重整化 PT. 1 - 女孩子必须要明白的一些关于重整化的道理

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/524922325
• 发布日期: 2022-06-14
• 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算

我知道有超级超级多人都在等这个系列, 因为对『没人能一次性学懂量子场论』这个事实贡献最大的或许就是所谓的重整化理论了. 你要能选门课或者看本书就给它整明白, 那我就能让垃圾臭狗屎比例站播放无删减的动画片.

主要是刚学重整化的你, 一定不具备理解重整化的能力, 而那些写书的教授又总希望能一次性就把问题都讲清楚以至于很多基础的问题都呈现得比较零碎, 再考虑到不同人还有不同的理解角度, 这样的结果就是任何一门课或一本书都很难让人满意. 我当然也不可能一次性就给你彻底整明白.

所以我的目标将只设立在忽悠的层面上, 就是让你以为自己明白了, 然后无知者无畏地继续学下去. 这样若干年后你或许就会惊讶地发现自己竟然没怎么动脑地就越过了一座大山. 不过你可以放心的是, 虽然理论上我会有所隐瞒但具体到计算都是完全正确的[1].

要知道在学习这个事儿上, 花费时间是必须的, 但受苦不是.

介绍重整化那重点就是重整化理论本身, 所以就先用标量场的 ${\varphi }^4$ 理论来理清思路, 开局整太复杂鉴定为没事找事. 好吧其实后面讨论可重整性的时候, 矢量场、旋量场和标量场之间的区别就没介绍关联函数时那么 trivial 了, 毕竟··· 哎到时候再说吧.

另外像一些常用的定理与 Feynman 图之类的前置知识你得懂, 或者参考下文补补:

https://www.zhihu.com/question/365669038/answer/2460633052## 目録

1. 重整化理论到底说了个什么事儿?

1.1. 正规化与重整化方案 1.2. 不同的正规化提供了不同的扭曲手段, 那计算结果还等价吗? 1.3. 重整化与算圈图 1.4. 接下来的内容

2. 老土的走一步算一步重整化

2.1. 两点关联函数与 Feynman 图 2.2. 几何级数与 1PI 图 2.3. 质量与场强的重整化 2.4. 耦合常数的重整化 2.5. 参考点的选取

3. 有章可循的 BPH 重整化

1. 重整化理论到底说了个什么事儿?

第一章都是些 hand-waving 的感想, 没学过重整化的人看着觉得云里雾里是正常的, 但学重整化的时候心里要没这些底子又会觉得整个构架都乱七八糟的. 所以这一章不要求你一次看懂, 而看后面几章的时候得再时不时地反回来看看, 应该总会有些新的理解. 另外就是, 第一章给出的这些结论并不是完全精确的, 只是说初学的时候你这么想会很有益. 更深层的理解与定量的讨论当然还是得具体算到了才能讲的.

1.1. 正规化与重整化方案:

催生重整化的是量子场论中大量出现的发散问题[2], 而发散源于理论本身的局限性. 就是说它本身只是个有效理论, 这意味着它的描述尺度有一定的范围限制, 即在某个能标开始再往上走或者某个尺度开始再往下探就会失效. 这种情形对我们来说是不陌生的, 因为所有的物理模型都只是现实世界的近似模型, 而所有的物理理论都只是有效理论.

自然单位制下距离量纲与能量量纲互为倒数, 所以我们口中的能标高和尺度小指的是一回事.

所以如果我们硬是要把描述不了的能标也纳入具体计算的话显然是会出问题的. 啥问题呢? 其实就是发散. 那么暂时规避这个发散的路子就很清晰了, 就是想办法把描述不了的高能标区域给它扭曲掉呗. 而这个扭曲的过程就叫做正规化, 是具体计算的第一步, 它通常能将发散参数化后分离出来. 正规化的手段是不唯一的, 最粗暴的做法就是紫外截断, 即设定一个积分上限参数直接把理论失效的积分区域删掉, 但这样会破坏理论的时空对称性. 所以我们将重点介绍的是更魔幻的维数正规化, 它能在保持几乎所有对称性的情况下扭曲理论并将其中的发散参数化.

对正规化参数取极限后理论的扭曲也会随之被取消, 所以如果在消除发散之前取了极限那该发散的就还是会发散. 比如说紫外截断正规化后理论的发散会以截断能标的形式表现出来, 如果你让截断能标趋于无穷那还是会发散. 所以总的来说正规化就只是让莫名其妙的发散暂时转变成了良定义的发散罢了. 而计算出来的最终结果是不能依赖于正规化参数的, 这是对模型预言能力的基本要求.

正规化将计算中的发散参数化后拎了出来, 所以具体计算的第二步就是选择一款重整化方案来消除这些参数发散. 比如说把积分上限从 $\infty$ 改为截断能标 $\Lambda$ 或将时空维度从 $4$ 维改为 $4-\epsilon$ 维都能使发散的积分收敛到 $\ln \Lambda$ 或者 $1/\epsilon$ 之类的因子上, 但最后我们都必须取极限 $\Lambda \to \infty$ 或 $\epsilon \to 0$ 才能得到最终的计算结果. 所以如果在取极限前不想办法消掉这些发散因子的话最后还是会发散, 而发散的移除就要通过一款确定的重整化方案来完成.

