学物理真能去二次元吗 你问 gamma 要学普物 那确实跳掉也没啥

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/461553375
• 发布日期: 2022-04-04
• 分类: 学习路线 / 入门地图

终于要出新手村了, 老实说我并不那么想写普通物理[1]. 因为普通物理跟我们主线的摩登物理就根本扯不上多少关系, 就像高数跟数学没啥关系那样. 正如只有民科才会想去研究高数, 普物也从来就不是物理系的一个研究方向. 但总还是有人担心缺失了普物的基础可能会导致学不好后续课程, 虽然并不会, 但我还是专门花一整期列一下我觉得稍微沾点儿边的东西吧. 不用担心我会不会列得不全, 因为普通物理就算全跳过也完全没有任何问题.

不过学一遍普物也确实是物理系科班出身的标准经历, 所以从本系列的完整性来看写一下也无妨. 那接下来基本上也就都是我的一些关于普物的小并感了.

其实也好, 因为我突然想起这个系列好像是主打休闲来着··· 哈哈结果上期一不小心把大四级别的代数观点都整上了. 写魔怔了属于是, 但线代真的还是想尽可能地讲清楚点儿. 放心吧, 这一篇开始咱再次回到大一水平[2], 然后我尽量多点感想少点公式吧, 别又整得跟上期一样了.

不过为了能让高年级的同学们也能有所收获我也不会全都讲得太过于浅显.

总的说本系列的目的不是教你具体该怎么做, 而是希望能告诉你为何物理学家会想到要这么做.

目録

11. 普信物理人锐评普物

11.1. 如何看待普通物理? 11.2. 为啥会叫普通物理? 11.3. 其实上普物课反而更考验教授的水平

12. 普通物理小并感合集

12.1. 力学是本科的第一道坎儿 12.2. 力学学起来也太轻松了叭 12.3. 运动学与动力学构成了物理学 12.4. 从守恒律到动力学 12.5. 矢量力学的知识体系 12.6. 接着就是热力学了 12.7. 准静态过程是热力学中最重要的概念 12.8. 理想气体与思想实验 12.9. 小量与全微分 12.10. 可逆过程 12.11. Clausius 不等式与熵增原理 12.12. 熵明明是可逆过程中定义的, 为何在不可逆过程中仍然说它是态函数? 12.12*. 为何都是从 $A$ 态到 $B$ 态, 其熵增却取决于过程是否可逆? 12.14. 光学 12.15. 电磁学

12*[3]. 普通物理中埋下的伏笔

12*.1. 角动量属实出人意料 12*.2. Galileo 变换的重要性 12*.3. 不要超出模型地去做无意义的思考 12*.4. 什么是物理理论? 什么又是数学模型? 12*.5. 普遍连续的宏观世界 12*.6. 往后学但别超前学

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11. 普信物理人锐评普物

11.1. 如何看待普通物理?

普通物理其实就是『力学[4]』,『热力学』,『电磁学』,『几何光学与波动光学』四门课的统称. 而这四门课基本上就覆盖了老百姓们能想象出来的所有物理内容了. 就像你家亲戚总觉得数学就是算数一样, 他们对物理的理解也不太可能超出十八世纪的理论.

对没学过四大力学的人而言, 一提物理这个词心中就会浮现出两片互不兼容的景象: 一边是严谨而朴素的刚体碰撞与电磁交变, 另一边却是科幻酷炫的时空弯曲与量子隧穿. 而比较酷炫的那边对他们来说是只能用玄妙或者神秘之类的词来形容的. 就像原始人只能用水风土火来构建世界一般, 他们完全无从想象这些量子、相对论之类的物理名词背后的理论构架. 然而, 比较酷炫的那边才是真正的物理学, 这种符合朴素直觉的普通物理反而像科学史一样是学不学都无所谓的东西.

你可以这么想, 虽然这四门课名在外行眼里都蛮酷炫的, 但力学无非就是搬砖或者做工件, 热力学无非就是烧水与热机, 电磁学就是你家楼下电工玩的那一套, 而光学就是眼镜店老板折腾的玩意儿. 这显然全都是工程上的活儿, 跟理论物理是完全沾不上边儿的. 所以这么看来, 由普通物理阉割出来的中学物理就只能是一些科学史的科普罢了. 所以为啥说你仅凭中学课程无法断言自己对物理的兴趣呢? 就如果你真的很喜欢中学那套所谓的物理的话, 那你其实应该更适合学工科才对.

虽然普通物理并不怎么物理吧, 但还是很值得一学的. 首先它的内容本身颇具趣味性, 因为它关注的正是我们眼前的这一切[5], 而它的另一个重要职能就是帮助你快速掌握微积分与简单的物理模型思想. 但反过来说如果你本身就很懂微积分而又完全不在乎自己能亲眼看见的这些个现象, 那确实就没什么必要学这些了. 普通物理从来就不是什么课的前置课程, 后面的四大力学本身都是完整的理论, 都是可以直接上手的.

简单来说, 普物几乎描述了这个宏观低速的日常生活中的一切. 而当我们说理论物理与现实世界有联系的时候, 这个联系可能就真的仅限于『有』这个程度上. 就是说厚厚一本场论[6]书, 从头到尾这个理论那个框架, 涉及上百个物理量, 结果唯一跟现实世界能联系上的也就是··· 对撞机给出的散射截面罢了, 能测的物理量也就这了.

普通物理还有一个额外作用就是能用来参加省级物理竞赛. 所谓物理竞赛一般考的就是普通物理, 就像所谓的数学竞赛考的基本上就是高数线代那样. 因为如果真考了物理系或者数学系的专业课··· 那不就, 没几个人能参加了吗? 总之, 我是反复地在提醒你, 这些个竞赛拿的那几个破奖是会在将来的各种评选竞争中起到不少效果的. 也别太拘泥于一等奖啥的, 就普通物理这种东西, 学好学坏其实都一样. 二等奖你多拿几个一样加分, 看开点.

11.2. 为啥会叫普通物理?

之所以会这样统称是因为这四门课偶尔会被偷工减料后合并成『普通物理上下』两门课, 而能不能学到无修版就要取决于当时的教学方案了. 回想起来我小时候[7]也是很反对这样删减课程的. 不过现在回头看去, 我发现无论你当年学了多少普通物理, 其实最后都是一忘了之. 你可能会提到物理直觉之类的提升, 但实际上提升不了多少, 也不是学得越多就提升得越多, 因为普通物理实际上是很感性、很直观又很朴素的一些理论构成的科目.

