学物理真能去二次元吗如果你事线代, 也好

原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/445465637
发布日期: 2021-12-27
分类: 学习路线 / 入门地图

相信无论物理系内外, 大家一定都听过『你决不可能脱离数学地理解物理概念』这么一句话. 这里的数学指的是什么呢? 如果你觉得是微积分或者说高数你就错了, 至少你这波是在地下室. 这里的数学其实指的是线性代数, 因为当我们谈到物理的时候, 我们谈的不是小滑块儿的绳索 play, 而是迫近光速或微至分子的新世界. 在那里, 你不能越过代数去完整描述任何一个物理概念.

所以, 即便我希望将这个系列中的数学压到最低限度, 也绝不能略过线性代数的部分. 我可以直说, 只要有人试图越过线代给你科普物理, 他必是在蒙你. 不过好消息是, 虽然我要讲线代, 我也不会唐突展开数学攻击, 我会尽可能地只用中国话来把线代中我们需要的理论结构给你勾勒清楚.

本文的一个重点就是介绍线性空间是什么, 线性空间中有什么与没有什么.

线性空间是个很奇妙的概念, 你会在线性代数中第一次听说, 但大概率完全不知道它到底是啥. 然后直到量子力学你可能才第一次体会到线性空间与数学模型的魅力. 接着你就得在量子场论里一口气连着处理三四个线性空间内的变换了···

你在量子力学之前都用不到线代的, 所以本文虽然是针对一门大一课程在写, 但实际上却是量子力学的铺垫文, 这样讲到量子力学时我就会更着重物理部分与更进阶的线性代数而不会再反复介绍线性空间的概念了.

所以··· 大一仔的话确实不需要全文掌握, 你只要办到在大三时能看懂就行了.

大一初学的话, 重点在本文第三章的前两节, 就是说搞清楚课上的重点即可[[1]](#ref_1). 不过我这里说的重点是对将来学习物理而言的重点, 不是你考试的重点···

对初学者, 我还推荐一个叫 3blue1brown 还是 3brown1blue 的家伙[2]做的系列视频.

他从微积分到线性代数做了许多十分深入浅出的科普视频. 我极力推荐初学者去看看他的『线性代数的本质』系列. 但其实没我们这边讲得本质, 他还是很强调欧式几何 (Euclid geometry) 下的直观, 毕竟他面向的是大众, 而我们这边面向的可都是将来要研究理论物理的小盆友.

那有没有什么教科书推荐一下呢? 没有.

很多人都推荐 Linear Algebra Done Right, 但我没看过. 事实上我没看过任何一本数学书[[3]](#ref_3), 呃··· 我所有的知识都是云来的. 即从各个课程、公开课、notes、wiki、教授、师兄或同学那儿主动云, 就这样东云一点西云一下, 然后再在这些碎片的启发下自行构造一款理论体系. 所以我的 ID 事『東雲正樹』, 但为啥是正樹呢? 因为命中缺木别问了.

目録

5. 线性代数的定位

5.1. 线性代数是一个很难概括的东西 5.2. 为啥高校普遍都教不好线代

6. 线性代数到底是什么

6.1. 线性空间与矢量 6.2. 线性空间只需要有线性结构 6.3. Banach 空间 6.4. Hilbert 空间 6.5. 咋动不动就能轻易地定义一个函数作用在全体矢量上 6.6. 线性代数 6.7. 为啥要定义得这么抽象

7. 线代课上讲的什么勾八

7.1. 线代课上有价值的部分 7.2. 方阵的本征方程 7.3. 成也矩阵败也矩阵 7.4. 表示矩阵为何物

8. 我会如何设计线代课

東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 目録

東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 大致加点方案

東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 怎么这个也算高数啊?

東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 如果你事线代, 也好

東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 欧拉公式 (Euler's formula), 物理人最后的 Euclid 几何直观

東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 你问 gamma 要学普物? 那其实跳掉也没啥

5. 线性代数的定位

5.1. 线性代数是一个很难概括的东西:

线性代数, 究竟什么是线性代数? 这其实有点儿像在问什么是二次元:

在某些巧合下看了十几二十部动画片的萌二们会自信地给出『二次元就事比比丽丽刷烂梗, 然后买周边! 逛漫展!』这样的回答, 他们发现二次元真的很潮, 简直是成为现充的人生捷径.
对着榜单刷了几十部神作的盆友可能会总结出『二次元就事给成人展现的动漫艺术, 可惜现在名著级的神作越来越少了, 看来业界要完』这样的结论. 虽说认识是片面的, 结论是错误的, 但至少他们能意识到『看动画片才是真』这个道理.
然而连制作水平中等乃至低劣的垃圾番都看了上千部以后, 再面对这个问题可能反而不太愿意给出一些评价了, 想了想『是可爱与有趣』吗? 好像是这样, 但能这么说吗?

其实线性代数在物理系就是这种感觉:

『不就是嗯算数表行列式、解点儿线性方程组?』刚上完线代课的同学们面对这种送分题可以说是毫不犹豫, 然而他们或许想不到的是, 在他们的后半生, 其实很少能碰到超过三阶的行列式也根本就没有什么一堆变量的线性方程组给他们玩弄.
正经学了量子力学的同学们可能会猛然地意识到『矢量空间就是线性空间, 线性映射就是矢量的旋转与拉伸, 原来线性代数就是一门处理线性空间与线性映射的学科啊』, 他们回想起线代课堂上那被一笔带过的线性空间的概念, 感觉就像被学校给整蛊了, 哈哈···
然而等学完群论乃至微分几何之后, 再面对这个问题可能反而不太愿意给出一些评价了, 想了想『是线性的··· 代数』吗? 好像是这样, 但能这么说吗?

