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学物理真能去二次元吗 欧拉公式 (Euler's formula), 物理人最后的 Euclid 几何直观
- 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/460910655
- 发布日期: 2022-01-23
- 分类: 学习路线 / 入门地图
Euler 公式, 介绍这玩意儿让我觉得有些无语, 因为 {\text{e}^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta 这个等式实在是太过于自然了··· 简直就像是你翻开任何一本词典查询「常识」或「直觉」之类的词语时, 上面就会配着一张复平面单位圆的图然后给出这个等式来.
从另一个角度来看, Euler 公式几乎全面侵蚀了社交网络的数理科普版面, 原因就俩:
- (1). 这很可能是老百姓能触及得到的数学最远端了, 毕竟这都要涉及微积分了[1].
- (2). 它取一个特殊值后得到的 {\text{e}^{\text{i}\pi }+1=0 很适合搞迷信.
Well, 一定要让我用个词来形容这个公式的话, 我可能会用「网红」一词, 要知道这大概是我能想得到的最具贬义的词汇了. 但这是 Euler 公式本身的问题吗? 其实不是, 这更像是八年前除了婆罗门和首陀罗外再没人敢吹巨人的那种感觉. 至少当时看来巨人确实是很牛批的漫画, 但它火出圈了, 所以你再帮它提一遍, 有点捞吧?
那我为啥要专门提一下这玩意儿呢, 主要还是想借这个机会谈谈抽象与直观的问题, 因为这个公式也确实处在一个微妙的交界点上.
目録
9. 欧拉公式 (Euler's formula)
9.1. Euler 公式的证明 9.2. Euler 公式的理解
10. 怎么理解这些平庸显然易得简单平凡直观? 我咋学完就忘?
10.1. 怎么才算学会了? 理解一个知识点指的又是什么? 10.2. 学了就忘怎么办? 怎么才算学到位了? 10.3. 然后你就会抛出另一个问题:「那我不急吧白学了? 」 10.4. 最后就会引申出这样一个问题:「那前面这些反正都是要忘光的, 跳过行不行? 」 10.5. Euclid 几何直观差不多得了嗷
東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 怎么这个也算高数啊?
東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 如果你事线代, 也好
東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 欧拉公式 (Euler's formula), 物理人最后的 Euclid 几何直观
東雲正樹: 学物理真能去二次元吗? / 你问 gamma 要学普物? 那其实跳掉也没啥
9. 欧拉公式 (Euler's formula)
9.1. Euler 公式的证明:
这个实际上特别好搞, 你就把等式 {\text{e}^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta 两边分别做幂级数展开, 就会发现等式自然成立. 不知道数学系那边是不是还会涉及到什么绝对收敛之类的怪话, 反正咱不管这些, 形式主义物理人看着成立就是成立.
9.2. Euler 公式的理解:
其实这就触及到一个很基础的直觉问题了, 比如看到 {\text{e}^{\text{i}\theta }, 知道公式的懂哥都不用过脑子就会说它是个单位圆[2]. 那不知道公式的人呢? 估计就是会觉得很无语吧, 就你指数上放个虚单位是想干嘛? 所以究竟应该如何去理解说 {\text{e}^{\text{i}\theta } 是个单位圆呢?
要理解 {\text{e}^{\text{i}\theta } 或者说要自然地得到这个公式, 那首先得在复平面上整一单位圆:
只要在单位圆上随便哆个点, 很自然地就会有一条绿色的矢量带着俩三角函数蹦出来, 不难理解这条矢量与复平面上的点也就是复数是一一对应的, 然后复数的加减法其实也就是这种矢量的加减法, 所以可以说这条绿色矢量就是复数或者说那个点本身.
好, 那现在我们已经得到了一个等式, 即 , 其中 的意思是说这个点或者说复数 的位置取决于角度
那么问题就来了, 如何得到 z\left( \theta \right)={\text{e}^{\text{i}\theta } 这个具体的函数形式呢?