物理系会分力热电光四门或者普通物理上下两门, 但实际上这是全体理工科都要学的东西. 其它专业学的基本就是在『普通物理上下』的基础上进一步删减后又加入了一些古老朴素的量子论[8]而得到的『大学物理上下』. 但大家似乎都不是很乐意学这些玩意儿, 对数学人来说本来选数学就是为了避开这些感性暧昧的东西, 对工科人而言这些理想理论似乎又太脱离生产生活. But anyway, 你学反正就是要学的, 因为这些内容是理工科的基本常识[9]:

https://www.zhihu.com/question/284000839/answer/134045395611.3. 其实上普物课反而更考验教授的水平:

你会发现教普通物理的基本上都是一些老教授. 虽然老教授们的科研水平在知乎上常常为人诟病, 但不得不承认单论教书水平的话, 年轻教授普遍还是不如老教授的. 因为教书本身就是一门良心活儿, 你教好教坏都一样能达成指标, 而年轻老师既要申请项目又要出文章还得评职称所以无暇琢磨上课的问题也是无可厚非的.

但为何要让教学水平更高的人来上更浅显的课程呢? 实际上正是这种理论水平低而又与实验、生活高度纠缠的课程才会比较难搞. 像四大力学那样建立在优美的数学构架上的课程反而是容易上的, 因为那边的一切都是高度形式化的, 讲授起来可以说是干干净净清清爽爽. 然后在这个基础上还你吗不用考虑数学上的严谨. 另外就是大家这时候普遍连微积分都搞不溜, 这样老师就常会很难理解同学们究竟是哪里又为什么会不理解.

12. 普通物理小并感合集

12.1. 力学是本科的第一道坎儿:

就是矢量力学, 具体而言即 Newton 三定律下建立的那套力学. 叫它矢量力学是因为这套力学中的核心概念如位矢、力或动量等都是一些三维矢量, 运用这套力学时要不断地去做一些矢量运算, 其实这也是新生目前唯一能想到的力学. 而真正具有理论价值的力学其实是不需要力这个概念的, 等学到所谓的分析力学你就能理解这一点了.

力学课好像是开局就送的, 于是你就碰到了本科生涯中的第一个矛盾, 即数学工具不够用了:

https://www.zhihu.com/question/348382440这··· 这其实是有意而为之··· 的··· 吗? 不管是不是吧, 反正身为本科生的你就是必须要学会如何去面对这类小矛盾的. 因为在后续课程中, 学着学着发现数学不够用了的情况属于常态. 好在物理课都会教一些简易版的数学, 所以力学课上也会教一些简易的微积分才对, 那就从这里开始练练手吧.

在力学上会用到一些所谓的微元法, 看着很鬼, 也很不系统化, 但推导出来的结论却又都是对的. 那么微元法操作的合理性就应该由你自己来从极限的角度去试着论证一下了. 提醒一下就是, 当你碰到这种不确定取微元的哪一点来画示意图的时候, 往往都是随便取就可以了, 因为不同的选取方法往往只差一个高阶无穷小量, 其差异在取极限后严格为零. 其实也没那么难, 具体就是一些无穷小量的取舍罢了, 这些问题我在高数那篇里应该都讲得很明白了.

为何普通物理中有不少结论只用类比得到而非严格证明? 这是因为这些东西现在严格证明就是纯粹浪费时间, 等以后大家数学水平上去了再回过头来就会发现都很显然, 根本没必要学.

这门课直接打破了高中仔对物理的印象. 高中在数学工具上的贫乏导致大家根本无法系统地理解物理模型的概念, 就只能是背背各种匀加速运动的公式与类似能量守恒定律之类的小结论来直观地感受一下定量分析的世界. 而在这门课中, 开局就给出了一个叫位置矢量的东西, 从此我们就脱离了背公式的苦海.

下面是唐突小剧场环节, 可略过: 这里我迷之想起刚上初一的时候, 科学才刚刚分裂成理化生. 当时的物理老师是一个很喜欢尬夸我的老阿姨[[10]](#ref_10), 就我什么都没做[[11]](#ref_11)都要被她抓着夸一下, 然后全班都觉得很无语[[12]](#ref_12), 但好像也是因此我才比较喜欢物理的. 重点是当时我放学回家路上总是回去一个路边摊吃牛肉丸[[13]](#ref_13), 去了几次那个卖牛肉丸的阿姨就开始跟我唠嗑了, 她问我最喜欢什么科目, 我寻思是物理就这么说了, 结果她感叹道『那可得背好多公式噢. 』这段对话给我印象深刻的原因就在于, 当时我都没搞清楚物理和化学有啥区别, 唯一接触到的所谓公式就是计算浮力的肉业 GV 牌[[14]](#ref_14), 所以可以说当时她比我还懂物理, 而物理给她的感觉就是**要背一大堆公式**··· はい, お終い.

12.2. 力学学起来也太轻松了叭:

我初学那阵儿就特别喜欢力学, 因为力学就是微积分+常识, 所以学起来十分地轻松愉快. 实际上学的内容也确实很简单, 印象中就是研究一下质点、机械波与流体之类的东西. 顶多研究到一根绳子或棍子, 像比较一般的刚体的运动似乎都要留到学理论力学那会儿才搬出来.

我记得本科全体学习委员开会的时候我就私下感叹过力学也太简单了, 结果被路过的院长给听到了, 他立马走进来给我拉到一边『你个小伙子, 力学简单是吧? 我看你是真不怕死噢, 下次力学竞赛就你上, 让你简单. 』结果后来好像也没举办什么力学竞赛···

我说的微积分+常识是怎么回事呢? 就直接看看力学都讲了啥吧:

先看运动学: 常识之引入位矢 $\vec{r}$ 标记质点的位置. 常识之位置关于时间的变化率就是速度, 即 \vec{v}=\frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{r}. 常识之加速度就是速度关于时间的变化率, 即 \vec{a}=\frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{v}=\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}\vec{r}.再看动力学: 常识之 Newton 第二定律 \vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}\vec{r}. 最后无非就是记住: Newton 一、三定律以及在一定条件下有动量守恒、角动量守恒与能量守恒.

没了, 这基本上就是整个儿力学的全部内容··· 还记得高中的那些辅导资料吗? 一堆乱七八糟的公式能记整整几页纸. 而造成这一切的就是关于微积分的无知. 就这么点儿东西阉割完放高中竟然还能学近三年, 这不都是些看一眼就学完了的东西吗?

来看看你高中嗯背的那些运动学的公式, 为啥在大学里突然就失去意义了呢? Here:

https://www.zhihu.com/question/511882260/answer/2314724161> 看到了吗? 这些公式就是一些简单的积分运算得到的结果罢了···

一秒钟就能算出来的东西 gamma 要花一星期去记呢? 所以我说力学的学习过程让人感到轻松愉快嘛.

做积分的时候应该用定积分还是不定积分呢? 其实都一样, 是完全等价的.

但我个人还是更推崇不定积分吧, 因为通过边界条件[[15]](#ref_15)确定积分常数的过程更简洁些. 而且用不定积分在换元的过程中还不用在乎上下限的变换, 因为根本就没有上下限. 而使用定积分的话, 上下限还不能跟积分变量用同一个字母, 看起来就比较丑陋一些.

