P, C 变换与旋量场及流算符的 P, C 宇称量子数

• 原文: https://zhuanlan.zhihu.com/p/591789284
• 发布日期: 2022-12-15
• 分类: 粒子物理 / QFT / 场论计算

全文的 $\Gamma$ 均泛指 Dirac 旋量空间上的任意 (1,1) 型张量, 即 {\rm{Cl}(1,3) 中的任意元素. 详见: [東雲正樹 - 狄拉克伽马矩阵 (Dirac gamma matrices)](https://zhuanlan.zhihu.com/p/399908095).

• 对旋量场的 P, C 变换又要涉及到旋量场的场论构造, 这里真的很几把麻烦[1], 我看一遍都心累别说写一遍了. 所以本文将只给出作为结论的作用效果, 至于结论的论证过程, 你自己去看场论书. 每个人都应该看一遍, 然而看完了也记不住其实也没啥用.
• 分立变换其实有 P, C, T 三个以及它们的联合变换, 有机会的话我可能会仔细讲讲这个内容, 里面还蛮多酷东西的, 总之很科幻, 但没啥用. 这个时间反演的 T 变换我是真从来没用到过, 而且它好像还是我所知的唯一的反幺正算符, 总之是个很讨厌的东西.
• 而我们这次讲的东西就超妈有大作用, 所以这篇可能还是实用为主吧.
• 因为可以用旋量场的双线性形表达各种规格的张量场, 所以这里就只讲最重要的旋量场的变换.
• 所谓的流算符指的就是用旋量场 $\psi$ 拼出来的长 $\bar{\psi }\Gamma \psi$ 这样的东西, 当然也还有更复杂些的构造. 但它是什么呢? 我只能说懂的都懂. 这个东西是量子场论与标准模型的精华内容, 我以后会介绍, 而本文将仅限于讲讲怎么计算它们的 P, C 宇称.

关于 C 变换的一些更详细的讲解可参考下文:

https://zhuanlan.zhihu.com/p/2049455800079356223## 目録

1. 宇称与 P, C 变换

1.1. P 变换或宇称变换指的就是空间反演变换, 相应的量子算符为宇称算符 $U_{\mathcal{P}}$ 1.2. C 变换或电荷共轭变换指的就是正反粒子互换变换, 相应的量子算符为 $U_C$ 1.3. 第一部分的总结与算符的 P, C 宇称

1.5. 莫名其妙的转置

2. 旋量场及流算符的 P 变换

2.1. 涉及到的三个表示 2.2. 变换效果 2.3. 流算符的 P 宇称

3. 旋量场及流算符的 C 变换

3.1. 变换效果 3.2. 流算符的 C 宇称

1. 宇称与 P, C 变换

对物理体系的 P, C 变换分别指的是宇称变换与电荷共轭变换. 相应的变换算符一般指的都是 Hillbert 空间上的幺正变换算符, 因为物理粒子是用量子态来描述的嘛.

1.1. P 变换或宇称变换指的就是空间反演变换, 相应的量子算符为宇称算符 ${\mathbf{U}}_{\mathcal{P}}:$

(1). 宇称算符 $U_{\mathcal{P}}$ 由式子 {U}_{\mathcal P}\left| {\vec{x} \right\rangle =\left| -\vec{x} \right\rangle 定义:

• 其中的 \left| {\vec{x} \right\rangle 为位置算符 {\vec{X} 的本征态, 详见: 位置矢量的本征值.

(2). P 变换下波函数的变化为 $\psi (\vec{x})\to \psi (-\vec{x}):$

• 任意量子态均可用坐标基矢展开 \left| \psi \right\rangle =\int{\rm{d}^{3}x}\ \psi (\vec{x})\left| {\vec{x} \right\rangle =\int{\rm{d}^{3}x}\ \psi (-\vec{x})\left| -\vec{x} \right\rangle .
• 于是 {U}_{\mathcal P}\left| \psi \right\rangle =\int{\rm{d}^{3}{x}'}\ \psi (-{\vec{x}'){U}_{\mathcal P}\left| -{\vec{x}' \right\rangle =\int{\rm{d}^{3}{x}'}\ \psi (-{\vec{x}')\left| {\vec{x}'} \right\rangle .
• 所以 \langle \vec{x}|{U}_{\mathcal P}\left| \psi \right\rangle =\int{\rm{d}^{3}{x}'}\ \psi (-{\vec{x}')\left\langle \vec{x}|{\vec{x}' \right\rangle =\int{\rm{d}^{3}{x}'}\ \psi (-{\vec{x}')\delta (\vec{x}-{\vec{x}')=\psi (-\vec{x}).