所以究竟什么是线性代数? 线性代数将会是你终生的伴侣, 线性代数是你的火球术与寒冰箭, 别看开局就在用, 真干伊利丹还得靠它打输出. 游戏会打腻, 动画会完结, 线代不会[4].

很久以前我就说过, 其实物理学家用到的数学就只有高数和线代, 只要你别去碰广相弦论超对称[5], 那光这俩就够你在物理界横着走了. 而高数其实我们已经讲过了, 就是级数的加减乘除微积分, 说它跟呼吸一样简单都太抬举它了.

所以你问我什么是线代, 那我现在可以说, 只要碰到了一个你需要的, 看起来又不像高数的数学, 那它就是线代. 你别管那些人说的什么群论、泛函, 它就是线代.

说起来,『做物理的』这个说法其实还蛮微妙的: (1). 你学完微分几何与广义相对论都很难说算入门的顶点代数方向的人会说自己是做物理的. (2). 平直时空量子场论再补些规范场论才能开始看综述的唯像粒子人也会说自己是做物理的. (3). 量子力学配合固体物理再补点儿各种近似即可整活了的凝聚态人他会说自己是做物理的. (4). 量子力学都搞不太清楚的材料人与部分微积分都用不全的光学人还得说自己是做物理的.
这只是大方向, 物理中还有许多小众些的方向及量子信息这样很难说到底算不算物理的方向.
凝聚态也有少数会涉及到拓扑场论、共形场论、超对称或弦论等数学上较为艰深的内容.
但普遍而言凝聚态对数学水平的要求还是不会很高且少有涉及相对论性的场论的情况.
凝聚态实际上是极具创意与洞察力的物理方向, 只是国内水平低下才变成的炒菜材料系.
然而这还都还只是在讨论理论物理, 实验那边更是重量级, 基本上就跟数学绝缘了属于是.
所以说如果你只是想做物理, 当一把科研人员, 那可能完全不需要网上那些人说的那么多的数学, 就是说其实你第一步应该是先确定好自己将来的研究方向, 在有些方向看来本科的数学都显得有些过量了, 真没必要继续跟网上那些魔怔人一起卷数学.

5.2. 为啥高校普遍都教不好线代:

https://www.zhihu.com/question/367082679/answer/2279051707## 6. 线性代数到底是什么

开局我希望能给出一个线性代数的定义, 比起普遍的那种讳莫如深的态度, 我还是更倾向于干脆就把这个问题给它说清楚, 省的大家再陷入什么思维迷宫了. 这个定义对初学者来说这可能是会有点儿抽象, 但记住, 我们说过抽象并不代表难, 相反高度抽象的东西反而更利于记忆与学习.

下面我时常会避开具体的数学定义, 但如果你觉得缺乏了数学内容反而难以理解的话, 这边请:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/356975719> 上面那个是我写给大三程度的本科生看的,

大一仔看着估计不会那么舒服··· 但当字典查查应该还是没啥问题的.

6.1. 线性空间与矢量:

向量空间、矢量空间与线性空间是同一个事物的三个不同的名称.

线代课中虽不太可能给你整明白啥叫线性空间, 但这个词肯定还是出现过的. 我相信有些同学第一次听到 xx 空间这种词还有点儿小兴奋对吧? 就从小看科普片里边儿动不动就是四维时空啥的, 现在终于要研究空间的本质了吗? 太酷了吧. Well, 坏消息是这是数学, 不研究你科普片儿里说的时空本质之类的东西; 但好消息是, 你四维时空本质上也是线性空间的一种, 所以其实数学这边的这个概念更广义也更酷一些. 就你接下来碰到的几乎[6]所有空间, 它本质上都是线性空间.

线性空间和矢量的概念是形影不离的, 那什么是矢量呢?

首先要认识到的是, 矢量就是向量, 无论从哪个角度来讲, 它们都是本质上的一回事. 在英语世界里就只有一个词叫 vector, 那我们物理系这边译成中文会采用矢量这个译法, 实际上说的就是向量, 所以这也是在问向量是什么?
计算机相关专业的学生可能会认为矢量就是一列数字.
高中生可能会说矢量就是有大小有方向的量.
还有人可能会觉得矢量就是立体几何里那些箭头.
其实他们说的都不算错, 但都很令人无语, 因为这些都只是矢量的特例罢了. 上面这样的回答就像我问什么是人类, 然后有人说他爸是人类··· 确实没说错, 但我问的是人类的定义, 就你总不能说一个人不是你爸就不是人了吧?

所以矢量究竟是什么呢? 矢量的定义就是线性空间中的元素.

而线性空间本质上就是一个含有无穷个元素的集合, 内部的元素就是矢量.

但并不是说任何一个含有无穷元素的集合就能构成线性空间, 能升格为线性空间的集合还要求内部元素满足关于加法与数乘的八条运算律, 其中包括交换律、结合律与分配律等. 换言之就是内部元素能满足类似运算律的集合就能构成一个线性空间. 而这些运算律就是集合的线性结构.

等下, 那这样全体实数 $R$ 在实数的加法与数乘下岂不是也构成线性空间? 那确实. 那岂不是说标量也是矢量的一种? 是啊, 没啥毛病啊, 只要满足八条运算律就构成线性空间.

