量子理论中的绘景变换 联系自由真空与相互作用真空的 Gell-Mann-Low 定理

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/499938902
• 发布日期: 2022-04-17
• 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算

如果你只想了解量子力学中的绘景变换, 那本文的内容仍是适用的, 你只要跳掉场论的部分就好了. 毕竟绘景变换是独立于场论的量子理论中的通用内容. 不过本文的起点会比较高, 因为主要的目的是讲清楚相互作用绘景本身及其与另外两大绘景之间的变换关系. 相信一般初学量子力学时是不需要搞清楚这些内容的, 因为过多的演化算符种类与含时的哈密顿量可能会让你感到极为不适.

我看过的包括 Peskin[1]在内的多数材料都倾向于将联系 Schrödinger 绘景与 Heisenberg 绘景的幺正演化算符写作 {\text{e}^{-\text{i}H(t-{t}_{0})}, 但实际上这种写法应该是不够严谨的. 因为若在 Schrödinger 绘景下将哈密顿量 {H}^{\text{S} 分为自由理论的 H_{0}^{\text{S} 与描述相互作用的 H_{1}^{\text{S} 两部分的话, 后者一般是显含时间的, 即 {H}^{\text{S}(t)=H_{0}^{\text{S}+H_{1}^{\text{S}(t).

你听完可能会当即抓起个 ${\phi }^{4}$ 就开始玩弄它的哈密顿量, 但 ${\phi }^{4}$ 的 $H_{1}^{\text{S}$ 确实不含时[[2]](#ref_2).

学过量子力学的人都知道, 想要从 Schrödinger 方程的 $\text{i}{\partial }_{0}S(t,t_0)=HS(t,t_0)$ 得到时间演化算符的指数形式解 S(t,{t}_{0})={\text{e}^{-\text{i}H(t-{t}_{0})} 的前提条件是 $H$ 不含时.

但如果不确切写成指数形式的话, 这个世界上怕是大多数资料中的对 Gell-Mann-Low 定理的证明都会失效, 因为他们都是从基态能最低这个角度来证明的:

\ \ \ \ \ \ {\text{e}^{-\text{i}Ht}\left| 0 \right\rangle ={\text{e}^{-\text{i}Ht}\sum\limits_{n=0}{\left| n \right\rangle \left\langle n | 0 \right\rangle }={\text{e}^{-\text{i}{E}_{0}t}\left| \Omega \right\rangle \left\langle \Omega | 0 \right\rangle +\sum\limits_{n\ne 0}{\text{e}^{-\text{i}{E}_{n}t}\left| n \right\rangle \left\langle n | 0 \right\rangle }\Rightarrow \left| \Omega \right\rangle =\underset{t\to \infty (1-\text{i}\varepsilon )}{\mathop{\lim }\,\frac{\text{e}^{-\text{i}Ht}\left| 0 \right\rangle }{\text{e}^{-\text{i}{E}_{0}t}\left\langle \Omega | 0 \right\rangle }.

然后这个方法里对 $⟨\Omega |0⟩\ne 0$ 的理由一般也不会详细说明, 更多是基于某种信仰. 比如说需要基于「加入的相互作用项应该不会造成这么大的影响吧? 」之类的想法. 但这是不能一概而论的, 也不像是什么基本假设. 事实上真空之间的关系在不同的假设体系[3]中有不同的表现形式. 此外就是还涉及到了一些如时间取虚部这样的怪异操作. 总之就是不太美的一个方法.

关于时间取虚部的理解[[4]](#ref_4): 因为在最后我们要做极限 $\varepsilon \to 0$, 所以不用去考虑这个虚部的物理意义, 而应该纯粹视作数学上的一个 trick. 对于传播子分母上的虚部[[5]](#ref_5)我们也应该这样理解. 事实上你总应该将它们当作有限参量去计算, 这样上式中的 $\infty \cdot \text{i}\varepsilon $ 就真的应该趋于无穷, 但在最后一步你需要取极限 $\varepsilon \to 0$. 其实在物理中常常有一些病态的物体能通过添加一个合适的参数来良定义化, 只要最后将参数取为零了, 那一般就不用考虑这个参数的物理意义了. 毕竟运算过程都是数学, 只有开头结尾是物理, 这属于是大家心里都清楚但没人明说的东西[[6]](#ref_6).

难道我们只能放弃严谨? 其实还有另一个听起来比较有道理证明方式, 将于本文第二部分给出.

本文虽然还算比较追求严谨但写得仍不复杂, 写法还是以最大化易读性为主的.

目録

1. 哈密顿量与绘景变换

1.1. 场论中的哈密顿量 1.2. 绘景变换 1.3. 相互作用绘景下的态演化算符的定义与性质 1.4. 相互作用绘景下的态演化算符的 Dyson 级数表达式

2. 渐近态与 Gell-Mann-Low 定理

2.1. 入态与出态 2.2. Gell-Mann-Low 定理

1. 哈密顿量与绘景变换

本文上标 $\text{S},\text{H},\text{I}$ 分别表示对象处于 Schrödinger 绘景, Heisenberg 绘景与相互作用绘景.

