俩 1 2 旋粒子的耦合表象下的单态与三重态 角动量耦合与 SU(2) 的复线性表示 C-G 系数表怎么查

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/400878965
• 发布日期: 2021-08-18
• 分类: 群论 / 表示论

最近打算介绍一下粒子物理, 而这些全同粒子唯一的标签就是量子数. 然后还要计算几个粒子构成复合粒子的旋, 还要考虑 $s,p,d,f$ 轨道激发之类的问题, 所以这里先铺垫一下, 回顾一波角动量耦合是怎么回事.

后面会涉及两个系统的角动量耦合的问题. 我们先说清楚吧, 其实什么自旋轨道耦合, 什么俩粒子的自旋耦合, 都是一回事, 就是把俩角动量系统作为一个复合系统来考虑罢了. 自旋本身就是一种角动量, 这是因为角动量算符构成 $\mathfrak{su}(2)$ 自旋算符也构成 $\mathfrak{su}(2)$, 然后它们的单位还相同.

1. 概括性的说法

在 QM 里初见的时候, 你应该想不到这个所谓的单态三重态的构造在粒子物理中会变成常识且被频繁调用罢. 这里指的旋不一定是自旋[1], 实际上只要满足角动量代数 $\mathfrak{su}(2)$ 的性质就都可以套用[2]. 或者也可以说我们指的旋就是具有 $\text{SU}(2)$ 对称性的量. 不懂 [群论] 的话就跳过群论相关的部分估计也还是能看懂 (?).

一个 $1/2$ 旋的粒子, 相应的旋空间是 $2$ 维的, 可以设第三方向本征态为 $\{|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩\}.$

这实际上就是 $\text{SU}(2)$ 的 [二维复线性表示], 即 $j={1}/{2};,\text{Dimension}=2j+1=2.$

两个 $1/2$ 旋粒子分别记作 $A,B$ , 我们常常要从直积[3]表象换到耦合表象.

实际上俩粒子的角动量耦合就只是一个表象的切换, 两个粒子间不一定有相互作用. 什么自旋轨道耦合其实也就是这么回事, 这好像是高量的内容吧? 当时有个结论是: 旋分别为 $j_A,j_B$ 的俩粒子构成的系统的旋取值范围为 $\left|j_A-j_B\right|\le j\le j_A+j_B.$ 注意这里的量子数 $j$ 的不同取值之间的差值一定是一个整数. 那在我们这里就是 $0\le j\le 1\Rightarrow j=0,1$ 呗, 对应的维度就是 $2j+1=1,3.$

其实就是俩 $\text{SU}(2)$ 表示的张量积表示的直和分解: $2\otimes 2=1\oplus 3.$

左边的 $2\otimes 2$ 就是这将这俩粒子系统视为一个复合系统的意思, 右边的 $1\oplus 3$ 就是这个复合系统的两个本征子空间, 即单态与三重态. 连在一起就是俩二维表示张量积出来的表示可以约化分解为一个三维表示和一个一维表示.

2. 复合系统的算符

如果要讲得更具体的一点的话, 就要先约定 ${|\psi ⟩}_A\otimes {|\phi ⟩}_B\equiv |\psi ⟩|\phi ⟩.$

然后规定一下涉及的算符, 其实这些算符就是 $\mathfrak{su}(2)$ 的基或者说 $\text{SU}(2)$ 的生成元基.