(3). $U_{\mathcal{P}}$ 是厄米算符, 这很显然:

• 对任意量子态 $|\psi ⟩$ 均有 \left\langle {\vec{x} \right|{U}_{\mathcal P}\left| \psi \right\rangle =\psi (-x)=\left\langle -\vec{x} | \psi \right\rangle .
• 上式说明 \left\langle {\vec{x} \right|{U}_{\mathcal P}=\left\langle {\vec{x} \right|U_{\mathcal P}^{\dagger }=\left\langle -\vec{x} \right|\Rightarrow U_{\mathcal P}^{\dagger }={U}_{\mathcal P}.

(4). $U_{\mathcal{P}}$ 的本征值只能是 $\pm 1:$

• 显然 $U_{\mathcal{P}}^{2n}=I,U_P^{2n+1}=U_{\mathcal{P}},n\in \mathbb{N}$, 其中 $I$ 表示恒等算符.
• 于是若设 $|\Pi ⟩$ 为 $U_{\mathcal{P}}$ 的本征矢则有 $U_{\mathcal{P}}^2|\Pi ⟩=u_{\mathcal{P}}^2|\Pi ⟩=|\Pi ⟩.$
• 这意味这它的本征值的平方 $u_{\mathcal{P}}^2=1$, 所以本征值只能是 $\pm 1.$

(5). $U_{\mathcal{P}}$ 的本征值被称为 P 宇称, 所有的量子态都可以分成确定 P 宇称的两部分:

• 显然可以构造投影算符 $\frac{1}{2}\left(I\pm U_{\mathcal{P}}\right)$ 来拆分一个量子态.
• 首先这俩算符之和是恒等算符, 其次它们正交, 这用屁股都能看出来, 你自己去验证.
• 故任意态均可做拆分 $|\psi ⟩=\frac{1}{2}\left(I+U_{\mathcal{P}}\right)|\psi ⟩+\frac{1}{2}\left(I-U_{\mathcal{P}}\right)|\psi ⟩\equiv |{\psi }_{+}⟩+|{\psi }_{-}⟩.$
• 显然 $|{\psi }_{+}⟩,|{\psi }_{-}⟩$ 均为 $U_{\mathcal{P}}$ 的本征态, 分别具有 $+,-$ 宇称, 也是屁股都能看出来.
• 我们时常省略 $\pm 1$ 宇称的 $1$, 因为它只能是 $1$, 没啥必要写出来.

(6). 实际上 {U}_{\mathcal{P} 是 Lorentz 群在无穷维幺正表示下的一个元素:

• 即宇称变换 \mathcal{P}\in {\rm{O}(1,3), 详见: 浅谈洛伦兹群 (Lorentz group) 与洛伦兹代数.
• 在 Lorentz 群的四矢量表示下有 \mathcal{P}={\mathcal{P}^{-1}=\text{diag}\left( 1,-1,-1,-1 \right).
• 所以量子宇称变换算符实际上也可以写作 $U(\mathcal{P})$, 此时 $U$ 被视为无穷维幺正表示映射.

1.2. C 变换或电荷共轭变换指的就是正反粒子互换变换, 相应的量子算符为 ${\mathbf{U}}_C:$

(1). 旋量场体系的 $U_C$ 由式子 $U_C|+,\vec{p},\lambda ⟩={\zeta }_C|-,\vec{p},\lambda ⟩$ 定义:

• 其中的 $|+,\vec{p},\lambda ⟩,|-,\vec{p},\lambda ⟩$ 均为具有确定动量 {\vec{p} 与螺旋度 $\lambda =\pm$ 的单粒子态.
• 上述 $|+,\vec{p},\lambda ⟩,|-,\vec{p},\lambda ⟩$ 分别由正、反费米子的产生算符作用于真空产生.
• 至于 ${\zeta }_C$ 则仅为一个相位因子, 它将[2]满足 ${\left|{\zeta }_C\right|}^2=1.$

(2). $U_C$ 的本征值被称为 C 宇称, 与 1.1.(4) 类似, 也不难推知其本征值只能是 $\pm 1.$

• 所谓的具有确定 C 宇称的粒子就是相应的单粒子态为 $U_C$ 本征态的粒子.
• 我们时常省略 $\pm 1$ 宇称的 $1$, 因为它只能是 $1$, 没啥必要写出来.