12.3. 运动学与动力学构成了物理学:

运动学里面其实只有几何, 没有物理, 而所谓的物理定律其实都是动力学的内容. 你们是不是没听过这俩词? 那咱举一些最简单的例子来说明下吧:

• 运动学: 已知在高速运行的列车内走动的小明不是那种会找死的人. 那么虽然我们无法预测小明会怎样运动, 但至少运动学能告诉我们小明的坐标不会超出列车的所包围的区域且车厢的速度总与地面保持水平. 就是说运动学无法告诉你物体接下来会怎样, 但能明确地告诉你物体不会怎样, 即需且只需考虑几何上的限制.
• 动力学: 我把手机扔出窗口, 动力学方程将指导着我的手机老老实实地摔在地上或者去砸某个路人. 手机绝不可能掉到云端或砸到飞机. 而负责支撑这些结论的物理定律就属于动力学的内容.

所以什么是物理学? 物理学就是用来预言所研究的系统的演化过程的.

我们会先用运动学通过约束条件去确定系统所能摆出的所有姿势, 再将每个姿势都称为系统的一个状态, 这些态的集合就被称为相空间. 而从一个状态变到下一个状态的过程就叫做系统的演化过程, 显然演化过程是相空间上的一条曲线. 就是说系统每一时刻的状态都被动力学方程的解给确定了的话, 那么演化过程中的每个状态都可以用一个时刻去标记, 然后状态又是相空间中的点, 那么这些点带着时间参数在相空间中自然就构成了一条参数曲线.

举个例子就是: 我抛出一枚质点, 运动学指出质点的坐标不会出现在地面以下, 而此外的任何坐标都是可能的. 那质点会怎样运动呢? 动力学能告诉我们质点坐标的演化过程构成一条抛物线, 我们甚至还能算出质点处于抛物线上任意一点时的速度. 而矢量力学中的动力学方程就是所谓的 Newton 第二定律 $\vec{F}=m\vec{a}.$

往后的物理学也是如此, 量子力学中那条大名鼎鼎的 Schrödinger 方程就是量子力学中的动力学方程. 所以为啥量子力学中明明没有力的概念还要叫力学呢? 其实这里的力学指的就是动力学, 即主宰系统演化的机制. 这也是物理系的专业课被称为四大力学的原因.

12.4. 从守恒律到动力学:

接下来谈论的内容将涉及到普通物理带给我的第一个震撼点. 就是说, 动量守恒是怎么回事呢? 中学的想法似乎就是在一个无外力的过程中, 系统内部的力与反作用力大小相等方向相反, 然后作用时间又相同, 所以系统内受到的冲量之和为零, 这样一来二者构成的系统就动量守恒了对吧?

呃··· 那我问你力是什么东西? 其实, 力的定义是动量关于时间的改变率, 即 \vec{F}\equiv \frac{\text{d}\vec{p}{\text{d}t}.

从这个角度来看动量守恒似乎很显然, 合外力为零即 \sum\limits_{i}{\frac{\text{d}{\vec{p}_{i}{\text{d}t}=\sum\limits_{i}{\vec{F}_{i}=0, 所以此时的系统总动量 \sum\limits_{i}{\vec{p}_{i} 是个关于时间的常函数, 这就是动量守恒.

用动量关于时间的改变率来定义力, 本质上是把动量放在了一个比力更基本的位置上. 这让我的大脑颤抖不已, 因为这样看来某第二定律也只是一条平凡推论: \vec{F}\equiv \frac{\text{d}\vec{p}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}\vec{v}{\text{d}t}=m\vec{a}.

为啥动量是比力更基本的概念呢? 这是因为力的定义实操上依赖于动量的概念. 我超, 那为啥动量会守恒? 答案就是人类碰巧发现了这个宇宙自然就存在着这样的守恒律, 由此才发展出的力学[16]. 所以说物理学是实验科学嘛, 归根结底还是要回到实验上去的.

所以呢? 我们是从实验发现了守恒律, 然后才构建了动力学, 而物理则诞生于此.

很乱对吧? 动量到底是咋定义的? 说到底质量又是个啥? 这里边儿到底谁是因谁是果? 请:

https://www.zhihu.com/question/509729561/answer/2332436867> 相对论? 别担心, 第一部分不仅不涉及相对论还正好就是捋清楚了现在面临的问题.

要知道一般来说整个物理学院也不见得有几个人能搞清楚这套逻辑, 好好感受一下吧.

12.5. 矢量力学的知识体系:

上面那些问题整明白了接下来再介绍几个定理其实整个力学就结束了, 那么厚一本力学, 其实也没啥内容. 那么力学是按照怎样的逻辑进行的呢? 下面咱就给它梳理一下:

(0). 实验发现了碰撞中的不变量, 由此定义了[17]质量 $m$, 动量 $\vec{p}\equiv m\vec{v}$ 与力 \vec{F}\equiv \frac{\text{d}\vec{p}{\text{d}t}.

(1). 于是碰撞过程可被描述为满足动量守恒 \sum\limits_{i}{\frac{\text{d}{\vec{p}_{i}{\text{d}t}=\sum\limits_{i}{\vec{F}_{i}=0\Rightarrow \sum\limits_{i}{\vec{p}_{i}=\text{const}\text{.}

(2). 由力的定义得到指导身边一切运动的动力学方程 \vec{F}\equiv \frac{\text{d}\vec{p}{\text{d}t}=m\frac{\text{d}\vec{v}{\text{d}t}=m\vec{a}.

(3). 接着就是研究质点的运动, 这很简单. 但我们的最终目的是要能描述有具体形状的物体, 而这些物体可以被视为一大堆质点构成的质点系, 于是我们接着就开始研究质点系的特性.

(4). 动量实际上就是刻画运动的量, 和速度差不多一个意思[18]. 我们知道孤立质点系的总动量是不变的, 这意味着孤立质点系中一定有个什么东西的速度是不会发生改变的, 就是说孤立质点系中存在着一个静止或匀速运动东西.

(5). 利用运动学方程, 我们将发现孤立质点系中存在着一个速度不变的点, 这个点在后来被称为质心.

我们先将总质量简记为 $M\equiv \sum _i{m}_i.$ 然后捣鼓运动学方程: \sum\limits_{i}{\vec{F}_{i}=\sum\limits_{i}{\frac{\text{d}{\vec{p}_{i}{\text{d}t}=\sum\limits_{i}{\frac{\text{d}^{2}{m}_{i}{\vec{r}_{i}{\text{d}{t}^{2}=M\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}\sum\limits_{i}{\frac{m}_{i}{M}{\vec{r}_{i}. 质心在哪? 显然就是 \sum\limits_{i}{\frac{m}_{i}{M}{\vec{r}_{i} 对吧? 怎么理解呢? 上面的 {\vec{r}_{i} 是指向系统中某质点的位置矢量, 那么它们的加权求和仍将指向某一点. 现在权重因子为 \frac{m}_{i}{M}, 求和得到的矢量 {\vec{r}_{\text{c}\equiv \sum\limits_{i}{\frac{m}_{i}{M}{\vec{r}_{i} 指向的点就被定义为质心.