算符的表示为三个 [[Pauli 矩阵](https://zhuanlan.zhihu.com/p/340171183)]: ${\sigma }_{1}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right],\ {\sigma }_{2}=\left[ \begin{matrix} 0 & -\text{i} \\ \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right],\ {\sigma }_{3}=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right].$我们这里的基矢 $\left| \uparrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right],\left| \downarrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]$ 其实就是 ${\sigma }_{3}$ 的本征态. 但不能就直接这么用, 因为我们的旋是 $1/2$, 所以旋第三分量的本征值必须是 $\pm 1/2.$ 于是我们要设算符 \vec{J}={\vec{\sigma }/{2} 才能得到想要的本征值 \left\{ \begin{align} & {J}_{3}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{\sigma }_{3}{2}\left| \uparrow \right\rangle =\frac{1}{2}\left| \uparrow \right\rangle ,\ \\ & {J}_{3}\left| \downarrow \right\rangle =\frac{\sigma }_{3}{2}\left| \downarrow \right\rangle =-\frac{1}{2}\left| \downarrow \right\rangle .\ \\ \end{align} \right. 算符 $J_3$ 的本征值一般记作 $m$, 怕你不知道跟你提一嘴. 其中的 \vec{J}={J}_{1}{\vec{e}_{1}+{J}_{2}{\vec{e}_{2}+{J}_{3}{\vec{e}_{3}=\frac{\sigma }_{1}{2}{\vec{e}_{1}+\frac{\sigma }_{2}{2}{\vec{e}_{2}+\frac{\sigma }_{3}{2}{\vec{e}_{3}.在 QM 里我们找的力学量完全集就是 $\{\vec{J}^{2},{J}_{3}\}$ 即总旋算符与旋的第三分量算符[[4]](#ref_4).

那么 $A,B$ 复合系统的旋算符就是 \vec{J}={\vec{J}_{A}+{\vec{J}_{B},\ {J}_{3}={J}_{A3}+{J}_{B3}.

3. 同一个空间的两组基矢

然后 $2\otimes 2$ 系统态空间就是包含 $|\uparrow ⟩|\uparrow ⟩,|\uparrow ⟩|\downarrow ⟩,|\uparrow ⟩|\downarrow ⟩,|\downarrow ⟩|\downarrow ⟩$ 四个本征矢的四维空间.

这个基矢的取定方案就叫作张量积表象, 我实在是不想称之为直积表象, 理解一下.

而 $1\oplus 3$ 描述的还是那个态空间, 只不过基矢换成了 \left\{ \begin{align} & \left| {\text{S}_{1} \right\rangle \equiv \left| \uparrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle , \\ & \left| {\text{S}_{2} \right\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}(\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ), \\ & \left| {\text{S}_{3} \right\rangle \equiv \left| \downarrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle , \\ & \left| \text{A} \right\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}(\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle -\left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ). \\ \end{align} \right.

这个基矢的取定方案就叫做耦合表象, 你先别管它怎么来的, 后面会讲. 因为这等于说是把俩粒子的旋拼起来构成了一个复合粒子的旋了. 上面三个对称的叫三重态, 它们张成复合粒子旋 $j=1$ 的本征空间. 下面第四个的反对称单态就是复合粒子旋 $j=0$ 的本征态.

态的对称与反对称分别是指交换两个系统的态后不变与多出一个负号的情况.

4. 单态与三重态的验证

接下来运算中碰到的无非就是这六种情况:

${\sigma }_{1}\left| \uparrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]=\left| \downarrow \right\rangle ,\ {\sigma }_{1}\left| \downarrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{align} & 0 \\ & 1 \\ \end{align} \right]=\left| \uparrow \right\rangle ;$ ${\sigma }_{2}\left| \uparrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 0 & -\text{i} \\ \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]=\text{i}\left| \downarrow \right\rangle \ ,\ {\sigma }_{2}\left| \downarrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 0 & -\text{i} \\ \text{i} & 0 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=-\text{i}\left| \uparrow \right\rangle ;$ ${\sigma }_{3}\left| \uparrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \end{matrix} \right]=\left| \uparrow \right\rangle \ ,\ {\sigma }_{3}\left| \downarrow \right\rangle =\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \end{matrix} \right]=-\left| \downarrow \right\rangle .$

对于总旋算符, 运用结论 {\vec{J}^{2}=j(j+1) 可以进行如下化简:

{\vec{J}^{2}=\vec{J}_{A}^{2}+\vec{J}_{B}^{2}+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}\ \ \ \, =\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)+\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}=\frac{3}{2}+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}. 其中 {\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}={J}_{A1}{J}_{B1}+{J}_{A2}{J}_{B2}+{J}_{A3}{J}_{B3}.