可以直接定义 {\text{e}^{\text{i}\theta }\equiv z\left( \theta \right)=\cos \theta +\text{i}\sin \theta 吗? 其实不太行. 因为指数映射 {\text{e}^{x}\equiv \sum\limits_{n}{\frac{x}^{n}{n!} 这个符号已经被定义过了, 所以现在就是要证明这俩定义相容.
看到指数映射, 一般就是嗯导就是了, 它的特性一般就藏在导数里.
求导发现 \frac{\text{d}{\text{d}\theta }z=\frac{\text{d}{\text{d}\theta }{\text{e}^{\text{i}\theta }=\text{i}{\text{e}^{\text{i}\theta }=\text{i}z, 但这是啥意思呢?
一个复数乘个虚单位是啥?
算倒是很容易算, 就是 嘛. 然后你会发现 噢, 原来得到的是一个与原复数对应的箭头垂直的箭头对应的复数. 你实际上画出来会发现就是原箭头逆时针转了
现在限定这个点 只能在单位圆上做圆周运动, 那么它的速度就必须永远与圆相切才行, 与圆相切就意味着与位矢垂直, 因为位矢是半径嘛. 速度很容易求, 就是位矢关于时间求导, 而我们要求速度要与位矢垂直的话就等于说这个复数必须满足 \frac{\text{d}{\text{d}t}z=\alpha \text{i}z, 其中 是一个比例系数.
前面设定了圆是单位圆, 所以 和 就都是单位矢, 于是比例系数 就是速度的大小了. 而速度大小我们又是会算的, 就是半径乘角速度嘛, 即 那现在代回去就得到了 \frac{\text{d}{\text{d}t}z=\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}\text{i}z. 而左边可以改写为 \frac{\text{d}{\text{d}t}z=\frac{\text{d}z}{\text{d}\theta }\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}, 这么一来限制条件就便乘了 这个方程我用屁股都能解: \frac{\text{d}z}{\text{d}\theta }=\text{i}z\Rightarrow z=c{\text{e}^{\text{i}\theta }, 其中 是个积分常数. 利用条件 1=z\left( 0 \right)=c{\text{e}^{\text{i}0} 可以定出积分常数
所以从圆周推出来的具体函数形式还真就是 z\left( \theta \right)={\text{e}^{\text{i}\theta }.
于是就有 z\left( \theta \right)={\text{e}^{\text{i}\theta }=\cos \theta +\text{i}\sin \theta.
Euler 公式由此得证, 并没有很神秘对吧?
一定要说哪儿神秘的话可能就是这个证明过程竟然事我现场编出来的, 我确实没想到过还可以这么证.
10. 怎么理解这些平庸显然易得简单平凡直观? 我咋学完就忘?
10.1. 怎么才算学会了? 理解一个知识点指的又是什么?
初学者老喜欢问这类问题, 其实可能就是心里没底吧. 你们是不是总觉得学习个啥就必须得刷题然后大彻大悟才能算学会? 其实不是这样的, 所谓的学会了就是能运用逻辑跟着教科书从给出的条件有理有据地一步步推演出所需的结论, 然后可以运用这些结论学习后续的知识, 要求就这么低.
那什么叫理解了一个知识点呢?
就你能看懂任何一款证明过程都算是理解了.
那什么叫透彻了一个知识点呢?
就能用常识证明出来的东西就是透彻了的.
那什么叫常识了一个知识点呢?
其 实 就 只 是 记 住 了 而 已 啊.
就是记住了好吧, 就是记住了. 你别看我前面证明 Euler 公式证得那么轻松, 其实不会证明或者根本没想过去证明这个公式的大有人在. 可能很多人能想到第一种幂级数展开的证明方法, 但这招对理解有啥帮助呢? 可能有不少人还会觉得这是什么数学上的一个令人细思极恐的巧合吧? 但无论怎样他们用起来就必须得得心应手呀, 看到 {\text{e}^{\text{i}\theta } 必须得知道这是个复单位圆且不能带有一丝迟疑嗷, 这东西要还不算常识的话那在理工科基本就不用混了.