(6). 现在将合外力记为 {\vec{F}_{\text{ex}\equiv \sum\limits_{i}{\vec{F}_{i}, 再配合运动学方程 \sum\limits_{i}{\vec{F}_{i}=M\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}\sum\limits_{i}{\frac{m}_{i}{M}{\vec{r}_{i}.

然后呢? 我们是不是搞出了一个巨妈酷的东西? 没错这就是质心运动定律: {\vec{F}_{\text{ex}=M\frac{\text{d}^{2}{\vec{r}_{c}{\text{d}{t}^{2}.

(7). 质心运动定律是不是和质点的运动方程极其相似? 这就是物理学的魅力, 聪明的物理学家通过巧妙的定义使得乱七八糟的一个方程中浮现出了一条符合直觉又眼熟的东西来. 现在质点系和质点区别已经没那么大了, 至少我们已经可以给出质心的运动方程了.

(8). 接着我们又突发奇想给运动方程两边点乘速度, 结果整出了所谓的动能定理.

不过这里首先得知道 \text{d}{v}^{2}=\text{d}{\vec{v}^{2}=2\vec{v}\cdot \text{d}\vec{v} 这个结论, 证明过程见下文:

https://www.zhihu.com/question/348382440/answer/2422276701> 先点乘一波: \vec{F}\cdot \vec{v}=m\vec{a}\cdot \vec{v}=m\frac{\text{d}\vec{v}{\text{d}t}\cdot \vec{v}.

两边乘上 $\text{d}t$ 得 $\vec{F}\cdot \text{d}\vec{r}=m\vec{v}\cdot \text{d}\vec{v}=\text{d}(\frac{1}{2}m{v}^2).$于是我们定义 ${E}_{\rm k}\equiv \frac{1}{2}m{v}^{2}$ 称为**动能**, 再定义 $\delta W=\vec{F}\cdot \text{d}\vec{r}$ 称为**元功**[[19]](#ref_19). 所以最初的 \vec{F}\cdot \vec{v}=\frac{\vec{F}\cdot \text{d}\vec{r}{\text{d}t} 其实就是功率, 大家应该已经知道了. 一积分就是动能定理了: \Delta W={E}_{\text{k}-{E}_{\text{k}0}=\int_{\Gamma }{\vec{F}\cdot \text{d}\vec{r}.

(9). 现在计算质点系的动能可就简单了, 原来得每个质点的动能都加起来, 现在呢?

先将所有质点的位置矢量都改写为质心坐标与相对质心坐标的位置矢量之和, 即做这样的改写: \vec{r}_i={\vec{r}_{\text{c}+\vec{r}_{i}^{\prime }.其中的 $\vec{r}_{i}^{\prime }$ 其实就是以质心为原点的参考系[[20]](#ref_20)下的位置矢量. 然后计算动能: {E}_{\text{k}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{m}_{i}v_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{m}_{i}{\left( \frac{\text{d}{\text{d}t}{\vec{r}_{i} \right)}^{2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{m}_{i}{\left( \frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{r}_{i}^{\prime }+\frac{\text{d}{\text{d}t}{\vec{r}_{\text{c} \right)}^{2} $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{m}_{i}\left[ {\left( \frac{\text{d}{\text{d}t}\vec{r}_{i}^{\prime } \right)}^{2}+{\left( \frac{\text{d}{\text{d}t}{\vec{r}_{\text{c} \right)}^{2}+2\frac{\text{d}\vec{r}_{i}^{\prime }{\text{d}t}\cdot \frac{\text{d}{\vec{r}_{\text{c}{\text{d}t} \right]}$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{m}_{i}\vec{v}_{i}^{\prime 2}+\frac{1}{2}M\vec{v}_{\text{c}^{2}+\sum\limits_{i}{m}_{i}\frac{\text{d}\vec{r}_{i}^{\prime }{\text{d}t}\cdot \frac{\text{d}{\vec{r}_{\text{c}{\text{d}t}. 让我们来看看第三项的求和部分: \sum\limits_{i}{m}_{i}\frac{\text{d}\vec{r}_{i}^{\prime }{\text{d}t}=\frac{\text{d}{\text{d}t}\sum\limits_{i}{m}_{i}\vec{r}_{i}^{\prime }=M\frac{\text{d}{\text{d}t}\sum\limits_{i}{\frac{m}_{i}{M}\vec{r}_{i}^{\prime }. 这是啥? 这实际上是在质心坐标系下计算质心坐标··· 那不铁是原点? 所以恒为 $0.$ 于是就有 ${E}{\text{k}=\frac{1}{2}\sum\limits{i}\vec{v}^{\prime 2}+\frac{1}{2}M\vec{v}_{\text{c}^{2}.$ 这就是说质点系的动能就是质心的动能加上各个质点相对于质心的动能. 这个结论超级酷好不好? 所以我至今都记得这个结论叫 König 定理.

(10). 我们后来又发现 $\vec{r}\times m\vec{v}$ 也是一个守恒量, 此即角动量.

它为啥守恒? 其实很容易证明: \frac{\text{d}{\text{d}t}(\vec{r}\times m\vec{v})=\frac{\text{d}{\text{d}t}\left( \vec{r}\times m\frac{\text{d}\vec{r}{\text{d}t} \right)=\frac{\text{d}\vec{r}{\text{d}t}\times m\frac{\text{d}\vec{r}{\text{d}t}+\vec{r}\times m\frac{\text{d}^{2}\vec{r}{\text{d}{t}^{2}=0+\vec{r}\times \vec{F}. 这就说明只要 $\vec{r}\times \vec{F}=0$ 它就守恒, 于是我们称 $\vec{r}\times \vec{F}$ 为力矩. 这就是角动量守恒定律.

(11). 结合这一大家子我们终于可以开始研究刚体的运动了:

https://www.zhihu.com/question/357803299> 这要是都给你整明白了, 那学理论力学的时候就可以跳过矢量力学的部分直奔分析力学了.

(12). 没了, 其它啥流体力学之类的, 我属实是全忘光了.