接下来就是嗯算:

{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}\left| {\text{S}_{1} \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {\sigma }_{A1}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B1}\left| \uparrow \right\rangle +{\sigma }_{A2}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B2}\left| \uparrow \right\rangle +{\sigma }_{A3}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B3}\left| \uparrow \right\rangle \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{4}\left( \left| \downarrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle +\text{i}\left| \downarrow \right\rangle \text{i}\left| \downarrow \right\rangle +\left| \uparrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \right)=\frac{1}{4}\left| \uparrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle =\frac{1}{4}\left| {\text{S}_{1} \right\rangle\Rightarrow {\vec{J}^{2}\left| {\text{S}_{1} \right\rangle =(\frac{3}{2}+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B})\left| {\text{S}_{1} \right\rangle =2\left| {\text{S}_{1} \right\rangle =1(1+1)\left| {\text{S}_{1} \right\rangle . ━━━━━━━━━━━━━━━━━ ${\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}\left| {\text{S}_{2} \right\rangle =\frac{1}{4\sqrt{2}\left[ \begin{align} & \ \ \ {\sigma }_{A1}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B1}\left| \downarrow \right\rangle +{\sigma }_{A2}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B2}\left| \downarrow \right\rangle +{\sigma }_{A3}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B3}\left| \downarrow \right\rangle \\ & +{\sigma }_{A1}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B1}\left| \uparrow \right\rangle +{\sigma }_{A2}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B2}\left| \uparrow \right\rangle +{\sigma }_{A3}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B3}\left| \uparrow \right\rangle \\ \end{align} \right]$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{2}\left( \begin{align} & \left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle -\text{i}\left| \downarrow \right\rangle \text{i}\left| \uparrow \right\rangle -\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle \\ & +\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle -\text{i}\left| \uparrow \right\rangle \text{i}\left| \downarrow \right\rangle -\left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \\ \end{align} \right)=\frac{1}{4}\left| {\text{S}_{2} \right\rangle\Rightarrow {\vec{J}^{2}\left| {\text{S}_{2} \right\rangle =(\frac{3}{2}+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B})\left| {\text{S}_{2} \right\rangle =2\left| {\text{S}_{2} \right\rangle =1(1+1)\left| {\text{S}_{2} \right\rangle . ━━━━━━━━━━━━━━━━━ {\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}\left| {\text{S}_{3} \right\rangle =\frac{1}{4}\left( {\sigma }_{A1}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B1}\left| \downarrow \right\rangle +{\sigma }_{A2}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B2}\left| \downarrow \right\rangle +{\sigma }_{A3}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B3}\left| \downarrow \right\rangle \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{4}\left( \left| \uparrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle +\text{i}\left| \uparrow \right\rangle \text{i}\left| \uparrow \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle \right)=\frac{1}{4}\left| \downarrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle =\frac{1}{4}\left| {\text{S}_{3} \right\rangle\Rightarrow {\vec{J}^{2}\left| {\text{S}_{3} \right\rangle =(\frac{3}{2}+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B})\left| {\text{S}_{3} \right\rangle =2\left| {\text{S}_{3} \right\rangle =1(1+1)\left| {\text{S}_{3} \right\rangle .

所以说 \left| {\text{S}_{1} \right\rangle ,\left| {\text{S}_{2} \right\rangle ,\left| {\text{S}_{3} \right\rangle 张成了 $j=1$ 的空间, 即 {\vec{J}^{2} 本征值为 $2$ 的本征子空间.