在量子场论中谁也避不开绘景变换, 因为我们只关心相互作用理论却只懂自由理论··· 那怎么办? 只好搬出相互作用绘景呗. 在相互作用绘景下所有场算符的演化都与自由理论中的 Heisenberg 绘景下的演化完全相同, 而态的演化则仅由描述相互作用的 H_{1}^{\text{S} 驱动.

1.1. 场论中的哈密顿量:

场论总是从拉氏量出发, 如给出 \mathcal{L}={\mathcal{L}_{0}+{\mathcal{L}_{1}, 其中 {\mathcal{L}_{0} 就是自由理论的拉氏量, 而 {\mathcal{L}_{1} 则用来描述相互作用. 哈密顿量密度则被定义为 \mathcal{H}\equiv {\pi }_{a}{\partial }_{0}{\Phi }_{a}-\mathcal{L}=\frac{\partial \mathcal{L}{\partial ({\partial }_{0}{\Phi }_{a})}{\partial }_{0}{\Phi }_{a}-\mathcal{L}.

其中的 ${\Phi }_{a}$ 表示的是一般的场, 可以是旋量场、矢量场或标量场[[7]](#ref_7), 而 {\pi }_{a}\equiv \frac{\partial \mathcal{L}{\partial ({\partial }_{0}{\Phi }_{a})} 被称作共轭动量场.

于是很显然, 哈密顿量密度也可以做展开 \mathcal{H}={\mathcal{H}_{0}+{\mathcal{H}_{1}.

其中的 {\mathcal{H}_{0} 和自由理论的哈密顿量密度是完全一样的, 而 {\mathcal{H}_{1}\equiv \frac{\partial {\mathcal{L}_{1}{\partial ({\partial }_{0}{\Phi }_{a})}{\partial }_{0}{\Phi }_{a}-{\mathcal{L}_{1}, 但因为一般来说 {\mathcal{L}_{1} 中压根儿就不含 ${\partial }_0{\Phi }_a$ 所以通常有 {\mathcal{H}_{1}=-{\mathcal{L}_{1}.

至于说哈密顿量, 显然就要被定义为密度的全空间积分, 即 $H\equiv \int {\text{d}}^{3}x\mathcal{H}.$

1.2. 绘景变换:

记忆绘景变换的诀窍就在于要善于利用根本就不演化的 {\left| \psi \right\rangle }^{\text{H} 与 {O}^{\text{S} 来当参照物. 定义绘景变换的重点就是要保证均值 $⟨\psi |O|\psi ⟩$ 作为观测量不因绘景而改变.

下面我们将 $t_0$ 设为唯一的参考时刻, 意思是说在 $t_0$ 时刻满足下列关系:

对任意算符 $O$ 与任意态 $|\psi ⟩$ 均有 \left\{ \begin{align} & {O}^{\text{H}({t}_{0})={O}^{\text{S}={O}^{\text{I}({t}_{0}), \\ & {\left| \psi \right\rangle }^{\text{H}={\left| \psi ({t}_{0}) \right\rangle }^{\text{S}={\left| \psi ({t}_{0}) \right\rangle }^{\text{I}. \\ \end{align} \right.

我们在 Schrödinger 绘景下将哈密顿量展开: {H}^{\text{S}(t)=H_{0}^{\text{S}+H_{1}^{\text{S}(t).

驱动自由理论演化的 H_{0}^{\text{S} 不含时, 所以它对应的幺正演化算符可以直接写为 {\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}.

而总哈密顿量 {H}^{\text{S} 含时, 所以它所驱动的幺正演化算符只能记作 $S(t,t_0).$

它满足 \text{i}{\partial }_{0}S(t,{t}_{0})={H}^{\text{S}S(t,{t}_{0}),\ S({t}_{0},{t}_{0})=1. 通过这个算符我们可以得到 Schrödinger 绘景与 Heisenberg 绘景之间的变换: {\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}=S(t,{t}_{0}){\left| \psi \right\rangle }^{\text{H},\ {O}^{\text{H}(t)={S}^{\dagger }(t,{t}_{0}){O}^{\text{S}S(t,{t}_{0}), 属于是 QM 里的老一套.

我们定义相互作用绘景的目的就是让相互作用理论下的场的演化能与自由理论中的 Heisenberg 绘景下的演化形式完全相同, 即定义 {O}^{\text{I}(t)\equiv {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{O}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}.

再由 ^{\text{I}\!\langle \psi (t)|{O}^{\text{I}(t){\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}{=}^{\text{S}\!\langle \psi (t)|{O}^{\text{S}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S} 结合上述定义可得: ^{\text{I}\!\langle \psi (t)|{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{O}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}{=}^{\text{S}\!\langle \psi (t)|{O}^{\text{S}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}, 由此可知 {\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}={\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}\Rightarrow {\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}.