噢, 什么震动啦、多普勒效应啦这些··· 纯纯的生活小常识, 这里不多谈. 唯一值得一提的就是说普通物理中的力学和高中教材中的力学的最大的区别应该就是现在的力学解出来的不是数字而是函数了, 这也是很多人一开始脑子转不过弯来的地方. 这一点在震动这一章尤为明显, 有些题目就是诱导你通过题设条件与 Newton 定律写出微分方程然后解出时间参数的简谐振动函数来. 但还是有不少小盆友在试图解出一个坐标或一个长度之类的东西出来···

12.6. 接着就是热力学了:

如果说力学颠覆了你对数学工具的理解, 那么热力学就将颠覆你对从前的整个物理学的理解.

力学的思想其实很朴素. 我们想预言身边物体的运动轨迹, 那就把身边的物体拆成无数个质点, 然后研究每个质点的运动规律. 好在刚体中的质点不会发生相对位移所以力学这套还蛮给力的. 结果当我们试图预言一团气体的演化时, 力学突然就废掉了··· 我们确实可以把气体看成气体分子构成的质点系, 但你能解出 ${10}^{23}$ 个方程构成的方程组吗?

而热力学就牛逼在它根本不在乎你究竟发生了什么具体过程, 照样能宏观地刻画一个系统的缓慢演化. 你不是解不出每个分子的运动吗? 我们干脆不吊微观细节了, 直接从统计的角度上去研究这个系统在发生啥. 然后我们就总结出了很多宏观的统计量, 于是就诞生了热力学. 这也是热力学的高级版本被称作统计物理的原因.

事实上, 力学与热力学分别代表了物理学的两大路径, 即不断探索更基本原理的构建论与在宏观尺度上探索全新自由度的涌现论. 前者的代表是量子力学与粒子物理, 后者则是统计物理与凝聚态理论. 其实硬要说的话, 那就是前者更浪漫硬核, 而后者显然更时髦深邃. 但国内那帮做材料的可别自称什么凝聚态理论来给自己脸上贴金了, 你少说也要牵扯到有效场论再谈自己属于理论物理吧···

12.7. 准静态过程是热力学中最重要的概念:

为了刻画系统的宏观自由度, 我们在热力学中引入了诸如压强、温度、体积之类的状态参量. 这是很聪明的做法, 毕竟对于这类系统我们感兴趣的也就是这些宏观量[21]. 所以热力学中充斥着 $p-V$ 图之类的东西, 其实只要随便找俩状态参量就能搁上面画相应的物态方程[22]对应的变化曲线. 而所谓的物态方程的确定其实就是热力学的核心内容了, 其实基本上都是猜的, 热力学是彻彻底底唯像的一门理论. 而热力学思想的先进之处也正好在于这彻彻底底的唯像思维, 因为量子场论的发展让整个物理学界都深刻地认识到了所有的物理理论都是唯像理论的这个真相. 所以现在很少有人会再去谈大统一理论了, 毕竟不同的能标下有不同的自由度, 干嘛还要去一味地追求高能标呢?

但对于初学者来说最重要的就是要意识到这些变化曲线并不是在刻画一个连续过程, 事实上我们也没有能力去刻画连续过程. 这些曲线上的每一点其实都是系统的一个平衡态, 而我们是将一定条件约束[23]下的所有可能的平衡态都点了出来才构成了眼前的条曲线.

所以如果我们希望用这些曲线来辅助我们刻画系统的话, 就必须让系统始终处于平衡态. 但处于平衡态的系统的状态参量又怎么会发生改变呢? 所以我们的做法就是, 慢慢地, 慢慢地, 慢慢地, 超级慢地, 终极慢地, 让系统从一个平衡态极其缓慢地过渡到参数相近的另一个平衡态, 这样慢慢发生改变的系统就会服从平衡态构成的曲线的刻画.

而这样从一个平衡态缓慢地改变到参数相近的另一个平衡态的过程就叫准静态过程, 这是因为它虽然是一个动态过程但却变化地极其缓慢以至于每一时刻与相应平衡态的差别都只是个小量所以才叫准静态过程.

比如说我们想研究一罐气体, 那可以通过物态方程 $f(p,V,T)=0$ 选定一个确定的 $T$ 后在 $p-V$ 图上先画出一条等温曲线来. 通过这条曲线结合热力学第一定律我们就可以算出两个状态之间系统对外做功或者各种态函数[24]的改变量之类的东西.

这里最令人眼前一亮的地方就在于我们利用的热力学第一定律其实是一个很朴素的东西, 就是能量守恒定律. 我们怎么用的呢? 就是写下 $\Delta U=Q-A$, 其中 $U$ 是系统的内能[25], 而 $Q$ 则是系统吸收[26]的热量, 最后的 $A$ 则表示系统对外界做的功, 所以有个负号. 所以这个式子就是在说吸收的能量减去释放的能量就是总能量的改变量罢了, 我们根本不吊这个系统里面究竟发生了什么. 就不管你系统干了啥, 反正这个式子就总是要恒成立的. 于是我们就从这些不吊微观细节的宏观变量上做文章, 结果就把热力学给它发展了起来还摸索出了熵增原理之类的东西.

而你计算的结果和实验结果的误差大小就取决于你的实验手法了. 因为 $p-V$ 图上的曲线是描述静态过程的, 所以你改变气体的状态参量, 比如说压缩体积时必须得足够缓慢才能使得误差比较小. 如果你发了疯嘭地一下给它压了一半的体积, 那怕是能在系统里产生冲击波, 这样的实验数据基本上就跟你的演算结果无缘了.

非平衡过程真的很复杂, 是人类尚未攻克的领域. 别说非平衡了, 就是近 (防爆) 平衡都很难搞.

12.8. 思想实验与理想气体:

我们只要承认了热力学第一定律或者说能量守恒定律的话, 就可以在纸上推算热力学系统的准静态演化过程. 说到这里可能都有点儿抽象, 我一直说着什么推算演算, 那我们究竟能算出啥来又是怎么算的呢? 就继续以一罐气体为例, 我们实际上是可以求出这罐气体在两个给定平衡态 $A,B$ 之间的能量差来的. 怎么求呢? 无非就是先构造一个连续的准静态变化过程让这罐气体从态 $A$ 过渡到态 $B$, 然后再研究这段过程的能量变化即可.

这个做法的关键点如下:

• (1). 构造的变化路径是可以是任意的. 这是因为内能是系统的态函数, 只取决于稳态本身, 所以两个稳态之间的内能差是不会依赖于变化路径的. 所以为了方便计算我们一般会构建等温、等压过程等特殊好算的路径.
• (2). 这个连续的变化过程是根本就是没必要发生的. 这只是一个思想实验, 我们只是在脑内构建了一个连续的准静态过程来连接初末态罢了. 我们需要这样一个连续的过程是因为我们利用物态方程与热力学第一定律做计算的时候需要一个连续的过程来做定积分.
• (3). 你不觉得这种纯粹的思想实验很酷吗?

