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传播子中那俩必须被刻在 DNA 上的恒等式
- 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/409397025
- 发布日期: 2021-09-11
- 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算
本文介绍俩超妈重要的恒等式, 它们在场论里出现的频率给我感觉跟 Fourier 变换有一拼了.
之前还有看到本科生觉得留数定理学了没啥用的, 其实只是在场论之前没啥用, 往后可以说是形影不离了, 基本上是走几步就有留数定理的身影, 本文介绍的这俩就都是建立在留数定理上的.
[[这篇](https://zhuanlan.zhihu.com/p/396673735)] 就用到了, 当时以为第二天就会补上证明, 没想到鸽了这么久, 恶魂重置是真挺上头[[1]](#ref_1).
\text{I}.\ -\frac{\text{1}{\text{2}E}\left[ \theta (t){\text{e}^{-\text{i}Et}\text{+}\theta (-t){\text{e}^{\text{i}Et} \right]=\frac{\text{1}{\text{2}\pi \text{i}\int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega \text{t}{\omega }^{\text{2}-{E}^{\text{2}\text{+i}\varepsilon },\ \text{where}\ \varepsilon \to \text{0}.
该恒等式本质上是俩 $\theta \left( t \right)\equiv \left\{ \begin{align} & 1\ \ ,t>0; \\ & 0\ \ ,t<0 \\ \end{align} \right.$ 之和的一个简写, 也就是时序乘积[[2]](#ref_2)的简写.它的高明之处就在于把 的选择效果通过分母上那个无穷小的 来自动实现了.一般的场论书会在计算 Feynman 传播子的途中引入这个关系式[[3]](#ref_3).我认为更合理的做法是先把这个关系刻在 DNA 上再去计算 Feynman 传播子[[4]](#ref_4).
这个恒等式是在告诉我们, 当且仅当虚粒子在壳时, 传播子才存在虚部[[5]](#ref_5).一般的场论书会在介绍幺正性的应用与光学定理时提到这个关系式.你在将来的日子里会发现这个等式相当 handy, 可以说是为我们提供了不少的灵视[[6]](#ref_6).
总的来说这一篇纯工具文, 只不过这俩工具特别实用, 第一个就是将时序乘积带来的俩 进行一个简写, 第二个就是给出了传播子的虚部的表达式. 我的建议是你只需看一遍证明之后隐隐约约地记住这俩关系式长啥样就行, 日后碰到了再回来套就是了.
我感觉我下面给出的证明会比我曾经见过的几种表述都要更简单直观一些.
如果你是第一次听说这俩式子, 那证明过程看起来会十分有趣 .
\text{I}.\ -\frac{\text{1}{\text{2}E}\left[ \theta (t){\text{e}^{-\text{i}Et}\text{+}\theta (-t){\text{e}^{\text{i}Et} \right]=\frac{\text{1}{\text{2}\pi \text{i}\int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega \text{t}{\omega }^{\text{2}-{E}^{\text{2}\text{+i}\varepsilon },\ \text{where}\ \varepsilon \to \text{0}.
简证:
下面将利用留数定理来计算等式右边积分的柯西主值, 将 视作复变量, 于复平面构造如下图所示的积分路径:
如图所示, 实数轴与半径为 的圆在复平面上构成了两条闭合积分路径. 如图所注, 这两条路径分别适用于 与 t < 0 的情况.
现在我们面对的积分是[7] \frac{1}{2\pi {\rm{i}\frac{1}{2E}\left[ {\int {\rm{d}\omega \frac{\rm{e}^{\rm{i}\omega t}{\omega - ( {E - {\rm{i}\eta } )} - \int {\rm{d}\omega \frac{\rm{e}^{\rm{i}\omega t}{\omega + ( {E - {\rm{i}\eta } )} } \right].
这里的实参数 是无穷小的.
由 Jordan 引理可知在圆上的路径积分值为零, 即有
不过要根据 的符号来判断路径的选取, 比如 时路径取上半圆则圆弧无贡献. 但 时路径若取下半圆的话圆弧上的积分值就是不为零的, 这直接没法算了.