所以我平时说的常识是啥? 就是那些被你记住了的东西. 越往后学你越会发现就是如此, 很多基础结论你根本就不记得怎么证明, 但用起来属于是脸不变色心不跳. 大多数情况都是你大概记得个证明的思路, 然后往这个思路上摸一摸基本上就能摸出个像模像样的证明过程来, 但这不就说明你根本就不记得证明过程吗? 就像是你知道去查哪本书但看之前根本就不知道书上写的啥一样. 这还是我, 相信在座的各位及我身边的不少人应该是连证明思路都摸不出来的. 但不照样拿来就用? 顺手得一批.
10.2. 学了就忘怎么办? 怎么才算学到位了?
这种连证明思路都摸不出来还有脸拿着就用的人属于是比我胆子还大了, 但其实就是那么回事, 你学习的过程还真就是一个磨练胆量的过程.
大约是到普通物理学完, 四大力学开端的时候, 你可能就开始会有些小烦恼了. 尤其是你准备去参加什么普通物理竞赛随便拿几个奖[3]的话··· 你会发现, 我超, 怎么我电磁学啥的基本都忘光了? 然后心里就有点儿不踏实了, 特别是刚从一个知识点能讲你吗三年的这种脑瘫中学环境里走出来的你, 真的会有点儿慌. 你开始觉得自己就像是个破了的木桶, 不断地装水但又不断地在漏水, 那还学你吗呢?
我当年就问过本科的一个教授, 我说我边学边忘咋整啊? 他给出了一个被鉴定为雪的回答:「多学几次就记住了. 」 我听完直接无语··· 那我走?
现在我来告诉你答案, 答案就是, 你是个人类, 你学完就是会忘. 你会忘, 我也会忘, 我老板也会忘, 还忘得比我狠. 所有人都会忘, 但这根本就没啥好担心的. 因为只要你还在保持往后学习或者保持做科研, 那么有用的, 你会用上, 就不会忘, 你会忘的就都是些没用的. 真碰到一直没用然后突然有用了的, 再捡起来就是了, 但这属于极少数的情况, 其实也很容易捡.
那怎么样算是学到位了呢?
你就尽管忘, 只要还能正常往后学就算是都学到位了, 等卡住了也就再回来补点儿就完了.
10.3. 然后你就会抛出另一个问题:「那我不急吧白学了? 」
不白学, 因为首先你总会记住一些方法论层面上的东西. 这个东西是潜移默化的, 你想忘都有点难, 但你想列出来也有点难, 就是平时碰到了会突然有点儿灵感的那种, 属于是内功知道吧? 然后就是, 即使你真全忘了, 也没白学. 因为你见识过了, 胆子就肥了, 抓重点的能力也跟着提高了, 就是有阅历了. 下次就算重新学或者再碰到类似的东西, 哪怕你一点儿想不起来也完全不会去怕, 但就是这种盲目的自信能让你的学习能力远高于初学者. 要不然为啥说读完博出来即便专业不对口也是高素质人才呢? 你处理问题的能力强了呀.
其实艺高本质上就是人胆大.
你要还不放心的话, 那我推荐你学完重要内容后就自己做 notes, 当讲义写, 想想如果让你来上课, 你会怎么讲才能让大家都理解且信服这个理论. 这个过程通常会让你对相应科目的理解层次有史诗级的提升, 所以对于四大力学及以上级别的课程, 我强烈建议你有空就全都这么做一遍.
这样将来你回来捡这些内容的时候也能事半功倍嘛[[4]](#ref_4).