(3). 与 $U_{\mathcal{P}}$ 一样 $U_C$ 也满足幺正厄米[3]性, 即有 $U_C^{†}=U_C^{-1}=U_C.$

1.3. 第一部分的总结与算符的 P, C 宇称:

(1). 简单地总结一下:

• 所谓的 P, C 变换分别指的是宇称变换与电荷共轭变换.
• 宇称变换是空间反演变换, 宇称变换算符的本征值被称为 P 宇称.
• 电荷共轭变换是正反粒子互换变换, 电荷共轭变换的本征值被称为 C 宇称.
• 为什么 C 变换的本征值也叫宇称? 没错, 就是为了让你混乱.
• 但如果只说宇称的话, 一般指的是 P 宇称. 为什么? 不为什么.
• 为什么明明是正反粒子互换却要叫电荷共轭变换? 别管了[4], 就是这样的.

(2). 上面说的都是量子态的变换, 对于算符, 我们能做相应的幺正变换:

• 上面提到的 P, C 变换对应的量子算符 {U}_{\mathcal{P},{U}_{C} 都是即厄米又幺正的算符.
• 幺正算符 $U$ 可以用来对任意算符 $\mathcal{O}$ 做幺正变换 $U\mathcal{O}{U}^{†}.$
• 幺正变换下有时会像 $U\mathcal{O}{U}^{†}=\alpha \mathcal{O}$ 这样变换前后仅相差一个系数 $\alpha .$
• 若执行的是 P, C 幺正变换, 则相应的系数系数 $\alpha$ 就被称为该算符的 P, C 宇称.
• 呃··· P, C 幺正变换均满足 $U^{†}=U^{-1}=U$ 所以像 $U^{†}\mathcal{O}U$ 这样变换也行.

1.5. 莫名其妙的转置

在量子场论或粒子物理相关的话题下常常会见到转置的旋量场与 Clifford 代数, 这是可以理解的. 因为我们的旋量场就是从它的分量出发定义的, 所以具体的运算下你得给旋量空间取一个具体表示与具体的标准正交基, 否则分量从何谈起呢?

那既然有具体的表示矩阵了, 那自然就可以出现转置等操作. 然而这里出现的转置其实是很微妙的东西, 你可以认为这仅仅就是把旋量的四个分量写成了列矩阵, 然后所有的转置就都是对这类矩阵的转置操作. 这类矩阵和 Dirac 矩阵在同一个表示空间里, 所以反过来说就是只要出现了转置就说明已经取定了 Dirac 或 Weyl 表示[5]. 但问题就在于, 所有的空间都可以出现转置, 所以你必须得搞清楚你当下处理的转置究竟是发生在旋量空间、颜色空间、色八重态空间还是 Hilbert 空间.

常常看到拿着旋量空间的转置把 Hilbert 空间的 dagger 里的转置抵消了的人··· 这实际上是不可饶恕的, 纯粹是在混淆视听. 但无奈的事可能业界大部分人都会这么做: [矩阵思维是什么意思?]

那么具体而言, 旋量空间的转置应该如何标记呢? 首先要知道旋量空间可是复线性空间, 这就意味着旋量空间本身也有 dagger, 那么旋量空间中的 dagger 和量子算符在 Hilbert 空间中的 dagger 啥关系呢? 为了能不跟你讨论这个问题, 我的建议是一开始就不要用转置去抵消任何 dagger 中的转置, 因为 Hilbert 空间很多时候都是无穷维的, 本就不一定存在良定义的转置操作.

其实如果让我来设计这些符号的话, 直接就不会在旋量场及其 Dirac 共轭场上引入转置符号. 很显然这样的记号是完全没有意义的, 因为当你把一个矢量放在一个二阶张量左边时, 只要你智力正常都该知道它在矩阵表示下应该写成行矩阵, 而放在二阶张量右边时自然应该写成列矩阵, 而不是强行地将旋量与列矩阵绑定.