是的, 你的第一步就是要接受空间本质上就是一个无穷集合的这种思想. 我知道这很抽象, 但这是必须的, 因为只有这样我们才能将研究的范围与结论推广至任意维空间[7], 而不是干干巴巴的三维以下的 Euclid 空间. 但我们可以特殊化到这个特例, 因为数学结论的推广都是建立在古老结论之上的, 所以肯定可以描述过去的事物:

你高中做立体几何时接触到的三维 Euclid 空间就是线性空间, 原点到空间中每一个点的箭头都构成一个矢量, 于是就也可以说这个空间就是由这些箭头构成的. 那理论上你完全可以在不破坏原有线性结构[[8]](#ref_8)的情况下把这些箭头的记号打包带走拿去研究, 它们已经包含了三维空间的所有信息, 就是说你实际上处理这个三维空间的时候并不需要真的将三维空间画出来, 真正在解题的是纸面上那些矢量[[9]](#ref_9)的代数式, 这也是我们能在二维的纸上解三维题目的原因, 而这些三维矢量的运算大家都是很清楚的了. 所以完全可以说三维 Euclid 空间就是这些三维矢量配合它们的加法与数乘构成的集合.

再强调两点:

不要把矢量想象成空间中的一个箭头, 应该将其想象为空间点.
只要集合内部元素满足八条运算律, 集合就构成线性空间, 内部元素就是矢量. 哪怕你这个集合里装的是游戏机、猫猫、硬盘、毕业论文与你的盆栽之类的东西也没有关系, 我们对矢量的原有身份没有任何要求. 所以接下来我们可能会将矢量记作 $u, v, w, x, y, z$ 之类的字母, 但实际上它们既不需要是数也不不需要是箭头或者别的什么东西, 就只是线性空间的元素.

数学本身就是基于逻辑的公理系统, 先定好公理, 再通过严丝合缝的逻辑由公理导出整个数学帝国. 你要认识到的是, 这样的帝国, 是完全可以独立于你、我以及整个宇宙而存在的完美概念.

实际上物理学也可以理解为是公理系统[[10]](#ref_10), 只不过我们更倾向于称这些公理为假设且不断地在研究中挑战它们的地位以建立更精确的数学模型. 而数学, 是绝对不允许讨论公理之外的问题的, 因为没有意义, 你要不喜欢这条公理那就请出门左转另开一个话题而不是搁这 ky.

6.2. 线性空间只需要有线性结构:

线性空间只需要有线性结构, 即只定义了矢量之间的加法与矢量与数字之间的乘法.

日后你还会听到巴拿赫空间 (Banach space) 与希尔伯特空间 (Hilbert space) 等概念[11], 其实它们本质上都是线性空间, 它们之所以能从一般的线性空间中被区分出来是因为我们赋予了它们额外的结构. 所以往后都是这样, 你碰到的大多数空间都是线性空间, 只不过它还被赋予了额外的结构.

下面将简略地介绍一下对线性空间赋予结构的过程, 如果你觉得这也太吗抽象了, 那不强求你现在就接受这些概念, 我这里嗯要提一下的主要目的其实是让你认识到: 线性空间本身不需要超出加法与数乘之外的任何结构.

6.3. Banach 空间:

Banach 空间即完备的赋范空间, 这里不深究完备一词的含义, 你可以理解为是定义良好的意思[12], 而赋范的意思就是赋予了范数, 范数可以理解为长度的概念在一般线性空间中的推广.

也就是说原本的线性空间中我们只知道两个矢量相加得到的是什么矢量, 矢量与数字相乘又能得到什么矢量, 除此之外就再没有额外的信息了, 就是说原始的线性空间中只有线性结构, 即只定义了矢量加法与数乘的概念.
而现在我们额外地赋予了距离或者说长度的概念后, 矢量空间就升格为了赋范空间.

不要觉得距离的概念是理所当然的, 在我们只有加法和数乘的时候我们是无从得知一个矢量的长度的, 比如说你手头已知有 $3 v = u$ , 或许你的直觉会告诉你 $u$ 是 $v$ 的三倍那么长, 但并没有依据能支持你的结论. 退一步说即便 $u$ 是 $v$ 的三倍那么长是一个正确结论, 那 $v$ 究竟有多长呢? 这显然仍是无从得知的.

这里的 $u, v$ 都是矢量. 我故意没打箭头就是不希望你把它们想象成俩立体箭头, 它们只是元素点.

所以如果我们要定义出距离的概念的话, 就需要给出一个能将任意两个矢量都唯一地映射到一个数的二元映射, 称作距离函数. 显然如果我们希望这个距离函数要能和三维 Euclid 空间的距离概念相容的话, 就必须要求距离函数 $d (\cdot, \cdot)$ 满足下面这三条性质:

下面的 $x, y, z$ 均为线性空间中的任意矢量: (1). $d (x, y) \geq 0, d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y$ , 即距离非负且仅与自己的距离为零. (2). $d (x, y) = d (y, x)$ . (3). $d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z)$ , 即老生常谈的三角不等式.

这样, 一个矢量 $v$ 的长度就可以定义为 $d (v, o)$ , 其中 $o$ 是空间中唯一确定的零矢量.

其实一般来说是定义一个范数而非距离, 其实也差不了太多, 因为范数的定义和距离的定义是大同小异的[[13]](#ref_13), 硬要说就是多一个线性性. 我这里选择定义距离是为了让大家能更好地将矢量想象成元素点, 而非箭头之类的东西.

总之好消息是物理中很少听说一个只定义了距离的线性空间, 所以你应该再也听说不到这个概念了.