接着只需结合前面四个变换就可以很自然地确定相互作用绘景与 Heisenberg 绘景间的变换了:

{O}^{\text{I}(t)\equiv {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{O}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}S(t,{t}_{0}){O}^{\text{H}(t){S}^{\dagger }(t,{t}_{0}){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})},{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}S(t,{t}_{0}){\left| \psi \right\rangle }^{\text{H}. 我们很自然地会想要规定 U(t,{t}_{0})\equiv {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}S(t,{t}_{0}) 好将上式化简为: {\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}=U(t,{t}_{0}){\left| \psi \right\rangle }^{\text{H},\ {O}^{\text{I}(t)=U(t,{t}_{0}){O}^{\text{H}(t){U}^{\dagger }(t,{t}_{0}).**这里一定要注意上面给出的**$\bm {U(t,{t}_{0})}$**的定义式中的**$\bm{t}_{0}$**必须是参考时刻**[[8]](#ref_8)**.**

对于哈密顿量的绘景变换有如下结论:

自由部分在相互作用绘景下与 Schrödinger 绘景下没区别: H_{0}^{\text{I}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}H_{0}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}=H_{0}^{\text{S}. 但总哈密顿量并没有这个性质: {H}^{\text{I}(t)={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{H}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}.所以相互作用部分就满足下面这个关系[[9]](#ref_9):H_{1}^{\text{I}(t)={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}({H}^{\text{S}-H_{0}^{\text{S}){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}={H}^{\text{I}(t)-H_{0}^{\text{S}. 总哈密顿量在 Heisenberg 绘景与 Schrödinger 绘景下也不是一回事: {H}^{\text{H}(t)\equiv {S}^{\dagger }(t,{t}_{0}){H}^{\text{S}(t)S(t,{t}_{0}).

至此我们共有 S(t,{t}_{0}),U(t,{t}_{0}),{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}H_{0}^{\mathrm{S}(t-{t}_{0})} 仨幺正演化算符, 分别由 {H}^{\text{S},H_{1}^{\text{I},H_{0}^{\text{S} 驱动.

由什么驱动终究是看它们是怎样的 Schrödinger 方程的解: \text{i}{\partial }_{0}S={H}^{\text{S}S,\ \ \text{i}{\partial }_{0}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}t}=H_{0}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}t},\ \ \text{i}{\partial }_{0}U=H_{1}^{\text{I}U.前面俩算符的幺正性是不言而喻[[10]](#ref_10)的, 而第三个算符的幺正性可以结合前面俩的幺正性给出.

最后咱得提一下的就是, 即使 Schrödinger 绘景下的哈密顿量 {H}^{\text{S} 是不含时的, 以至于 $S(t,t_0)$ 可以写成指数形式, 这个 $U(t,t_0)$ 也必须还得是用后面将要介绍的 Dyson 级数来表达. 这是因为它是由相互作用绘景下的哈密顿量 {H}_1^{\text{I}(t) 驱动的, 就是说这个哈密顿量它无论如何都一定会含时, 所以 $U(t,t_0)$ 一定不能被简单地写成普通指数映射出来的 {\text{e}^{-\text{i}H_{1}^{\text{I}(t-t_0)}.

这些演化算符的表象变换是怎样的呢? 虽然讨论这个完全没意义但如果搞明白了的话应该很简单.

嗯··· 不告诉你, 决定给认真看文的读者留作思考题.

前面的绘景变换可以总结如下:

\boxed{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}=S(t,{t}_{0}){\left| \psi \right\rangle }^{\text{H},\ \boxed{O}^{\text{H}(t)={S}^{\dagger }(t,{t}_{0}){O}^{\text{S}S(t,{t}_{0})}.{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S},\ \boxed{O}^{\text{I}(t)\equiv {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{O}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}.\boxed{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}=U(t,{t}_{0}){\left| \psi \right\rangle }^{\text{H},\ {O}^{\text{I}({t})=U(t,{t}_{0}){O}^{\text{H}({t}){U}^{\dagger }(t,{t}_{0}). 圈起来的都是以不发生演化的 {\left| \psi \right\rangle }^{\text{H} 与 {O}^{\text{S} 出发的式子, 它们展示了这些演化所受的驱动.

1.3. 相互作用绘景下的态演化算符的定义与性质:

但如果你想要连接不包含参考时刻 $t_0$ 的两个态就会比较麻烦, 比如说对 $t,t^{\prime }$ 两个时刻:

你得将 {\left| \psi ({t}') \right\rangle }^{\text{I}=U({t}',{t}_{0}){\left| \psi ({t}_{0}) \right\rangle }^{\text{I} 代入 {\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}=U(t,{t}_{0}){\left| \psi ({t}_{0}) \right\rangle }^{\text{I}. 才能得到 {\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}=U(t,{t}_{0}){U}^{\dagger }({t}',{t}_{0}){\left| \psi ({t}') \right\rangle }^{\text{I}. 对此我们可以理解为是先用 $U^{†}(t^{\prime },t_0)$ 把 {\left| \psi ({t}') \right\rangle }^{\text{I} 退回参考时刻 $t_0$ 后再演化到 $t.$ 这样看来应该有 $U^{†}(t^{\prime },t_0)=U(t_0,t^{\prime })$, 后面将证明这一点.

事实上我们可以更 general 地将定义 $t,t^{\prime }$ 两个时刻间的相互作用演化算符定义为:

U(t,{t}')\equiv U(t,{t}_{0}){U}^{\dagger }({t}',{t}_{0})={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}S(t,{t}_{0}){S}^{\dagger }({t}',{t}_{0}){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}'-{t}_{0})}. 只需代入 $t^{\prime }=t_0$ 便可知这与开始定义的 U(t,{t}_{0})\equiv {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}S(t,{t}_{0}) 是自洽的.