但大多数人就这么做了, 这是因为最初不知道哪个混球将旋量与列矩阵绑定了, 然后将错就错地发展到了现在. 所以我们也只能入乡随俗地将旋量与列矩阵绑定, 这就意味着旋量的转置及其 Dirac 共轭量都被默认为行矩阵, 然后我们再为列矩阵分量赋予上标, 行矩阵分量赋予下标. 显然这么做就等于是直接用转置作为了线性空间到对偶空间的同构映射, 即放弃了复共轭操作的指标表达[6], 这也是你会看到很多人在进行这类运算时仅使用下标也能算出正确结果来的原因.

具体而言我们将这样处理指标问题:

• 首先 \psi \to {\psi }^{A},\ \bar{\psi }\to {\bar{\psi }_{A},\ {\psi }^{\rm{T}\to {\left( {\psi }^{\rm{T} \right)}_{A},\ \bar{\psi }\to {\left( {\bar{\psi }^{\rm{T} \right)}^{A}, 箭头右边写的是分量.
• 这里用大写字母是因为, 颜色和八重态指标出来以后, 我他吗实在是找不到能用的字母了[7].
• 然后要有 {\left( {\psi }^{\rm{T} \right)}_{A}={\psi }^{A},\ {\left( {\bar{\psi }^{\rm{T} \right)}^{A}={\bar{\psi }_{A}.
• 这是因为转置操作并不会对分量本身造成影响, 显然无论在行还是列矩阵, 第几分量都一样.
• 最后是 {\left( {\Gamma }^{\rm{T} \right)}^{A}_{B}={\Gamma }^{B}_{A}, 关键点在于指标的上下位置在转置下也必须改变.
• 心里清楚这些是很必要的, 下面举一例:
• 若定义夸克传播子[8] {\rm{i}{S_{ab}{\left( {x - y} \right)^A}_B \equiv \left\langle 0 \right|\mathsf T\left[ {\rm{q}_a}{\left( x \right)}^A}{\rm{\bar q}_b}{\left( y \right)}_B} \right]\left| 0 \right\rangle .
• 则必需有 \langle 0|\mathsf T\left[ {\rm{q}_{a}^{\rm{T}{\left( x \right)}_{A}{\rm{\bar{q}_{b}^{\rm{T}{\left( y \right)}^{B} \right]\left| 0 \right\rangle\ \ \ \ \ \ \ \ =\langle 0|\mathsf T\left[ {\rm{q}_{a}{\left( x \right)}^{A}{\rm{\bar{q}_{b}{\left( y \right)}_{B} \right]\left| 0 \right\rangle ={\rm{i}{S}_{ab}{(x-y)}^{A}_{B}={\rm{i}S_{ab}^{\rm{T}{(x-y)}^{B}_{A}.
• 注意最后一步的转置是必要的, 等你哪天真要算这个你就明白了, 不转置没法还原到矩阵.

上面和我们原来的约定: [[東雲正樹 - 終 · 一步到位的张量指标运算](https://zhuanlan.zhihu.com/p/359082678)] 是不太一样的, 这是因为我原来给出的约定下连接线性空间与对偶空间的同构映射不是转置而是 dagger.

2. 旋量场及流算符的 P 变换

简洁起见接下来均可能采用约定 {U}_{\mathcal{P}\equiv U(\mathcal{P}),\ {\psi }_{x}\equiv \psi (x),\ {x}_\mathcal{P}\equiv \mathcal{P}x={\mathcal{P}^{-1}x.

2.1. 涉及到的三个表示:

• 宇称变换通常指 Lorentz 群矢量表示中的元素 \mathcal{P}\in {\rm{O}(1,3).
• 宇称变换在无穷维幺正表示下记作 $U(\mathcal{P}).$
• 宇称变换在旋量表示下记作 $D(\mathcal{P})\equiv {\zeta }_P^{\ast }{\gamma }^0$, 其中 ${\zeta }_P^{\ast }$ 满足 $\left|{\zeta }_P\right|=1.$

2.2. 变换效果:

(1). 旋量场及其 Dirac 共轭场的变换效果:

