复变多值函数的黎曼面 (Riemann surface)、分支点 (branch point) 与割线 (branch cut)

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/422338793
• 发布日期: 2021-10-17
• 分类: 数学方法 / 物理数学工具箱

本文的主题如标题所示, 这些复变函数的相关概念似乎[1]不会被直接用到, 但大概率会被间接用到. 总之就是我感觉后面介绍场论相关内容时会需要这些概念, 所以不管怎么说也至少是要达到心中有数的程度才行.

你们平时问我本科怎么自学, 我从来都是说数学物理方法基本可以略过, 用到了再补, 但我在知乎搜了一下, 发现写这玩意儿的好像都是数学系的··· 超, 看不懂啊. 所以现在真要用到了我也不会默认大家都懂, 就先随便介绍一下呗.

放心, 我有信心写得比教科书易懂, 主要是因为我下笔没啥负担, 不需要写得很严谨之类的.

所以本文就是依次介绍多值函数、分支点、Riemann 面与割线这几个概念, 其实准确来说我只需要介绍对数函数 $\ln z$ 相关的内容即可, 但想来想去还是连着比较经典的根式 \sqrt{z-{z}_{0} 一起讲了算了罢.

一个重点就是要回答为啥到处都默认了下面这个式子, 它是怎么来的:

$\ln \left( -x+\text{i}\varepsilon \right)=\ln x+\text{i}\pi ,\ \ln \left( -x-\text{i}\varepsilon \right)=\ln x-\text{i}\pi ;\ x ,\varepsilon>0.$ [[2]](#ref_2) 因为你想啊, \ln \left( -x \right)=\ln x+\ln {\text{e}^{\text{i(}2n+1\text{)}\pi }=\ln x+\text{i}(2n+1)\pi ,\ n\in \mathbb{Z}. 凭啥加俩无穷小的虚部之后就限定为 $\pm \text{i}\pi$ 呢?

Riemann 面这个东西说实话里面大有乾坤, 我这里只介绍基本概念.

目録

1. 多值函数与分支点

1.1. 多值函数 1.2. 分支点

2. Riemann 面与割线

2.1. \sqrt{z-{z}_{0} 的 Riemann 面 2.2. $\ln z$ 的 Riemann 面 2.3. 割线

1. 多值函数与分支点

1.1. 多值函数:

不搞太抽象的东西了, 具体而言就是说 f(z)=\sqrt{z-{z}_{0},g(z)=\ln z 这俩都是多值函数, 多值函数其实根本就不是函数, 函数要求一个自变量一定要被映射到唯一的一个因变量, 但这二位其实就满足不了这一点:

下面凭空多出来的 $\theta$ 都是复数的相位因子, 然后所有的 $n$ 都是整数. \sqrt{z-{z}_{0}=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|{\text{e}^{\text{i}(\theta +2n\pi )}=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|}{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta }{2}{\text{e}^{\text{i}n\pi }=\pm \sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|}{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta }{2}.\ln z=\ln \left( \left| z \right|{\text{e}^{\text{i}(\theta +2n\pi )} \right)=\ln \left| z \right|+\text{i}(\theta +2n\pi ). 如上所述, 这个多值性是极其显然的, \sqrt{z-{z}_{0} 对应到了俩值, $\ln z$ 对应了可数无穷个值.

这样根本就没资格当函数的东西就叫多值函数.

1.2. 分支点:

从上面不难发现多值函数的多值性就是这个相位害的, 所以对多值函数我们要定义一个分支点, 就是自变量绕着转一圈[3]后宗量相位会改变 $2\pi$ 的点.

这里说的宗量其实就可以理解为复合函数的中间变量: 比如说 \sqrt{z-{z}_{0} 的自变量是 $z$ 而它的宗量则是整个 $z-z_0,$ 又比如说 $\sqrt{h\left(z\right)}$ 的宗量是 $h\left(z\right),$ 不过像 $\sqrt{z},\ln z$ 这种情况的话, 宗量和自变量就又是一回事了, 都是 $z.$

我们会研究宗量而不在乎自变量是很好理解的, 因为从上一节就可以看到, 在这里从中作梗的是宗量的相位而不是自变量的相位[4].