由这个定义不难验证其满足 $U(t_3,t_2)U(t_2,t_1)=U(t_3,t_1)$ 这样的乘法性质:

\ \ \ \ {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}_{3}-{t}_{0})}{S}_{t}_{3},{t}_{0}S_{t}_{2},{t}_{0}^{\dagger }{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}_{2}-{t}_{0})}{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}_{2}-{t}_{0})}{S}_{t}_{2},{t}_{0}S_{t}_{1},{t}_{0}^{\dagger }{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}_{1}-{t}_{0})}={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}_{3}-{t}_{0})}{S}_{t}_{3},{t}_{0}S_{t}',{t}_{0}^{\dagger }{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}'-{t}_{0})}=U({t}_{3},{t}_{1}). 上面的 $S_{t,t^{\prime }}\equiv S(t,t^{\prime })$, 纯粹是写不下了只好这样换个符号.

再利用这个定义回过头来看 $U(t_0,t^{\prime })$ 是个什么东西:

U({t}_{0},{t}')={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}_{0}-{t}_{0})}S({t}_{0},{t}_{0}){S}^{\dagger }({t}',{t}_{0}){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}'-{t}_{0})}={S}^{\dagger }({t}',{t}_{0}){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}'-{t}_{0})}. 这的确与 $U(t,t_0)$ 的定义得到的 {U}^{\dagger }({t}',{t}_{0})={S}^{\dagger }({t}',{t}_{0}){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}'-{t}_{0})} 的结果是相容的.

1.4. 相互作用绘景下的态演化算符的 Dyson 级数表达式:

你要实在是懒得思考这个推导过程可以直接看下面这篇, 在这篇里我会给出一个比较糊弄的讲法:

https://www.zhihu.com/question/544556580/answer/2591618680由最初的 Schrödinger 方程 \text{i}{\partial }_{0}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}={H}^{\text{S}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S} 可以得到相互作用绘景下的方程:

$\text{i}{\partial }_{0}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}=\text{i}{\partial }_{0}\left[ {\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S} \right]$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\text{i}{\partial }_{0}{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}+{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}\text{i}{\partial }_{0}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S} $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ -H_{0}^{\text{S}+{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}{H}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{S}(t-{t}_{0})} \right]{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{S}(t-{t}_{0})}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}\$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left[ -H_{0}^{\text{S}+{H}^{\text{I}(t) \right]{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}=H_{1}^{\text{I}{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{I}.\$

这就是说有 \text{i}{\partial }_{0}U(t,{t}_{0})=H_{1}^{\text{I}(t)U(t,{t}_{0}), 结合条件 $U(t_0,t_0)=1$ 可以写成级数形式:

**虽然我们这里用的是**$\bm{t}_{0}$**但这只是为了好看,**$\bm{t}_{0}$**处可以是任意时刻, 不必要是参考时刻**[[11]](#ref_11).\text{d}U(t,{t}_{0})=-\text{i}H_{1}^{\text{I}(t)U(t,{t}_{0})\text{d}t\Rightarrow U(t,{t}_{0})=1-\text{i}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})U({t}_{1},{t}_{0})}. 再用 U({t}_{1},{t}_{0})=1-\text{i}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{2})U({t}_{2},{t}_{0})} 代入上式得到: U(t,{t}_{0})=1+(-\text{i})\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})}+{(-\text{i})}^{2}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})U({t}_{2},{t}_{0})}.

反复迭代即可得到这样特别鬼畜的级数: U(t,{t}_{0})=1+(-\text{i})\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})}+{(-\text{i})}^{2}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots +{(-\text{i})}^{n}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\cdots \int_{t}_{0}^{t}_{n-1}{\text{d}{t}_{n}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})\cdots H_{1}^{\text{I}({t}_{n})}+\cdots

单看级数的第三项不难[12]发现有这样的对称性:

\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}=\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{2}\int_{t}_{2}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}. 简单来讲就是二重积分区域满足 \int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}=\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{2}\int_{t}_{2}^{t}{\text{d}{t}_{1} 看不懂就重修高数. 或者从文字上来看就是 {t}_{0}<{t}_{2}<{t}_{1}<t 与 {t}_{0}<{t}_{2}<t,\ {t}_{2}<{t}_{1}<t 说的是一回事.

接着将右边那个式子中的 $t_1,t_2$ 交换一下, 这无非就是个符号上的重命名, 由此可得: \int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}=\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{1}^{t}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{2})H_{1}^{\text{I}({t}_{1})}.