• 对 Lorentz 矢量做 P 变换: {A}^{\mu }\to {\mathcal{P}^{\mu }_{\nu }{A}^{\nu }.
• 对旋量场做 P 变换: \psi (x)\to {U}^{\dagger }(\mathcal{P})\psi (x)U(\mathcal{P})=D(\mathcal{P})\psi ({\mathcal{P}^{-1}x)=\zeta _{P}^{*}{\gamma }^{0}\psi ({\mathcal{P}^{-1}x).
• 由上式得 {\bar{\psi }_{x}\to U_{\mathcal{P}^{\dagger }{\bar{\psi }_{x}{U}_{\mathcal{P}=U_{\mathcal{P}^{\dagger }\psi _{x}^{\dagger }{U}_{\mathcal{P}{\gamma }^{0}={\left( U_{\mathcal{P}^{\dagger }{\psi }_{x}{U}_{\mathcal{P} \right)}^{\dagger }{\gamma }^{0}={\zeta }_{P}{\bar{\psi }_{\mathcal{P}^{-1}x}{\gamma }^{0}.

(2). 旋量场及其 Dirac 共轭场的转置的变换效果:

• 对旋量场的转置做 P 变换: \psi _{x}^{\rm{T}\to U_{\mathcal{P}^{\dagger }\psi _{x}^{\rm{T}{U}_{\mathcal{P}={\left( U_{\mathcal{P}^{\dagger }{\psi }_{x}{U}_{\mathcal{P} \right)}^{\rm{T}=\zeta _{P}^{*}\psi _{\mathcal{P}^{-1}x}^{\rm{T}{\gamma }^{0}.
• 上式的原理就在于 P 变换是逐旋量分量变换的, 而旋量转置不影响量子幺正算符 {U}_{\mathcal{P}.
• 由上式得 \bar{\psi }_{x}^{\rm{T}\to U_{\mathcal{P}^{\dagger }\bar{\psi }_{x}^{\rm{T}{U}_{\mathcal{P}={\gamma }^{0}U_{\mathcal{P}^{\dagger }\psi _{x}^{\dagger {\rm{T}{U}_{\mathcal{P}={\gamma }^{0}{\left( U_{\mathcal{P}^{\dagger }\psi _{x}^{\rm{T}{U}_{\mathcal{P} \right)}^{\dagger }={\zeta }_{P}{\gamma }^{0}\bar{\psi }_{\mathcal{P}^{-1}x}^{\rm{T}.

(3). 流算符的变换效果:

• 对流算符做 P 变换: {\bar{\psi }_{x}\Gamma {\psi }_{x}\to U_{\mathcal{P}^{\dagger }{\bar{\psi }_{x}\Gamma {\psi }_{x}{U}_{\mathcal{P}=U_{\mathcal{P}^{\dagger }{\bar{\psi }_{x}{U}_{\mathcal{P}\Gamma U_{\mathcal{P}^{\dagger }{\psi }_{x}{U}_{\mathcal{P}={\bar{\psi }_{\mathcal{P}^{-1}x}{\gamma }^{0}\Gamma {\gamma }^{0}{\psi }_{\mathcal{P}^{-1}x}.
• 所以对流算符的 P 变换就归结为计算 ${\gamma }^0\Gamma {\gamma }^0$ 了, 常见结论如下:
• \boxed{\gamma }^{0}\mathbf{1}{\gamma }^{0}=\mathbf{1}\ \boxed{\gamma }^{0}{\gamma }^{5}{\gamma }^{0}=-{\gamma }^{5}\ \boxed{\gamma }^{0}{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{0}={\mathcal{P}^{\mu }_{\nu }{\gamma }^{\nu }\ \boxed{\gamma }^{0}{\sigma }^{\mu \nu }{\gamma }^{0}={\mathcal{P}^{\mu }_{\rho }{\mathcal{P}^{\nu }_{\sigma }{\sigma }^{\rho \sigma }

3.3. 流算符的 P 宇称:

下面直接对各类常见的流算符做 P 变换:

• \bar{\psi }(x)\psi (x)\to \bar{\psi }({x}_{\mathcal{P})\psi ({x}_{\mathcal{P}), 此即宇称为 $+$ 的标量流.
• \bar{\psi }(x){\gamma }^{5}\psi (x)\to -\bar{\psi }({x}_{\mathcal{P}){\gamma }^{5}\psi ({x}_{\mathcal{P}), 此即宇称为 $-$ 的赝标流.
• \bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }\psi (x)\to {\mathcal{P}^{\mu }_{\nu }\bar{\psi }({x}_{\mathcal{P}){\gamma }^{\nu }\psi ({x}_{\mathcal{P}), 此即宇称为 $-$ 的矢量流.