但为啥你总是在研究理想气体? 为啥不能是固体或者雪糕、啤酒啥的? 其实这是因为你太菜了. 热力学或者说统计物理当然可以用来研究固体, 就是固体物理嘛. 但固体物理是四大力学之后的课程··· 懂了吧? 就是说分子间的相互作用越复杂就越难搞, 那你作为新手, 交给你处理的肯定都是分子间几乎无相互作用的系统啦. 一团几乎无相互作用的分子, 你觉得会构成啥? 就是一团无限稀薄的气体嘛. 其实正是因为热统[27]的这套能不吊细节地研究任何超多自由度的物理系统所以才酷炫.

12.9. 小量与全微分:

其实一直到热力学开课之前, 可能很多人都分不清小量和全微分的区别··· 甚至可能到了热力学都还有人搞不懂这个. 全微分是系统的一个状态参量的微分. 比如说用熵 $S$ 和体积 $V$ 做基本变量, 那么 $T\text{d}S$ 减去 $p\text{d}V$ 就可以构成态函数内能 $U$ 的全微分, 即 $\text{d}U=T\text{d}S-p\text{d}V$. 这里的 $T$ 与 $p$ 分别是温度与压强.

上面涉及的全是态函数, 而热力学第一定律 $\Delta U=Q-A$ 中的吸热 $Q$ 与系统对外做功 $A$ 就都不是态函数而只是过程量. 所以当我们写出这条式子的无穷小形式 $\text{d}U=\delta Q-\delta A$ 时, 出现的 $\delta Q$ 与 $\delta A$ 就都不是全微分, 而只是小量. 所以热力学第一定律 $\Delta U=Q-A$ 中的 $\Delta$ 是万万不能少的, 因为 $Q-A$ 只是与该过程的内能改变量相等, 而不是内能这个概念本身.

所谓态函数就是用来刻画系统状态的函数, 当系统平衡时, 态函数一定[28]是有一个确定值的. 系统处于平衡态时, 你可以说它的内能是多少, 但你会问它的吸热与做功是多少吗? 这种就属于是纯纯的智障提问, 因为 $Q$ 与 $A$ 都只是刻画一段过程的物理量. 而对过程量求微分是根本就不符合人类逻辑的, 所以为了区分二者就用 $\delta$ 代替了 $\text{d}.$

12.10. 可逆过程:

很多人一辈子都没搞明白什么样的过程叫可逆过程, 甚至有些教科书都写不明白, 尤其是化学系的个别捞仔热力学书籍, 就你吗通篇的胡说八道··· 下面我将给出可逆过程的究极定义:

https://www.zhihu.com/question/405704206/answer/133907874512.11. Clausius 不等式与熵增原理:

熵, 很酷吧? 宇宙级垃圾网红抖音爆款还细思恐极令人绝望的物理学概念嗷.

熵确实是描述体系混乱程度的物理量, 听起来就很他妈科幻对吧? 所以我当年学到这里的时候也确实还比较兴奋, 但你现在其实还理解不了这体系混乱程度之类的概念, 因为这指的是 Boltzmann 熵, 而普通物理中引入的是 Clausius 熵. 虽然日后我们可以证明二者是一回事.

简单来说可以证明任意可逆循环均存在关系 \oint{\frac{\delta Q}{T}=\text{0}. 转一圈不变就说明了积分跟路径无关, 这样积分本身就可以用初末两点的某个函数值做差来表征, 而这个态函数就被定义为熵 $S$ . 也就是说只要积分与路径无关就可以引入一个态函数或者说可逆过程的 $\frac{\delta Q}{T}$ 构成一个恰当微分 $\text{d}S.$

熵的引入在我看来是热力学中十分震撼人心的一件事, 因为它的引入完全可以源于纸上思考实验. 首先我们仅通过思考实验就可以写出一个热力学循环过程的效率上限, 这就是著名的 Carnot 定理. 然后由 Carnot 定理我们可以证明 Clausius 不等式, 紧接着就顺理成章地引入了态函数熵, 具体的过程如下文所示:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/58523720?比较惊悚的是, 我们确确实实有理有据地证明了绝热系统的熵是永不减小的. 而整个宇宙本身其实就是一个绝热系统, 所以一想到这个世界上会有一个只能随时间递增的态函数就确实还是蛮哈人的··· 就是说熵这个概念一提出就流行起了一种所谓的热寂理论, 说是因为宇宙的熵只能增加, 所以宇宙最终只能达到热平衡状态然后陷入一片死寂.

然而, 整个宇宙完全可能是个负热容系统, 所以根本就不存在平衡态.

12.12. 熵明明是可逆过程中定义的, 为何在不可逆过程中仍然说它是态函数?

https://www.zhihu.com/question/406419609/answer/133526908212.12. 为何都是从*$\mathbf{A}$态到$\mathbf{B}$态, 其熵增却取决于过程是否可逆?

https://www.zhihu.com/question/399048048/answer/1260911319热力学好像也就这么点儿东西了, 再讲深点儿就成统计物理了.

12.14. 光学:

笑了, 光学也算物理?

12.15. 电磁学:

忘光了.

噢, 可能还记得, 但都是些嗯算积分的垃圾内容.

电磁学属实没给我留下啥物理思想, 除非说你以后要来我家楼下当电工, 否则没必要学太深.

其实这两门本身还是相当有趣的[[29]](#ref_29), 但绝不是理论物理路上必须的知识.

12*[3]. 普通物理中埋下的伏笔

12.1. 角动量属实出人意料:*

其实认真数一下你就会发现常见的力学量一共也没几个, 基本上就都是些时空的对称性带来的副产物罢了, 而其中那个一直不怎么起眼的角动量在将来的理论中却会大放异彩.

量子力学的开端就有角动量的一份功劳, 因为其实很多物理量即使到了量子层面也都还是连续的, 唯独角动量是无论如何都一定会离散化取值. 然后所谓的自旋, 一个纯粹的量子自由度, 竟然和角动量量纲相同, 这使得角动量要升格为粒子物理中的一个特征量, 甚至要主宰粒子所服从的统计理论. 后来我们又发现神秘的角动量算符满足的代数关系正好构成 Lie 代数 $\mathfrak{su}(2)$, 这让物理学家不得不开始重视群论. 往后我们甚至开始断言物理学就是研究对称性的科学, 而对称性由群论描述.

所以将来无论是量子力学还是群论, 都会抽出一整章就讲一个物理量: 角动量.

12.2. Galileo 变换的重要性:*

Galileo 变换··· 这玩意儿在力学中就没啥存在感. 简单来说 Galileo 变换就是在描述你看到的一个物体的坐标 {\vec{r} [30]与相对于你以速度 $\vec{v}$ 运动的家伙看到的同一个物体的坐标 ${\vec{r}}^{\prime }$ [31]之间的变换. 就是说这里涉及了三个对象, 一个是你自己, 一个是相对于你运动的家伙, 最后就是世界上的任何一个物体. 世界上的任何一个物体在你的参考系中都有一个坐标, 它们在这个相对于你运动的家伙的参考系中也各有一个坐标, 这里讲得就是这两套坐标之间的变换.