当 时路径取上半圆, 显然第一项因为无奇点而为零.
于是就有$\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ \int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(E-\text{i}\eta )}-\int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega +(E-\text{i}\eta )} \right]$$\ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ \int_{\Gamma }{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(E-\text{i}\eta )}-\int_{\Gamma }{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(-E+\text{i}\eta )} \right]$$\ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ -2\pi \text{i}\underset{\omega \to -E+\text{i}\eta }{\mathop{\lim }\,\left[ \omega -(-E+\text{i}\eta ) \right]\frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(-E+\text{i}\eta )} \right]$\ \ \ \ \ \ =-\frac{\text{1}{2E}{\text{e}^{-\text{i}Et}.
当 t < 0 时路径取下半圆, 显然第二项因为无奇点而为零[8].
于是就有 $\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ \int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(E-\text{i}\eta )}-\int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega +(E-\text{i}\eta )} \right]$$\ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ \int_{\Gamma }{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(E-\text{i}\eta )}-\int_{\Gamma }{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(-E+\text{i}\eta )} \right]$$\ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ -2\pi \text{i}\underset{\omega \to E-\text{i}\eta }{\mathop{\lim }\,\left[ \omega -(E-\text{i}\eta ) \right]\frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(E-\text{i}\eta )} \right]$\ \ \ \ \ \ =-\frac{1}{2E}{\text{e}^{\text{i}Et}.
综上所述, 再结合函数定义 \theta \left( t \right)\equiv \left\{ \begin{align} & 1\ \ ,t>0; \\ & 0\ \ ,t<0 \\ \end{align} \right. 可得:
$\ \ \ \ -\frac{1}{2E}\left[ \theta (t){\text{e}^{-\text{i}Et}+\theta (-t){\text{e}^{\text{i}Et} \right]$$=\frac{1}{2\pi \text{i}\frac{1}{2E}\left[ \int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega -(E-\text{i}\eta )}-\int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega +(E-\text{i}\eta )} \right]$=\frac{1}{2\pi \text{i}\int{\text{d}\omega \frac{\text{e}^{\text{i}\omega t}{\omega }^{2}-{E}^{2}+\text{i}\varepsilon }, 证毕.
简证:
首先观察一下 \frac{1}{m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon } 的虚部 \operatorname{Im}\frac{1}{m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon } 的表达式.
虚部即 $\frac{1}{2\text{i}\left[ \frac{1}{m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon }-{\left( \frac{1}{m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon } \right)}^{*} \right]=\frac{\varepsilon }{({m}^{2}-{p}^{2})}^{2}+{\varepsilon }^{2}.$不难发现当 时, 只有 的情况下该虚部才可能不为零. 其实你嗯看 \frac{1}{m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon } 也是能看出来的, 当 时显然是实的. 然而当 时就立马产生一个巨大的纯虚数.
接着我们可以对 在任意包含了 的区间上积分, 看看不为零的部分究竟有多大:
\ \ \ \ \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }\,\int_{0}^{x}{\text{d}{m}^{2}\frac{\varepsilon }{({m}^{2}-{p}^{2})}^{2}+{\varepsilon }^{2}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }\,\int_{0}^{x}{\text{d}\frac{m}^{2}-{p}^{2}{\varepsilon }\frac{1}{\left( \frac{m}^{2}-{p}^{2}{\varepsilon } \right)}^{2}+1}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }\,\left. \arctan \left( \frac{m}^{2}-{p}^{2}{\varepsilon } \right) \right|_{m}^{2}=0}^{m}^{2}=x}
$=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }\,\left[ \arctan \frac{x-{p}^{2}{0}-\arctan \frac{-{p}^{2}{0} \right]=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\pi .$
由此可知 \operatorname{Im}\frac{1}{m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon }=\frac{\varepsilon }{({m}^{2}-{p}^{2})}^{2}+{\varepsilon }^{2}=\pi \delta ({m}^{2}-{p}^{2}), 证毕.