准确来说上面这个流算符的宇称应该记作 {(-)}^{\mu }\equiv {\rm{tr}{\left| {\gamma }^{\mu } \right|}^{2}/4. 这里记作 $-$ 是因为它和 Lorentz 矢量的宇称相同, 而三矢量的宇称就是 $-$ 的.

• \bar{\psi }(x){\gamma }^{\mu }{\gamma }^{5}\psi (x)\to -{\mathcal{P}^{\mu }_{\nu }\bar{\psi }({x}_{\mathcal{P}){\gamma }^{\nu }{\gamma }^{5}\psi ({x}_{\mathcal{P}), 此即宇称为 $+$ 的轴矢流.
• \bar{\psi }(x){\sigma }^{\mu \nu }\psi (x)\to {\mathcal{P}^{\mu }_{\rho }{\mathcal{P}^{\nu }_{\sigma }\bar{\psi }({x}_{\mathcal{P}){\sigma }^{\rho \sigma }\psi ({x}_{\mathcal{P}), 此即混合宇称的张量流.

反对称的 ${\sigma }^{\mu \nu }$ 只有 ${\sigma }^{0i},{\sigma }^{ij}$ 两类分量, 二者的宇称分别为 $-,+.$ 往 $\Gamma$ 里补个 ${\gamma }^5$ 上去也就只是把两类分量的宇称对调一下, 是等价的.

3. 旋量场及流算符的 C 变换

简洁起见接下来我可能会经常省略场算符的 $(x)$, 因为反正里面永远都是 $x.$ 为了简化表达式再约定记号 C\equiv {\rm{i}{\gamma }^{2}{\gamma }^{0}. 代数元素 C\equiv {\rm{i}{\gamma }^{2}{\gamma }^{0} 满足 {C}^{\dagger }={C}^{-1}={C}^{\text{T}=-C.代数是不存在转置一说的, 故转置说明已经取定了 ${\rm{Cl}(1,3)$ [[9]](#ref_9)的 Dirac 或 Weyl 表示. 我个人管这个 $C$ 叫荷共轭算符, 其它人好像叫它电荷共轭算符?

3.1. 变换效果:

虽然说过了但还是提一下, 下面的相位因子 ${\zeta }_C$ 满足 ${\left|{\zeta }_C\right|}^2=1.$

(1). 旋量场及其 Dirac 共轭场的变换效果:

• 对旋量场做 C 变换: \psi (x)\to U_{C}^{\dagger }\psi (x){U}_{C}=\zeta _{C}^{*}{\rm{i}{\gamma }^{2}{\gamma }^{0}{\bar{\psi }^{\rm{T}(x)=\zeta _{C}^{*}C{\bar{\psi }^{\rm{T}(x).
• 由上式知 $\bar{\psi }\to U_C^{†}\bar{\psi }{U}_C=U_C^{†}{\psi }^{†}{U}_C{\gamma }^0={\left(U_C^{†}\psi U_C\right)}^{†}{\gamma }^0$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\zeta }_{C}{\bar{\psi }^{\rm{T}\dagger }{C}^{\dagger }{\gamma }^{0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\zeta }_{C}{\bar{\psi }^{\rm{T}\dagger }{\gamma }^{0}C\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ={\zeta }_{C}{\left( {\gamma }^{0{\rm{T}{\gamma }^{0\dagger }\psi \right)}^{\rm{T}C={\zeta }_{C}{\psi }^{\rm{T}C.

(2). 旋量场及其 Dirac 共轭场的转置的变换效果:

• 对旋量场的转置做 C 变换: {\psi }^{\rm{T}\to U_{C}^{\dagger }{\psi }^{\rm{T}{U}_{C}=U_{C}^{\dagger }\left[ \zeta _{C}^{*}U_{C}^{\dagger }\bar{\psi }{U}_{C}{C}^{-1} \right]{U}_{C}=\zeta _{C}^{*}\bar{\psi }{C}^{-1}=-\zeta _{C}^{*}\bar{\psi }C.
• 对旋量场的 Dirac 共轭场的转置做 C 变换: {\bar{\psi }^{\rm{T}\to U_{C}^{\dagger }{\bar{\psi }^{\rm{T}{U}_{C}=U_{C}^{\dagger }\left[ {C}^{-1}{\zeta }_{C}U_{C}^{\dagger }\psi {U}_{C} \right]{U}_{C}={\zeta }_{C}{C}^{-1}\psi =-{\zeta }_{C}C\psi .