对这两项加起来取平均可以得到下面这个关系: \ \ \ \ \int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}=\frac{1}{2}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\left( \int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}+\int_{t}_{1}^{t}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{2})H_{1}^{\text{I}({t}_{1})} \right)} *不难发现都是时间比较大的那个算符会排在左边, 所以可以用一个时序算符将两项统一. * $=\frac{1}{2}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\left\{ \int_{t}_{0}^{t}_{1}{\text{d}{t}_{2}\mathsf{T}\!\left[ H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2}) \right]}+\int_{t}_{1}^{t}{\text{d}{t}_{2}\mathsf{T}\!\left[ H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2}) \right]} \right\}$ $=\frac{1}{2}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{2}\mathsf{T}\!\left[ H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2}) \right]}.$

后面每一项都可以通过类似的操作最终得到一个更漂亮的级数:

$U(t,{t}_{0})=1+(-\text{i})\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})}+\frac{(-\text{i})}^{2}{2}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{2}\mathsf{T}\!\left[ H_{1}^{\text{I}({t}_{1})H_{1}^{\text{I}({t}_{2}) \right]}$ $\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\cdots +\frac{(-\text{i})}^{n}{n!}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}\cdots \int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{n}\mathsf{T}\!\left[ H_{1}^{\text{I}({t}_{1})\cdots H_{1}^{\text{I}({t}_{n}) \right]}+\cdots $

最后提出这个时序算符会得到一个像幂级数一样的东西: $U(t,{t}_{0})\!=\!\mathsf T\!\!\left[ 1\!-\text{i}\!\!\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})}\!+\!\frac{(-\text{i})}^{2}\!\!\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{1}H_{1}^{\text{I}({t}_{1})\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}{t}_{2}H_{1}^{\text{I}({t}_{2})}{2}\!+\!\cdots \right]\!\!.$

我们就用幂级数的记号来表达它, 这就是 Dyson 级数:

$U(t,{t}_{0})=\mathsf T\sum\limits_{n=0}{\frac{\left[ -\text{i}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}\tau H_{1}^{\text{I}(\tau )} \right]}^{n}{n!}\equiv \mathsf T{\text{e}^{-\text{i}\int_{t}_{0}^{t}{\text{d}\tau H_{1}^{\text{I}(\tau )}.$ 这里一般来说有 H_{1}^{\text{I}(t)=\int{\text{d}^{3}x{\mathcal{H}_{1}(t)}=-\int{\text{d}^{3}x{\mathcal{L}_{1}(t)}.

以后在场论中除了 $n$ 点关联函数这样一看就知道 Heisenberg 绘景下的式子外的任何式子只要不加额外说明就一定是处于相互作用绘景下的式子.

2. 渐近态与 Gell-Mann-Low 定理

2.1. 入态与出态:

这里首先要引入一个入态和出态的概念. 就是说我们相信相互作用只发生在有限的一段时间里, 而在无穷远的过去与将来这些粒子都是自由的, 于是我们管处于无穷远过去的态叫入态, 而处于无穷远将来的态则被称为出态. 搁对撞机里嗯撞出来的实验数据几乎可以说是唯一能证明这厚厚一本量子场论能与现实世界相联系的证据···

实验人员在进行对撞或者说散射实验前会制备一批确定量子数的自由单粒子态, 此时这些粒子间的距离完全可以视为无穷大, 所以它们之间完全没有任何相互作用. 接着的散射过程只发生在有限的时间里, 这个过程没人去研究也没人知道该如何去研究, 而散射过程结束后产生[13]的粒子们很快就会相互远离最后又构成一些自由的单粒子态.

所以我们可以说制备的就是入态, 而散射的产物就是出态. 入态的各个粒子之间没有相互作用, 出态亦然. 但这并不意味着它们就是自由理论中的单粒子态了, 这也是相对论性的相互作用场论比较麻烦的地方. 但为什么明明没有相互作用了还不能被自由理论所描述呢? 其实这是因为虽然粒子间不再有相互作用, 但粒子自己始终会与自己发生自相互作用[14]···

自相互作用可以粗浅地理解为相互作用项在自由单粒子的传播过程中也有贡献, 具体表现在单粒子传播过程的高圈修正的那些自能图上. 场论圈图中包含的圈动量会带来发散, 我们通过重整化消去这些发散时也会改变场论的参数. 比如说质量参数 $m$ 在重整化后就会变成[15]真实的粒子质量 {m}_{\text{R}. 无论是制备时还是散射后的粒子, 质量都不会是自由理论中的裸参数 $m$, 而一定是物理质量 {m}_{\text{R}.

此外还有束缚态的问题, 就是说理论中的几个基本粒子构成的一坨复合粒子也可以是入态或者出态粒子. 如果真的是自由理论的话那束缚这些基本粒子的相互作用也会消失, 那就没得玩了. 更不用说在 QCD 中所有的粒子都是复合粒子, 反而夸克这样的基本粒子是不存在单粒子态的.

所以虽然入态与初态是没有粒子间相互作用的自由状态, 但描述它们的仍不是那个无相互作用的自由理论, 而是一款参数被修正后的自由理论··· 算了这些暂时理解不了也没关系, 等到学完重整化后会变得稍微清晰一些.

于是形式散射理论中, 我们一般会认为任何一个态矢 $|\psi (t)⟩$ 都是由入态 $|\psi (-\infty )⟩$ 演化而来, 而最终要演化到出态 $|\psi (\infty )⟩$. 它们当然是由演化算符联系起来的:

{\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}=S(t,-\infty ){\left| \psi (-\infty ) \right\rangle }^{\text{S},\ {\left| \psi (\infty ) \right\rangle }^{\text{S}=S(\infty ,t){\left| \psi (t) \right\rangle }^{\text{S}.