${\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B}\left| \text{A} \right\rangle =\frac{1}{4\sqrt{2}\left[ \begin{align} & \ \ \ {\sigma }_{A1}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B1}\left| \downarrow \right\rangle +{\sigma }_{A2}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B2}\left| \downarrow \right\rangle +{\sigma }_{A3}\left| \uparrow \right\rangle {\sigma }_{B3}\left| \downarrow \right\rangle \\ & -{\sigma }_{A1}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B1}\left| \uparrow \right\rangle -{\sigma }_{A2}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B2}\left| \uparrow \right\rangle -{\sigma }_{A3}\left| \downarrow \right\rangle {\sigma }_{B3}\left| \uparrow \right\rangle \\ \end{align} \right]$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{4}\frac{1}{\sqrt{2}\left( \begin{align} & \left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle -\text{i}\left| \downarrow \right\rangle \text{i}\left| \uparrow \right\rangle -\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle \\ & -\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle +\text{i}\left| \uparrow \right\rangle \text{i}\left| \downarrow \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \\ \end{align} \right)=-\frac{3}{4}\left| \text{A} \right\rangle\Rightarrow {\vec{J}^{2}\left| \text{A} \right\rangle =(\frac{3}{2}+2{\vec{J}_{A}\cdot {\vec{J}_{B})\left| \text{A} \right\rangle =0=0(0+1)\left| {\text{S}_{3} \right\rangle .

所以说 $|\text{A}⟩$ 张成了 $j=0$ 的空间, 即 {\vec{J}^{2} 本征值为 $0$ 的本征子空间.

所以还可以记 \left\{ \begin{align} & \left| {\text{S}_{1} \right\rangle =\left| j=1,m=1 \right\rangle , \\ & \left| {\text{S}_{2} \right\rangle =\left| j=1,m=0 \right\rangle , \\ & \left| {\text{S}_{3} \right\rangle =\left| j=1,m=-1 \right\rangle , \\ & \left| \text{A} \right\rangle =\left| j=0,m=0 \right\rangle , \\ \end{align} \right. 其中 $m$ 是 $J_3=J_{A3}+J_{B3}$ 的本征值.

5. 这个单态和三重态的构造方法

查表, 我可以教你怎么样手算, 但很显然, 教了也是白教, 你 一 定 会 忘.

如果你一定要试试手算, 有俩办法: (1). 公式法, 这个自己去了解. (2). 构造一个最低或最高的态, 然后用升降算符把其它的都整出来.

这个其实就是所谓的 C-G 系数, 我教你查 C-G 系数表吧:

注意这里所有的系数都要开方, 然后找我们需要的俩 $1/2$ 旋耦合, 就在左上角.

好, 查表, 先看看 $|j=1,m=1⟩$ 怎么拼:

就看红圈, 自己悟: $|j=1,m=1⟩=\sqrt{1}|m_A=\frac{1}{2},m_B=\frac{1}{2}⟩=|\uparrow ⟩|\uparrow ⟩.$

接下来看看 $|j=1,m=0⟩$ 怎么拼:

就看红圈, 自己悟: \left| j=1,m=0 \right\rangle =\sqrt{\frac{1}{2}\left| {m}_{A}=\frac{1}{2},{m}_{B}=-\frac{1}{2} \right\rangle +\sqrt{\frac{1}{2}\left| {m}_{A}=-\frac{1}{2},{m}_{B}=\frac{1}{2} \right\rangle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\sqrt{2}\left( \left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle +\left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle \right).

接下来看看 $|j=1,m=-1⟩$ 怎么拼:

就看红圈, 自己悟: $|j=1,m=-1⟩=\sqrt{1}|m_A=-\frac{1}{2},m_B=-\frac{1}{2}⟩=|\downarrow ⟩|\downarrow ⟩.$

最后看看 $|j=0,m=0⟩$ 怎么拼:

就看红圈, 自己悟: \left| j=0,m=0 \right\rangle =\sqrt{\frac{1}{2}\left| {m}_{A}=\frac{1}{2},{m}_{B}=-\frac{1}{2} \right\rangle -\sqrt{\frac{1}{2}\left| {m}_{A}=-\frac{1}{2},{m}_{B}=+\frac{1}{2} \right\rangle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\sqrt{2}(\left| \uparrow \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle -\left| \downarrow \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ).

我觉得就用这个做例子, 基本上这块儿就属实是给你整明白了.

最后从 @王祖卿 手上 [盗个图]:

参考

• ^当然如果你听不懂就全当自旋处理好了.
• ^比如说同位旋之类的.
• ^准确来说是张量积表象, 但是量子力学里 somehow 都叫直积.
• ^在以前的角动量理论里这叫总角动量算符与角动量的第三分量.