好直接揭晓答案, \sqrt{z-{z}_{0} 的分支点就是 $z_0$ 和无穷远点[5], 然后 $\ln z$ 的分支点就是原点和无穷远点, 这是很好理解的:

先看 \sqrt{z-{z}_{0} , 如上图所示, 在自变量 $z$ 走动的过程中, 红圈里的那根虚线其实和 $z-z_0$ 是完全同步运动的, 这就意味着宗量 $z-z_0$ 绕原点转一圈是自变量 $z$ 绕 $z_0$ 转一圈的充要条件. 所以说当自变量 $z$ 绕 $z_0$ 转一圈后宗量 $z-z_0$ 的相位会改变 $2\pi$, 这就说明 $z_0$ 是分支点.

无穷远点呢? 其实你绕着 $z_0$ 转一圈的过程如果把圈内当作圈外, 圈外当作圈内的话, 就是绕无穷远点转了一圈.

现在转到 $\ln z$, 这个属实图都不用画, 极其显然地, 你希望宗量 $z$ 改变 $2\pi$ 的相位, 那就让自变量 $z$ 绕着原点转一圈, 所以原点就是一个分支点, 然后类似地, 无穷远点也是一个分支点.

分支点的意义后面会变得明显起来, 不过现在你也隐隐约约地感觉到了吧: 只要你能限制自变量永远别搁分支点上绕圈圈, 就不会产生多值现象.

2. Riemann 面与割线

2.1.\boldsymbol{\sqrt{z-{z}_{0} 的 Riemann 面:

Riemann 面听起来玄乎, 其实就是多值函数对应的扩充定义域.

为啥 \sqrt{z-{z}_{0} 不是函数? 不就是因为它把一个点 $z$ 映射到两个点 \pm \sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|}{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta }{2} 了吗? 那我现在希望将 \sqrt{z-{z}_{0} 升格回函数, 最直观的做法是啥? 就是找俩复平面, 这样一来一个自变量 $z$ 在俩复平面上就能各对应一个点, 这下自变量和因变量就不会碰到一对二的尴尬了, 有俩复平面的话就可以二对二了.

直观来说就是值域是一层复平面, 但定义域上的点一个顶俩, 比较浓缩, 所以才会产生多值现象, 那现在稀释一下定义域, 将它扩大到两张复平面, 这下就能一一对应了.

那其实 \sqrt{z-{z}_{0} 的 Riemann 面就是长这样的:

其实并不是长这样的, 但它真正的长相在三维空间里画不出来. 你得 somehow 把这个曲面的俩直线边粘起来才是 \sqrt{z-{z}_{0} 的 Riemann 面.

很漂亮吧? 我用 MMA 画的, 这个配色调了好久, 属实是高级审美了我只能说, 代码可以送你:

​`` Import["http://www.mathematicaguidebooks.org/V6/downloads/RiemannSurfacePlot3D.m"] ResourceFunction["RiemannSurfacePlot3D"][w == -Log[z], Re[w] + Im[w], {z, w}, Boxed -> False, "LogSheets" -> {-1, 0}, PlotStyle -> Directive[GrayLevel[0.7], Specularity[White, 500], Opacity[0.95]], Lighting -> "Neutral", Background -> GrayLevel[0.25]] ​``

不会用 MMA? 现场学嗷, 能两小时甚至三小时速成: [[MMA 入门级教程](https://zhuanlan.zhihu.com/p/136542995)]

这个叫双叶 Riemann 面, 意思就说这是两块儿复平面拼出来的. 怎么看是几块儿? 你就拿根筷子竖直地往下戳, 能穿过曲面几次就是几叶 Riemann 面.