在 Heisenberg 绘景下的产生湮灭算符 $a^{†}(t),a(t)$ 是很难捉摸的东西, 只有在无穷远的过去或无穷远的将来它们才能像在自由理论里那样履行产生湮灭粒子的职责. 于是我们就在时间的边境将入与出的自由粒子态定义如下:

我们将入态的单粒子态定义为 \sqrt{2{E}_{\vec{p}a_{\vec{p}^{\dagger }(-\infty )\left| \Omega \right\rangle, 则入态的多粒子态就定义为 \sqrt{2{E}_{\vec{p}\cdots 2{E}_{\vec{k}a_{\vec{p}^{\dagger }(-\infty )a_{\vec{k}^{\dagger }(-\infty )\left| \Omega \right\rangle . 我们将出态的单粒子态定义为 \sqrt{2{E}_{\vec{p}a_{\vec{p}^{\dagger }(\infty )\left| \Omega \right\rangle, 则出态的多粒子态就定义为 \sqrt{2{E}_{\vec{p}\cdots 2{E}_{\vec{k}a_{\vec{p}^{\dagger }(\infty )a_{\vec{k}^{\dagger }(\infty )\left| \Omega \right\rangle . 入态与初态都分别能张成这个理论的 Hilbert 空间, 它们都是完备的.

最后关于散射矩阵我再简单提一嘴, 有些材料上定义的散射矩阵是 $U(\infty ,-\infty )$, 然而有些材料中的散射矩阵指的却是 $S(\infty ,-\infty )$. 矛盾吗? 其实我认为造成差异的或是表象的选取, 而这两种定义下的 $S$ 矩阵元应该是一回事:

对于定义 $⟨\text{out}|S|\text{in}⟩\equiv ⟨\text{out}|U(\infty ,-\infty )|\text{in}⟩$ 的书其实是相互作用表象下的定义. 我们可以结合 U(t,{t}')={\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(t-{t}_{0})}S(t,{t}'){e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}({t}'-{t}_{0})} 来看到这一点: ^{\text{I}\!\!\left\langle \text{out} \right|S{\left| \text{in} \right\rangle }^{\text{I}\,{\equiv }\ ^{\text{I}\!\!\left\langle \text{out} \right|U(\infty ,-\infty ){\left| \text{in} \right\rangle }^{\text{I}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {=}^{\text{I}\!\!\left\langle \text{out} \right|{\text{e}^{\text{i}H_{0}^{\text{S}(\infty -{t}_{0})}S(\infty ,-\infty ){\text{e}^{-\text{i}H_{0}^{\text{S}(-\infty -{t}_{0})}{\left| \text{in} \right\rangle }^{\text{I}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {=}^{\text{S}\!\!\left\langle \text{out} \right|S(\infty ,-\infty ){\left| \text{in} \right\rangle }^{\text{S}. 可以看到最后就变成了 $⟨\text{out}|S|\text{in}⟩\equiv ⟨\text{out}|S(\infty ,-\infty )|\text{in}⟩$ 这套定义. 进一步在 Heisenberg 绘景下还有更奇怪的算符都消失了的情况: \ \ {\ }^{\mathrm{S}\!\!\left\langle \mathrm{out} \right|S\left( \infty ,-\infty \right){\left| \mathrm{in} \right\rangle }^{\mathrm{S}{=}^{\mathrm{H}\!\!\left\langle \mathrm{out} \right|{S}^{\dagger }\left( \infty ,{t}_{0} \right)S\left( \infty ,-\infty \right)S\left( -\infty ,{t}_{0} \right){\left| \mathrm{in} \right\rangle }^{\mathrm{H}{=}^{\mathrm{H}\!\!\left\langle \mathrm{out} \right|S\left( {t}_{0},\infty \right)S\left( \infty ,-\infty \right)S\left( -\infty ,{t}_{0} \right){\left| \mathrm{in} \right\rangle }^{\mathrm{H}{=}^{\mathrm{H}\!{\left\langle \mathrm{out} | \mathrm{in} \right\rangle }^{\mathrm{H}.

2.2. Gell-Mann-Low 定理:

我们现在希望找到相互作用真空 $|\Omega ⟩$ 与自由真空[16] $|0⟩$ 之间的关系, 它们都在某些条件下是湮灭算符的零本征值态. 现在我们只需通过演化算符把问题都引到参考时刻 $t_0$ 上去就好办了, 因为算符在参考时刻的各绘景下均相等.

在入态[[17]](#ref_17)有 $a_{\vec{p}^{\text{H}(-\infty )\left| \Omega \right\rangle =0$, 这就是 ${S}^{\dagger }(-\infty ,{t}_{0})a_{\vec{p}^{\text{S}S(-\infty ,{t}_{0})\left| \Omega \right\rangle =0.$自由湮灭算符满足 $a_{\vec{p}^{\text{I}(-\infty )\left| 0 \right\rangle =0$ [[18]](#ref_18), 这里的自由算符指是相互作用绘景下的算符[[19]](#ref_19). 顺带一提自由湮灭算符满足 a_{\vec{p}^{\text{I}(t)={\text{e}^{\text{i}{H}_{0}(t-{t}_{0})}a_{\vec{p}^{\text{S}{\text{e}^{-\text{i}{H}_{0}(t-{t}_{0})}={\text{e}^{-\text{i}{E}_{\vec{p}(t-{t}_{0})}a_{\vec{p}^{\text{S}.

