时感觉到··· 啊, 这, 这根本不是人话.
• ^我看很多地方还强调这要求域不是特征 2, 感觉有点草.
• ^后面还是用 o(p,q) 来代替 spin(p,q) 吧, 比较省空间.
• ^主要是物理系的教授上课也不愿意给你讲这些, 提一下撑死了, 然后就可能有人隐隐约约地觉得 Clifford 代数就是不定正交群的李代数之类的··· 呃, 完全不是.
• ^这里指标上下无所谓的, 这里的指标其实也不是正交群基本表示空间的指标, 就是一个抽象外层空间的指标.
• ^别用四元数杠我, 咱物理人只谈实复数.
• ^其实严格来说这个并不是度规, 因为度规张量要求是对称张量.
• ^就是 SO(3) 的基础表示空间.
• ^度规是非退化的 (0,2) 型对称张量.