(3). 流算符的变换效果:

• 对流算符做 C 变换: $\bar{\psi }\Gamma \psi \to U_C^{†}\bar{\psi }\Gamma \psi U_C=U_C^{†}\bar{\psi }{U}_C\Gamma U_C^{†}\psi U_C$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, ={\zeta }_{C}{\psi }^{\rm{T}C\Gamma \zeta _{C}^{*}C{\bar{\psi }^{\rm{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, ={\psi }^{\rm{T}C\Gamma C{\bar{\psi }^{\rm{T}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, ={\left( {\psi }^{\rm{T} \right)}_{A}{\left( {\bar{\psi }^{\rm{T} \right)}^{B}{\left( C\Gamma C \right)}^{A}_{B}这里的负号源于旋量场的反对易关系, 同时也忽视了可能出现的无穷大 $\delta \left(\vec{x}-\vec{y}\right).$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, =-{\left( {\bar{\psi }^{\rm{T} \right)}^{B}{\left( {\psi }^{\rm{T} \right)}_{A}{\left( C\Gamma C \right)}^{A}_{B}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, =-{\left( {\bar{\psi }^{\rm{T} \right)}^{B}{\left( C\Gamma C \right)}^{A}_{B}{\left( {\psi }^{\rm{T} \right)}_{A}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, =-{\bar{\psi }_{B}{\left( {C}^{\rm{T}{\Gamma }^{\rm{T}{C}^{\rm{T} \right)}^{B}_{A}{\psi }^{A}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \, =-\bar{\psi }{C}^{\rm{T}{\Gamma }^{\rm{T}{C}^{\rm{T}\psi =\bar{\psi }{C}^{-1}{\Gamma }^{\rm{T}C\psi .
• 所以对流算符的 C 变换就归结为计算 {C}^{-1}{\Gamma }^{\rm{T}C 了, 常见结论如下:
• \boxed{C}^{-1}\mathbf{1}C=\mathbf{1}\ \boxed{C}^{-1}{\gamma }^{5{\rm{T}C={\gamma }^{5}\ \boxed{C}^{-1}{\gamma }^{\mu {\rm{T}C=-{\gamma }^{\mu }\ \boxed{C}^{-1}{\sigma }^{\mu \nu {\rm{T}C=-{\sigma }^{\mu \nu }

3.2. 流算符的 C 宇称:

下面直接对各类常见的流算符做 C 变换:

• $\bar{\psi }\psi \to \bar{\psi }\psi$, 此即 C 宇称为 $+$ 的标量流.
• $\bar{\psi }{\gamma }^5\psi \to \bar{\psi }{\gamma }^5\psi$, 此即 C 宇称为 $+$ 的赝标流.
• $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi \to -\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }\psi$, 此即 C 宇称为 $-$ 的矢量流.
• $\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi \to \bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5\psi$, 此即 C 宇称为 $+$ 的轴矢流.
• $\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi \to -\bar{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }\psi$, 此即 C 宇称为 $-$ 的张量流.

暂且写到这儿, 其它的等想到了再补充吧.

参考

• ^但很简单.
• ^自己去翻场论书, 我懒得写.
• ^反正就是有, 你要觉得用屁股看不出来就去翻书.
• ^其实是翻译错了, 这玩意儿应该译为荷共轭变换, 而所有的荷都相反不就互为正反粒子了吗?
• ^印象中我给出的所有重要代数结论在这俩表示下都是一样的.
• ^你可能想问放弃了复共轭操作的指标表达的话那旋量空间的复共轭怎么办, 只能说我还真没在日常式子化简的过程中碰到过需要在旋量空间取复共轭的情形.
• ^所以干脆用大写字母给它明显地标出算了, 反正这种指标也不会出现在运算结果里.
• ^小写的 a,b 是颜色指标.
• ^就是那些 gamma 矩阵.