10.4. 最后就会引申出这样一个问题:「那前面这些反正都是要忘光的, 跳过行不行? 」
这个答案可能会有些出乎意料, 答案是可以. 就是可以不学, 就是可以跳过不需要的内容直接走捷径. 普通物理之类的小游戏就是用不上, 就是可以全都跳过. 四大力学本身就是完整的物理理论, 根本不需要任何其它的物理前置内容. 甚至四大力学本身, 你都可以只挑自己用得到的部分学.
比较极端的例子就是那帮转专业到理论物理的家伙, 一般都是工科的吧, 更离谱的还有什么旅游专业的. 照样能上手理论粒子物理、宇宙学甚至弦论. 他们可能根本就没学过统计物理, 也不太懂电动力学, 属于是研究生入学就嗯造量子力学, 然后边补分析力学框架边冲群论, 可能会比较累, 但照样能学量子场论、微分几何甚至超对称顶点代数.
他们和你差的就是前面说的那点儿内功, 嗯造个一年半载也能追上来, 科研也是照做不误, 但眼界可能其实就不如科班出身的了吧. 你说他们是天才吗? 我感觉不是, 因为我回过头来看发现这确实没啥不可行的, 当然我现在属于是胆大包天了. 我跟他们也没少打交道, 他们确实都是比较努力的人, 但智力水平也就是和咱差不多的普通人.
这里有一个比较搞的段子, 很可能是真的, 但我忘了在哪儿看的了:
- 相传上世纪八九十年代量子霍尔效应比较火的时候, A. Zee 他们在研究 Chern-Simons term.
- 接着 Schrieffer 觉得这玩意儿蛮酷的, 就前来请教 Zee 问啥是 Chern-Simons term.
- 然后 Zee 给他写了个 Lagrangian.
- 结果 Schrieffer 当即发问「Lagrangian 是啥? 」
- Zee 大无语, 说刻画系统的不就是 Lagrangian?
- Schrieffer 倒是耐心地解释道 Hamiltonian 才是刻画系统的呀.
- 接着他又追问就这项的 Hamiltonian 怎么写.
- Zee:「0. 」
- 此时 Schrieffer 就有点儿不确定 Zee 这个人到底能不能处了.
- 就是说即便是物理大牛, 也有这样情况, 他分析力学都跳掉了一样当大牛呀.
但能不跳就不跳吧, 别几把太功利了, 人生又不是什么单机游戏, 你搁这刷完美速通有啥意义呢?
10.5. Euclid 几何直观差不多得了嗷:
数学系我不太清楚, 但物理系和一般的工科仔最大最恶的问题就是害怕抽象内容, 他们 somehow 觉得不直观. 那我要问为啥觉得不直观呢, 他们一般就说是太抽象了.
我: ?
抽象和直观有什么矛盾吗? 抽象的对立面是具体或特殊, 又不是直观.
直观到底是什么? 能把新的知识用常识表征出来就是直观, 而常识又是啥呢? 常识就是嗯记住的那些结论. 比如说对我们来说 Euler 公式本身就是常识, 但对大一仔来说, Euler 公式必须得像前面那样转化到复平面上用 Euclid 几何展现出来了才叫直观. 那我和大一仔的区别在哪? 无非就是我把这个结论转录到 DNA 上了嘛.
所以这则寓言告诉了我们什么呢? 这说明直观取决于常识, 而常识是可以与时俱进的.
实际上学习数学、物理的过程, 就是一个更新常识的过程. 到后期那些源于生活中的古老常识根本就玩不转了, 我们需要的是源于数学、物理的新常识. 比如那些光滑函数可以做幂级数展开就是常识、比如说代数一般不对易就是常识、比如宏观理论中很少有非连续的过程就是常识、比如周期函数做 Fourier 变换会得到离散谱就是常识、比如 Lagrangian 可以用来刻画系统就是常识[5]、比如实对称阵的本征矢相互正交就是常识, 比如不对易的算符之间找不到共同本征态就是常识[6], 比如厄米算符都能对应到一个幺正算符就是常识[6]···
用这一大堆常识推出来的理论, 我们就会觉得是直观的.