但无论你选择哪套方案, 消除发散的原理归根结底都是令场论中原有的参数趋于无穷来与这些发散相抵消使计算的结果有限且不再依赖于正规化带来的参数··· 我知道这听着很扯, 但这么做确实能跟实验结果对上. 不过在 Wilson 的有效场论的观点下这一切就能显得合理许多. 但我会讲吗? 很难说, 因为要先讲路径积分就感觉很麻烦.

其实如果采取的是紫外截断这样粗暴简单的正规化方法的话, 那即便不引入重整化方案也能得到一个结果. 这是因为我们选择重整化方案的目的是让最终的计算结果不再依赖于正规化时引入的参数. 而紫外截断正规化出来的结果虽然依赖于截断能标这个参数, 但其实只要你的截断能标取在 Planck 能标附近而别让它真的趋于无穷的话就不会发散, 至于具体取得高点儿低点儿其实对计算结果的影响都不大, 毕竟只是对数发散. 就是说虽然最后得到的是一个参数依赖的结果, 但这个结果对参数的变动并不那么敏感.

1.2. 不同的正规化提供了不同的扭曲手段, 那计算结果还等价吗?

答案是等价的, 因为理论刻画不了的高能标物理对我们所关心的能标下的结果几乎没有影响, 就像你处理小滑块儿时并不需要量子理论来辅助你得到正确的结论那样. 就是说无论你的量子力学学得有多烂都不妨碍你学好经典力学, 因为量子理论所处的能标根本影响不了经典力学层面的物理. 所以你在处理经典力学的问题时尽可以随意地扭曲量子理论, 得到的解是不会受影响的.

这种模型精细度不够导致的发散其实在经典力学的层面上就出现过. 当年计算从空中释放一个弹力球到弹力球彻底静止这个过程所需的时间时, 你算出来的其实就是一个对数发散的时间. 这是因为模型中的弹力球它永远不会静止, 它总能不断地反弹, 只是反弹的高度越来越低罢了. 而现实世界中的球终究是要静止下来的, 不过静止的原因其实我们就没必要去细究了, 因为深究下去就没完没了了, 难道要从小球原子与地面原子之间的电磁力的层面考虑起? 我们的做法是什么呢? 我们只要人为地设定一个反弹高度为静止的标准即可, 这就是一种截断. 最终得到时间精度已经完全足够了, 满足需求即可, 毕竟这就只是一门关于近似的科学. 评论区说它时间收敛, 我想了想其实好像还真是收敛的··· 那就可能是我记错了, 可能是其它模型里的发散? 电磁学里的模型? 我早忘了, 但这似乎也并不会影响我们的结论, 你时间那就考察反弹次数呗, 理论中的反弹次数是发散的, 然而现实无论则是反弹次数还是时间都是收敛的, 所以这个模型还是有毛病. 而且你真要去做这个实验测出来的总耗时会是那个收敛出来的时间吗?

其实正规化的本质就是通过引入参数来赋予一些没有定义的解一个严格的含参定义, 然后我们会在这个有严格的定义的参数式上进行数学操作, 操作完再对参数取极限将所得的结果延拓回去得到一个有严格定义的无参解. 那么取完极限后我感觉正规化的影响也就被消除了, 所以不同的正规化给出的结果都等价这个结论还是蛮自然的.

另外你得知道这些发散都是非物理的, 就是说如果我们的理论一开始就是从物理观测量出发去算物理观测量的话, 那就根本不会出现发散. 但这样的理论形式可能是丑陋无比的, 至少我没见过. 所以我们在实践上会选择从非物理的拉氏量出发去研究量子场, 等碰到了非物理的发散后, 再通过使拉氏量里的参数发散的做法来获得有限的物理解, 而在背后支持这个做法的就是重整化理论.

前面说的非物理的拉氏量指的是假定了耦合常数与质量等参数有限的拉氏量, 这样的拉氏量给出的关联函数在数学上是纯纯的病态物体. 重整化理论指出了治病的方法, 那就是先让这些参数都发散掉, 再分成有限的物理观测量和发散的抵消项两部分, 而这样本身就带有发散的病态拉氏量下的理论反而能给出有限的物理解.

所以我们选择的非物理拉氏量其实是一款用于连接不同能标下物理观测量[3]的非物理模型, 而这个连接的方法就是重整化. 那从这个角度来看正规化与重整化方案的选取自然也是非物理的, 所以它们不会影响理论的最终结果.