6.4. Hilbert 空间:

Hilbert 空间即完备的内积空间, 这里不深究完备一词的含义, 你可以理解为是定义良好的意思[12], 而内积空间的意思就是给空间中赋予了内积, 内积可以理解为点积或数量积的概念在一般线性空间中的推广.

原始的线性空间中只有线性结构, 即只定义了矢量加法与数乘的概念.
而现在我们额外地赋予了内积的概念后, 矢量空间就升格为了内积空间.

不要觉得方向与角度的概念是理所当然的, 在我们只有加法和数乘的时候我们是无从体会方向与角度的, 比如说你手头已知不存在任何数 $p$ 能使得关于矢量 $u, v$ 的式子 $p v = u$ 成立. 那你的直觉会告诉你说这俩矢量的方向不同, 但它们方向的区别有多大呢? 你甚至不能判断两个矢量垂直与否. 曾经在三维 Euclid 空间里我们可以用眼睛嗯看, 相互垂直就是垂直了呗, 就是成 $90^{\circ}$ 夹角嘛. 但对于一个 $114514$ 维的空间你怎么去理解垂直的概念呢?

所以如果我们希望空间中有方向概念的话就需要给出一个能将任意两个矢量都唯一地映射到一个数的二元映射, 称为内积. 显然如果我们希望这个内积能与三维 Euclid 空间的数量积概念相容的话, 就必须要求内积 $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ 满足下面四个性质:

下面的 $u, v$ 均为线性空间中的任意矢量, 两个矢量的内积 $⟨ u, v ⟩$ 是一个数. (1). $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩^{*} .$ (2). $⟨ u, v + w ⟩ = ⟨ u, v ⟩ + ⟨ u, w ⟩ .$ (3). $⟨ u, p v ⟩ = p ⟨ u, v ⟩ .$ (4). $⟨ u, u ⟩ \geq 0.$ 右上角的星号表示取复共轭, 当我们的线性空间建立在复数域上时内积的结果就是一个复数, 如果建立在实数域上内积的结果就是一个实数也就没有必要取复共轭了. 建立在什么数域上的意思是加法与数乘中的数源于什么数域, 在物理领域, 我们基本上就只需要实数域与复数域, 而后期则普遍是在复数域上整活.

有了内积的概念我们就可以给出角度与正交的定义了,

首先我们称满足自我内积 $⟨ v, v ⟩ = 1$ 的为单位矢量, 由 Schwartz 不等式 $⟨ u, u ⟩ ⟨ v, v ⟩ \geq ⟨ u, v ⟩ ⟨ v, u ⟩$ 可知 两个单位矢量 $u,v$ 的内积的模方[[14]](#ref_14)$\left\langle u,v \right\rangle \left\langle v,u \right\rangle \le \left\langle u,u \right\rangle \left\langle v,v \right\rangle =1.$于是我们可以定义两个单位矢量之间的夹角的余弦值[[15]](#ref_15) $\cos \theta =\sqrt{\left\langle u,v \right\rangle \left\langle v,u \right\rangle }.$ 自然当 $⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩ = 0$ 时, 我们说二者正交, 正交即垂直概念在一般线性空间中的推广.

Schwartz 不等式的证明不会超出线性空间的结构, 我真的好想证明, 你不想看数学跳过就是了:

下面的 $a, b, c$ 均表示矢量, 而 $∣ a ∣^{2} \equiv ⟨ a, a ⟩ .$ 构造 $c = b - \frac{⟨ a , b ⟩}{∣ a ∣}^{2} a$ 再利用公理 $∣ c ∣^{2} \geq 0$ 可以得到: $∣ c ∣^{2} = ⟨ b - \frac{⟨ a , b ⟩}{∣ a ∣}^{2} a, b - \frac{⟨ a , b ⟩}{∣ a ∣}^{2} a ⟩$ $\ \ \ \ \ ={\left| b \right|}^{2}-\left\langle b,a \right\rangle \frac{\left\langle a,b \right\rangle }{\left| a \right|}^{2}-\left\langle a,b \right\rangle \frac{\left\langle a,b \right\rangle }^{*}{\left| a \right|}^{2}+\frac{\left\langle a,b \right\rangle }^{*}\left\langle a,b \right\rangle }{\left| a \right|}^{2}{\left| a \right|}^{2}\left\langle a,a \right\rangle \ge 0.$ 然后利用关系 ${\left| a \right|}^{2}>0$ [[16]](#ref_16)得到: $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - ⟨ b, a ⟩ ⟨ a, b ⟩ - ⟨ a, b ⟩ ⟨ a, b ⟩^{*} + ⟨ a, b ⟩^{*} ⟨ a, b ⟩ \geq 0$ $\Rightarrow ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - ⟨ a, b ⟩ ⟨ a, b ⟩^{*} \geq 0$ $\Rightarrow ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} \geq ⟨ a, b ⟩ ⟨ b, a ⟩$ , 证毕.

你会发现其实高中立体几何里的那个三维 Euclid 空间本质上就是一个三维实 Hilbert 空间. 往后我们还会碰到更多的复 Hilbert 空间作为量子态所处的空间, 这就是后话了, 实际上在量子力学之前我们都不会再回顾这些内容了.

6.5. 咋动不动就能轻易地定义一个函数作用在全体矢量上:

前面我们定义的距离函数或者说内积的概念都是作用在任意两个矢量上都能给出一个数的, 难道我们定义这个映射的时候要采取穷举法吗? 一共有无穷个矢量欸···

其实没有你想象中的那么困难, 线性空间中具有的线性结构最了不起的地方就是可以使得我们能有限描述无穷. 矢量确实有无穷多个, 但但线性结构保证了我们在一个有限维的线性空间中总能找到维度个矢量作为基矢量, 事实上基矢的数目就是维度的定义. 而空间中无穷个矢量中的任意一个都可以展开为这有限个基矢的线性组合, 于是我们的映射只要定义好作用在基矢上的映射就等于是定义好了作用在任何矢量上的映射了.