所以为了能更直观地学习, 你应该主动去获取更新更好的常识, 而不是总想着个什么「可视化」之类的搞笑词汇. 不要什么东西都指望人家画给你看了, 你是什么三岁小卑鄙吗?
学高数的时候, 你解析几何都没整清楚, 那追求一些可视化的直观是无可厚非的; 初学线代, 你感到茫然失措, 那把矢量画成箭头追求下几何直观也是无可厚非的. 但你的 Euclid 几何直观之路也就到此为止了, Euler 公式将一个圆圈与过去的指数函数连接起来了, 这很吓人, 所以我们必须从圆圈的角度出发体会一下这个公式的自然性与自洽性.
Euclid 几何直观属于是真的走到头了. 就线性代数里, 你三维就很勾八勉强了, 画出来也是乱成一团. 即便是从这个角度用什么网红动画给你整明白了你也记不住啥, 这些网红动画直观吗? 蛮直观的, 但看完了你会算吗? 你也就只是会看了. 更别说后面四维、一万维、无穷维都再常见不过了, 这肯定就要从代数的角度来处理才谈得上清晰简洁嘛.
再往后··· 好像就再也没出现过这种必须要从 Euclid 几何的角度证明一下自洽性的东西了. 后面的理论通常都类似于公理系统, 会先给出公设或者说假定, 然后按照这些规则我们就可以推导出一些基础结论. 我们自然会在后续的学习、工作中记住这些公理和最基础的结论, 把它们变成常识.
为啥我这儿总强调是 Euclid 几何直观呢? 因为几何直观我们一直都是需要的, 只不过将来需要的是微分几何的直观, 但这个玩意儿说实话已经很难跟代数划出严格界限了. 这个时候的几何直观可画不出图来, 但反正就还是很几何直观, 哎这个讲不清楚, 等你学了微分几何你就懂了.
https://zhuanlan.zhihu.com/p/294221308所以你看我群论开局怎么写的? 我可不跟你扯那么多有的没的, 定义一摆, 能算就完了. 等这些代数运算成为你的常识之后你再回过头来看其它群论资料开头扯的那些有的没的, 你会觉得很显然, 也很混乱, 就跟看科普片一样搞不懂对具体群论框架的学习能有啥帮助.
因为我们学的就是干干净净的、抽象的内容, 只有当这些内容成为直觉之后, 我们才能洞悉那些乱七八糟的东西的内部所蕴含的结构, 这是很爽的一件事.
抽象 ≠ 难, 这个我们开局就讲了. 具体与特殊也从来就不是简单, 事实上, 一般来说具体的问题才是最复杂混乱的. 这就是为啥求解具体问题时能导致物理中直接分娩出一坨坨工科来, 比如力学、材料、电信电科光电等等. 就是因为具体问题的求解复杂得一批, 而纸上谈兵地搞搞最 general 最抽象的理论反而会是简单的. 所以你还觉得抽象和直观站在对立面吗? 它们恰恰是最好的伙伴.
最后说一下我并不反对开发新的可视化工具, 比如 Feynman 图或者张量图之类的玩意儿. 这些东西可以很好地帮助我们理清楚复杂的式子, 这是因为它们是针对理论中的拓扑等内蕴特性开发出来的抽象工具, 所以整得好的话可以直击本质, 这跟发明出了好的数学符号[7]是类似的.
但并不是所有的可视化都是好的. 市面上有不少特别强行的可视化, 倒不是说它错, 而是说如果你的可视化图像错综复杂甚至还敢是三维图的话··· 那有一说一还是 no thank you 了. 这根本就不具备实操价值好吧, 纯娱乐了属于是. 反正就是, 如果你还搁那指望人家画出什么 Euclid 几何图像的话, 我可要发怒咯!