1.3. 重整化与算圈图:

重整化前的 ${\varphi }^4$ 理论拉氏量: $\mathcal{L}=\frac{1}{2}{({\partial }_{\mu }\varphi )}^2-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4.$

重整化后的 ${\varphi }^4$ 理论拉氏量: $\mathcal{L}=\frac{1}{2}{({\partial }_{\mu }\varphi )}^2-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }^2-\frac{\lambda }{4!}{\varphi }^4.$

是的, 它俩长得是一模一样的, 区别就只在于理论参数 $m$ 与 $\lambda$ 以及场强本身在前者被认为是有限量而在后者被认为是可以发散的. 所以我们什么都不用做就可以指着原先的拉氏量说我们已经做完了重整化, 理论给出的解也不再含有发散了.

但问题是为啥把理论参数发散掉就能得到物理解呢? 我说是就是了? 这当然不能让人信服, 所以我关于重整化理论的阐述简单来说可以分为三个步骤:

• (1). 先搞出个发散给你看看, 让你相信有限的理论参数带来的关联函数确实是病态的.
• (2). 指着开局的拉氏量说重整化已经做完了, 现在算出来的物理解中已经不存在发散了.
• (3). 具体去算下, 并让计算过程表面理论参数必须被调整甚至发散掉才能给出有限的解.

第一步是很简单的, 但篇幅可能也不小, 我估计会另开一篇文连着 Wick 转动之类的东西一起讲讲. 第二步什么都不用做, 就是指着最初的那个拉氏量说理论已经是重整化后的了, 而拉氏量中的参数都是发散的. 至于第三步就是传说中的算圈图了, 因为我们最关心的就是关联函数, 而关联函数在微扰论中可以被展开为一大堆 Feynman 图来一阶阶地算, 所以那些发散就转移到 Feynman 图里了, 具体而言是转移到了圈图里, 所以我们的重点就是算圈图.

而开局的正规化与重整化方案就是用来具体去算圈图的东西. 虽然理论给出的结果已经不发散了, 但要具体计算出个结果来还是不容易的, 得先选好正规化方法与重整化方案才能一圈圈地实际去算.

然而圈图是超妈难算的东西, 所以我只打算将结果精确到一圈图, 即将结果精确到 $\lambda$ 或 ${\lambda }^2$ 阶[4]. 至于 $O({\lambda }^3)$ 乃至更高阶的高圈图都将被视为微小修正直接扔掉. 这个时候你可别问我高圈图里甚至可能含有更高阶的发散怎么能直接扔掉了, 就是说咱这都是重整化之后的理论了, 所以高圈图就只代表高阶的量子修正而不会再含有发散了.

1.4. 接下来的内容:

我暂时只写了三章: 第一章你已经快看完了; 第二章将用一个很老土的程序过一遍重整化理论; 而第三章将用一个被称为 BPH 重整化的很 fashion 的重整化程序再过上一遍该理论, 在这个过程中还会具体引入最魔幻也最实用的维数正规化与最神奇也最清爽的最小剪除重整化方案. 那第四章估计就是讲讲重整化群, 再往后我就不知道了··· 算算 QED? 讨论发散度? 有效场论?

你可不要傻乎乎地跳过第二章噢. 后面的 BPH 重整化虽然很 fashion 但拉氏量里看起来会好像凭空多出了些东西, 所以直接嗯冲会很诡异. 然而大多数教科书都是这么搞的··· 所以我当年就狠狠滴被诡异了一波. 其实 BPH 重整化程序的拉氏量里并没有多出什么东西来, 而就只是拉氏量变了个形罢了. 连着看的话也不难发现第二章和第三章的程序本质上是一回事, 只是第三章的这款 BPH 重整化程序会显得更有条理也更具操作性罢了.

最后就是, 正规化方法与重整化方案在本系列中应该都各只打算介绍两款:

• 维数正规化: 规范理论下最流行的方法, 不仅操作简单还能很大程度上地保住对称性[5].
• 紫外截断正规化: 简单粗暴又直观还有助于理解有效场论.
• 在壳重整化方案: 直观, 就真的超妈直观, 有助于理解最小减除方案. 它的优点就是没有最小减除方案的缺点, 是的, 地球人的眼里基本上就只有这俩方案.
• 最小减除重整化方案: 简单, 就纯纯的[6]操作简单所以很潮很流行. 但因不在壳所以传播子在物理质量处的留数不再是 $1$[7], 这将导致我们可能要在 Feynman 规则的外线上添个因子.

其它的正规化方法与重整化方案呢? 不潮不用花时间, 兴致到了可能提两嘴, 反正肯定用不上.

参考

• ^不会像 Peskin 那样先给你算出个错的来···
• ^不过即便没有发散我们也仍然需要做重整化, 但这就是后话了, 你可以先装不知道.
• ^这个将理论转变为从物理观测量出发预测物理观测量的过程就是重整化的核心思想, 你可以先强行记住这个结论.
• ^两点关联函数的一圈图是 λ 阶的, 而四点关联函数的一圈图是 λ^2 阶的.
• ^而且还很神秘, 毕竟什么叫连续维度?
• ^这里到底是「的」还是「地」啊? 我受不了了, 我疯了.
• ^而且算出来的质量也不是物理质量, 会有一丢丢区别.