在二维线性空间中以距离与内积为例具体而言就是:

任意矢量 $v, u$ 都可以展开为基矢 ${e_{1}, e_{2}}$ 的线性组合即有 $v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2}, u = u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2} .$ 其中的 $v_{1}, v_{2}, u_{1}, u_{2}$ 都是系数, 是数字.

那距离函数就可以定义为: $d (u, v) = (u_{1} - v_{1})^{2} + (u_{2} - v_{2})^{2} .$

这就等于是定义好了所有矢量之间的距离了, 因为所有的矢量在这组基矢下都有俩系数.

内积也会归结为基矢量之间的内积:

$⟨ u, v ⟩ = ⟨ v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2}, u_{1} e_{1} + u_{2} e_{2} ⟩$ $= ⟨ v_{1} e_{1}, u_{1} e_{1} ⟩ + ⟨ v_{1} e_{1}, u_{2} e_{2} ⟩ + ⟨ v_{2} e_{2}, u_{1} e_{1} ⟩ + ⟨ v_{2} e_{2}, u_{2} e_{2} ⟩$ $= v_{1} u_{1} ⟨ e_{1}, e_{1} ⟩ + v_{1} u_{2} ⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ + v_{2} u_{1} ⟨ e_{2}, e_{1} ⟩ + v_{2} u_{2} ⟨ e_{2}, e_{2} ⟩ .$

6.6. 线性代数:

终于到这儿了, 可算能说明白啥是线性代数了, 线性代数本质上就是一个线性空间!

但你不要认为我说的是你线性代数教科书上说的那个线性空间···

这里其实还满讽刺的, 线性代数课堂上很可能一直到最后都没告诉你究竟啥是线性代数, 而唯一的那款被一带而过的线性空间还竟然并不构成线性代数···

线性代数最根本的定义就是: 被赋予了矢量乘法的线性空间.

这里的乘法指的是一个能将两个矢量映射为空间里另一个矢量的映射, 也就是说两个矢量相乘会得到空间中的另一个矢量, 而线性代数中的乘法只需要满足分配律, 即 $(u + v) \times w = u \times w + v \times w .$ 此外不需要满足结合律, 即不需要满足 $(u \times v) \times w = u \times (v \times w) .$ 额外满足结合律的线性代数被称为结合代数. 更不用说交换律了··· 在后面的日子里, 很少有什么东西会满足交换律, 以至于对易子将会被刻在我们的 DNA 里.

举两个例子让你直观感受下:

在叉乘[17]的参与下, 三维 Euclid 空间构成一个线性代数, 即大名鼎鼎的 Lie 代数 $su (2) .$
在矩阵乘法的参与下, 全体 $n \times n$ 矩阵构成一个线性代数, 而且还是一个结合代数.

全体 $n \times n$ 矩阵构成一个线性代数, 那它自然也是一个线性空间, 这就是说矩阵不仅是列矢量构成的那个线性空间上的线性变换, 矩阵同时还是另一个线性空间中的矢量, 所以将来还会碰到指着几个矩阵说它们构成一组完备基矢量的情形.

所以线性代数可被总结为定义了矢量乘法的线性空间, 将来碰到的无论是 Lie 代数、 Clifford 代数还是 Grassmann 代数, 它们本质上都是线性代数, 或者更本质一点, 都是线性空间. 而区分这些代数本质的不同就在于它们内部的矢量乘法不同, 也就是说在线性空间上定义了不同的矢量乘法就能得到不同的代数, 比如定义了 Lie 括号作为矢量乘法后就得到了 Lie 代数、定义了矢量的 Clifford 积后就得到了 Clifford 代数等等···

所以什么是线代? 就是线性的··· 代数啊.

6.7. 为啥要定义得这么抽象:

我们采取的完全代数化的定义虽然很抽象, 但也是不得已而为之, 因为越抽象就越本质, 适用的范围也就越广. 如果你能接受我前面对线性空间的定义的话, 你会很惊奇地发现, 高数中的微分方程作为一个看似与线性代数风马牛不相及的函数理论竟然完全可以用线性代数的知识来直观求解.

因为全体无穷阶可导函数竟然也能构成一个线性空间, 具体参考:

https://www.zhihu.com/question/307877050/answer/1881441533 https://www.zhihu.com/question/458652755/answer/1877957587其实如果你把这些都看完了, 那再回去看看下面这篇估计也没啥障碍了:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/356975719> 就是说会有点儿超前了吧, 其实一直到四大力学都不太用得到张量的概念.

其实我们这里已经不算抽象了··· 这里只是把问题讲得更本质了一点儿罢了, 仅仅属于是从生活中提取出了数学, 但并没有对数学概念进一步抽象, 这是因为物理人并不需要太抽象. 真要说抽象你也得张口范畴论闭嘴上同调的时候再抱怨吧?

7. 线代课上讲的什么勾八

如果你把前面写的内容都看了, 不说全看懂也该认识到如果线代课上只讲了一些表格的运算与行列式的求解的话··· 大概是对这门课以及我们的智商的一种侮辱. 不过呢, 线代课终究是要考试的, 而且, 它不会考我讲的这些真正重要的概念··· 所以为了通过考试你还是要去上课的.