作为相同[20]湮灭算符的零本征值态的 $S(-\infty ,t_0)|\Omega ⟩$ 与 {\text{e}^{-\text{i}{H}_{0}(-\infty -{t}_{0})}\left| 0 \right\rangle 线性相关[21].

这就是说存在一个数 {\mathcal{N}_{\rm{in} } 使得 \left| \Omega \right\rangle ={\mathcal{N}_{\text{in}{S}^{\dagger }(-\infty ,{t}_{0}){\text{e}^{-\text{i}{H}_{0}(-\infty -{t}_{0})}\left| 0 \right\rangle\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\mathcal{N}_{\rm in }{U}^{\dagger }(-\infty ,{t}_{0})\left| 0 \right\rangle. 再考虑出态, 类似地也将存在一个数 {\mathcal{N}_{\rm{out} }使得 \left\langle \Omega \right|={\mathcal{N}_{\rm{out} }\left\langle 0 \right|U(\infty ,{t}_{0}).

上面联系自由真空与相互作用真空的式子就叫 Gell-Mann-Low 定理. 由此我们就可以将相互作用场论中的关联函数完全用自由理论中的物体来表达[22]:

首先我们的关联函数指的是编时关联函数 $\left\langle \Omega \right|\mathsf{T}\!\left[ {\Phi }^{\text{H}({x}_{a}){\Phi }^{\text{H}({x}_{b})\cdots {\Phi }^{\text{H}({x}_{z}) \right]\!\left| \Omega \right\rangle. $ 那我们不妨将排好的时序从大到小地记作 $t_1,t_2,\cdots ,t_n$, 这样一来就有: $\left\langle \Omega \right|\mathsf{T}\!\left[ {\Phi }^{\text{H}({x}_{1}){\Phi }^{\text{H}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{H}({x}_{n}) \right]\!\left| \Omega \right\rangle\!=\!\left\langle \Omega \right| {\Phi }^{\text{H}({x}_{1}){\Phi }^{\text{H}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{H}({x}_{n}) \!\left| \Omega \right\rangle.$

接着我们将上式右边的部分都转化成自由理论中的物体: \ \ \ \ \!\left\langle \Omega \right| {\Phi }^{\text{H}({x}_{1}){\Phi }^{\text{H}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{H}({x}_{n}) \!\left| \Omega \right\rangle=\langle \Omega |U_{t}_{1},{t}_{0}^{\dagger }{\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){U}_{t}_{1},{t}_{0}U_{t}_{2},{t}_{0}^{\dagger }{\Phi }^{\text{I}({x}_{2}){U}_{t}_{2},{t}_{0}\cdots U_{t}_{n},{t}_{0}^{\dagger }{\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){U}_{t}_{n},{t}_{0}\left| \Omega \right\rangle=\langle \Omega |U_{t}_{1},{t}_{0}^{\dagger }{\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){U}_{t}_{1},{t}_{2}{\Phi }^{\text{I}({x}_{2}){U}_{t}_{2},{t}_{3}\cdots {U}_{t}_{n-1},{t}_{n}{\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){U}_{t}_{n},{t}_{0}\left| \Omega \right\rangle={\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|{U}_{\infty ,{t}_{1}{\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){U}_{t}_{1},{t}_{2}{\Phi }^{\text{I}({x}_{2}){U}_{t}_{2},{t}_{3}\cdots {U}_{t}_{n-1},{t}_{n}{\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){U}_{t}_{n},-\infty }\left| 0 \right\rangle. 你不难发现上面这一切仍是符合时序的, 首先场算符们当然都是符合时序的, 而这些演化算符本质上就是一些场算符的积分··· 其实就是极限求和啦, 然后它们还都是内部自带编时的物体, 这就意味着 {U}_{t}_{m},{t}_{n} 实际上是一个由时间点介于 $t_m$ 与 $t_n$ 之间的场算符构成的时序多项式.

So, you know, you just know: \ \ \ \ {\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|{U}_{\infty ,{t}_{1}{\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){U}_{t}_{1},{t}_{2}{\Phi }^{\text{I}({x}_{2}){U}_{t}_{2},{t}_{3}\cdots {U}_{t}_{n-1},{t}_{n}{\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){U}_{t}_{n},-\infty }\left| 0 \right\rangle $={\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|\mathsf T\!\left[ {U}_{\infty ,{t}_{1}{\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){U}_{t}_{1},{t}_{2}{\Phi }^{\text{I}({x}_{2}){U}_{t}_{2},{t}_{3}\cdots {U}_{t}_{n-1},{t}_{n}{\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){U}_{t}_{n},-\infty } \right]\left| 0 \right\rangle$ $={\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|\mathsf T\!\left[ {\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){\Phi }^{\text{I}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){U}_{\infty ,{t}_{1}{U}_{t}_{1},{t}_{2}\cdots {U}_{t}_{n-1},{t}_{n}{U}_{t}_{n},-\infty } \right]\left| 0 \right\rangle $ $={\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|\mathsf T\!\left[ {\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){\Phi }^{\text{I}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{I}({x}_{n})U(\infty ,-\infty ) \right]\left| 0 \right\rangle $ [[23]](#ref_23).