若取 $\vec v$ 的方向[[32]](#ref_32)为 $x$ 轴的话就可以表达为 $\left\{ \begin{align} & {x}'=x-\int_{0}^{t}{v(\tau )\text{d}\tau }, \\ & {y}'=y, \\ & {z}'=z, \\ & {t}'=t. \\ \end{align} \right.$ 而你们看到的物体的速度之间的变换就是 \left\{ \begin{align} & {x}'=x-v, \\ & {y}'=y, \\ & {z}'=z, \\ & {t}'=t. \\ \end{align} \right. 上面用到了变上限积分求导, 提醒一下你的: \frac{\text{d}{\text{d}t}\int_{0}^{t}{v(\tau )\text{d}\tau } $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\text{d}{\text{d}t}\int_{0}^{t}{\frac{\text{d}\left[ \int{v(\tau )\text{d}\tau } \right]}{\text{d}\tau }\text{d}\tau }$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\text{d}{\text{d}t}\int_{0}^{t}{\text{d}\left[ \int{v(\tau )\text{d}\tau } \right]}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac{\text{d}{\text{d}t}\left[ \int{v(t)\text{d}t}-{\left. \int{v(\tau )\text{d}\tau } \right|}_{\tau =0} \right]=v(t).$ 加速度之间的变换显然就是 \left\{ \begin{align} & \frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}'}^{2}{x}'=\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}x-\frac{\text{d}{\text{d}t}v, \\ & \frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}'}^{2}{y}'=\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}y, \\ & \frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}'}^{2}{z}'=\frac{\text{d}^{2}{\text{d}{t}^{2}z. \\ \end{align} \right. 这就是说若对你运动的家伙做变速运动的话, 则以它为参考系还会需要惯性力项 -m\frac{\text{d}{\text{d}t}v.

你可能会觉得这根本就是废话, 因为这玩意确实就只是给参考系变换起了个洋名字罢了. 这个变换极其符合人类的直觉, 所以就被我们毫不犹豫地给忽视掉了. 要说它有啥让人眼前一亮的地方也就是提醒了我们能量是一个依赖于参考系的量以及惯性力的来源就只是一个数学游戏罢了. 而关于惯性力最有趣的应该就是所谓的 Coriolis 力了:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/52892796然而事情真的这么简单吗? 参考系变换真的是一个平庸的概念吗? 难道 $t^{\prime }=t$ 真的是理所当然的吗? 你知道大家为啥会管他叫 Einstein 吗? 因为他是第一个站出来否定了这极其符合人类基本直觉的 Galileo 变换转而给出了 Lorentz 变换的人. 而他这疯狂的操作直接就开启了能与量子世界相媲美的相对论时代.

什么是 Lorentz 变换? 它长这样 \left\{ \begin{align} & \text{c}{t}'=\gamma \left( \text{c}t-\beta x \right), \\ & {x}'=\gamma \left( x-\beta \text{c}t \right), \\ & {y}'=y, \\ & {z}'=z, \\ & \gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^{2},\ \beta =\frac{v}^{1}{\text{c}. \\ \end{align} \right.

这个变换本质上描述的是同一个世界在两个不同的惯性参考系下表现出的差异. 这里的 ${\Sigma }^{\prime },\Sigma$ 这俩参考系在 $t^{\prime }=t=0$ 时完全重合, 然后 ${\Sigma }'}$ 以相对于 $\Sigma$ 为 $\vec{v}=\left( {v}^{1},0,0 \right)$ 的速度沿 $x$ 轴向**匀速**[[33]](#ref_33)运行.今后所有 ${\Sigma }'$ 系下观察到的事物全都带 ${}'$ [[34]](#ref_34), 而带 ${}'$ 与不带 ${}'$ 之间只差一个 Lorentz 变换.

如果你没认真思考过 Galileo 变换, 那你可能根本就搞不懂相对论中的 Lorentz 变换到底是在干嘛. 我印象比较深刻的就是在物理竞赛前的一次集训中, 有一个机电工程专业的学生问了我本科班主任一个关于 Lorentz 变换的问题. 结果班主任课后用了个极其诧异的表情小声对我说道『怎么会有人连 Lorentz 变换都不理解啊? 』

我感觉有毒, 因为当时我也是第一次听说 Lorentz 变换这个概念, 所以就只是笑笑也没多说啥.

12.3. 不要超出模型地去做无意义的思考:*

一个特别搞笑的民科思维就是看到了描述时间膨胀的公式 \Delta t=\frac{\Delta {t}'}{\sqrt{1-\frac{v}^{2}{\text{c}^{2} 后就开始意淫.

他就寻思吧, 这个物体的速度越快它的时间就流逝地越慢, 达到光速后它的时间就停滞了··· 那要是超越了光速它岂不就可以时光倒流了? 震惊! 时间机器开发有望.

什么几把? 相对论的模型都说好了光速是不可跨越的界限, 你从低于光速加到高于光速的过程公式根本就不适用了好吧? 还时光倒流呢, 其实就算胡思乱想这也不会出个负号啊, 是虚时间吧···

所以大家千万不要超出模型地去做一些毫无意义的思考, 下面我再给出一个经典反例:

https://www.zhihu.com/question/465663669/answer/2128502732> 这个问题我看一次笑一次, 属实难绷.

12.4. 什么是物理理论? 什么又是数学模型?*

让我们来看看苗是怎么说的:

https://www.zhihu.com/question/517116610/answer/235374610012.5. 普遍连续的宏观世界:*

其实学完普物你应该就要意识到, 其实物理学的几乎一切都是连续的. 只有微观理论中那些纯代数的东西偶尔会蹦出些离散量出来, 然而它们在统计物理中还是被近似连续化了.

离散的东西很容易算出发散来, 然后有些人就慌了··· 其实现实世界哪里有离散的量啊? 比如说你躲在衣柜里慢慢关门, 衣柜并不是说在完全关上的那一瞬间突然从一片明亮变成乌漆嘛黑的吧? 就算是关灯, 那也不是一瞬间变黑的, 其实灯泡经历了一个很快的暂态过程, 亮度虽然变得很快但也是连续变化到灭掉的. 就算是子弹被弹开, 那也有一个作用时间. 就算是你去做核酸检测, 阳性的判定也绝不可能是非黑即白的, 我相信一定是有一个类似于 PCR 放大倍数或病毒浓度之类的连续指标上的分界线来界定阳性的.