好消息是本科课说实在的随便混混都能及格, 稍微记记就能 90+, 除非你是什么清华北大中科院, 那你还看我写的这些乱七八糟的东西是不是已经输在起跑线上了呢 (笑)? 那么线代课上究竟有哪些精华的部分值得我们学的时候多关注一下呢? 下面就讲这个.

7.1. 线代课上有价值的部分:

对于线代课上有价值的部分, 还请用心感受一下, 但没价值的部分你也要随便搞搞, 因为考试会考.

(1). 线性空间的概念:

你们书上可能管这个叫向量空间. 虽然我不知道你们会不会真的认真讲这块儿, 但我们这儿讲过了所以没关系. 你线代课上的线性空间指的其实就是列矩阵构成的线性空间, 我管这个叫列矩阵空间. 在这个空间里的矢量就是列矩阵, 所以列矩阵在书上也叫列向量. 在这个空间有一组自然正交基为$\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{matrix} \right],\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{matrix} \right],\cdots ,\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \end{matrix} \right].$

(2). 二阶与三阶行列式的计算:

将来你基本碰不到高于三阶的运算, 但三阶的极其常用.

(3). 矩阵的转置、加法、数乘与乘法:

矩阵的乘法不满足交换律, 将来的代数基本都这样. 方矩阵可以对应到线性变换, 那些不方的在物理上很少会遇到.

(4). 矩阵的符号运算:

就是说你不要老想着把矩阵具体的表格形式写出来再运算, 要熟悉符号运算.

(5). 矩阵运算的求和写法:

即将 $T = A B$ 写成 ${T}_{ac}=\sum\limits_{b}^{\text{all range}{A}_{ab}{B}_{bc}$ 的形式, 相信我, 熟练掌握这种表达方式能让你从此快人一步.

(6). 线性变换的概念:

线性变换就是将一个矢量映射到同一个空间中的另一个矢量的操作, 你会发现一个方阵乘在一个列矢量上, 会得到另一个列矢量. 所以方阵就是列矩阵空间上的线性变换.

(6). 方阵的本征方程:

在你们课上的这个叫特征方程, 就是一个矩阵会有特征值与特征向量让你来求. 这个在量子力学中就叫求算符的本征值与本征矢, 是相当重要的概念.

(7). 对称阵的相关性质:

这玩意儿在会对应到量子力学中的厄米算符, 先熟悉一下大有好处.

(8). 相似变换:

这玩意儿在后续的生涯中会不断地闯入你的人生, 一般表现为幺正变换. 但你这里学的是实数域的线性代数所以就对应到所谓的正交变换.

(9). 线性变换的核、秩与迹三个概念:

恐怕是不大可能给你讲多清楚, 暂不强求吧.

(10). 对称阵的谱展开:

这玩意儿在量子力学里很关键, 但你们课上有没有我就不好说了.

(11). 线性变换的矩阵表示式:

这就涉及到对线性空间的基的理解了, 将来的日子里我们会经常做基变换.

(12). 分块儿矩阵的相关性质:

这里对初学者来说可能有点儿烧脑, 但将来分块儿对角化会是一个重要概念.

7.2. 方阵的本征方程:

这个话题是如此之有趣, 以至于我要单独给拎出来讲讲.

这里确实也是令初学者感觉到莫名其妙的地方, 他们让你写出一个本征方程, 然后求解这个方程的本征值与本征矢. 当然你们课上管这个叫特征方程, 求的是特征值与特征向量, 这都是一回事.

但我要问的是: 为毛? 我干嘛碰到个方矩阵就要吃饱了撑的列个方程给自己求? 发了疯?

其实这里面大有乾坤, 因为方针的本征值与本征矢都被找出来了以后··· 这个方阵在我们面前就像是一位可怜的全裸 JC, 不甘地展露着性质, 是如此地毫无保留.

列矩阵空间的线性变换一定表现为一个方矩阵, 不方的话映射的结果会在其它空间里[18].

线性变换 $L$ 的作用在列矩阵空间表达为 $Lv = u$ 即将矢量 $v$ 映射到矢量 $u .$

从几何直观上来讲, 线性变换 $L$ 的作用就像是将 $v$ 在空间内旋转后拉伸为 $u .$ 但其实这个并不那么好算, 你得做矩阵的乘法对吧?

而本征方程长这样: $L v_{n} = c_{n} v_{n}$ 其中 $c_{n}, v_{n}$ 分别为第 $n$ 个本征值与本征矢.

本征值是数, 本征矢是矢量, 你会发现本征方程里的矢量经过线性变换后方向没变.

这就是本征矢的牛啤之处, 如果我们将被变换的对象用本征矢展开会怎样呢?

试试看将矢量 $u$ 用方阵 $L$ 的本征矢展开即 $u=\sum\limits_{n}^{\text{dimension}{u}_{n}{v}_{n}$ , 其中 $v_{n}$ 是 $L$ 的第 $n$ 个本征矢, $u_{n}$ 则是展开系数. 为啥能展开? 因为本征矢构成线性空间中的一组完备基, 但确实不是所有的方阵都能办到这一点, 不过对称阵与厄米阵一定可以. 将来在量子力学中, 我们处理的十个算符里少说有九个都是厄米的.

现在我们设 $Lu = x$ 你会发现这个矢量 $x$ 巨容易求, 矩阵乘法都省了:

$Lu = L n \sum u_{n} v_{n} = n \sum u_{n} L v_{n} = n \sum u_{n} c_{n} v_{n} = n \sum x_{n} v_{n} = x .$ 其中的 $c_{n}$ 为本征矢 $v_{n}$ 对应的本征值.