如何看待上述 Riemann 面呢? 首先是三个重点:

[1]. 从上往下看, 双叶重合, 表现出来的就是复平面, 所以这些圆盘[[6]](#ref_6)其实是无穷大的[[7]](#ref_7).[2]. Riemann 面中心的那根细棒从上往下看就是一个点, 这个点就是分支点.[3]. 两条黑线边是重合的, 意思是你沿着绿色箭头所示的那样从三楼下到一楼碰到黑线后会被瞬间超时空传送[[8]](#ref_8)到三楼的黑线处.

接下来具体讲讲怎么回事:

我们从黑线出发, 记此时 \sqrt{z-{z}_{0}=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|{\text{e}^{\text{i}\theta }=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|}{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta }{2}, 那么当我们沿着绿箭头走到灰线处的时候, 显然此时饶了分支点一周, 于是有 \sqrt{z-{z}_{0}=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|{\text{e}^{\text{i}\left( \theta +2\pi \right)}=-\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|}{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta }{2}, 如果只是一个复平面问题就来了, 你转回到原来的位置了为啥函数值变化了? 但现在是 Riemann 面, 哈哈, 妹回到原点嗷. 于是我们继续转, 也就是继续往下走, 到达一楼黑线的时候其实已经转了两圈了, 于是有 \sqrt{z-{z}_{0}=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|{\text{e}^{\text{i}\left( \theta +4\pi \right)}=\sqrt{\left| z-{z}_{0} \right|}{\text{e}^{\text{i}\frac{\theta }{2}, 然后此时你又被某种超自然力量超时空传送到三楼黑线处了, 不过没关系呀, 我们的函数值也回到原点了, 于是呢, 定义在 Riemann 面上的 $\sqrt{z-{z}_{0}$ 就 suddenly 升级为解析[[9]](#ref_9)函数了. 这就是 Riemann 面的魅力, めでたしめでたし~

所以你会发现这张双叶 Riemann 在同一竖直位置上的两点的函数值会相差一个负号.

就是说你拿根筷子竖直地戳下来, 戳到的两个点的函数值会相差个负号.

那一般的教科书或者科普文会给你画个啥呢? 他们会画个这样的玩意儿:

其实这个也说不上是真正的形态, 因为三维空间画不出双叶 Riemann 面, 但我寻思对着这么个图像还真的很难给你讲清楚是怎么绕的. 感觉就是, 草, 还不如超时空传送对吧?

2.2.$\ln \mathbf{z}$的 Riemann 面:

前面一对二就需要俩复平面拼出一张双叶 Riemann 面, 那现在面对下面这个无穷取值:

\ln z=\ln \left( \left| z \right|{\text{e}^{\text{i}(\theta +2n\pi )} \right)=\ln \left| z \right|+\text{i}(\theta +2n\pi ),\ n\in \mathbb{Z}.

咋整呢? 没错, 就是拿无穷张复平面拼出一张无穷叶的 Riemann 面:

显然中间的点就是原点, 同时也是 $\ln z$ 的分支点, 然后, 然后你只需要不失一般地随便确定一个点的相位, 接下来就可以往下绕了, 有无穷层楼, 因为虚部从负无穷到正无穷均能取值. 于是通过这张 Riemann 面来做定义域就可以将 $\ln z$ 也升格为解析函数了.

显然这张 Riemann 面相邻的两层在同一竖直位置上的函数值实部相同, 而虚部相差 $2\pi$, 且是越下层虚部越大, 一直能趋近正无穷. 这里我感觉没啥好讲的了吧? 蛮直观的, 其实我觉得虽然这个是无穷叶, 但理解起来比那个双叶的还直观些.

2.3. 割线:

在物理上, 我们其实很少听说到 Riemann 面这个概念, 作为实用主义者, 我们除了通过定义出 Riemann 面这么哈人的东西来使得多值函数进化到解析函数之外还有没有什么别的办法?

当然有, 那就是我们只取 Riemann 面的其中一叶做定义域, 这样函数仍然是解析的, 然后定义域又能回到只有一张复平面的年代. 但代价是啥呢? 代价就是值域要被扔掉一大堆, 所以这个操作也被称作取主值. 说实在的不同叶上的信息是差不多的, 无非就是差一个常数差一个负号啥的, 所以只保留一叶或者说取个主值也是无可厚非的.