就是说自然界中几乎不存在会突变的东西, 也不存在所谓的几何点或者几何面之类的东西. 但在理想模型中我们常常会碰到被简化为突变函数、几何点或几何面的模型. 它们通常是够用了的, 但碰到一些比较细致极端的问题时常常会出现很多诡异的结论. 不过别慌, 这不是真实世界崩溃了, 只是你的模型不够精细所以在讨论的问题下失效了.

具体而言就是我们可以把极其短暂的时间理解为瞬间、可以把极其渺小的物体理解为几何点, 在你不需要更多细节的时候这就可以解决很多问题了. 比如只需要用到动量定理的话, 那撞击就可以理解为瞬间发生的. 你要这时候去思考什么 Newton 第二定律那铁会算出无穷大的加速度或者力出来, 所以模型处理不了的东西你就不要去想. 但有人又很难接受··· 整个矢量力学不就是从 Newton 定律来的吗? 现在它失效了怎么保证力学没崩溃? 那你就把瞬间扩大到极其短暂的一段时间然后再忽略这个暂态过程咯.

但为啥我们能忽略这些微小细节呢? 这还是因为自然界是连续的. 这就意味着现实世界某个问题的真实函数解是一个连续光滑的函数, 就是说我们对模型的微小改动只会对最后的解造成微小影响[35]. 这样我们总可以通过一些粗略的模型去近似计算, 同时在我们不断提高模型精度时得到的解也会不断接近真实函数解, 而不会碰到数学里才有的诡异奇点或者间断点之类的东西.

再比如计算地球公转轨道的时候你完全可以把地球当作一个几何点, 但如果这时候你要硬是要问我什么『这地球的密度不是无穷大了吗? 』之类的鬼问题的话, 那你只能听到四个大字:

付 费 咨 询[36]

另一方面就是要能够动态地看待这个世界. 中学时期没有微积分的我们处理的绝大多数情况都是稳态, 这导致不少人进入大学阶段也始终摆脱不了这种稳态的思维. 普通物理的重要性应该就体现在培养动态思维上了吧.

所以面对现实世界, 千万不要丢失这种连续光滑变化的世界观.

12.6. 往后学但别超前学:*

为啥要往后学? 因为知识的调取根本就不算学习, 学习是指从对着定义都看不懂到能看懂定义的那个过程. 你浪费时间反复调取这些低端知识去刷一些垃圾题, 有一说一这还不如打发手冲来得真实. 往后学吧, 只要能往后学就往后学. 调用知识这种事儿再复杂也存粹就是个技术活儿, 要爱干这个那真是活该当一辈子牛马, 让观点得以提高才是学习的目的好吧?

那什么叫别超前学呢? 就是说不要用当前的工具去强行招惹一些超出当前框架的东西.

就你学普通物理的时候硬要验证下动量守恒源于空间平移对称性? 这玩意儿在分析力学里就是一行式子的事, 你搁这浪费这时间干嘛呢? 有这闲心不如直接去学分析力学.

就你初学电动力学的时候硬要验证下 Maxwell 方程组 Lorentz 协变而不 Galileo 协变? 这玩意儿在四维语言里就是一行式子的事, 你搁这浪费这时间干嘛呢? 有闲心写这一堆乱七八糟的式子不如直接去学四维语言.

就你学量子力学的时候硬要扯上 Lie 群和 Lie 代数? 这玩意儿在群论里连一行式子都不用就纯粹是常识, 你搁这浪费这时间干嘛呢? 有这闲心想破脑瓜还不如直接去学群论.

就后续的理论配合先进的数学工具与记号能一瞬间解决的东西, 您现在就那么急着花大量精力去搞有啥必要吗? 但我还真就见过不少人都喜欢这么搞, 这实在是十分愚蠢的一件事··· 不仅效率极其低下还完全没有任何好处.

但我怎么知道自己有没有学出界呢? 就学起来感觉不那么简洁, 然后开启后续的课程又没啥障碍了的话, 那就不要继续死磕了, 大概率往后面科目学一阵儿这些问题自然就明白了.

你看我讲了这么多, 但好像也没啥重要内容. 所以说嘛, 这种课程跳了就跳了呗.

参考

• ^后面时不时会简称为普物.
• ^当然中间也很可能会不小心延伸到大三甚至研一的东西··· 这, 毕竟话都到嘴边了你总不能让我憋着嘛.
• ^ab十二之后的那个自然数有点儿不吉利, 理解一下.
• ^也称矢量力学或 Newton 力学, 与后期的分析力学相对.
• ^而真正的现代物理是不要求你长眼睛的.
• ^我们说的场论都是指的量子场论, 好像国内大多数学校都不会专门开设经典场论.
• ^指前几年.
• ^我确实理解不了为啥要加这些过时的垃圾内容.
• ^不过这有点类似于身为广东人要知道广西不是广东的西边一样, 虽是常识但又不是很重要. 好吧其实我也是最近才知道的, 所以就很想提一下这个事儿.
• ^其实也没有很老, 但我当时还很小, 所以感觉上就···
• ^是真的毫无征兆, 没有丝毫原由的夸赞, 我也不知道是什么原理.
• ^我甚至课后跟她说过不要再凭空夸我了, 班里其他同学听着不舒服的, 结果她又以此为契机夸了我一波懂事 (?).
• ^回家路上总是特别饥饿.
• ^这个公式怕是永世难忘, 也侧面说明了中学就纯粹是在背公式.
• ^或者说初始条件.
• ^你要硬是问我为啥动量会守恒, 我会告诉你这是因为我们所处的宇宙空间近似平直且各向同性, 但说了你也听不懂所以就先不说了.
• ^详见上面那篇文章.
• ^毕竟质量是个常数嘛.
• ^即无穷小的功.
• ^也被称为质心坐标系或质心系, 这个概念在将来极其常见.
• ^我是说即便我真的能算准每一颗微粒的运动轨迹又如何呢? 有什么用?
• ^即刻画系统状态参量之间关系的方程.
• ^如果什么约束都没有的话构成的就不是曲线而是相图了.
• ^温度啦、熵啦、焓啦、化学势啦之类的.
• ^可以理解为系统所蕴含的一切能量的总和.
• ^如果是放出热量的话就值为负呗.
• ^热力学与统计物理的简称.
• ^当然有时候要先取定一个参考零点.
• ^而且学完了可以装的逼比前两门更多, 因为它们简单, 其它物理分支的逼点这一般老百姓他根本找不着.
• ^就是以你自己作为原点建立的坐标系中的坐标.
• ^这是对方的坐标系里看到的同一个物体的坐标.
• ^这里简单起见假定相对速度的方向不变.
• ^当然得匀速, 变速能把新手搞晕去.
• ^这个东西念 prime, 其实最早也是误读, 以讹传讹了, 也就变成了正确念法.
• ^现在知道为啥高数里要分析光滑意味着什么了吧?
• ^问这种弱智问题不给我补贴点儿心脑血管医药费是真的说不过去好吧?