直观来看就是线性变换或者说算符或者说方矩阵只要撞到本征矢上就会变成一个数字.

7.3. 成也矩阵败也矩阵:

矩阵是一个丑陋的坏东西:

https://www.zhihu.com/question/508142555/answer/2293905353矩阵, 它也是有意义的.

在初学的时候, 我们理解不了怎么会有乘法运算不具备交换律, 矩阵站了出来, 给我们当了个具体实例, 我们心中有了底. 矩阵它具有着极其明确的运算约定, 矩阵的怪异乘法刻在了我们的 DNA 里, 我们面对矩阵是如此之安心, 因为大家都会算.
在矩阵的运算中, 我们渐渐熟悉了这种不可交换的运算风格, 我们算得很过瘾, 它让我们在接触到群论与后续各种知名代数的时候不再慌乱.
在张量的指标运算中, 我们随时搬进矩阵的概念就能隐去两个指标, 这让运算很简洁, 畅快.

但请你千万不要让痴迷于矩阵而让它反客为主, 它只是一张极其不自然的数表罢了.

7.4. 表示矩阵为何物:

但为什么物理人会如此疯魔地执着于认为所有的数学对象都是矩阵呢?

这就是我们的最后一个话题, 同构映射与表示理论.

你问我数学中最酷的概念是什么, 那我还真的不好说···

但我大脑中闪过的第一个概念就是『一一对应且结构相同』, 而更数学的说法则是同构映射.

就从最初接触数学开始我们就有所谓的应用题, 但为何我们能用公式解决生活中的问题呢? 这是因为我们在生活中的概念与数学中的概念间找到了一个一一对应的关系, 于是生活中的实际问题就能转化为数学问题后用威力巨大的数学工具求解得到数学结论, 接着只需再通过上面那个一一对应的关系将数学结论转化为生活概念就解决了实际问题.
此外一路走来在数学上一定碰到了诸多类似于所谓数形结合这样的求解思路对吧? 其实这些所谓的解题思路或技巧本质上也是通过了一个一一对应的概念来完成的, 比如数形结合的思想不就是在解析式与几何图形上建立了一个一一对应吗? 这等于说是通过一个一一对应的关系将一个数学领域的问题转换为了另一个数学领域的问题, 通常转换后就变得容易求解了起来, 于是解完后再转换回来即可.
数学中比较无穷集合的大小采取的也是一一对应的概念.
而接下来我们要讲的表示理论就也是一个一一对应的概念.

所以实际上我甚至想说数学本身就是从这样一系列一一对应且结构相同的关系中抽象出来的.

数学上则称这种关系为同构, 顾名思义就是抛开内部元素具体身份后两个对象的数学结构完全相同.

两个集合的结构相同, 那其实就只需集合内元素的个数相同.
两个线性空间的结构相同, 那其实就只需二者的维度相同即可.
两个群[19]的结构相同, 那首先得有两个群内的元素数相同, 但群和一般的集合不同, 它一定具有群乘法, 所以群的同构还要保证两个群的乘法结构相同. 即在群元一一对应的关系下能办到对应的群元与对应的群元相乘的结果与群元直接相乘得到的结果所对应的群元相同. 数学上的表达就是用一个可逆映射 $ϕ$ 来建立两个群之间的对应关系, 即对任意 $g \in G$ 有 $ϕ (g) \in H$ 则称群 $G$ 与 $H$ 间建立了一个一一对应, 而保群乘法结构就被表述为 $ϕ (g_{a}) ϕ (g_{b}) = ϕ (g_{a} g_{b}) .$
两个线性代数的结构相同, 那首先它们的维度必须相同, 而线性代数与一般的线性空间区别在于它一定具有一款明确的矢量乘法, 所以两个代数若同构还要保证两个代数内的乘法结构相同. 即在两个代数内包含的矢量一一对应的关系下能办到对应的矢量与对应的矢量相乘的结果与矢量直接相乘得到的结果所对应的矢量相同. 数学上的表达就是用一个可逆的线性[20]映射 $ϕ$ 来建立两个代数之间的对应关系, 即对任意 $a \in A$ 有 $ϕ (a) \in B$ 则称代数 $A$ 与代数 $B$ 间建立了一个一一对应, 而保代数乘法结构就被表述为 $ϕ (a) ϕ (b) = ϕ (ab)$ , 其中线性映射的线性保证的是线性结构也相同, 即 $ϕ (c_{1} a + c_{2} b) = c_{1} ϕ (a) + c_{2} ϕ (b)$ , 其中的 $c_{1}, c_{2}$ 为系数.
所以总结下来更抽象的说法是这样的: 数学对象 $A$ 与数学对象 $B$ 在某讨论的范围内同构就意味着首先它们的内部元素得有一个一一对应的关系 $ϕ : A \to B$ , 然后在我们讨论范围内的任意数学结构 $S (\cdot, \dots, \cdot)$ 都要在同构映射 $ϕ$ 下被保持.

保持结构指的是对 $\forall x, \dots, y \in A$ 有 $S[\phi (x),\cdots ,\phi (y)]=\phi [S(x,\cdots ,y)]$, 如果 $S:A\times \cdots \times A\to A,$ 这里的结构可以指代元素加法、元素乘法之类的东西; 有 ${S}_{A}[\phi (x),\cdots ,\phi (y)]={S}_{B}(x,\cdots ,y)$, 如果 $S_A:A\times \cdots \times A\to 数域,$ 其中的 $S_{A}, S_{B}$ 分别是 $A, B$ 中的相应数学结构, 比如说内积、距离函数之类的东西.

