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对色散积分的博雷尔变换 (Borel transform)
- 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/416707961
- 发布日期: 2021-10-03
- 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算
Borel 变换[1], 是一个在粒子物理中相当常见的操作, 但它长得很没手感让人不太想操作, 就你翻一些比较古早的文献, 如果他们使用了 Borel 变换则会给出一个附录, 然后上面赫然写着:
And you were like: 我超, 这···
但他们可能没告诉你[2]当变换对象有色散积分形式时, 问题就变得简单了起来:
如两点函数, 我就介绍过一个所谓的 [色散关系]:
现在对动量空间的两点关联函数做 Borel 变换:
${\mathcal{B}_{M}[\Pi ({p}^{2})]=\underset{\begin{matrix} -{p}^{2},n\to \infty ;\ \\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}={\rm{const} \\ \end{matrix}{\mathop{\rm lim}\,\frac{1}{n!}{(-{p}^{2})}^{n+1}{\left( \frac{\rm{d}{\rm{d}{p}^{2} \right)}^{n}\Pi ({p}^{2})$*注意这里 ${-{p}^{2}/{n}$ fixed, 为啥和文献不一样? 因为文献绝对写错了[[3]](#ref_3).*\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{\begin{matrix} -{p}^{2},n\to \infty ;\ \\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2} \\ \end{matrix}{\mathop{lim }\,\frac{(-{p}^{2})}^{n+1}{n!}{\left( \frac{\rm{d}{\rm{d}{p}^{2} \right)}^{n}\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\rm{d}{m}^{2}\frac{\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}{m}^{2}-{p}^{2}-{\rm{i}\varepsilon }\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{-{p}^{2},n\to \infty ;\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}{\mathop{\rm lim }\,\frac{(-{p}^{2})}^{n+1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}\frac{\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}{({m}^{2}-{p}^{2}-\text{i}\varepsilon )}^{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{-{p}^{2},n\to \infty ;\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}{\mathop{\rm lim }\,\frac{(-{p}^{2})}^{n+1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}\frac{\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}{\left( \frac{m}^{2}{-{p}^{2}+1-\frac{\text{i}\varepsilon }{-{p}^{2} \right)}^{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{-{p}^{2},n\to \infty ;\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}{\mathop{\rm lim }\,\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}\frac{\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}{\text{e}^{\ln {\left( \frac{m}^{2}{-{p}^{2}+1-\frac{\text{i}\varepsilon }{-{p}^{2} \right)}^{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{-{p}^{2},n\to \infty ;\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}{\mathop{\rm lim }\,\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}{\text{e}^{-(n+1)\ln (\frac{m}^{2}{-{p}^{2}+1)}\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}*到这里为止应该都很显然[[4]](#ref_4), 下面就是突然要用一下等价无穷小然后梦回大一求极限那套.*\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{-{p}^{2},n\to \infty ;\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}{\mathop{\rm lim }\,\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}{\text{e}^{-(n+1)\frac{m}^{2}{-{p}^{2}\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\underset{-{p}^{2},n\to \infty ;\ \frac{-{p}^{2}{n}={M}^{2}{\mathop{\rm lim }\,\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}{\text{e}^{-\frac{m}^{2}{-{p}^{2}/{n}\;}\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}{m}^{2}{\text{e}^{-\frac{m}^{2}{M}^{2}\operatorname{Im}\Pi ({m}^{2})}=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}s{\text{e}^{-\frac{s}{M}^{2}\operatorname{Im}\Pi (s)}.
于是就有 {\mathcal{B}_M}[\Pi ({p}^{2})]=\frac{1}{\pi }\int_{0}^{\infty }{\text{d}s{\text{e}^{-\frac{s}{M}^{2}\operatorname{Im}\Pi (s)}.
积分变换罢了, 这么一整你都可以直接用 mma 算了[[5]](#ref_5).
你会发现, 这其实就是一个类似 Laplace 变换的玩意儿罢了, 所以其实我们通常做 Borel 变换主要是为了使得函数具有更好的收敛性. 或者, 在这个两点关联函数的特例下, 我们可以通过 Borel 变换来压低谱密度中的连续谱贡献, 以此来提取基态粒子的贡献. 要知道有些关联函数可能会由于发散而只能减除前几项才能写成色散积分的形式, 此时 Borel 变换中的无穷阶段导数就可以顺便将这些减除项都消掉.
但 Borel 变换的定义还是那个哈人的极限式, 然后再送你一些超妈常用的公式:
${\mathcal{B}_{M}\left[ \frac{1}{\left( {p}^{2}-\alpha \right)}^{\beta } \right]={(-1)}^{\beta }\frac{1}{M}^{2(\beta -1)}(\beta -1)!}{\text{e}^{-\frac{\alpha }{M}^{2},${\mathcal{B}_M}\left( {p}^{2m}\ln \frac{1}{-{p}^{2} \right)=m!{M}^{2(m+1)}, 为非负整数.${\mathcal{B}_M}\left[ \frac{1}{-{p}^{2k}\frac{1}{\left( \ln \frac{-{p}^{2}{\mu }^{2} \right)}^{\varepsilon } \right]=\frac{1}{(k-1)!{M}^{2(k-1)}\frac{1}{\left( \ln \frac{M}^{2}{\mu }^{2} \right)}^{\varepsilon }\left[ 1+O\left( \frac{1}{\ln \frac{M}^{2}{\mu }^{2} \right) \right].$
嗯··· 感觉无啥好说的了, 以后要再想起啥来再补吧, 具体用法等碰到了再说[6].