最后我们只要把上面内三段连起来基本上就全搞定了: $\ \ \ \ \left\langle \Omega \right|\mathsf{T}\!\left[ {\Phi }^{\text{H}({x}_{1}){\Phi }^{\text{H}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{H}({x}_{n}) \right]\!\left| \Omega \right\rangle\!$ $={\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|\mathsf T\!\left[ {\Phi }^{\text{I}({x}_{1}){\Phi }^{\text{I}({x}_{2})\cdots {\Phi }^{\text{I}({x}_{n})U(\infty ,-\infty ) \right]\left| 0 \right\rangle .$

最后只需确定系数 {\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out} 后再代入 U(\infty ,-\infty )=\mathsf T{\text{e}^{-\text{i}\int{\text{d}^{4}x\mathcal{H}_{1}^{\text{I}即可.

系数由归一化条件确定: 1=\left\langle \Omega | \Omega \right\rangle ={\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}\langle 0|U(\infty ,-\infty )\left| 0 \right\rangle \Rightarrow {\mathcal{N}_{\text{in}{\mathcal{N}_{\text{out}=\frac{1}{\langle 0|U(\infty ,-\infty )\left| 0 \right\rangle }.

然后我们就得到了微扰理论中最重要的一个结论:

\langle \Omega |\mathsf T\!\left[ {\Phi }^{\text{H}({x}_{1})\cdots {\Phi }^{\text{H}({x}_{n}) \right]\left| \Omega \right\rangle =\frac{\langle 0|\mathsf T\left[ {\Phi }^{\text{I}({x}_{1})\cdots {\Phi }^{\text{I}({x}_{n}){\text{e}^{-\text{i}\int{\text{d}^{4}x\mathcal{H}_{1}^{\text{I} \right]\left| 0 \right\rangle }{\langle 0|\mathsf T{\text{e}^{-\text{i}\int{\text{d}^{4}x\mathcal{H}_{1}^{\text{I}\left| 0 \right\rangle }.

关于微扰理论在下文中有进一步的介绍, 这也是 Feynman 图的来源:

https://www.zhihu.com/question/266435083/answer/2447183807## 参考

• ^Peskin 的毛病可多了去了, 经常被敷衍了你还不能跟作者当面对质, 只能嗯生气属于是.
• ^其实一开始看几乎所有材料上都没有考虑含时的可能性, 但后来看到 Schwartz 的说法就觉得还是他这套更酷一些. 而且我觉得至少凝聚态那边百分百会有些奇奇怪怪的含时场论, 所以就觉得还是写得更 general 一点会比较好, 这样还能跟 QM 统一起来. 其实也不尽然是为了写出更 general 的形式, 就你不难发现我们在场论中一般来说确实是可以不需要总哈密顿量驱动的演化算符的具体形式的, 不需要的东西就不要添进来.
• ^是的, 市面上的量子场论虽然看起来都很类似, 但基本上都不是同一款理论··· 这玩意儿还在发展中, 所以大家尽可以按照自己的审美去判断.
• ^纯个人观点, 不一定对.
• ^可以理解为是将函数解析延拓到复数域恰好能通过留数定理用一个无穷小的参数表达两个阶跃函数之和, 即一个纯粹的数学上的 trick.
• ^或者也可能有相当一部分人从来就没想过这个事儿, 反正就是没人谈这个.
• ^标量场的话就可以去掉角标 a 了.
• ^更 general 的式子将在下一节给出.
• ^这个关系在 1.4 节的 Dyson 级数那一段还要用到, 心里先留点儿印象.
• ^搞不懂的建议回去重修量子力学.
• ^这是显然的, 因为我们前面已经扩充了演化算符的 general 定义了, 所以 Schrödinger 方程中的时间起点可以任意设置.
• ^看你高数学得够不够好了.
• ^也可能就是原来那波粒子, 就蹭蹭, 不上真家伙.
• ^很玄学对吧? 没办法, 量子场论就是这么玄学.
• ^其实准确来说并不是 m 会变成 m_R, 而是 m 必须被人为发散然后和另外一个发散参数共同合成 m_R.
• ^因为这玩意儿通常就是在微扰论里才会出现, 所以又被称为微扰真空.
• ^别忘了这些单粒子态都是定义在 Heisenberg 绘景下的.
• ^这里甚至不需要取确定时刻, 毕竟自由理论的产生湮灭算符随时间的演化只会带来一个相位因子的改变, 所以在任意时刻这个式子都是成立的.
• ^因为只有相互作用绘景下的算符才能跟自由理论保持步调一致.
• ^因为这俩湮灭算符都处于参考时刻, 所以它们的绘景不同也没啥关系.
• ^我记得湮灭算符的本征值都是非简并的, 就是相干态, 具有超完备性. 顺带一提产生算符是没有本征态的, 也很容易证明来着.
• ^等下又会有演化算符的经典下标, 因为我又经典写不下了, 理解一下.
• ^突然又写得下了, 还是不喜欢下标, 赶紧又改回来了.