总的来说同构这种概念会被提出就是为了能将一个领域内的结论用到另一个结构相似的领域里去.

有了同构的概念, 自然就会诞生表示的概念.

其实表示只要求同态, 能达到同构的表示被称为忠实表示, 这么细的概念就留给群论吧.

前面我们的概念都是抽象的数学对象, 我们讲线性空间与线性代数的结构的过程中根本不在乎那些矢量究竟是啥, 它们可以是物理学中的力或者计算机中的表格等, 这都不重要.
抽象概念的好处在于不会引入任何不相关的干扰概念, 也少有人为选择的内容, 十分地清晰纯粹.
但光有抽象的概念却无法给计算机讲明白我们的代数结构是怎样的.
还有一个问题就是, 像群或者代数这样的抽象概念是完全封闭的, 它们与外界毫无联系, 但不同的数学对象得互动起来才有意义呀, 所以我们就需要为抽象的数学概念找到一个去抽象化的实体.
由此便诞生了表示矩阵的概念, 我们知道矩阵在矩阵乘法下就能构成一个线性代数, 而矩阵的自由度是相当之高的, 理论上来说··· 只要你维度不断地增上去, 矩阵的自由度是无穷高的.
所以我们可以用矩阵配合矩阵的乘法来构造任何一个线性代数的结构, 或者说对任何一款代数都总能找到这样一款一一对应的关系使其与一个矩阵的集合同构.
那么这个矩阵集合里的矩阵就被称为这个代数的表示矩阵, 这个矩阵集合的结构与我们感兴趣的代数结构是完全相同的, 所以我们总可以通过矩阵的运算来解决代数中的问题. 同时也可以让代数化身线性映射或者说矩阵作用在线性空间的矢量上, 比如说量子场构成的线性空间上的群变换就是群的表示矩阵作用了在量子场上.
此外就是矩阵具有极其清晰的运算律, 所以矩阵代数完全可以交给计算机处理.

但令人感到遗憾的是, 不少物理人的大脑和计算机竟有着异曲同工之妙, 他们也必须得为代数找到一组矩阵表示才能感到安心··· 笑うよね?

8. 我会如何设计线代课

就是说, 如果要最功利化地学习线性代数, 那我们作为物理人应该掌握哪些内容? 答案如下:

https://www.zhihu.com/question/450323486/answer/1790888257你会发现我的课上全是抽象概念, 比如说我会讲对角化的概念但不一定会教你如何具体去做对角化, 就是说包括一些矩阵的运算技巧在内的这些技术活儿我全都不打算讲. 因为学习, 更重要的永远是理论框架而非技术细节, 重要的是思想、哲学与方法论而非具体的工艺流程. 因为学完后, 能给你带来影响的永远是一个学科内蕴的独特视角, 而具体的计算方法只会随时间消逝, 如果将来实际用不上的话就完全没有任何价值了.

也不用担心自己是否会变成什么名词党, 技术上的这些东西, 你将来在物理课上都会学到, 因为大学课程就是这样的, 对于一个必要的数学操作, 如果老师觉得会有至少 $1 / 3$ 人没学过, 那他就会将其视为课程内容. 就退一步讲, 其实当名词党也不见得就是什么坏事, 至少人家愿意接触新东西呀, 你要都不愿意去接触新事物, 又谈何学习与进步呢?

而基本上所有的物理老师都会假定你根本就没学过线性代数, 因为这是事实. 虽然理论上的东西不太可能在有限的课时里讲得多透彻, 但物理课上一定会给你把需要的线性代数中的技术细节都补上. 这也是为啥我们会说物理系的线性代数都是跟量子力学老师学的···

总之如果你是一个很功利的人, 那自学时完全就可以把精力全都放在抽象概念上.

参考

^不过有一说一, 等你真要用上这些内容的时候估计也已经忘得差不多了··· 所以错过了也没多大关系.
^文章封面上那俩有头有脸的 π 就是他们的标志角色.
^也没哪怕是粗略地看完过任何一本物理书.
^线代不会就是不会 ().
^你碰完这些玩意儿搞不好还会被打成数学间谍.
^等学到微分几何还会碰到拓扑空间, 基本上就这俩空间了.
^至少有限维, 但其实物理学家基本上都足够有种敢直接推广到无穷维.
^就是矢量加法与数乘的结构.
^这里说的三维矢量就是空间里的那些立体箭头的记号或者说名字.
^不过在学到量子力学之前你大概都很难意识到这一点.
^哈哈, 其实这很可能是你第一次也是最后一次听说 Banach 空间, 但 Hilbert 空间确实很常见.
^a b数学上的表述是空间内任意的 Cauchy 序列总是收敛到一个位于空间内部的良定义极限点.
^如果你先定义了一个范数或者说长度的函数, 那矢量间的距离就可以定义为矢量差值的范数.
^就是一个复数与其复共轭的乘积, 实线性空间可以理解为平方.
^注意复数的模方一定是一个实数.
^注意这里不允许等于 0, 自己想想吧, 不解释了.
^或者说外积.
^这很显然, 因为等式两边的列矢量维度都变了.
^不知道群是啥就先别管这个.
^群同构映射不强调线性是因为群根本就没有线性结构.

学物理真能去二次元吗 如果你事线代, 也好 ​

目録 ​

5. 线性代数的定位 ​

7. 线代课上讲的什么勾八 ​

8. 我会如何设计线代课 ​

参考 ​

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目録

5. 线性代数的定位

7. 线代课上讲的什么勾八

8. 我会如何设计线代课

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