那下面就继续谈 $\ln z$, 因为我更喜欢它多一些.

如上图所示, 我们从上面那根黑线出发, 沿着绿箭头绕到下面那根黑线, 这就走过一叶, 我们就只取这一叶. 现在我们沿着黑线剪开, 把其它部分都丢掉, 再把俩黑线拼接起来, 就得到了一张复平面, 但是这张复平面上面有一条黑线.

那么定义在这张复平面上的 $\ln z$ 仍然是个解析函数, 但是定义域上有一条黑线, 你会发现沿着绿色箭头走的过程中虚部逐渐加大, 但到了下层黑线处, 我们继续走, 回到上层黑线的话, 虚部会突然减少 $2\pi$, 所以这条黑线是函数的一条间断线, 且函数值的断层高度差为 $\text{i}2\pi .$

好了不当谜语人了, 其实这条黑线就是割线, 你会发现只要我们不越过割线就不会碰到断层, 一旦越过宗量 $z$ 就要突然骤减 $2\pi$ 的相位, 所以我们就是通过这种方式来取消多值性的.

从另一个角度来讲, 我们前面就说了, 只要你别绕某个分支点就不会产生多值性对吧? 所以这条割线其实是连接了两个分支点的线, 然后我们不允许自变量的路径经过割线, 这样一来自变量就没法搁分支点那绕圈了, 或者你也可以说你一旦越过割线就要产生断层来强制取消多值性.

从几何直观上来说, 你应该不难理解这条割线不需要是直线, 只要连接了两个分支点, 然后别打结就行了. 然后就是割的位置也是随意选取的, 但我们一般会选择正实轴的函数值虚部为 $0$[10]的那一叶, 然后再在负实轴处做割线, 这样有一个很大的好处: 那就是实轴上都是实函数值, 这样就可以满足所谓的 Schwarz 反射原理[11]了.

然后呢? 然后就有断层了呗, 你规定了实轴虚部为 $0$, 这样一来你若逆时针绕到负半轴上方一丢丢相位就是 $\pi$, 而顺时针绕道负半轴下方一丢丢相位就是 $-\pi$, 刚好我们的断层就是 $2\pi$ 嘛.

所以说就有一开始的那个式子了:

$$\begin{gathered} \ln \left(-x+\text{i}\epsilon \right)=\ln x+\text{i}\pi ,\ln \left(-x-\text{i}\epsilon \right)=\ln x-\text{i}\pi ; \\ x>0,\mathrm{infinitesimal}\epsilon >0. \end{gathered}$$ 我相信你只要还呆在物理人这边, 那就默认永远都是这样取主值的.

千万不要觉得 Riemann 面这东西好优美好简单噢, 你这才俩分支点, 够干点儿啥?

专业人士面对的那种十个八个分支点的能直接给你吓得生活不能自理, 不信咱给整块儿瞅瞅:

参考

• ^我不好说.
• ^ε 是无穷小量.
• ^注意我们这里说的绕一圈就真的只是沿着一个类似椭圆形的简单闭合曲线走一圈, 这里的闭合路径不会涉及那些打结、交叉的诡异曲线.
• ^其实也不能说不是, 但肯定没那么直接.
• ^复变函数认为你不管往哪个方向跑, 到无穷远处都会汇聚到一点上, 这个点就是无穷远点, 这里属实是常识, 你要实在妹学过就可以理解为你在地球南极点 (原点) 无论往哪个方向跑测地线, 最后都会跑到北极点 (无穷远点) 就是了.
• ^从上往下看是个圆盘.
• ^这也就是说黑线和灰线都连接着无穷远点.
• ^我个人认为大家经过各种科幻作品洗礼后, 超时空传送反而是个直观的概念, 如果我真的给它画连上了估计得半天也讲不清楚究竟是怎么在上面绕的.
• ^你可以认为就是无穷阶可导的复变函数.
• ^而非 2nπ, n≠0.
• ^过两天将介绍这个原理.